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2.3.5 二次根式的乘除
在学习了实数的相关知识后，我们对二次根式有了初步的认识。二次根式的乘除运算作为实数运算的重要组成部分，在数学计算和实际问题中经常用到。本节将系统学习二次根式的乘法法则和除法法则，掌握二次根式乘除运算的方法和技巧，以及最简二次根式的化简方法。
一、二次根式的乘法法则
（一）法则推导
我们知道，对于非负实数\(a\)和\(b\)，根据平方根的性质\((\sqrt{a})^2 = a\)（\(a\geq0\)），可以推导二次根式的乘法法则。
因为\((\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2 = a \cdot b\)，而\((\sqrt{ab})^2 = ab\)，所以\(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)（\(a\geq0\)，\(b\geq0\)）。
（二）法则内容
二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即：\(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)（\(a\geq0\)，\(b\geq0\)）
反过来，也可以得到：\(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\)（\(a\geq0\)，\(b\geq0\)）
这一逆用形式常用于二次根式的化简，将被开方数分解成两个非负因数的积，其中一个因数是完全平方数，从而简化二次根式。
（三）例题解析
例 1：计算下列各式：
（1）\(\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}\) ；（2）\(\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}\) ；（3）\(\sqrt{4a} \cdot \sqrt{a}\)（\(a\geq0\)）。
解：
（1）根据乘法法则，\(\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{3 \times 5} = \sqrt{15}\) 。
（2）\(\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{2 \times 8} = \sqrt{16} = 4\) 。
（3）\(\sqrt{4a} \cdot \sqrt{a} = \sqrt{4a \times a} = \sqrt{4a^2} = 2a\)（因为\(a\geq0\)） 。
例 2：化简下列各式：
（1）\(\sqrt{12}\) ；（2）\(\sqrt{25 \times 6}\) ；（3）\(\sqrt{36a^2b}\)（\(a\geq0\)，\(b\geq0\)）。
解：
（1）\(\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\) 。
（2）\(\sqrt{25 \times 6} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{6} = 5\sqrt{6}\) 。
（3）\(\sqrt{36a^2b} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b} = 6a\sqrt{b}\)（因为\(a\geq0\)） 。
二、二次根式的除法法则
（一）法则推导
类似地，对于非负实数\(a\)和正实数\(b\)，可以推导二次根式的除法法则。
因为\(\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2 = \frac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2} = \frac{a}{b}\)，而\(\left(\sqrt{\frac{a}{b}}\right)^2 = \frac{a}{b}\)，所以\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)（\(a\geq0\)，\(b>0\)）。
（二）法则内容
二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即：\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)（\(a\geq0\)，\(b>0\)）
反过来，也可以得到：\(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)（\(a\geq0\)，\(b>0\)）
这一逆用形式同样用于二次根式的化简，将被开方数的分数形式转化为分子、分母的二次根式相除的形式。
（三）例题解析
例 3：计算下列各式：
（1）\(\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}}\) ；（2）\(\sqrt{18} \div \sqrt{2}\) ；（3）\(\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3a}}\)（\(a>0\)）。
解：
（1）根据除法法则，\(\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{24}{6}} = \sqrt{4} = 2\) 。
（2）\(\sqrt{18} \div \sqrt{2} = \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3\) 。
（3）\(\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3a}} = \sqrt{\frac{48}{3a}} = \sqrt{\frac{16}{a}} = \frac{4}{\sqrt{a}}\)（后续可进一步分母有理化，此处暂按法则计算） 。
例 4：化简下列各式：
