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3.2.3 建立平面直角坐标系
在平面直角坐标系中，点的坐标特征为我们描述位置、研究图形提供了便利。但要实现这一功能，首先需要根据实际需求建立合适的平面直角坐标系。建立坐标系是将几何问题代数化的关键步骤，合理的坐标系能简化计算和分析过程。本节将学习建立平面直角坐标系的方法、原则及具体应用。
一、建立平面直角坐标系的意义
在现实生活和数学研究中，许多问题需要通过量化位置来解决。例如：
在地图上标注景点位置，需要确定各景点的坐标；
在几何证明中，通过坐标计算线段长度、角度大小等；
在工程设计中，精确描述零件各点的位置关系。
建立平面直角坐标系的核心意义在于将平面内的几何图形与代数坐标建立对应关系，实现 “数形结合”。通过坐标系，我们可以把图形的性质转化为坐标的运算，用代数方法解决几何问题，也可以通过坐标绘制图形，直观呈现代数关系。
二、建立平面直角坐标系的基本步骤
建立平面直角坐标系通常遵循以下步骤，这些步骤可根据具体问题灵活调整：
（一）确定原点位置
原点是坐标系的基准点，通常选择图形的对称中心、顶点、端点或特殊点作为原点，以便简化坐标计算。例如：
研究矩形时，可选择一个顶点作为原点；
研究圆时，可选择圆心作为原点；
描述平面区域时，可选择区域内的中心点或左下角点作为原点。
（二）确定坐标轴方向
x 轴方向：通常选择水平向右为正方向，若图形有对称轴或特殊方向（如水平线、水平线），可沿该方向设定 x 轴；
y 轴方向：通常选择竖直向上为正方向，与 x 轴垂直，形成右手直角坐标系（右手法则：右手拇指指向 x 轴正方向，食指指向 y 轴正方向）。
（三）确定单位长度
单位长度是坐标量化的标准，需根据图形的实际大小和精度要求确定：
若图形尺寸较小（如几何图形示意图），可选择 1 个单位长度代表 1cm、1 格等；
若涉及实际距离（如地图），需明确单位长度对应的实际长度（如 1 单位长度代表 100 米）；
同一坐标系中单位长度需保持统一，确保坐标的准确性。
（四）标注坐标系要素
建立坐标系后，需标注 x 轴、y 轴的正方向，注明原点\(O\)，并根据需要标注单位长度，使坐标系清晰易懂。
三、建立坐标系的原则
为了使建立的坐标系更实用、计算更简便，需遵循以下原则：
（一）简化坐标计算
通过合理选择原点和坐标轴，使图形中尽可能多的点落在坐标轴上或坐标值为整数，减少计算复杂度。例如：
对于轴对称图形，可将对称轴作为坐标轴；
对于中心对称图形，可将对称中心作为原点。
（二）贴合实际情境
在实际问题中，坐标系的建立需符合情境习惯。例如：
地图中通常以正北方向为 y 轴正方向，正东方向为 x 轴正方向；
描述物体运动轨迹时，可将起点作为原点，运动方向作为坐标轴正方向。
（三）清晰呈现关系
坐标系应能清晰反映图形各部分的位置关系，避免因坐标轴倾斜、原点位置不当导致图形变形或关系模糊。
四、实例解析：几何图形中建立坐标系
（一）多边形中建立坐标系
例 1：在矩形\(ABCD\)中，\(AB = 4\)，\(BC = 3\)，建立平面直角坐标系，并写出各顶点的坐标。
解：
步骤 1：选择矩形的一个顶点作为原点，例如选择点\(A\)为原点\(O(0, 0)\)；
步骤 2：沿边\(AB\)所在直线为 x 轴，正方向向右；沿边\(AD\)所在直线为 y 轴，正方向向上；
步骤 3：确定单位长度，1 单位长度代表 1 个长度单位；
步骤 4：确定各顶点坐标：
