资源简介

(共29张PPT)
2.3.6 二次根式的加减
在学习了二次根式的乘除运算后，我们接下来学习二次根式的加减运算。二次根式的加减与整式的加减有相似之处，都需要先将同类项（或同类二次根式）合并。本节将重点学习同类二次根式的概念、二次根式加减运算的法则和步骤，以及如何运用这些知识解决实际问题。
一、同类二次根式
（一）概念引入
我们知道，在整式加减中，只有同类项才能合并，例如\(3x + 2x = 5x\)。类似地，在二次根式的加减中，也需要将 “同类” 的二次根式合并。那么，什么样的二次根式算是 “同类” 的呢？
同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式。例如：
\(\sqrt{2}\)、\(3\sqrt{2}\)、\(-5\sqrt{2}\)是同类二次根式，因为它们化简后被开方数都是\(2\)；
\(\sqrt{8}\)（化简后为\(2\sqrt{2}\)）、\(\sqrt{18}\)（化简后为\(3\sqrt{2}\)）与\(\sqrt{2}\)也是同类二次根式，因为它们化简后被开方数相同。
（二）判断方法
判断几个二次根式是否为同类二次根式，需经过以下步骤：
将每个二次根式化为最简二次根式；
比较化简后各个二次根式的被开方数；
若被开方数相同，则为同类二次根式；否则不是。
（三）例题解析
例 1：判断下列各组二次根式是否为同类二次根式：
（1）\(\sqrt{12}\)和\(\sqrt{27}\) ；（2）\(\sqrt{20}\)和\(\sqrt{5}\) ；（3）\(\sqrt{18}\)和\(\sqrt{24}\) 。
解：
（1）化简二次根式：\(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)，\(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\)。
化简后被开方数都是\(3\)，因此\(\sqrt{12}\)和\(\sqrt{27}\)是同类二次根式。
（2）化简二次根式：\(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)，\(\sqrt{5}\)已是最简形式。
化简后被开方数都是\(5\)，因此\(\sqrt{20}\)和\(\sqrt{5}\)是同类二次根式。
（3）化简二次根式：\(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)，\(\sqrt{24} = 2\sqrt{6}\)。
化简后被开方数分别是\(2\)和\(6\)，不相同，因此\(\sqrt{18}\)和\(\sqrt{24}\)不是同类二次根式。
二、二次根式的加减法则
（一）法则内容
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并。合并同类二次根式的方法与合并同类项类似，即把系数相加减，被开方数和根指数不变。
用字母表示为：\(a\sqrt{m} + b\sqrt{m} = (a + b)\sqrt{m}\)（\(m\geq0\)），\(a\sqrt{m} - b\sqrt{m} = (a - b)\sqrt{m}\)（\(m\geq0\)）。
（二）运算步骤
二次根式加减运算的具体步骤可总结为：
化简：将每个二次根式化为最简二次根式；
识别：找出其中的同类二次根式；
合并：将同类二次根式的系数相加或相减，被开方数保持不变。
（三）例题解析
例 2：计算下列各式：
（1）\(\sqrt{18} + \sqrt{8}\) ；（2）\(\sqrt{27} - \sqrt{12} + \sqrt{48}\) ；（3）\(2\sqrt{12} - 3\sqrt{27} + \sqrt{48}\) 。
解：
（1）先化简二次根式：\(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)，\(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)。
合并同类二次根式：\(\sqrt{18} + \sqrt{8} = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = (3 + 2)\sqrt{2} = 5\sqrt{2}\) 。
（2）化简二次根式：\(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\)，\(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)，\(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\)。
合并同类二次根式：\(\sqrt{27} - \sqrt{12} + \sqrt{48} = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = (3 - 2 + 4)\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\) 。
（3）化简二次根式：\(2\sqrt{12} = 2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\)，\(3\sqrt{27} = 3 \times 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\)，\(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\)。
合并同类二次根式：\(2\sqrt{12} - 3\sqrt{27} + \sqrt{48} = 4\sqrt{3} - 9\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = (4 - 9 + 4)\sqrt{3} = -\sqrt{3}\) 。
例 3：计算：\(\sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{18} - \sqrt{8}\) 。
解：
先化简二次根式：\(\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)，\(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)。