（1）\(\sqrt{\frac{3}{25}}\) ；（2）\(\sqrt{\frac{7}{16}}\) ；（3）\(\sqrt{\frac{2a}{9b^2}}\)（\(a\geq0\)，\(b>0\)）。
解：
（1）\(\sqrt{\frac{3}{25}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{25}} = \frac{\sqrt{3}}{5}\) 。
（2）\(\sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}\) 。
（3）\(\sqrt{\frac{2a}{9b^2}} = \frac{\sqrt{2a}}{\sqrt{9b^2}} = \frac{\sqrt{2a}}{3b}\)（因为\(b>0\)） 。
三、最简二次根式
（一）定义
在进行二次根式的运算时，为了使结果更简洁，通常需要将二次根式化为最简形式。最简二次根式需要满足以下两个条件：
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
被开方数中不含分母。
例如，\(2\sqrt{3}\)、\(\frac{\sqrt{5}}{2}\)是最简二次根式；而\(\sqrt{12}\)（被开方数含能开得尽方的因数 4）、\(\sqrt{\frac{1}{2}}\)（被开方数含分母）不是最简二次根式。
（二）化简步骤
将一个二次根式化为最简二次根式，通常按照以下步骤进行：
分解因数或因式：把被开方数分解成质因数或因式的乘积形式。
开方化简：将能开得尽方的因数或因式开出来，作为二次根式的系数。
消除分母：若被开方数含有分母，利用除法法则将分母移到根号外，或通过分母有理化消除分母。
（三）例题解析
例 5：将下列二次根式化为最简二次根式：
（1）\(\sqrt{45}\) ；（2）\(\sqrt{20a^2b}\)（\(a\geq0\)，\(b\geq0\)） ；（3）\(\sqrt{\frac{5}{8}}\) 。
解：
（1）\(\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}\) 。
（2）\(\sqrt{20a^2b} = \sqrt{4 \times 5 \times a^2 \times b} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{5b} = 2a\sqrt{5b}\) 。
（3）\(\sqrt{\frac{5}{8}} = \sqrt{\frac{5 \times 2}{8 \times 2}} = \sqrt{\frac{10}{16}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{10}}{4}\)（分子分母同乘 2，使分母成为完全平方数） 。
四、二次根式乘除的混合运算
（一）运算顺序
二次根式的乘除混合运算与有理数的乘除混合运算顺序相同，从左到右依次进行，有括号的先算括号内的。在运算过程中，可以先将二次根式化为最简形式，再进行计算，以简化运算步骤。
（二）例题解析
例 6：计算：\(\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} \div \sqrt{2}\) 。
解：
方法一：从左到右依次计算\(\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} \div \sqrt{2} = \sqrt{12 \times 3} \div \sqrt{2} = \sqrt{36} \div \sqrt{2} = 6 \div \sqrt{2} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}\)（分母有理化） 。
方法二：先化简再计算\(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)，则原式\(= 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \div \sqrt{2} = 2 \times 3 \div \sqrt{2} = 6 \div \sqrt{2} = 3\sqrt{2}\) 。
例 7：计算：\(\frac{\sqrt{28} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{7}}\) 。
解：
原式\(= \sqrt{28} \div \sqrt{7} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{\frac{28}{7}} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\) 。
五、分母有理化
（一）定义
在二次根式的运算中，当分母含有二次根式时，通常需要将分母中的根号去掉，这一过程叫做分母有理化。分母有理化的依据是分式的基本性质，分子和分母同时乘分母的有理化因式，使分母化为有理数。
（二）常见形式及方法
分母为\(\sqrt{a}\)（\(a>0\)）：有理化因式为\(\sqrt{a}\)，分子分母同乘\(\sqrt{a}\)，即\(\frac{b}{\sqrt{a}} = \frac{b\sqrt{a}}{a}\) 。
例如：\(\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}\) 。
分母为\(a + \sqrt{b}\)（\(b\geq0\)）：有理化因式为\(a - \sqrt{b}\)，利用平方差公式\((a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b}) = a^2 - b\)进行有理化（后续将详细学习）。
（三）例题解析
例 8：将下列各式分母有理化：
（1）\(\frac{2}{\sqrt{6}}\) ；（2）\(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\) 。
解：
（1）\(\frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}\) 。