点\(A\)在原点，坐标为\((0, 0)\)；
点\(B\)在 x 轴上，距离\(A\)为 4，坐标为\((4, 0)\)；
点\(D\)在 y 轴上，距离\(A\)为 3，坐标为\((0, 3)\)；
点\(C\)的横坐标与\(B\)相同，纵坐标与\(D\)相同，坐标为\((4, 3)\)。
（二）对称图形中建立坐标系
例 2：在等腰三角形\(ABC\)中，底边\(BC = 6\)，高\(AD = 4\)（\(D\)为\(BC\)中点），建立平面直角坐标系并写出各顶点坐标。
解：
步骤 1：选择底边\(BC\)的中点\(D\)作为原点\(O(0, 0)\)（利用对称性简化坐标）；
步骤 2：沿底边\(BC\)所在直线为 x 轴，正方向向右；沿高\(AD\)所在直线为 y 轴，正方向向上；
步骤 3：确定单位长度，1 单位长度代表 1；
步骤 4：确定各顶点坐标：
点\(D\)为原点，坐标为\((0, 0)\)；
点\(B\)在 x 轴负方向，距离\(D\)为 3，坐标为\((-3, 0)\)；
点\(C\)在 x 轴正方向，距离\(D\)为 3，坐标为\((3, 0)\)；
点\(A\)在 y 轴正方向，距离\(D\)为 4，坐标为\((0, 4)\)。
五、实例解析：实际情境中建立坐标系
（一）区域位置描述
例 3：某校园内有教学楼、图书馆和操场三个地点。教学楼在操场的正北方向 200 米处，图书馆在操场的正东方向 300 米处。以操场为原点建立平面直角坐标系，写出三个地点的坐标（1 单位长度代表 100 米）。
解：
步骤 1：确定原点为操场，坐标为\((0, 0)\)；
步骤 2：设定 x 轴正方向为正东，y 轴正方向为正北；
步骤 3：单位长度为 100 米，因此 200 米对应 2 个单位长度，300 米对应 3 个单位长度；
步骤 4：确定各点坐标：
操场：\((0, 0)\)；
教学楼在操场正北 200 米处，坐标为\((0, 2)\)；
图书馆在操场正东 300 米处，坐标为\((3, 0)\)。
（二）运动轨迹描述
例 4：一辆汽车从起点出发，先向东行驶 1 千米，再向北行驶 2 千米到达终点。以起点为原点，向东为 x 轴正方向，向北为 y 轴正方向建立坐标系（1 单位长度代表 1 千米），写出起点和终点的坐标。
解：
起点为原点，坐标为\((0, 0)\)；
向东行驶 1 千米后，横坐标为 1；再向北行驶 2 千米，纵坐标为 2，因此终点坐标为\((1, 2)\)。
六、坐标系建立的灵活性与优化
在实际应用中，同一图形或情境可以建立不同的坐标系，不同的建立方式会影响坐标的复杂程度。因此需要根据需求优化坐标系：
（一）比较不同坐标系的优劣
例如，对于边长为 2 的正方形，有两种建立方式：
以一个顶点为原点，两边为坐标轴：顶点坐标为\((0, 0)\)、\((2, 0)\)、\((2, 2)\)、\((0, 2)\)；
以中心为原点，平行于边的直线为坐标轴：顶点坐标为\((1, 1)\)、\((-1, 1)\)、\((-1, -1)\)、\((1, -1)\)。
第一种方式坐标更简单，第二种方式对称性更明显，需根据问题选择。
（二）根据问题需求调整
若需计算距离，原点靠近图形可使坐标值较小；
若需研究对称性，以对称中心或对称轴为坐标轴更便捷；
若涉及动态变化，以起点或平衡点为原点更合适。
七、常见误区
原点选择不当：选择图形外或非特殊点作为原点，导致坐标值复杂，增加计算难度。例如，研究三角形时，未选择顶点或中点作为原点，使顶点坐标出现分数。
