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3.3 轴对称与坐标变化
在平面直角坐标系中，图形的变换可以通过坐标的变化来描述。轴对称作为一种常见的图形变换，其与坐标变化之间存在着密切的联系。本节将重点探究图形关于坐标轴对称、关于原点对称以及关于象限角平分线对称时，对应点的坐标变化规律，通过坐标变化理解轴对称的本质，实现几何变换与代数运算的结合。
一、关于坐标轴对称的点的坐标变化
坐标轴是平面直角坐标系中最基本的对称轴，图形关于 x 轴或 y 轴对称时，对应点的坐标会呈现出明确的变化规律。
（一）关于 x 轴对称
规律：点\(P(x, y)\)关于 x 轴对称的点\(P_1\)的坐标为\((x, -y)\)。
即横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数。
几何解释：关于 x 轴对称的两个点，它们在 x 轴上的投影相同（横坐标相同），到 x 轴的距离相等且分别在 x 轴两侧（纵坐标互为相反数）。例如：
点\((2, 3)\)关于 x 轴对称的点为\((2, -3)\)；
点\((-1, -4)\)关于 x 轴对称的点为\((-1, 4)\)；
点\((5, 0)\)在 x 轴上，关于 x 轴对称的点仍是自身\((5, 0)\)。
（二）关于 y 轴对称
规律：点\(P(x, y)\)关于 y 轴对称的点\(P_2\)的坐标为\((-x, y)\)。
即纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数。
几何解释：关于 y 轴对称的两个点，它们在 y 轴上的投影相同（纵坐标相同），到 y 轴的距离相等且分别在 y 轴两侧（横坐标互为相反数）。例如：
点\((3, 5)\)关于 y 轴对称的点为\((-3, 5)\)；
点\((-2, -6)\)关于 y 轴对称的点为\((2, -6)\)；
点\((0, 4)\)在 y 轴上，关于 y 轴对称的点仍是自身\((0, 4)\)。
（三）例题解析
例 1：已知\(\triangle ABC\)的三个顶点坐标分别为\(A(1, 2)\)、\(B(3, 4)\)、\(C(5, 1)\)，分别求出\(\triangle ABC\)关于 x 轴和 y 轴对称的\(\triangle A_1B_1C_1\)和\(\triangle A_2B_2C_2\)的顶点坐标。
解：
关于 x 轴对称（横坐标不变，纵坐标取相反数）：
\(A_1(1, -2)\)；
\(B_1(3, -4)\)；
\(C_1(5, -1)\)。
关于 y 轴对称（纵坐标不变，横坐标取相反数）：
\(A_2(-1, 2)\)；
\(B_2(-3, 4)\)；
\(C_2(-5, 1)\)。
例 2：已知点\(M(a + 2, b - 3)\)关于 x 轴对称的点为\(M_1(4, -5)\)，求\(a\)和\(b\)的值。
解：
根据关于 x 轴对称的坐标规律，横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得：\(
\begin{cases}
a + 2 = 4 \\
-(b - 3) = -5
\end{cases}
\)
解得：\(a = 2\)，\(b = 8\)。
二、关于原点对称的点的坐标变化
原点是坐标系的中心，图形关于原点对称时，对应点的坐标变化规律如下：
（一）坐标变化规律
规律：点\(P(x, y)\)关于原点对称的点\(P_3\)的坐标为\((-x, -y)\)。
即横坐标和纵坐标都变为原来的相反数。
几何解释：关于原点对称的两个点，它们分别在原点的两侧，与原点的距离相等，且三点（原点和两个对称点）共线。例如：
点\((2, 3)\)关于原点对称的点为\((-2, -3)\)；
点\((-1, 4)\)关于原点对称的点为\((1, -4)\)；
原点\((0, 0)\)关于原点对称的点仍是自身。
（二）与轴对称的区别
关于原点对称是中心对称的一种特殊情况，与关于坐标轴对称的本质区别在于：
轴对称是 “翻转” 变换，对称点连线被对称轴垂直平分；
中心对称是 “旋转” 变换，对称点连线经过对称中心（原点）且被中心平分。
