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3.2.2 平面直角坐标系中点的坐标特征
在平面直角坐标系中，不同位置的点具有不同的坐标特征，这些特征是我们通过坐标研究图形性质的重要依据。上一节我们初步了解了象限和坐标轴上点的坐标特点，本节将系统梳理各类点的坐标规律，包括对称点、特殊直线上的点以及距离关系等，帮助你更深入地理解坐标与位置的对应关系。
一、象限内点的坐标特征
平面直角坐标系被 x 轴和 y 轴分为四个象限，每个象限内点的横坐标和纵坐标的符号具有明确的规律，这是判断点所在象限的核心依据：
象限
横坐标符号
纵坐标符号
坐标形式
第一象限
正（+）
正（+）
\((+, +)\)
第二象限
负（-）
正（+）
\((-, +)\)
第三象限
负（-）
负（-）
\((-, -)\)
第四象限
正（+）
负（-）
\((+, -)\)
（一）特征应用
根据象限内点的坐标符号特征，我们可以：
判断已知坐标的点所在的象限；
由点所在的象限确定其横、纵坐标的符号范围。
（二）例题解析
例 1：判断下列各点所在的象限：
（1）\(A(5, 3)\)；（2）\(B(-2, 4)\)；（3）\(C(-1, -6)\)；（4）\(D(7, -2)\)。
解：
（1）点\(A\)的横坐标为正，纵坐标为正，符合第一象限\((+, +)\)的特征，因此点\(A\)在第一象限。
（2）点\(B\)的横坐标为负，纵坐标为正，符合第二象限\((-, +)\)的特征，因此点\(B\)在第二象限。
（3）点\(C\)的横坐标为负，纵坐标为负，符合第三象限\((-, -)\)的特征，因此点\(C\)在第三象限。
（4）点\(D\)的横坐标为正，纵坐标为负，符合第四象限\((+, -)\)的特征，因此点\(D\)在第四象限。
例 2：已知点\(P(m + 1, 2m - 3)\)在第二象限，求\(m\)的取值范围。
解：
因为点\(P\)在第二象限，所以横坐标为负，纵坐标为正，可列出不等式组：\(
\begin{cases}
m + 1 < 0 \\
2m - 3 > 0
\end{cases}
\)
解第一个不等式：\(m + 1 < 0 \Rightarrow m < -1\)；
解第二个不等式：\(2m - 3 > 0 \Rightarrow 2m > 3 \Rightarrow m > \frac{3}{2}\)。
此时不等式组无解，说明不存在这样的\(m\)使点\(P\)在第二象限。
二、坐标轴上点的坐标特征
坐标轴上的点不属于任何象限，其坐标具有特殊的简化形式：
（一）x 轴上的点
x 轴上任意一点的纵坐标为 0，横坐标可以是任意实数，坐标形式为\((x, 0)\)。例如：
点\((3, 0)\)在 x 轴正半轴上；
点\((-2, 0)\)在 x 轴负半轴上；
原点\((0, 0)\)是 x 轴和 y 轴的交点。
（二）y 轴上的点
y 轴上任意一点的横坐标为 0，纵坐标可以是任意实数，坐标形式为\((0, y)\)。例如：
点\((0, 5)\)在 y 轴正半轴上；
点\((0, -4)\)在 y 轴负半轴上。
（三）例题解析
例 3：判断下列各点是否在坐标轴上，若在，指出在哪个坐标轴上：
（1）\(M(0, 6)\)；（2）\(N(3, 0)\)；（3）\(P(-2, 5)\)；（4）\(Q(0, 0)\)。
解：
（1）点\(M\)的横坐标为 0，纵坐标不为 0，因此点\(M\)在 y 轴上。
（2）点\(N\)的纵坐标为 0，横坐标不为 0，因此点\(N\)在 x 轴上。
（3）点\(P\)的横坐标和纵坐标都不为 0，因此点\(P\)不在坐标轴上（在第二象限）。
（4）点\(Q\)的横坐标和纵坐标都为 0，因此点\(Q\)是坐标原点，在 x 轴和 y 轴的交点处。
例 4：已知点\(A(a - 1, 5)\)在 y 轴上，求\(a\)的值。
解：
因为点\(A\)在 y 轴上，所以其横坐标为 0，即：\(a - 1 = 0 \Rightarrow a = 1\)。
三、对称点的坐标特征
在平面直角坐标系中，点的对称关系包括关于 x 轴对称、关于 y 轴对称和关于原点对称三种，每种对称关系对应着特定的坐标变换规律。
（一）关于 x 轴对称
特征：两个点关于 x 轴对称时，它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数。
坐标变换：若点\(P(x, y)\)关于 x 轴对称的点为\(P_1\)，则\(P_1(x, -y)\)。
例如，点\((2, 3)\)关于 x 轴对称的点为\((2, -3)\)；点\((-1, -4)\)关于 x 轴对称的点为\((-1, 4)\)。
