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3.2.1 平面直角坐标系
在 3.1 节中，我们了解到用有序数对可以确定平面内物体的位置，而平面直角坐标系正是将这一思想系统化、数学化的工具。它是数形结合的重要桥梁，通过建立坐标系，我们可以把平面内的点与有序数对建立一一对应关系，从而用代数方法研究几何问题。本节将详细学习平面直角坐标系的构成、点的坐标表示及坐标平面内点的特征。
一、平面直角坐标系的构成
（一）基本概念
在平面内，画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中：
水平的数轴称为x 轴（或横轴），习惯上取向右为正方向；
竖直的数轴称为y 轴（或纵轴），习惯上取向上为正方向；
两条数轴的公共原点称为坐标原点，记作\(O\)。
（二）象限的划分
x 轴和 y 轴把平面分成四个部分，每个部分称为一个象限。从右上方开始，按逆时针方向依次称为：
第一象限；
第二象限；
第三象限；
第四象限。
需要注意的是，坐标轴上的点不属于任何象限。x 轴上的点的纵坐标为 0，y 轴上的点的横坐标为 0，原点的坐标为\((0, 0)\)。
（三）坐标系的表示
平面直角坐标系通常记作 “平面直角坐标系\(xOy\)”，其中\(x\)和\(y\)分别表示横轴和纵轴，\(O\)为原点。在坐标系中，数轴上的单位长度可以根据实际需要确定，但同一数轴上的单位长度必须统一。
二、点的坐标表示
（一）坐标的定义
对于平面内任意一点\(P\)，过点\(P\)分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足在 x 轴、y 轴上对应的数分别称为点\(P\)的横坐标和纵坐标。把横坐标和纵坐标依次写在小括号内，中间用逗号隔开，就得到了点\(P\)的坐标，记作\((x, y)\)，其中\(x\)是横坐标，\(y\)是纵坐标。
例如，在平面直角坐标系中，点\(A\)向 x 轴作垂线，垂足对应 x 轴上的数是 3；向 y 轴作垂线，垂足对应 y 轴上的数是 2，则点\(A\)的坐标为\((3, 2)\)。
（二）坐标的读写
点的坐标的读法：\((x, y)\)读作 “点\((x, y)\)” 或 “坐标为\((x, y)\)的点”。例如，\((-1, 4)\)读作 “点\((-1, 4)\)”。
坐标的书写必须规范：横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开，外面加小括号。不能颠倒顺序，也不能遗漏括号和逗号。
（三）由点求坐标的步骤
过已知点向 x 轴作垂线，确定垂足在 x 轴上对应的数，即为该点的横坐标；
过该点向 y 轴作垂线，确定垂足在 y 轴上对应的数，即为该点的纵坐标；
将横坐标和纵坐标按 “横坐标在前，纵坐标在后” 的顺序写成有序数对\((x, y)\)。
（四）例题解析
例 1：在平面直角坐标系中，写出图中各点的坐标：
（1）点\(A\)；（2）点\(B\)；（3）点\(C\)；（4）点\(D\)；（5）原点\(O\)。
解：
（1）过点\(A\)向 x 轴作垂线，垂足对应 x 轴上的数是 2；向 y 轴作垂线，垂足对应 y 轴上的数是 3，因此点\(A\)的坐标为\((2, 3)\)。
（2）过点\(B\)向 x 轴作垂线，垂足对应 x 轴上的数是 - 1；向 y 轴作垂线，垂足对应 y 轴上的数是 2，因此点\(B\)的坐标为\((-1, 2)\)。
（3）过点\(C\)向 x 轴作垂线，垂足对应 x 轴上的数是 - 3；向 y 轴作垂线，垂足对应 y 轴上的数是 - 1，因此点\(C\)的坐标为\((-3, -1)\)。
