资源简介

(共38张PPT)
2.3.4 实数
在学方根、立方根和用计算器开方后，我们对 “数” 的认识进一步扩展。从最初的自然数、整数，到分数、有理数，再到现在的无理数，数系的每一次扩展都伴随着新运算的需求。本节将系统梳理实数的概念、分类、性质及运算，建立完整的实数知识体系，为后续数学学习奠定基础。
一、实数的定义与分类
（一）实数的定义
有理数和无理数统称为实数。也就是说，实数包含了所有可以在数轴上表示的数，既包括有限小数、无限循环小数（有理数），也包括无限不循环小数（无理数）。例如：
有理数：\(0\)、\(3\)、\(-5\)、\(\frac{1}{2}\)、\(0.333 \)（循环小数）；
无理数：\(\sqrt{2}\)、\(\pi\)、\(0.1010010001 \)（无限不循环小数）。
（二）实数的分类
实数可以按不同标准分类，常见的有两种方式：
1. 按定义分类
**\(
°\begin{cases}
°\begin{cases}
°\begin{cases}
° \\
0 \\
è °
\end{cases} \\
°\begin{cases}
° \\
è °
\end{cases}
\end{cases} \\
°\begin{cases}
° \sqrt{3} \pi \\
è ° -\sqrt{5} -2\pi
\end{cases}
\end{cases}
\)
2. 按性质分类
**\(
°\begin{cases}
°\begin{cases}
° \\
°
\end{cases} \\
0 \\
è °\begin{cases}
è ° \\
è °
\end{cases}
\end{cases}
\)
（三）分类注意事项
有理数和无理数的本质区别：有理数能化为分数形式（即有限小数或无限循环小数），无理数不能。
\(0\)是实数中唯一既不是正数也不是负数的数，且属于有理数。
无理数的常见形式：开方开不尽的数（如\(\sqrt{7}\)）、特定结构的无限不循环小数（如\(0.1020030004 \)）、含\(\pi\)的数（如\(3\pi\)）。
二、实数的性质
（一）实数与数轴的关系
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的关系。这一性质是实数的核心特征，它将抽象的数与直观的几何图形联系起来，为 “数形结合” 提供了基础。
正实数在数轴原点右侧，负实数在原点左侧，\(0\)对应原点。
实数的大小关系在数轴上表现为：右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。例如，\(\sqrt{2} 1.414\)在数轴上位于\(1\)和\(2\)之间，且在\(1.4\)的右侧。
（二）实数的基本性质
有序性：任意两个实数都可以比较大小。对于实数\(a\)、\(b\)，有且仅有\(a > b\)、\(a = b\)、\(a < b\)三种关系之一成立。
封闭性：实数对加、减、乘、除（除数不为\(0\)）、乘方运算封闭，即运算结果仍为实数；非负实数可以进行开平方运算，任意实数可以进行开立方运算。
稠密性：任意两个不相等的实数之间存在无数个实数（既有有理数也有无理数）。例如，\(1\)和\(2\)之间有\(1.5\)（有理数）、\(\sqrt{2}\)（无理数）等。
相反数与绝对值：
实数\(a\)的相反数是\(-a\)，互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称，且和为\(0\)（如\(\sqrt{3}\)与\(-\sqrt{3}\)互为相反数，\(\sqrt{3} + (-\sqrt{3}) = 0\)）。
实数\(a\)的绝对值\(|a|\)定义为：\(
|a| = \begin{cases}
a, & a > 0 \\
0, & a = 0 \\
-a, & a < 0
\end{cases}
\)
绝对值的几何意义是数轴上表示数\(a\)的点到原点的距离，因此绝对值具有非负性（\(|a| \geq 0\)）。
三、实数的运算
实数的运算与有理数的运算规则一致，包括四则运算、乘方、开方等，同时满足以下运算律：
（一）四则运算
加法：同号两数相加，取相同符号并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大绝对值减去较小绝对值；互为相反数的两数相加得\(0\)；一个数加\(0\)仍得原数。
减法：\(a - b = a + (-b)\)（减去一个数等于加上这个数的相反数）。
乘法：同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数乘\(0\)得\(0\)；多个非零实数相乘，积的符号由负因数个数决定（奇负偶正）。
除法：\(a \div b = a \times \frac{1}{b}\)（\(b \neq 0\)），除法法则与乘法类似。
（二）乘方与开方