坐标轴方向错误：违背常规方向（如 x 轴竖直、y 轴水平）且未明确标注，导致位置描述混乱。除非特殊需求，通常遵循 “x 轴水平向右，y 轴竖直向上” 的规则。
单位长度不统一或未标注：同一坐标系中单位长度不一致，或未说明单位长度代表的实际意义，导致坐标失去量化价值。例如，地图中未标注 1 单位长度代表的实际距离，无法根据坐标计算真实距离。
忽略对称性：对于对称图形，未利用对称性质建立坐标系，导致坐标计算繁琐。例如，等腰三角形未以底边中垂线为 y 轴，使两底角坐标不对称。
坐标标注错误：建立坐标系后，确定点坐标时出现方向或数值错误，例如将 x 轴正方向的点标为负坐标。
八、课堂总结
建立步骤：确定原点→设定坐标轴方向→选择单位长度→标注要素，核心是实现数形结合。
基本原则：简化计算、贴合情境、清晰呈现关系，优先选择特殊点（顶点、中点、对称中心）作为原点，利用对称轴作为坐标轴。
灵活性：同一问题可建立不同坐标系，需根据需求选择最优方式，通过比较优化坐标复杂度。
实际应用：在几何图形、区域位置、运动轨迹等场景中，需结合实际意义确定坐标系参数。
建立平面直角坐标系是连接几何与代数的桥梁，掌握这一技能不仅能解决位置描述问题，更为后续学习函数图像、几何变换等知识奠定基础。通过不断练习，应能根据具体问题快速建立合理的坐标系，实现问题的简化与解决。
九、课后作业
已知一个等边三角形边长为 6，以其中一边所在直线为 x 轴，这边的中点为原点建立坐标系，写出三个顶点的坐标。
某公园内，湖心亭在大门的北偏东 30° 方向 400 米处，游乐园在大门的正南方向 300 米处。以大门为原点，正东为 x 轴正方向，正北为 y 轴正方向建立坐标系（1 单位长度代表 100 米），写出湖心亭和游乐园的坐标。
矩形\(ABCD\)中，\(AB = 5\)，\(AD = 3\)，尝试用两种不同的方式建立坐标系，并比较两种方式下各顶点坐标的简洁性。
如图是某教室的座位分布，第 1 排第 1 列记为\((1, 1)\)。若以讲台为原点，沿排的方向为 x 轴，沿列的方向为 y 轴建立坐标系，调整单位长度后，写出第 3 排第 2 列和第 5 排第 4 列的坐标。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.2.3建立平面直角坐标系
第三章 位置与坐标
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过多角度的探索，灵活选取简便易懂的方法解决问题，拓宽学生的思维，提高学生解决问题的能力．
2．通过学习建立直角坐标系的多种方法，让学生在数学活动中探索与创造，激发学生的学习兴趣，感受数学在生活中的应用，增强学生的数学应用意识．
3．通过确定旅游景点的位置，让学生感受数学与实际生活的密切联系，提高学生学习数学的兴趣．
重点
难点
情境导入
如图，在一次军棋比赛中，如果团长所在的位置的坐标为（2，－5），司令所在的位置的坐标为（4，－2），那么工兵 所在的位置的坐标为________.
游戏导入
“工兵排地雷”游戏
根据给出的坐标，找到地雷的位置，如果你找对了，地雷就爆炸了，如果找不对，地雷就不会爆炸哦！
(-5，0)、(0，4)、(6，4)、
(6，-4)、(2，3)、(-2，3)、
(-3，-3)、(-5，6)、(2，-3)、
(4，-3)、(0，0).
图片导入
如图是北京地图插画图片，图中有故宫、中国国家
博物馆、北海公园、天坛、中央电视台等等位置.