（4）过点\(D\)向 x 轴作垂线，垂足对应 x 轴上的数是 4；向 y 轴作垂线，垂足对应 y 轴上的数是 - 2，因此点\(D\)的坐标为\((4, -2)\)。
（5）原点\(O\)在 x 轴和 y 轴的交点处，对应的横坐标和纵坐标都是 0，因此原点\(O\)的坐标为\((0, 0)\)。
三、由坐标描点
已知点的坐标在平面直角坐标系中描出该点，步骤如下：
在 x 轴上找到横坐标对应的点，过该点作 x 轴的垂线；
在 y 轴上找到纵坐标对应的点，过该点作 y 轴的垂线；
两条垂线的交点即为所求的点。
例 2：在平面直角坐标系中描出下列各点：
（1）\(M(1, 4)\)；（2）\(N(-2, 3)\)；（3）\(P(-3, -2)\)；（4）\(Q(5, -1)\)；（5）\(R(0, 2)\)；（6）\(S(3, 0)\)。
解：
（1）描点\(M(1, 4)\)：在 x 轴上找到 1 对应的点，作 x 轴的垂线；在 y 轴上找到 4 对应的点，作 y 轴的垂线，两条垂线的交点即为点\(M\)。
（2）描点\(N(-2, 3)\)：在 x 轴上找到 - 2 对应的点，作 x 轴的垂线；在 y 轴上找到 3 对应的点，作 y 轴的垂线，两条垂线的交点即为点\(N\)。
（3）描点\(P(-3, -2)\)：在 x 轴上找到 - 3 对应的点，作 x 轴的垂线；在 y 轴上找到 - 2 对应的点，作 y 轴的垂线，两条垂线的交点即为点\(P\)。
（4）描点\(Q(5, -1)\)：在 x 轴上找到 5 对应的点，作 x 轴的垂线；在 y 轴上找到 - 1 对应的点，作 y 轴的垂线，两条垂线的交点即为点\(Q\)。
（5）描点\(R(0, 2)\)：横坐标为 0，该点在 y 轴上；在 y 轴上找到 2 对应的点，即为点\(R\)。
（6）描点\(S(3, 0)\)：纵坐标为 0，该点在 x 轴上；在 x 轴上找到 3 对应的点，即为点\(S\)。
四、坐标平面内点的特征
（一）各象限内点的坐标特征
第一象限：横坐标为正，纵坐标为正，即\((+, +)\)；
第二象限：横坐标为负，纵坐标为正，即\((-, +)\)；
第三象限：横坐标为负，纵坐标为负，即\((-, -)\)；
第四象限：横坐标为正，纵坐标为负，即\((+, -)\)。
（二）坐标轴上点的坐标特征
x 轴上的点：纵坐标为 0，即\((x, 0)\)（\(x\)为任意实数）；
y 轴上的点：横坐标为 0，即\((0, y)\)（\(y\)为任意实数）；
原点：横坐标和纵坐标都为 0，即\((0, 0)\)。
（三）特殊直线上点的坐标特征
平行于 x 轴的直线：直线上所有点的纵坐标都相等，横坐标为任意实数。例如，直线\(y = 2\)上的点的坐标可表示为\((x, 2)\)。
平行于 y 轴的直线：直线上所有点的横坐标都相等，纵坐标为任意实数。例如，直线\(x = -3\)上的点的坐标可表示为\((-3, y)\)。
（四）例题解析
例 3：判断下列各点所在的象限或坐标轴：
（1）\(A(2, 5)\)；（2）\(B(-3, 4)\)；（3）\(C(-1, -2)\)；（4）\(D(6, -1)\)；（5）\(E(0, 3)\)；（6）\(F(5, 0)\)。
解：
（1）点\(A\)的横坐标为正，纵坐标为正，因此点\(A\)在第一象限。
（2）点\(B\)的横坐标为负，纵坐标为正，因此点\(B\)在第二象限。
（3）点\(C\)的横坐标为负，纵坐标为负，因此点\(C\)在第三象限。