合并同类二次根式：\(\sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{18} - \sqrt{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + (3 - 2)\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\) 。
三、二次根式的混合运算
（一）运算顺序
二次根式的混合运算与实数的混合运算顺序一致，遵循以下规则：
先算乘方和开方；
再算乘除；
最后算加减；
有括号的先算括号内的（先小括号，再中括号，最后大括号）；
同级运算从左到右依次进行。
在混合运算中，还可以灵活运用运算律（如加法交换律、结合律，乘法分配律等）简化计算。
（二）例题解析
例 4：计算：\((\sqrt{12} + \sqrt{20}) + (\sqrt{27} - \sqrt{5})\) 。
解：
方法一：先去括号，再化简合并
原式\(= \sqrt{12} + \sqrt{20} + \sqrt{27} - \sqrt{5}\)
化简二次根式：\(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)，\(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)，\(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\) 。
合并同类二次根式：\(2\sqrt{3} + 2\sqrt{5} + 3\sqrt{3} - \sqrt{5} = (2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) + (2\sqrt{5} - \sqrt{5}) = 5\sqrt{3} + \sqrt{5}\) 。
例 5：计算：\(\sqrt{3} \times (\sqrt{12} - \sqrt{3}) + \sqrt{24} \div \sqrt{2}\) 。
解：
按照运算顺序，先算乘除，再算加减
计算乘法：\(\sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{3 \times 12} = \sqrt{36} = 6\)，\(\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3\)，因此\(\sqrt{3} \times (\sqrt{12} - \sqrt{3}) = 6 - 3 = 3\) 。
计算除法：\(\sqrt{24} \div \sqrt{2} = \sqrt{\frac{24}{2}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) 。
合并结果：\(3 + 2\sqrt{3}\) 。
四、实际应用
例 6：一个三角形的两边长分别为\(\sqrt{27}\)cm 和\(\sqrt{48}\)cm，第三边长为\(\sqrt{12}\)cm，求这个三角形的周长。
解：
三角形的周长等于三边长度之和，即周长\(C = \sqrt{27} + \sqrt{48} + \sqrt{12}\) 。
化简二次根式：\(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\)，\(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\)，\(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) 。
合并同类二次根式：\(C = 3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = (3 + 4 + 2)\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\)（cm） 。
答：这个三角形的周长为\(9\sqrt{3}\)cm。
例 7：一个长方形的长为\(2\sqrt{18}\)m，宽为\(3\sqrt{8}\)m，求这个长方形的周长和面积。
解：
周长\(C = 2 \times (é + ) = 2 \times (2\sqrt{18} + 3\sqrt{8})\) 。
化简二次根式：\(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)，\(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)，则长\(= 2 \times 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\)m，宽\(= 3 \times 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\)m 。
计算周长：\(C = 2 \times (6\sqrt{2} + 6\sqrt{2}) = 2 \times 12\sqrt{2} = 24\sqrt{2}\)（m） 。
面积\(S = é \times = 2\sqrt{18} \times 3\sqrt{8}\) 。
计算面积：\(S = 2 \times 3 \times \sqrt{18 \times 8} = 6 \times \sqrt{144} = 6 \times 12 = 72\)（m ） 。
答：这个长方形的周长为\(24\sqrt{2}\)m，面积为 72m 。
五、常见误区
未化简直接合并：在进行二次根式加减时，没有先将二次根式化为最简二次根式，直接对系数进行加减。例如，错误计算\(\sqrt{8} + \sqrt{18} = \sqrt{26}\)，而正确做法是先化简为\(2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}\)。
混淆同类与不同类二次根式：将非同类二次根式强行合并。例如，错误计算\(\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}\)，而\(\sqrt{2}\)和\(\sqrt{3}\)不是同类二次根式，不能合并。
运算顺序错误：在混合运算中，违反 “先乘除后加减” 的顺序。例如，计算\(\sqrt{2} + \sqrt{8} \div \sqrt{2}\)时，错误地先算\(\sqrt{2} + \sqrt{8} = 3\sqrt{2}\)，再除以\(\sqrt{2}\)得 3，而正确结果应为\(\sqrt{2} + (\sqrt{8} \div \sqrt{2}) = \sqrt{2} + 2\)。
系数计算错误：合并同类二次根式时，系数的加减出现错误。例如，计算\(3\sqrt{5} - 5\sqrt{5}\)时，错误地得到\(-2\)，而正确结果应为\(-2\sqrt{5}\)（注意保留被开方数）。