（2）\(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}\) 。
六、常见误区
忽略被开方数的取值范围：在应用二次根式乘除法则时，忘记\(a\geq0\)、\(b\geq0\)（乘法）或\(a\geq0\)、\(b>0\)（除法）的条件，导致对负数进行开方运算。例如，错误计算\(\sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9} = \sqrt{36} = 6\)，而实际上负数没有平方根，该运算无意义。
化简不彻底：将二次根式化为最简二次根式时，未将被开方数中所有能开得尽方的因数或因式开出来。例如，误将\(\sqrt{18}\)化简为\(3\sqrt{6}\)，而正确结果应为\(3\sqrt{2}\)。
运算顺序错误：在乘除混合运算中，违反从左到右的运算顺序，先进行后面的运算。例如，计算\(\sqrt{8} \div \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}\)时，错误地先算\(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\)，再算\(\sqrt{8} \div 2 = \sqrt{2}\)，而正确结果应为\(\sqrt{8} \div \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)。
分母有理化错误：分母有理化时，分子未随分母同时乘有理化因式，或计算错误。例如，误将\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)化为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)是正确的，但误写成\(\frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\)则是错误的。
七、课堂总结
二次根式的乘法法则：\(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)（\(a\geq0\)，\(b\geq0\)），逆用可化简二次根式。
二次根式的除法法则：\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)（\(a\geq0\)，\(b>0\)），逆用同样用于化简。
最简二次根式：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且不含分母。
混合运算顺序：从左到右依次进行，先化简再运算更简便。
分母有理化：通过分子分母同乘有理化因式，去掉分母中的根号。
二次根式的乘除运算需要严格遵循法则，注意被开方数的取值范围，熟练掌握化简和运算技巧。通过本节学习，我们能够更灵活地处理二次根式的相关问题，为后续学习二次根式的加减运算和更复杂的实数运算打下基础。
八、课后作业
计算下列各式：
（1）\(\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}\) ；（2）\(\sqrt{27} \div \sqrt{3}\) ；（3）\(\sqrt{4x} \cdot \sqrt{x}\)（\(x\geq0\)）。
化简下列二次根式为最简形式：
（1）\(\sqrt{20}\) ；（2）\(\sqrt{48a^3b}\)（\(a\geq0\)，\(b\geq0\)） ；（3）\(\sqrt{\frac{7}{12}}\) 。
计算：
（1）\(\sqrt{18} \cdot \sqrt{2} \div \sqrt{3}\) ；（2）\(\frac{\sqrt{24} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}}\) 。
将下列各式分母有理化：
（1）\(\frac{5}{\sqrt{10}}\) ；（2）\(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}\) 。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.3.5 二次根式的乘除
第二章 实数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过掌握二次根式的概念，能确定被开方式中字母的取值范围，理解二次根式的双重非负性，提高学生的理解能力．
2．通过借助实例，应用归纳法，抽象得出二次根式的概念，体会抽象概括的思想，应用联系的观念，得到二次根式的性质，发展抽象能力．
3．通过从实际生活中抽象出二次根式，感受数学模型思想和应用价值，发展应用意识；从算术平方根到二次根式，体会知识之间的联系．
重点
难点
旧识回顾
1．什么是平方根？
2．什么是算术平方根？
3．算术平方根的性质是什么？
平方根又叫二次方根，表示为±
其中属于非负数的平方根称之为算术平方根
双重非负性： ≥0(a≥0)．互逆性： ＝|a|＝
( )2＝a(a≥0)
情境导入
(1)如图①的海报为正方形，若面积为2 m2,则边长为_____m;若面积为S m2，则边长为______ m.
(2)如图②的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6 m2，则它的宽为______m.
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下的高度h(单位:m)满足关系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，那么t为________。
问题1这些式子分别表示什么意义
问题2 这些式子有什么共同特征
①根的指数都为2.②被开方数为非负数
分别表示2，S，3，的算术平方根
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
这些式子有什么共同特征？
知识点 1
二次根式的概念
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ”
②内在特征：被开方数a ≥0
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号.