问题：你能表示出这种位置关系吗？
问题：如果引入方格线，现在你能表示图中动物园、鸟巢的位置吗？
问题：如果在此基础上，以故宫为原点作两条互相垂直的数轴，分别取向右，向上为正方向，一个方格的边长看成一个单位长度，那么你能表示出清华大学、颐和园、环球影城的位置吗？
如图,长方形ABCD的长与宽分别是6和4，建立适当的直角坐标系,并写出各个顶点的坐标.
（1）你是如何建立的直角坐标系
（2）各顶点坐标如何求得
B
C
D
A
知识点
建立适当的平面直角坐标系
例1
思考
4
6
x
y
B
C
D
A
o
6
4
（0，4）
（6，0）
（0，0）
（6，4）
（1）确定坐标原点；
（2）确定x轴和y轴，建立直角坐标系；
（3）根据条件中线段长度表示各顶点的坐标.
探究新知
交流探究
B
C
D
A
解:如图,以点C为坐标
原点, 分别以CD , CB所
在的直线为x 轴,y 轴建
立直角坐标系. 此时C点
坐标为( 0 , 0 ).
x
y
0
(0 , 0 )
( 0 , 4 )
( 6 , 4 )
( 6 , 0)
由CD长为6, CB长为4, 可得D , B , A的坐标分别为D( 6 , 0 ), B( 0 , 4 ),
A( 6 , 4 ) .
探究新知
4
6
还可以建立其他平面直角坐标系，表示长方形的四个顶点A,B,C,D的坐标吗？
4
6
y
（C）
D
A
B
O
探究新知
思考探究
x
y
o
6
4
（0，0）
（6，-4）
（ 0，-4 ）
（6，0）
B
C
D
A
探究新知
成果交流
B
C
D
A
x
y
o
6
4
（-6，4）
（0，0）
（-6，0）
（0，4）
探究新知
成果交流
x
y
o
B
C
D
A
6
4
（0，0）
（-6，0）
（ 0，-4 ）
（-6，-4）
探究新知
成果交流
B
C
D
A
x
y
（-3，2）
（3，-2）
（-3，-2）
（3，2）
O
探究新知
成果交流
BCDAxy（-3，4）（3，0）（-3，0）（3，4）o探究新知成果交流
0
y
x
0
y
x
0
x
y
0
y
x
y
0
x
(5)
y
0
x
(6)
1.选原点;
2.画x，y坐标轴;
3.建立平面直角坐标系.
根据图形的特点，
建立简单直角坐标系.
建立直角坐标系的步骤：
探究新知
成果交流汇展
(1)
(2)
(3)
(4)
思考 由前面得知，建立的平面直角坐标系不同，则各点的坐标也不同．你认为怎样建立直角坐标系才比较适当？
小结：建立平面直角坐标系，一般要使图形上的点的坐标容易确定，例如以长方形的两条边所在的直线为坐标轴，建立平面直角坐标系,又如以长方形的中心为原点建立平面直角坐标系．需要说明的是，虽然建立不同的平面直角坐标系，同一个点会有不同的坐标，但图形的形状和性质不会改变．
探究新知
正方形ABCD的边长为4，请建立一个平面直角坐标系，并写出正方形的四个顶点A,B,C,D在这个平面直角坐标系中的坐标.
A
B
C
D
巩固练习
4
4
y
x
（A）
B
C
D
解：如图，以顶点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
此时，正方形四个顶点A,B,C,D的坐标分别为：
A(0，0), B(4，0),
C(4，4), D(0，4).
O
巩固练习
A
B
C
D
A(0，-4), B(4，-4),C(4，0), D(0，0).
y
x
O
讨论 还可以建立其他平面直角坐标系，表示正方形的四个顶点A,B,C,D的坐标吗？
A(-4，0), B(0，0),C(0，4), D(-4，4).
A(-4，-4), B(0，-4),C(0，0), D(-4，0).