（三）例题解析
例 3：已知四边形\(ABCD\)的顶点坐标为\(A(2, 1)\)、\(B(-1, 3)\)、\(C(-3, -2)\)、\(D(4, -4)\)，求四边形\(ABCD\)关于原点对称的四边形\(A_3B_3C_3D_3\)的顶点坐标。
解：
根据关于原点对称的坐标规律，横、纵坐标均取相反数：
\(A_3(-2, -1)\)；
\(B_3(1, -3)\)；
\(C_3(3, 2)\)；
\(D_3(-4, 4)\)。
例 4：若点\(P(m, n)\)关于原点对称的点在第一象限，判断点\(P\)所在的象限。
解：
点\(P(m, n)\)关于原点对称的点为\((-m, -n)\)，该点在第一象限，因此：\(
\begin{cases}
-m > 0 \Rightarrow m < 0 \\
-n > 0 \Rightarrow n < 0
\end{cases}
\)
即点\(P(m, n)\)的横坐标和纵坐标均为负数，因此点\(P\)在第三象限。
三、关于象限角平分线对称的点的坐标变化
象限角平分线（第一、三象限角平分线\(y = x\)和第二、四象限角平分线\(y = -x\)）也是常见的对称轴，对应点的坐标变化具有特殊规律。
（一）关于直线\(y = x\)对称
规律：点\(P(x, y)\)关于直线\(y = x\)对称的点\(P_4\)的坐标为\((y, x)\)。
即横坐标与纵坐标互换位置。
几何解释：直线\(y = x\)是第一、三象限的角平分线，关于该直线对称的两个点，其横、纵坐标恰好交换。例如：
点\((3, 5)\)关于直线\(y = x\)对称的点为\((5, 3)\)；
点\((-2, 4)\)关于直线\(y = x\)对称的点为\((4, -2)\)；
点\((2, 2)\)在直线\(y = x\)上，对称点仍是自身。
（二）关于直线\(y = -x\)对称
规律：点\(P(x, y)\)关于直线\(y = -x\)对称的点\(P_5\)的坐标为\((-y, -x)\)。
即横坐标变为原纵坐标的相反数，纵坐标变为原横坐标的相反数。
几何解释：直线\(y = -x\)是第二、四象限的角平分线，关于该直线对称的两个点，横、纵坐标不仅交换，还分别取相反数。例如：
点\((2, 3)\)关于直线\(y = -x\)对称的点为\((-3, -2)\)；
点\((-1, -4)\)关于直线\(y = -x\)对称的点为\((4, 1)\)；
点\((2, -2)\)在直线\(y = -x\)上，对称点仍是自身。
（三）例题解析
例 5：求点\(A(1, 2)\)关于直线\(y = x\)对称的点\(A_4\)，以及点\(B(-3, 4)\)关于直线\(y = -x\)对称的点\(B_5\)的坐标。
解：
点\(A(1, 2)\)关于直线\(y = x\)对称，横、纵坐标互换，因此\(A_4(2, 1)\)。
点\(B(-3, 4)\)关于直线\(y = -x\)对称，横坐标为原纵坐标的相反数\(-4\)，纵坐标为原横坐标的相反数\(3\)，因此\(B_5(-4, 3)\)。
四、利用坐标变化绘制轴对称图形
在平面直角坐标系中，绘制一个图形的轴对称图形时，可按照以下步骤进行：
确定原图形各顶点的坐标；
根据对称轴的类型，按照对应的坐标变化规律求出各顶点的对称点坐标；
在坐标系中描出所有对称点的位置；
依次连接各对称点，得到原图形的轴对称图形。
（一）例题解析
例 6：已知\(\triangle ABC\)的顶点坐标为\(A(2, 3)\)、\(B(4, 1)\)、\(C(1, 2)\)，在坐标系中画出\(\triangle ABC\)关于 x 轴对称的\(\triangle A_1B_1C_1\)。
解：
步骤 1：确定原顶点坐标：\(A(2, 3)\)、\(B(4, 1)\)、\(C(1, 2)\)；
步骤 2：求关于 x 轴对称的顶点坐标（横坐标不变，纵坐标取相反数）：
\(A_1(2, -3)\)；
\(B_1(4, -1)\)；
\(C_1(1, -2)\)；
步骤 3：在坐标系中描出\(A_1\)、\(B_1\)、\(C_1\)；
步骤 4：连接\(A_1B_1\)、\(B_1C_1\)、\(C_1A_1\)，得到\(\triangle A_1B_1C_1\)。