（4）点\(D\)的横坐标为正，纵坐标为负，因此点\(D\)在第四象限。
（5）点\(E\)的横坐标为 0，因此点\(E\)在 y 轴上。
（6）点\(F\)的纵坐标为 0，因此点\(F\)在 x 轴上。
例 4：已知点\(P(m, n)\)在第二象限，求\(m\)和\(n\)的取值范围。
解：因为点\(P(m, n)\)在第二象限，根据第二象限内点的坐标特征 “横坐标为负，纵坐标为正”，可得\(m < 0\)，\(n > 0\)。
五、坐标与距离的关系
（一）点到坐标轴的距离
平面内任意一点\(P(x, y)\)到坐标轴的距离如下：
点\(P\)到 x 轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，即\(|y|\)；
点\(P\)到 y 轴的距离等于该点横坐标的绝对值，即\(|x|\)。
例如，点\(A(3, -4)\)到 x 轴的距离为\(|-4| = 4\)，到 y 轴的距离为\(|3| = 3\)。
（二）例题解析
例 5：已知点\(M(5, -3)\)，求：
（1）点\(M\)到 x 轴的距离；
（2）点\(M\)到 y 轴的距离。
解：
（1）点\(M\)到 x 轴的距离为纵坐标的绝对值，即\(|-3| = 3\)。
（2）点\(M\)到 y 轴的距离为横坐标的绝对值，即\(|5| = 5\)。
例 6：已知点\(N(a, b)\)到 x 轴的距离是 2，到 y 轴的距离是 3，且点\(N\)在第四象限，求点\(N\)的坐标。
解：
点\(N(a, b)\)到 x 轴的距离是 2，因此\(|b| = 2\)，即\(b = 2\)或\(b = -2\)；
点\(N(a, b)\)到 y 轴的距离是 3，因此\(|a| = 3\)，即\(a = 3\)或\(a = -3\)；
又因为点\(N\)在第四象限，第四象限内点的坐标特征是 “横坐标为正，纵坐标为负”，所以\(a = 3\)，\(b = -2\)；
因此，点\(N\)的坐标为\((3, -2)\)。
六、常见误区
混淆横坐标和纵坐标的顺序：在书写点的坐标时，误将纵坐标写在前面，横坐标写在后面。例如，将点\((2, 5)\)写成\((5, 2)\)，导致位置错误。
忽略坐标轴上的点不属于任何象限：错误地认为 x 轴或 y 轴上的点属于某个象限，例如认为点\((0, 3)\)在第一象限，而实际上该点在 y 轴上，不属于任何象限。
象限划分方向错误：将象限按顺时针方向划分，而正确的划分顺序是从右上方开始按逆时针方向依次为第一、二、三、四象限。
距离计算错误：计算点到坐标轴的距离时，忘记取绝对值，例如将点\((-2, 4)\)到 y 轴的距离算为 - 2，而正确结果应为\(|-2| = 2\)。
单位长度不统一：在建立坐标系时，x 轴和 y 轴的单位长度不一致，导致图形失真，影响后续计算和分析。
七、课堂总结
平面直角坐标系的构成：由 x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）和坐标原点组成，两条数轴互相垂直且有公共原点，将平面分为四个象限。
点的坐标表示：平面内任意一点的坐标用有序数对\((x, y)\)表示，其中\(x\)为横坐标，\(y\)为纵坐标，横坐标在前，纵坐标在后。
坐标与点的对应关系：已知点可以确定其坐标，已知坐标可以描出对应点，平面内的点与有序数对一一对应。
点的坐标特征：各象限内点的坐标符号不同，坐标轴上的点有特定的坐标特征，平行于坐标轴的直线上的点也有相应的坐标规律。
距离计算：点到 x 轴的距离是纵坐标的绝对值，到 y 轴的距离是横坐标的绝对值。