乘方：求\(n\)个相同因数的积的运算，记作\(a^n\)。正数的任何次幂为正，负数的奇次幂为负、偶次幂为正，\(0\)的正整数次幂为\(0\)。
开方：开方是乘方的逆运算。正数有两个平方根（互为相反数），\(0\)的平方根是\(0\)，负数没有平方根；任意实数有且仅有一个立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，\(0\)的立方根为\(0\)。
（三）运算律
加法交换律：\(a + b = b + a\)；
加法结合律：\((a + b) + c = a + (b + c)\)；
乘法交换律：\(a \times b = b \times a\)；
乘法结合律：\((a \times b) \times c = a \times (b \times c)\)；
乘法分配律：\(a \times (b + c) = a \times b + a \times c\)。
（四）运算顺序
先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；
有括号的先算括号内的（先小括号，再中括号，最后大括号）；
同级运算从左到右依次进行。
（五）实例演示
例 1：计算\(\sqrt{4} + \sqrt[3]{-8} - |1 - \sqrt{2}|\)。
解：
\(\sqrt{4} = 2\)，\(\sqrt[3]{-8} = -2\)；
因为\(\sqrt{2} \approx 1.414 > 1\)，所以\(|1 - \sqrt{2}| = \sqrt{2} - 1\)；
原式\(= 2 + (-2) - (\sqrt{2} - 1) = 0 - \sqrt{2} + 1 = 1 - \sqrt{2}\)。
例 2：计算\((\sqrt{3})^2 + \pi^0 - \sqrt{25}\)。
解：
\((\sqrt{3})^2 = 3\)，\(\pi^0 = 1\)（任何非零数的\(0\)次幂为\(1\)），\(\sqrt{25} = 5\)；
原式\(= 3 + 1 - 5 = -1\)。
四、实数的大小比较
比较实数大小的方法与有理数类似，常用以下技巧：
（一）数轴比较法
在数轴上，右边的数总比左边的数大。例如，比较\(-\sqrt{2}\)和\(-1.5\)：
\(-\sqrt{2} \approx -1.414\)，在数轴上位于\(-1.5\)右侧，因此\(-\sqrt{2} > -1.5\)。
（二）绝对值比较法
正数大于\(0\)，负数小于\(0\)，正数大于负数；
两个正数比较，绝对值大的数大；
两个负数比较，绝对值大的数反而小。
（三）平方比较法（适用于正实数）
若\(a > 0\)，\(b > 0\)，则\(a > b \Leftrightarrow a^2 > b^2\)。例如，比较\(\sqrt{5}\)和\(2.2\)：
\((\sqrt{5})^2 = 5\)，\(2.2^2 = 4.84\)，因为\(5 > 4.84\)，所以\(\sqrt{5} > 2.2\)。
（四）估算法
对无理数进行估算，转化为近似小数后比较。例如，比较\(\sqrt{3} + 1\)和\(3\)：
\(\sqrt{3} \approx 1.732\)，则\(\sqrt{3} + 1 \approx 2.732 < 3\)，因此\(\sqrt{3} + 1 < 3\)。
五、实际应用
（一）几何计算
例 3：一个直角三角形的两条直角边分别为\(\sqrt{2}\)cm 和\(\sqrt{3}\)cm，求斜边长度和三角形面积。
解：
斜边长度\(c = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{2 + 3} = \sqrt{5} \approx 2.236\)（cm）；
面积\(S = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{3} = \frac{1}{2}\sqrt{6} \approx 1.225\)（cm ）。
答：斜边长度为\(\sqrt{5}\)cm，面积为\(\frac{1}{2}\sqrt{6}\)cm 。
（二）实际测量
例 4：用一根长为\(10\)m 的绳子围成一个正方形，求正方形的边长和对角线长度（精确到\(0.01\)m）。
解：
边长\(a = \frac{10}{4} = 2.5\)（m）；
对角线长度\(d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2 \times 2.5^2} = 2.5\sqrt{2} \approx 3.535 \approx 3.54\)（m）。
答：正方形的边长为\(2.5\)m，对角线长度约为\(3.54\)m。
六、常见误区
对无理数概念理解错误：认为 “带根号的数都是无理数”（如\(\sqrt{4} = 2\)是有理数），或 “无限小数都是无理数”（如\(0.333 \)是循环小数，属于有理数）。