提示：a可以是数，也可以是式.
探究新知
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：
(1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.
是否含二次根号
被开方数是不是非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
分析：
探究新知
素养考点 1
利用二次根式的定义识别二次根式
（1） ； （2）81； （3） ；（4）
（5） （6） ；（7）
下列各式是二次根式吗
是
是
是
是
是
巩固练习
（1）
（2）
（3）
（4）
（6）
（5）
（7）
（8）
（9）
（10）
不是
不是
不是
不是
不是
变式训练
例2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义
解：由x-2≥0，得
x≥2.
当x≥2时， 在实数范围内有意义.
思考 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：由题意得x-1＞0，
所以x＞1.
探究新知
素养考点 2
利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围
（1）
解：因为被开方数需大于或等于零，
所以x+3≥0，即x≥-3.
因为分母不能等于零，
所以x-1≠0，即x≠1.
所以x≥-3 且x≠1.
归纳小结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.
探究新知
（2）
x取何值时,下列二次根式有意义
巩固练习
（1）
（2）
x≥1
x≤0
（3）
（4）
x为全体实数
x>0
（5）
（6）
x≥0
x≠0
x≥-1且x≠2
(7)
（9）
x>0
x为全体实数
(8)
变式训练
（1）
＝ ，
＝ ；
＝ ，
＝ ；
＝ ，
＝ ；
＝ ，
＝ ．
6
6
20
20
你发现了什么？
探究新知
知识点 2
二次根式的运算法则
做一做
＝ ，
6.480
＝　 　；
（2）用计算器计算：
＝ ，
＝　 　 ．
6.480
0.9255
0.9255
你有何发现？
探究新知
（a≥0，b≥0）
，
（a≥0， b＞0）．
商的算术平方根等于算术平方根的商.
积的算术平方根等于算术平方根的积.
探究新知
归纳小结
化简:
解：(1)
(2)
(3)
（1） ； （2） ；（3） .
探究新知
素养考点 1
利用二次根式的积的算术平方根进行计算
例1
化简:
提示： 化简二次根式，就要把被开方数中的平方数（或平方式）从根号里开出来.
巩固练习
（1）
（2）
（3）
解:
（1）
（2）
（3）
变式训练
解:
探究新知
素养考点 2
利用二次根式的商的算术平方根进行计算
化简：（1） （2） （3）
例2
（1）
（2）
（3）
化简：
（7）
巩固练习
解：
变式训练
（2）
（3）
（1）
特点：被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数或因式.
最简二次根式：
　　一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.
讨论
探究新知
知识点 3
最简二次根式的概念
右边一组数有哪些特点？
最简二次根式的条件：
①是二次根式；
②被开方数中不含分母；
③被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
探究新知
条件总结
知识点1 二次根式的定义及其有意义的条件
1.下列各式中，是二次根式的是( )
A
A. B. C.2 D.
返回
2.［2024常州中考］若二次根式有意义，则 可取的值是( )
D
A. B.0 C.1 D.2
返回
知识点2 二次根式的乘法
3.对于二次根式的乘法运算，一般地，有 ，该运算法则成
立的条件是( )
D
A.， B.， C.， D.，
返回
4.［2024湖南中考］计算 的结果是( )
D
A. B. C.14 D.
返回
5.［2024南通中考］计算 的结果是( )
B
A.9 B.3 C. D.
返回
6.下列计算正确的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
7.［2024天津中考］计算 的结果为____。
10
返回
8.［教材P随堂练习T 变式］ 计算：
（1） ；
解：原式 。
（2） ；
解：原式 。
（3） ；
解：原式 。
（4） ；
解：原式 。
（5） 。
解：原式 。
返回
二次根式
定义
带有二次根号
在有意义条件下求字母的取值范围
抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.
被开方数为非负数
积的算术平方根
最简二次根式
商的算术平方根
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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