平面直角坐标系是数学中重要的工具，它建立了数与形之间的联系，为后续学习函数、图形变换等知识奠定了基础。通过本节学习，我们应熟练掌握坐标系的构成、点的坐标表示及相关特征，为运用坐标系解决实际问题做好准备。
八、课后作业
在平面直角坐标系中，写出图中各点的坐标：
（1）点\(A\)；（2）点\(B\)；（3）点\(C\)；（4）点\(D\)；（5）点\(E\)。
在平面直角坐标系中描出下列各点，并指出它们所在的象限或坐标轴：
（1）\(P(3, 2)\)；（2）\(Q(-2, 5)\)；（3）\(R(-4, -1)\)；（4）\(S(1, -3)\)；（5）\(T(0, -4)\)；（6）\(U(-5, 0)\)。
已知点\(M(a, b)\)在第三象限，且到 x 轴的距离是 3，到 y 轴的距离是 4，求点\(M\)的坐标。
已知点\(N(x, y)\)在平行于 x 轴的直线上，且到 x 轴的距离是 2，到 y 轴的距离是 5，求点\(N\)的坐标。
判断下列说法是否正确：
（1）平面直角坐标系中，任意一点都有唯一的有序数对与之对应；
（2）点\((-1, 2)\)在第二象限；
（3）x 轴上的点的横坐标都为 0；
（4）点\((3, -4)\)到 x 轴的距离是 3。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.2.1平面直角坐标系
第三章 位置与坐标
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过在给定的平面直角坐标系中，根据坐标指出点的位置，由已知点的位置写出它对应的坐标，发展学生的空间观念和数形结合意识．
2．通过让学生经历画、描、连、看、找等探究过程，发展学生的数形结合能力．通过由点确定坐标到根据坐标描点的转化过程，进一步培养学生的转化意识．
3．通过生动有趣的教学活动，发展学生的推理能力和丰富的情感、态度，提高学生学习数学的兴趣．
重点
难点
旧识回顾
1．生活中，在平面内确定物体位置的方法都有哪些？
2．在平面内，确定一个物体的位置一般需要几个数据？
行列定位法、方位角及距离定位法、经纬定位法、区域定位法
两个
情境导入
同学们，你们喜欢旅游吗？ 假如你到了某一个城市旅游，那么你应怎样确定旅游景点的位置呢？下面给出一张某市旅游景点的示意图（如图3-4,）在科技大学的小亮
如何向来访的朋友介绍该市的几个风景
点的位置呢？
问题 如何确定直线上点的位置？
在直线上规定了原点、正方向、单位长度就构成了数轴.
数轴上的点可以用一个数来表示，这个数叫做这个点在数轴上的坐标． 例如点A在数轴上的坐标为-3，点B在数轴上的坐标为2.反过来，知道数轴上一个点的坐标，这个点在数轴上的位置也就确定了.
·
单位长度
0
1
2
3
4
-3
-2
-1
原点


A
B
知识点 1
平面直角坐标系及相关概念
小红
小明
小强
问题 如何确定平面上点的位置？
探究新知
如何确定平面上点的位置？
0
-3
-2
-1
-4
1
2
4
3
小红
小强
小明
0
-2
-1
1
2
4
3
（-2,3）
（0,0）
（3,2）
探究新知
你能帮在科技大学的小亮给来访的朋友介绍该市几个风景点的位置吗？
↑
北
你认为用哪种方法能比较准确又简单的表示各种景点的位置呢？
↑
北
探究新知
做一做
小红的方法:
(0，0)表示科技大学的位置，
钟 楼: ；
: ； 　　　
: . 　　　
(3, 5)
(5, 2)
(3, 8)
影月湖
大成殿
1
2
0
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
↑
北
(5，7)表示中心广
场的位置.