（二）关于 y 轴对称
特征：两个点关于 y 轴对称时，它们的纵坐标相同，横坐标互为相反数。
坐标变换：若点\(P(x, y)\)关于 y 轴对称的点为\(P_2\)，则\(P_2(-x, y)\)。
例如，点\((3, 5)\)关于 y 轴对称的点为\((-3, 5)\)；点\((-2, -6)\)关于 y 轴对称的点为\((2, -6)\)。
（三）关于原点对称
特征：两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。
坐标变换：若点\(P(x, y)\)关于原点对称的点为\(P_3\)，则\(P_3(-x, -y)\)。
例如，点\((4, 2)\)关于原点对称的点为\((-4, -2)\)；点\((-1, 3)\)关于原点对称的点为\((1, -3)\)。
（四）例题解析
例 5：已知点\(A(3, -5)\)，分别求出它关于 x 轴、y 轴和原点对称的点的坐标。
解：
点\(A\)关于 x 轴对称的点：横坐标不变，纵坐标变为相反数，即\((3, 5)\)。
点\(A\)关于 y 轴对称的点：纵坐标不变，横坐标变为相反数，即\((-3, -5)\)。
点\(A\)关于原点对称的点：横、纵坐标都变为相反数，即\((-3, 5)\)。
例 6：已知点\(P(a, b)\)关于 y 轴对称的点是\(Q(-2, 3)\)，求\(a\)和\(b\)的值。
解：
因为点\(P(a, b)\)关于 y 轴对称的点是\(Q(-2, 3)\)，根据关于 y 轴对称的坐标特征 “横坐标互为相反数，纵坐标相同”，可得：\(a = 2\)（\(a\)与\(-2\)互为相反数），\(b = 3\)（纵坐标相同）。
四、特殊直线上点的坐标特征
除了坐标轴，平面内还有一些特殊直线（如平行于坐标轴的直线、象限角平分线等），这些直线上的点也具有独特的坐标特征。
（一）平行于坐标轴的直线
平行于 x 轴的直线：直线上所有点的纵坐标都相等，横坐标可以是任意实数。
一般形式：\(y = k\)（\(k\)为常数）。例如，直线\(y = 4\)上的点的坐标可表示为\((x, 4)\)，如\((1, 4)\)、\((-3, 4)\)等。
平行于 y 轴的直线：直线上所有点的横坐标都相等，纵坐标可以是任意实数。
一般形式：\(x = h\)（\(h\)为常数）。例如，直线\(x = -2\)上的点的坐标可表示为\((-2, y)\)，如\((-2, 5)\)、\((-2, -1)\)等。
（二）象限角平分线
第一、三象限角平分线：直线上任意一点的横坐标与纵坐标相等，即\(x = y\)。
坐标形式：\((a, a)\)（\(a\)为任意实数）。例如，点\((3, 3)\)、\((-2, -2)\)都在这条直线上。
第二、四象限角平分线：直线上任意一点的横坐标与纵坐标互为相反数，即\(x = -y\)（或\(x + y = 0\)）。
坐标形式：\((a, -a)\)（\(a\)为任意实数）。例如，点\((2, -2)\)、\((-5, 5)\)都在这条直线上。
（三）例题解析
例 7：已知点\(M(2, m)\)在直线\(y = 3\)上，求\(m\)的值；已知点\(N(n, -4)\)在直线\(x = -1\)上，求\(n\)的值。
解：
因为点\(M(2, m)\)在直线\(y = 3\)上，而直线\(y = 3\)上所有点的纵坐标都为 3，所以\(m = 3\)。
因为点\(N(n, -4)\)在直线\(x = -1\)上，而直线\(x = -1\)上所有点的横坐标都为 - 1，所以\(n = -1\)。
例 8：判断点\(A(5, 5)\)、\(B(-3, 3)\)、\(C(2, -2)\)分别在哪些象限角平分线上。
解：
点\(A\)的横坐标与纵坐标相等（\(5 = 5\)），因此点\(A\)在第一、三象限角平分线上。
点\(B\)的横坐标与纵坐标互为相反数（\(-3 = -3\)，即\(x = -y\)），因此点\(B\)在第二、四象限角平分线上。
点\(C\)的横坐标与纵坐标互为相反数（\(2 = -(-2)\)，即\(x = -y\)），因此点\(C\)在第二、四象限角平分线上。
五、点到坐标轴及原点的距离
（一）点到坐标轴的距离
平面内任意一点\(P(x, y)\)到坐标轴的距离与它的坐标密切相关：
点\(P\)到 x 轴的距离 = 纵坐标的绝对值 = \(|y|\)；
点\(P\)到 y 轴的距离 = 横坐标的绝对值 = \(|x|\)。
（二）点到原点的距离
点\(P(x, y)\)到坐标原点\(O(0, 0)\)的距离可以通过勾股定理计算：\(