实数运算符号错误：计算负数的平方根时忽略 “无意义”（如\(\sqrt{-4}\)不存在），或立方根符号错误（如\(\sqrt[3]{-8} = 2\)，正确结果应为\(-2\)）。
绝对值化简错误：对含无理数的绝对值化简时符号判断错误，如\(|2 - \sqrt{5}| = 2 - \sqrt{5}\)（正确结果应为\(\sqrt{5} - 2\)，因\(\sqrt{5} \approx 2.236 > 2\)）。
数轴对应关系混淆：误认为 “数轴上的点都表示有理数”，忽略无理数也能在数轴上表示（如\(\sqrt{2}\)可通过几何方法在数轴上找到对应点）。
七、课堂总结
实数的定义与分类：实数包括有理数和无理数，按定义可分为整数、分数、无理数，按性质可分为正实数、\(0\)、负实数。
实数与数轴的关系：实数与数轴上的点一一对应，这是数形结合的基础。
实数的性质：具有有序性、封闭性、稠密性，相反数和绝对值的定义与有理数一致。
实数的运算：遵循与有理数相同的运算规则和运算律，重点掌握含开方、绝对值的混合运算。
大小比较方法：包括数轴法、绝对值法、平方比较法和估算法，根据具体情况选择合适方法。
实数是初中数学的重要数系，它的引入完善了我们对 “数” 的认知，也为后续学习函数、二次根式等知识提供了支撑。理解实数的概念和性质，熟练掌握运算技巧，是学好初中数学的关键之一。
八、课后作业
将下列各数填入相应的集合：\(-3\)、\(\sqrt{2}\)、\(0.6\)、\(\pi\)、\(0\)、\(-\frac{1}{3}\)、\(\sqrt{4}\)、\(0.1010010001 \)
有理数集合：\(\{\quad\}\)；
无理数集合：\(\{\quad\}\)；
正实数集合：\(\{\quad\}\)。
计算下列各式：
（1）\(\sqrt{9} + \sqrt[3]{-27} + |\sqrt{2} - 1|\)；
（2）\((\sqrt{5})^2 - \sqrt{16} + \sqrt[3]{8} \times \pi^0\)。
比较下列各组数的大小：
（1）\(\sqrt{7}\)和\(2.6\)；
（2）\(-\sqrt{3}\)和\(-1.7\)。
一个正方体的体积是\(10\)立方厘米，求它的棱长（精确到\(0.01\)厘米）。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.3.4 实数
第二章 实数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过了解实数的概念并能按要求将实数进行分类，会在实数范围内求一个数的相反数、倒数、绝对值，发展运算能力．
2．通过利用数轴上的点来表示实数的过程，将数和图形结合在一起，让学生进一步体会数形结合的思想，发展应用意识．
3．通过运用实数的运算解决简单的实际问题，提高学生的应用意识，发展学生解决问题的能力，从中体会数学的使用价值．
重点
难点
旧识回顾
1．什么是有理数？有理数怎样分类？
2．什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？
有理数为整数(正整数、0、负整数)和分数的统称．有理数可分为正有理数、0、负有理数
无理数的定义是无限不循环小数，带根号的数不一定是无理数，如 ，要看a的取值
情境导入
请同学们观看视频了解A4纸的奥妙
（1）请把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？任何有理数都能写成有限小数和无限循环小数吗？
（2）请用计算器把 和 写成小数的形式，你有什么发现？像这样的数我们把它叫什么数？你还能说出一些这样的数吗？
知识点 1
实数的概念和分类
事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数.
反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
探究新知
无限不循环的小数 ---------- 叫做无理数.
你能举出一些无理数吗？
0.1010010001…〔两个1之间依次多1个0〕
－168.3232232223…〔两个3之间依次多1个2〕
探究新知
=1.41421356237309504880168…
=1.70997594667669698935310…
思考 我们将有理数和无理数统称为实数，仿照有理数的分类，据此你能给实数分类吗？
无理数：
无限不循环小数
有理数：
有限小数或无限循环小数
实 数
按定义分
分数
整数
女孩子
男孩子
妈妈
含开方开不尽的数
有规律但不循环的小数
含有π的数
探究新知
（相邻两个3之间的7的个数逐次加1）
有理数集合
无理数集合
把下列各数分别填入相应的集合内：
试一试
探究新知
无理数和有理数一样，也有正负之分.
如：
是
的，
-π是
的.
正
负
大于 0 的实数
包括所有的正有理数和正无理数.
【正数】
【负数】
小于 0 的实数
包括所有的负有理数和负无理数.