五、坐标变化在轴对称中的应用
（一）判断图形的对称性
通过分析图形顶点坐标的特征，可以判断图形是否关于坐标轴对称或关于原点对称：
若图形所有顶点关于 x 轴对称的点仍在图形上（即对于任意顶点\((x, y)\)，\((x, -y)\)也是顶点），则图形关于 x 轴对称；
同理可判断图形是否关于 y 轴或原点对称。
例 7：已知四边形顶点坐标为\(A(1, 2)\)、\(B(2, 1)\)、\(C(1, -2)\)、\(D(2, -1)\)，判断该四边形是否关于 x 轴对称。
解：
检查各顶点关于 x 轴对称的点是否在四边形中：
\(A(1, 2)\)关于 x 轴对称的点为\((1, -2)\)，即点\(C\)；
\(B(2, 1)\)关于 x 轴对称的点为\((2, -1)\)，即点\(D\)；
\(C(1, -2)\)关于 x 轴对称的点为\((1, 2)\)，即点\(A\)；
\(D(2, -1)\)关于 x 轴对称的点为\((2, 1)\)，即点\(B\)。
因此，该四边形关于 x 轴对称。
（二）解决实际问题
例 8：在某公园地图上，景点\(A\)的坐标为\((3, 4)\)，景点\(B\)在景点\(A\)关于 y 轴对称的位置，景点\(C\)在景点\(A\)关于 x 轴对称的位置。求景点\(B\)和\(C\)的坐标，并计算\(B\)、\(C\)两点之间的距离。
解：
景点\(B\)是\(A(3, 4)\)关于 y 轴对称的点，坐标为\((-3, 4)\)；
景点\(C\)是\(A(3, 4)\)关于 x 轴对称的点，坐标为\((3, -4)\)；
计算\(B(-3, 4)\)和\(C(3, -4)\)之间的距离：\(
BC = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (-4 - 4)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10
\)
答：景点\(B\)的坐标为\((-3, 4)\)，景点\(C\)的坐标为\((3, -4)\)，\(B\)、\(C\)两点之间的距离为 10。
六、常见误区
对称规律记忆混淆：将关于 x 轴和 y 轴对称的坐标变化规律记反，例如误将关于 x 轴对称的点记为\((-x, y)\)，而正确应为\((x, -y)\)。
忽略特殊点的对称性：认为坐标轴上的点关于坐标轴对称后会变化，实际上 x 轴上的点关于 x 轴对称仍是自身，y 轴上的点关于 y 轴对称仍是自身。
象限角平分线对称规律错误：混淆关于\(y = x\)和\(y = -x\)对称的坐标变化，例如将点\((x, y)\)关于\(y = -x\)对称的点误记为\((-x, -y)\)，而正确应为\((-y, -x)\)。
绘制图形时漏点或错连：根据对称点坐标绘制图形时，遗漏部分顶点的对称点或连接顺序错误，导致图形失真。
距离计算错误：计算对称点之间的距离时，忘记使用勾股定理，直接用坐标差相加，例如误将\((2, 3)\)与\((2, -3)\)的距离算为\(3 + 3 = 6\)（正确结果应为 6，此处巧合正确，但逻辑错误），而对于非坐标轴对称的点则会出错。
七、课堂总结
关于坐标轴对称：
x 轴：\((x, y) \rightarrow (x, -y)\)（横坐标不变，纵坐标相反）；
y 轴：\((x, y) \rightarrow (-x, y)\)（纵坐标不变，横坐标相反）。
关于原点对称：\((x, y) \rightarrow (-x, -y)\)（横、纵坐标均相反）。
关于象限角平分线对称：
\(y = x\)：\((x, y) \rightarrow (y, x)\)（横、纵坐标互换）；
\(y = -x\)：\((x, y) \rightarrow (-y, -x)\)（横纵互换且取反）。
应用方法：通过坐标变化规律求对称点，绘制轴对称图形，判断图形对称性，解决距离计算等实际问题。
轴对称与坐标变化的关系是数形结合思想的典型体现，通过本节学习，我们不仅掌握了坐标变化的规律，更理解了如何用代数方法研究几何变换。这一技能在后续学习函数图像的对称性、几何证明等内容中具有重要作用。
八、课后作业