PO = \sqrt{x^2 + y^2}
\)
例如，点\((3, 4)\)到原点的距离为\(\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)。
（三）例题解析
例 9：已知点\(P(-3, 4)\)，求：
（1）点\(P\)到 x 轴的距离；
（2）点\(P\)到 y 轴的距离；
（3）点\(P\)到原点的距离。
解：
（1）点\(P\)到 x 轴的距离为纵坐标的绝对值，即\(|4| = 4\)。
（2）点\(P\)到 y 轴的距离为横坐标的绝对值，即\(|-3| = 3\)。
（3）点\(P\)到原点的距离为\(\sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)。
例 10：已知点\(Q(x, y)\)到 x 轴的距离是 2，到 y 轴的距离是 5，求点\(Q\)的坐标。
解：
点\(Q\)到 x 轴的距离是 2，因此\(|y| = 2 \Rightarrow y = 2\)或\(y = -2\)；
点\(Q\)到 y 轴的距离是 5，因此\(|x| = 5 \Rightarrow x = 5\)或\(x = -5\)；
组合可得点\(Q\)的坐标可能为：\((5, 2)\)、\((5, -2)\)、\((-5, 2)\)、\((-5, -2)\)。
六、常见误区
对称点坐标记忆混淆：混淆关于 x 轴、y 轴和原点对称的坐标变换规律，例如将点\((x, y)\)关于 x 轴对称的点误记为\((-x, y)\)，而正确应为\((x, -y)\)。
象限角平分线特征颠倒：错误认为第一、三象限角平分线上的点满足\(x = -y\)，第二、四象限角平分线上的点满足\(x = y\)，实际应相反。
距离与坐标符号混淆：计算点到坐标轴的距离时，错误地保留坐标的符号，例如将点\((-4, 5)\)到 y 轴的距离算为 - 4，而正确结果应为\(|-4| = 4\)。
忽略多解情况：在已知距离求坐标时，忘记考虑坐标的正负性导致漏解。例如，点到 x 轴距离为 3 时，纵坐标可能是 3 或 - 3，而非仅 3。
特殊直线方程理解错误：将平行于 x 轴的直线\(y = k\)误理解为横坐标为 k，或将平行于 y 轴的直线\(x = h\)误理解为纵坐标为 h。
七、课堂总结
象限内点：坐标符号具有明确规律，第一象限\((+, +)\)、第二象限\((-, +)\)、第三象限\((-, -)\)、第四象限\((+, -)\)。
坐标轴上点：x 轴上点的纵坐标为 0\((x, 0)\)，y 轴上点的横坐标为 0\((0, y)\)，原点坐标为\((0, 0)\)。
对称点：
关于 x 轴对称：\((x, y) \leftrightarrow (x, -y)\)；
关于 y 轴对称：\((x, y) \leftrightarrow (-x, y)\)；
关于原点对称：\((x, y) \leftrightarrow (-x, -y)\)。
特殊直线上的点：
平行于 x 轴的直线\(y = k\)上的点纵坐标为 k；
平行于 y 轴的直线\(x = h\)上的点横坐标为 h；
第一、三象限角平分线：\(x = y\)；第二、四象限角平分线：\(x = -y\)。
距离关系：点到 x 轴距离为\(|y|\)，到 y 轴
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.2.2平面直角坐标系中点的坐标特征
第三章 位置与坐标
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 经历画坐标系、描点、连线、看图以及由点找坐标等过程，发展学生的数形结合意识和合作交流意识．
2．通过在平面直角坐标系中分析、观察点的坐标与图形的对应关系，发现点的坐标特征，体会平面直角坐标系是用代数方法研究几何问题的有效性工具．
3．通过“平面直角坐标系”知识的形成过程，逐步掌握观察、比较、操作、类比、归纳等思维方法，发展学生的探究意识．
重点
难点
旧识回顾
1．你还记得什么是平面直角坐标系吗？
2．两条坐标轴把平面分成了几部分？不包括坐标轴
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系
4部分
情境导入
神舟九号、七号、六号和五号的发射和回收都那么成功 ，圆了几代中国人的梦想，让全中国人为之骄傲和自豪!但是你们知道我们的科学家是怎样迅速地找到返回舱着陆的
位置的吗？这全依赖于GPS——卫星全球定位
系统”.大家一定觉得很神奇吧！学习了今天
的内容，你就会明白其中的奥妙.