探究新知
(1) 你是怎样确定各个景点位置的？
（3，1）
（－2，1）
（－2，－1）
（－1，－3）
（－4，－4）
1.你是怎样确定各个旅游景点的位置的？
2.“大成殿”在“中心广场”的西南各多少个小格？“碑林”在广场的东北各多少格？
3.如果中心广场为（0,0）你能表示出其他景点的位置吗？
探究新知
问题 小丽能根据小明的提示从左图中找出图书馆的位置吗？
周末小明和小丽约好一起去图书馆学习.小明告诉小丽，图书馆在中山北路西边50米，人民西路北边30米的位置.
中山南路
人民东路
中山北路
人民西路
北
西
探究新知
中山南路
人民东路
中山北路
人民西路
北
西
4.如果小明只说在“中山北路西边50米”，或只说在“人民西路北边30米”，你能找到吗？
1.小明是怎样描述图书馆的位置的？
2.小明可以省去“西边”和“北边”这几个字吗？
3.如果小明说图书馆在“中山北路西边、人民西路北边”，你能找到吗？
探究新知
思考
x
y
o
30
20
10
20
10
-10
-20
-30
-40
-20
-50
-10
-70
-60
-50
-40
-30
-80
（-50,
北
西
30）
人民路
中山路
探究新知
若将中山路与人民路看成两条互相垂直的数轴，十字路口为它们的公共原点，这样就形成了一个平面直角坐标系.
3
1
4
2
5
-2
-4
-1
-3
O
y
在平面内画两条互相垂直的数轴,构成平面直角坐标系.
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
x
竖直的叫y轴或纵轴；
y轴取向上为正方向
水平的叫x轴或横轴；x轴取向右为正方向
x轴与y轴的交点叫平面直角坐标系的原点.
探究新知
x
O
下面四个图形中，是平面直角坐标系的是（ ）
-3 -2 -1 1 2 3
3
2
1
-1
-2
-3
y
x
x
y
（A）
3 2 1 -1 -2 -3
x
y
（B）
O
-3 -2 -1 1 2 3
3
2
1
-1
-2
-3
（C）
O
-3 -2 -1 1 2 3
3
2
1
-1
-2
-3
y
（D）
O
D
巩固练习
3
2
1
-1
-2
-3
问题1 在平面直角坐标系中，能用有序数对来表示图中点A的位置吗？
由点A分别向 x轴，y轴作垂线，垂足M在 x轴上的坐标是3，垂足N在 y轴上的坐标是4，有序数对（3，4）就叫做点A的坐标，其中3是横坐标，4是纵坐标．
注意：表示点的坐标时，必须横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开．
知识点 2
确定平面直角坐标系内点的坐标
探究新知
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
x
5
4
3
2
1
-1
-2
O
y
A
（3，4）
问题2 如图，在平面直角坐标系中，点B，C，D的坐标分别是什么？
答：
B（-2，3），
C（4，-3），
D（-1，-4）．
探究新知
问题3 如图，在平面直角坐标系中，你能分别写出点A，B，C，D的坐标吗？x轴和y轴上的点的坐标有什么特点？原点的坐标是什么？
答：
A（4，0），B（-2，0），
C（0，5），D（0，-3），
① x轴上的点的纵坐标为0，一般记为（x，0）；
② y轴上的点的横坐标为0，一般记为（0，y）；
③ 原点O的坐标是（0，0）．
探究新知
写出下图中的多边形ABCDEF各个顶点的坐标.
-1
3
-1
O
A
B
C
E
F
D
1
2
3
4
-2
1
2
-2
-3
y
x
答案:
A（-2，0）,B（0，-3）
C（3，-3）,D（4，0）
E（3，3）,F（0，3）
探究新知
素养考点 1
确定平面直角坐标系内点的坐标
例
写出图中点A、B、C、D，的坐标.
答：A（4，3），
B（-2，3），
C（-4，-1），
D（2，-2）.
3
1
4
2
5
-2
-1
-3
O
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
x
y
·
B
·
A
·
D
·
C
巩固练习
变式训练
在平面直角坐标系中，两条坐标轴（即横轴和纵轴）把平面分成如图所示的Ⅰ，Ⅱ ，Ⅲ，Ⅳ四个区域.