已知点\(A(-2, 5)\)，分别求出它关于 x 轴、y 轴和原点对称的点的坐标。
已知\(\triangle DEF\)的顶点坐标为\(D(1, 2)\)、\(E(3, 5)\)、\(F(5, 3)\)，画出\(\triangle DEF\)关于 y 轴对称的\(\triangle D'E'F'\)，并写出各顶点坐标。
点\(M(a, b)\)关于直线\(y = x\)对称的点在第二象限，求\(a\)和\(b\)的取值范围。
在平面直角坐标系中，已知点\(P(3, -4)\)，求：
（1）点\(P\)关于 x 轴对称的点与关于 y 轴对称的点之间的距离；
（
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.3轴对称与坐标变化
第三章 位置与坐标
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过在同一直角坐标系中，感受图形上点的坐标变化与图形的轴对称变换之间的关系，发展应用意识．
2．通过经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识．
3．通过探究图形的形状、大小、位置关系和变换的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，培养学生的探索能力．
重点
难点
旧识回顾
1．什么叫轴对称图形？
2．如何在平面直角坐标系中确定点P的位置？
如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形
从原点起沿着水平方向测量相应的距离为P的横坐标x；从原点起沿着垂直方向测量相应的距离为P的纵坐标y；将点P的横坐标x和纵坐标y组合起来，得到点P的坐标
△ABC与△A1B1C1关于x轴对称.
（1）△ABC与△A1B1C1有怎样的位置关系？
1. △ABC与△A1B1C1在如图所示的直角坐标系中，仔细观察，完成下列各题：
探究
知识点 1
轴对称与坐标变化
对应点的纵坐标互为相反数
对应点的横坐标相同
（2）请在下表中填入点A与A1、点B与B1、点C与C1
的坐标，并思考：这些对应点的坐标之间有什么关系？
C1：
B1：
A1：
C：
B：
A：
（3）如果点P（m，n）在△ABC内，那么它在△A1B1C1内的对应点P1的坐标是 .
关于x轴对称的两个点的坐标，
横坐标相同，纵坐标互为相反数；
探究新知
(m,-n)
2.如右图所示的平面直角坐标系中，第一、二象限内各有一面小旗.
(1)两面小旗之间有怎样的位置关系？
关于y轴成轴对称.
(2，6)
(-2，6)
探究新知
对应点的纵坐标相等
对应点的横坐标互为相反数
（2）请在下表中填入点A与A1、点B与B1、点C与C1、点D与D1的坐标，并思考：这些对应点的坐标之间有什么关系？
D1：
C1：
B1：
A1：
D：
C：
B：
A：
（3）如果点P（m，n）在△ABC内，那么它在△A1B1C1内的对应点P1的坐标是 .
关于y轴对称的两个点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同.
探究新知
(-m,n)
3.通过以上学习，你知道关于x轴对称的两个点的坐标之间的关系吗？关于y轴对称的两个点的坐标之间的关系呢？
关于x轴对称的点，
横坐标相同；
关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
关于y轴对称的两个点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同.
关于y轴对称的点，
纵坐标相同.
探究新知
探究新知
素养考点 1
根据坐标轴变化的规律确定点的坐标
例 若点A(1＋m，1－n)与点B(－3，2)关于y轴对称，则m＋n的值是(　　)
A．－5 B．－3 C．3 D．1
解析：因为点A(1＋m，1－n)与点B(－3，2)关于y轴对称，所以1＋m＝3，1－n＝2，解得m＝2，n＝－1.所以m＋n＝2－1＝1.
D
1.平面直角坐标系中，点P（ 5 ，7）关于x轴对称的点的坐标为 .
2.已知点A（a，2）与点A1（8，b）关于y轴对称，则a= ，b= .