A(-2，-2), B(2，-2),C(2，2), D(-2，2)...等
巩固练习
0
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
3
1
2
-2
-1
-3
4
-4
x
y
A
B
C
D
巩固练习
0
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
3
1
2
-2
-1
-3
4
-4
x
y
A
B
C
D
巩固练习
0
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
3
1
2
-2
-1
-3
4
-4
x
y
A
B
C
D
巩固练习
0
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
3
1
2
-2
-1
-3
4
-4
x
y
A
B
C
D
巩固练习
巩固练习
归纳总结
（1）选取的坐标系不同，同一点的坐标不同；
（2）为使计算简化，证明方便，需要恰当地
选取坐标系；
（3）“恰当”意味着要充分利用图形的特点：
垂直关系、对称关系、平行关系、中点等.
解: 如图,以边AB所在的直线为x轴,以边AB的中垂线为y轴建立直角坐标系.
由正三角形的性质可知
A O= ,正三角形ABC各个
顶点A , B , C的坐标分别为
A (0, );B ( -2 , 0 );C ( 2 , 0).
探究新知
例2
如图，对于边长为 4的正三角形ABC, 建立适当的直角坐标系 ,并写出各个顶点的坐标 .
A
B
C
x
y
．
2
2
4
O
想一想，还有其他方法吗？
C
A
B
x
y
D
2
2
4
A （2， ）
C（4 ， 0）
B（ 0， 0 ）
探究新知
如图，对于边长为 4的正三角形ABC, 建立适当的直角坐标系 ,并写出各个顶点的坐标 .
不同解法展示
C
A
B
y
D
如图，对于边长为 4的正三角形ABC, 建立适当的直角坐标系 ,并写出各个顶点的坐标 .
2
2
4
A （-2， ）
C（0 ， 0）
B（ -4， 0 ）
探究新知
不同解法展示
A
B
C
x
y
o
2
2
4
D
E
A （0， ）
C（2 ， ）
B（ -2， ）
探究新知
不同解法展示
如图，对于边长为 4的正三角形ABC, 建立适当的直角坐标系 ,并写出各个顶点的坐标 .
知识点1 建立适当的坐标系求点的坐标
1.如图，正方形的边长为4，建立平面直角坐标系后，表示点 的
坐标正确的是( )
A
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2.［教材例4变式］ 如图，在中， ,
，边上的高 ，则以点___为坐标原点，
以____所在的直线为轴，以____所在的直线为 轴建
立的平面直角坐标系较简明，此时，， 三个点的
坐标依次是______，________，______。
返回
3.如图,在梯形中,,上底 ,下底
,高 ,建立适当的平面直角坐标系,并写
出四个顶点的坐标。
解：如图,以为原点，,所在的直线分别为
轴、轴建立平面直角坐标系，则, ,
, 。（答案不唯一）
返回
知识点2 由已知点的坐标求其他点的坐标
4.如图，象棋盘上的“将”位于点，“象”位于点 ，则“炮”位
于点( )
C
（第4题）
A. B. C. D.
返回
（第5题）
5.如图，长方形的边在轴上，为 的中
点。已知，交轴于点，则点 的
坐标为( )
D
A. B. C. D.
返回
（第6题）
6.在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若
点的坐标为，点的坐标为，则点 的坐标为
______。
返回
7. ［教材习题 变式］ 如
图是游乐场中过山车轨道从高处俯拍的示意图，
在点 点 （均在格点上）处分别设置有速
度监测器，若监测器的位置表示为 ，监
测器的位置表示为 ，请你建立平面直角
坐标系并写出其他五个监测器的位置。
解：建立平面直角坐标系如图。其他五个监测器的位置为 ,
,,, 。
返回
建立适当的平面直角坐标系表示位置：
(1)建立坐标系,选择一个适当的点为原点、确定x轴、 y轴的正方向；
(2)根据具体问题确定适当的比例尺,在坐标轴上标出单位长度；
(3)在坐标平面内画出这些点、写出各点的坐标和各个地点的名称.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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