提示：坐标轴上的点不属于任何一个象限.
知识点 3
探究新知
平面直角坐标系内点的坐标性质
分别称为第一，二，三，
四象限.
观察坐标系,填写各象限内的点的坐标的特征：
点的位置 横坐标的符号 纵坐标
的符号
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
+
+
+
-
-
-
+
-
A
y
O
x
-1
-2
-3
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
1
2
3
4
5
-4
B
C
D
E
讨论 不看平面直角坐标系,你能迅速说出A(4,5) ,B(-2,3),
C(-4,-1),D(2.5,-2),E(0,-4)所在的象限吗？你的方法又是什么？
探究新知
点的位置 横坐标的符号 纵坐标的
符号
在x轴的正半轴上
在x轴的负半轴上
在y轴的正半轴上
在y轴的负半轴上
0
+
+
-
-
0
0
0
讨论 不看平面直角坐标系,你能迅速说出A(4,0),B(0,3),
C(-4,0),E(0,-4),O(0,0)所在的位置吗？你的方法又是什么？
A
y
O
x
-1
-2
-3
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
1
2
3
4
5
-4
B
C
E
观察坐标系,填写坐标轴上的点的坐标的特征：
探究新知
思考 坐标平面内的点与有序数对(坐标)是什么关系
类似数轴上的点与实数是一一对应的.我们可以得出：
①对于坐标平面内任意一点M,都有唯一的一对有序实数对(x,y) (即点M的坐标）和它对应；
②反过来，对于任意一对有序实数对(x,y),在坐标平面内都有唯一的一点M(即坐标为(x,y)的点）和它对应.
也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.
探究新知
例 在平面直角坐标系中，描出下列各点，并指出它们分别在哪个象限. A(5，4)，B(-3，4)，C (-4 ，-1)，D(2，-4).
探究新知
素养考点 1
在平面直角坐标系内确定已知点
y
5
-5
-2
-4
-1
2
3
1
-6
6
4
-5
5
-3
-4
4
-2
3
-1
2
1
-6
6
x
-3
A
(5,4)
O
B
(-3,4)
C
(-4,-1)
D
(2,-4)
解：如图，先在x 轴上找到表示5的点，再在y 轴上找出表示4 的点，过这两个点分别作x 轴，y 轴的垂线，垂线的交点就是点A. 类似地，其他各点的位置如图所示.点A 在第一象限，点B 在第二象限，点C在第三象限，点D在第四象限.
知识点1 平面直角坐标系及相关概念
1.下列选项中，平面直角坐标系的画法正确的是( )
B
A. B. C. D.
返回
2.如图所示，轴、 轴把平面直角坐标系分成四部分，则②是( )
A
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
返回
知识点2 点的坐标与平面内点的对应性
3.已知点在第一象限，并且它到轴的距离为1，到 轴的距离为2，则
点 的坐标为( )
B
A. B. C. D.
返回
4.如图，在平面直角坐标系中，有,,, 四
个点，点的坐标是______，点 的横坐标是
___，纵坐标是____，横坐标和纵坐标都是负
数的是点___，坐标是 的是点___，在
第____象限。
3
二
返回
5.下列说法正确的是( )
B
A.和 表示的位置相同
B.和 是表示不同位置的两个有序实数对
C.和 表示两个不同的位置
D.和 表示的位置一定不同
返回
6.［教材 操作·思考变式］ 在如图所示的平面直角坐标系中，把以下
各点描出来，并顺次连接点，，，，，， 。
，，，，， 。
解：如图所示。
返回
7.［教材例1变式］ 如图，给出格点三角形
（三角形的各个顶点都在格点上）。
（1）写出 各顶点的坐标；
解：，， 。
（2）求出 的面积。
解： 。
返回
平面直角坐标系及点的坐标
定义：原点、坐标轴
点的坐标
定义与符号特征
点的坐标的确定
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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