如图是一个笑脸.
（1）在“笑脸”上找出几个位于第一象限的点，指出它们的坐标，说说这些点的坐标有什么特点.
（2）在其他象限内分别找几个点，看看其他各个象限内的点的坐标有什么特点.
（3）不描出点，分别判断A(1, 2)，
B(-1, -3), C(2, -1), D(-3, 4)
所在的象限.
知识点 1
平面直角坐标系内点的坐标特征
做一做
（1）象限内点的特征：
点M(x，y)所处的位置 坐标特征
象限内 的点 点M在第一象限 M(正，正)
点M在第二象限 M(负，正)
点M在第三象限 M(负，负)
点M在第四象限 M(正，负)
探究新知
解:
（2）特殊位置的点的特征：
点M(x，y)所处的位置 坐标特征
坐标轴上的点 点M在x轴上 在x轴正半轴上：M(正，0)
在x轴负半轴上：M(负，0)
点M在y轴上 在y轴正半轴上：M(0，正)
在y轴负半轴上：M(0，负)
象限角平分线上的点 点M在第一、三象限角平分线上 x＝y，即横坐标
与纵坐标相等
点M在第二、四象限角平分线上 x＝-y，即横、纵坐
标互为相反数
探究新知
（3）点A在第一象限，
点B在第三象限，
点C在第四象限，
点D在第二象限.
在直角坐标系中描出下列各点，并将各组内这些点依次用线段连接.（1）D(-3,5), E(-7, 3), C(l,3), D(-3,5)；
（2）F(-6,3), G(-6,0), A(0,0), B(0,3)；
观察所描出的图形，它像什么？根据图形回答下列问题：
（1）图形中哪些点在坐标轴上，它们的坐标有什么特点？
（2）线段EC与x轴有什么位置关系？点E和点C的坐标有什
么特点？线段EC上其他点的坐标呢？
（3）点F和点G的横坐标有什么共同特点？线段FG与y轴有
怎样的位置关系？
在平面直角坐标系作图找出点的坐标特征
探究新知
例1
素养考点 1
解：连接起来的图形像“房子”（如图).
（1）线段AG上的点都在x轴上，它们的纵坐
标都等于0；线段AB上的点、线段CD与y轴
的交点，它们都在y轴上，它们的横坐标都
等于0.
（2）线段EC平行于x轴，点E和点C的纵坐标相同.线段EC上其他点的纵坐标也相同，都是3.
（3）点F和点G的横坐标相同，线段FG与y轴平行.
探究新知
1.位于x轴上的点的坐标的特征是: ;
位于y轴上的点的坐标的特征是: .
2.与x轴平行的直线上点的坐标的特征
是： ；
与y轴平行的直线上点的坐标的特征
是： .
归纳 概括
纵坐标等于 0
横坐标等于 0
纵坐标相同
横坐标相同
探究新知
x
y
(1)在平面直角坐标系中，描出下列各点：A(-5,0)，B(1,4)，C(3,3)，D(1,0)，E(3,-3)，F(1,-4).
A
B
C
D
E
F
o
3
1
5
4
2
-2
-1
-3
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
-5
-4
巩固练习
动手操作，完成下列题目
变式训练
x
y
(2)依次连接A，B，C，D，E，F，A，你得到什么图形？
A
B
C
D
E
F
3
1
5
4
2
-2
-1
-3
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
-5
-4
0
答案不唯一（例如图形类似于一架飞机，类似于一个箭头等）
解：
巩固练习
例3 已知在平面直角坐标系中，点P(m，m-2)在第一象限内，则m的取值范围是________．
解析：根据第一象限内点的坐标的符号特征，横坐标为正，纵坐标为正，可得关于m的一元一次不等式组 解得m＞2.
m＞2
求点的坐标中字母的取值范围的方法：根据各个象限内点的坐标的符号特征，列出关于字母的不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可求出相应字母的取值范围．
探究新知
素养考点 2
利用平面直角坐标系内点的坐标确定字母的值
1.已知点，则点到轴的距离是___，到 轴的距离是___，到
原点的距离是___。
4
3
5
返回
2.已知点坐标为，点坐标为，则线段 的长为_____。
返回
3. 若点的横坐标是，且到轴的距离为5，则点 的坐标是
__________________。
或
返回
4.点的坐标为，若点到两坐标轴的距离相等，则 的
值为_______。
2或
返回
平面直角坐标系内点的坐标特征
各象限内点的坐标特征
特殊点的坐标特征
平行于x轴的点坐标特征
平行于y轴的点坐标特征
y轴、x轴上点的坐标特征
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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