六、课堂总结
同类二次根式：化简后被开方数相同的二次根式，是合并的前提。
加减法则：先化简，再识别同类二次根式，最后合并系数（被开方数不变）。
混合运算顺序：先乘方开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的，同级运算从左到右。
实际应用：运用二次根式加减解决几何周长、长度求和等问题，需先化简再计算。
二次根式的加减运算核心在于 “化简” 和 “合并同类”，与整式加减的思想一脉相承。通过本节学习，我们应熟练掌握化简技巧和合并方法，避免常见误区，为后续更复杂的根式运算打下基础。
七、课后作业
计算下列各式：
（1）\(\sqrt{20} + \sqrt{45} - \sqrt{5}\) ；（2）\(\sqrt{12} - \sqrt{3} + \sqrt{27}\) ；（3）\(2\sqrt{18} - 3\sqrt{8} + \sqrt{32}\) 。
计算下列混合运算：
（1）\((\sqrt{27} + \sqrt{12}) \div \sqrt{3}\) ；（2）\(\sqrt{3} \times (\sqrt{6} - \sqrt{3}) + \sqrt{24}\) 。
一个等腰三角形的腰长为\(\sqrt{75}\)cm，底边长为\(\sqrt{12}\)cm，求这个三角形的周长。
判断下列各组二次根式是否为同类二次根式：
（1）\(\sqrt{28}\)和\(\sqrt{63}\) ；（2）\(\sqrt{12}\)和\(\sqrt{20}\) ；（3）\(\sqrt{\frac{1}{2}}\)和\(\sqrt{8}\) 。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.3.6 二次根式的加减
第二章 实数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过熟练掌握二次根式的四则运算的算理，可以对二次根式进行准确的计算，提高运算能力．
2．通过灵活运用二次根式的四则运算解决问题，发展学生探究能力．
3．通过增强学生的符号、应用意识，培养学生合作交流、合情推理及表达能力．
重点
难点
旧识回顾
1．二次根式的定义是什么？
2．最简二次根式的定义是什么？
一般地，形如 (a≥0)的式子叫做二次根式
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式
情境导入
如图，学校要砌一个正方形花坛，已知外边的正方形边长为2cm，里面的正方形的边长为 cm，两个正方形的周长和为多少？
两个正方形的周长和为：
（2）x2+2x2+4y= ;
1.（1）3x2+2x2= ;
2.类比合并同类项的方法，想想如何计算：
解：
答：不能，因为它们都是最简二次根式，被开方数不相同，所以不能合并.
5x2
3x2+4y
知识点 3
二次根式的加减计算
3. 能不能再进行计算 为什么
解：(1)原式=
计算:
(2)原式=
(3)原式=
(4)原式=
例1
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
探究新知
=13-9=4
=6-5=1
素养考点 1
二次根式的加减乘除计算
解：(5)原式=
(6)原式=
（5）
（6）
=2+3=5
=6-1=5
探究新知
下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
B
巩固练习
变式训练
知识点
计算：
解:
（1）原式
（2）原式
（3）原式
例2
探究新知
素养考点 2
二次根式的四则运算
完成下列计算.
解：
（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
巩固练习
变式训练
二次根式的加减法法则
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
1.加减法的运算步骤：“一化简二判断三合并”.
2.合并的前提条件：只有被开方数相同的最简二次根式才能进行合并.
探究新知
小结
提示
化为最简
二次根式
用分配
律合并
整式
加减
二次根
式性质
分配律
整式加
减法则
依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.
基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
探究新知
1. ＝（　　）
A． B．4 C． D．
连接中考
2. 一个长方形的长和宽分别为 和 ，则这个长方形的面积为_________．
B
1.化简 的结果是（　　）
A．9 B．3 C． D．
A. B.
C. D.
B
2.下面计算结果正确的是 ( )
D
课堂检测
基础巩固题
3. 计算：
课堂检测
基础巩固题
（4） =______
5
（5） =______
（6） =______
-1
（1） =______
（3） =______
（2） =______
4. 计算：
解：
课堂检测
基础巩固题
（1）
（2）
5.计算：
课堂检测
（1）
（2）
解：
（1）
（2）
基础巩固题
知识点1 二次根式的性质
1.计算：
（1）____×____ ____；
16
（2） 。
25
9
4
3
12
64
5
8
返回
2.下列式子正确的是( )
C
A.
B.
C.
D.
返回
3.化简：
（1） ；
解：原式 。
（2） ；
解：原式 。
（3） 。
解：原式 。
返回
知识点2 最简二次根式
4.［2025咸阳月考］下列是最简二次根式的是( )
C
A. B. C. D.
返回
5. 若是最简二次根式，则 的值可以是________
_______________。
5
（答案不唯一）
返回
6.把下列二次根式化成最简二次根式：
（1） ；
解：原式 。
（2） ;
解：原式 。
（3） ；
解：原式 。
（4） ；
解：原式 。
（5） ；
解：原式 。
（6） 。
解：原式 。
返回
知识点3 二次根式的加减
7.计算：
（1）（______） _____；
3
2
（2）____-____（________） ____。
3
2
3
返回
8.下列二次根式中，能与 加减合并的二次根式是( )
B
A. B. C. D.
返回
二次根式的运算
乘法法则
加减法则
乘法公式
除法法则
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
加减法的运算步骤：“一化简二判断三合并”.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