探究新知
正数集合
负数集合
探究新知
1.你能把下列各数分别填入相应的集合内吗
议一议
（相邻两个3之间的7的个数逐次加1）
实数的
第一种分类
实数的
第二种分类
2. 0属于正数吗 属于负数吗
3. 实数还可以怎样分类
实数
有理数
无理数
实数
正实数
负实数
0
探究新知
议一议
负实数
正实数
数实
正有理数
负有理数
按性质分
0
正无理数
负无理数
探究新知
0
正实数
负实数
无理数：
有理数：
负实数：
正实数：
例1 将下列各数分别填入下列相应的括号内：
探究新知
素养考点 1
实数的分类
把下列各数填入相应的集合内：
（1）有理数集合：
（2）无理数集合：
（3）整数集合：
（4）负数集合：
（5）分数集合：
（6）实数集合：
巩固练习
变式训练
提示1：在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内 的相反数、倒数、绝对值的意义完全相同.
1.5的相反数是（ ），绝对值是（ ）,倒数是（ ）.
-1.5
1.5
知识点 2
实数范围内的相关概念
探究新知
相反
倒
（1） a 是一个实数 ，它的相反数为-a.
( a﹤0)
（3） ︳ a ︳ =
　　　　　　　　　　　　　　
( a=0)
( a﹥0)
a
0
- a
探究新知
小结
（2） 如果 a ≠ 0 ，那么它的倒数为 .
提示2：有理数的运算法则及运算律对实数仍然适用.
例如：
探究新知
例 分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值．
探究新知
素养考点 1
实数相关概念的应用
相反数
倒数
绝对值
-2
7
-2
(1)正实数的绝对值是 ，0的绝对值是
，负实数的绝对值是　 .
它本身
0
它的相反数
7
巩固练习
变式训练
(2) 的相反数是 ，绝对值是 ．
(3)绝对值等于 的数是 ， 的平方是 ．
-
±
如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点从原点到达A点，则点A的坐标为多少？
-4
-2
0
1
2
3
4
-1
-3
无理数 可以用数轴上的点来表示.
A
问题1 无理数能在数轴上表示出来吗？
探究新知
知识点 2
实数与数轴的关系
－2
－1
0
1
2
-
问题2（1）你能在数轴上表示出 吗？
探究新知
0
1
2
3
-1
1
2
0
1
2
-1
-2
A
一个实数a
（2）你能在数轴上作出 的对应点吗？
探究新知
（3）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴能填满吗？
－2
－1
0
1
2
B
A
C
在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大.
数轴上的点有些
表示有理数，有
些表示无理数.
探究新知
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数.即实数和数轴上的点是一一对应的.
解：因为数轴上A，B两点表示的数分别为-1和 ，
所以点B到点A的距离为1＋ ，则点C到点A的距离为1+ ，
设点C表示的实数为x，则点A到点C的距离为-1-x，
所以-1-x＝1＋ ，
所以x＝-2- .
例 如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为-1和 ，
点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数．
探究新知
素养考点 1
求数轴上的点表示的实数值
A
B
-1
0
如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，其中最适合表示无理数π的点是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
D
C
D
A
B
4
3
2
1
0
-1
-2
连接中考
1.判断对错
（1）实数不是有理数就是无理数. （ ）
（2）无理数都是无限不循环小数. （ ）
（4）无理数都是无限小数. （ ）
（3）带根号的数都是无理数. （ ）
（5）无理数一定都带根号. （ ）
×
×
基础巩固题
课堂检测
1.［2024福建中考］下列实数中，无理数是( )
D
A. B.0 C. D.
返回
2.［2024威海中考］下列各数中，最小的数是( )
A
A. B. C. D.
返回
3.下列各组数中互为相反数的是( )
C
A.3和 B.和
C.和3 D.和
返回
4.下列说法正确的是( )
D
A.4的算术平方根是 B.3的平方根是
C.27的立方根是 D.的平方根是
返回
5.某学校会议室的面积为 ，它的地面恰由100块相同的正方形地砖
铺成，每块地砖的边长是( )
B
A. B. C. D.
返回
6. ［2025西安鄠邑区期中］ 秦兵马俑的发现被誉为“世界第
八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为
，下列估算正确的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
7.如图，在中， ，，边 在数轴上，
点表示的数为0，点表示的数为1，以为圆心， 的长为半径画弧
交数轴负半轴于点，则点 表示的数是( )
D
A. B. C. D.
返回
8.若的整数部分是，小数部分是，则 的值为( )
B
A. B. C. D.8
返回
实数
实数范围内的相关的概念
实数的概念
实数的分类
实数的数轴表示
实数的大小比较
相反数
绝对值
倒数
有理数和无理数统称实数
按定义分
按性质分
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