(5,-7)
巩固练习
-8
1
刚刚我们学习了两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系
那坐标变化会不会引起图形变化？会引起怎样的变化呢？
拓展思考
变式训练
在平面直角坐标系中依次连接下列各点：(0,0)， (5,4) ，(3,0)， (5,1) ，(5,-1)， (3,0)， (4,-2) ，(0,0)，你得到了一个怎样的图案？
x
–1
y
5
4
探究新知
知识点 2
坐标变化与图形变化
3
2
1
1
2
3
4
5
5
坐标变化为：
(x,y) (0,0) (5,4) (3,0) (5,1) (5,-1) (3,0) (4,-2) (0,0)
(-x,y)
将各坐标的纵坐标保持不变，横坐标都乘以-1 ，则图形怎么变化？
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
0
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
-4
-5
5
y
x
纵坐标保持不变，横坐标都乘以-1，两个图形关于y轴对称
探究新知
（0,0）
（-5,4）
（-3,0）
（-5,1）
（-5,-1）
（-3,0）
（-4,-2）
（0,0）
将各坐标的纵坐标都乘以-1，横坐标保持不变，则图形怎么变化？
(x,y) (0,0) (5,4) (3,0) (5,1) (5,-1) (3,0) (4,-2) (0,0)
(x,-y)
1
2
3
4
5
6
7
8
0
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
y
x
横坐标保持不变，纵坐标都乘以-1，
两个图形关于x轴对称
探究新知
（0,0）
（5,-4）
（3,0）
（5,-1）
（5,1）
（3,0）
（4,2）
（0,0）
–5
将各坐标的纵坐标与横坐标都乘以-1，图形会变成什么样？
y
x
2
3
4
5
1
0
–1
–2
–3
–4
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5
坐标变
化为：
与原图形关于原点中心对称
探究新知
(x,y) (0,0) (5,4) (3,0) (5,1) (5,-1) (3,0) (4,-2) (0,0)
(x,-y)
（0,0）
（-5,-4）
（-3,0）
（-5,-1）
（-5,1）
（-3,0）
（-4,2）
（0,0）
1.关于y轴对称的两个图形上点的坐标特征：
(x , y)
(-x , y)
2.关于x轴对称的两个图形上点的坐标特征：
3.关于原点轴对称的两个图形上点的坐标特征：
探究新知
(x , y)
( x , -y)
(x , y)
(-x , -y)
横坐标变为相反数，纵坐标不变.
横坐标不变，纵坐标变为相反数.
横坐标、纵坐标都变为相反数.
1.在平面直角坐标系中，点P(－4，6) 关于x轴对称的点的坐标为(　　 )
A．(－4，－6) B．(4，－6)
C．(－6，－4) D．(6，－4)
A
巩固练习
2.点（8，3）与点（8，-3）的关系是（ ）
A.关于原点对称 B.关于 x轴对称
C.关于 y轴对称 D.不能构成对称关系
B
1. 点A（4，﹣2）关于x轴的对称点的坐标为（　　）
A．（ 4，2 ） B．（﹣4，2）
C．（﹣4，﹣2） D．（﹣2，4）
2. 点（﹣1，2）关于原点的对称点坐标是（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2）
C．（1，2） D．（2，﹣1）
A
B
连接中考
知识点1 关于 轴对称的点的坐标变化
1.若点与点关于轴对称，则点 的坐标为( )
B
A. B. C. D.
返回
2.在平面直角坐标系中，点关于 轴的对称点在( )
A
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
返回
3.［2025西安曲江一中月考］已知点和点关于 轴对称，
则 的值为____。
返回
知识点2 关于 轴对称的点的坐标变化
4. ［2024通辽中考］ 剪纸是我国民
间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与
平面直角坐标系的坐标轴重合。则点 关于
轴对称的点的坐标为( )
C
A. B. C. D.
返回
5.［2025西安期末］已知在平面直角坐标系中，点与点
关于 轴对称，则( )
C
A.， B.，
C.， D.，
返回
6.若点与点关于轴对称，则 的值为
____。
返回
知识点3 坐标系中的轴对称作图
7.把各点的横坐标都乘 ，纵坐标不变，符合上述要求的图是
( )
B
A. B. C. D.
返回
点的坐标变化
图形的
变化
关于y轴对称
关于原点对称
关于x轴对称
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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