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4.1 函数
在现实生活中，我们经常会遇到各种变量之间的依赖关系。例如，汽车行驶的路程随时间的变化而变化，气温随时间的变化而变化，购买商品的总价随数量的变化而变化等。函数就是描述这种变量之间对应关系的数学工具，是初中数学的重要内容，也是进一步学习数学和其他学科的基础。本节将学习函数的概念、函数的表示方法以及函数的应用。
一、变量与常量
在研究问题的过程中，我们会遇到各种量，这些量可以分为变量和常量。
（一）变量
在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量。例如：
汽车行驶过程中，时间和路程都是变量，因为随着行驶时间的增加，路程也在不断变化；
购买商品时，商品的数量和总价都是变量，因为购买的数量不同，总价也会不同。
（二）常量
在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量。例如：
汽车以 60 千米 / 小时的速度匀速行驶，速度是常量，因为在行驶过程中速度保持不变；
购买单价为 5 元的笔记本，单价是常量，因为笔记本的单价不会随着购买数量的变化而变化。
（三）例题解析
例 1：指出下列变化过程中的变量和常量：
（1）圆的面积\(S\)随半径\(r\)的变化而变化；
（2）一个盛满水的水箱，以每分钟 2 升的速度往外放水，水箱中的水量\(V\)随放水时间\(t\)的变化而变化。
解：
（1）在圆的面积变化过程中，半径\(r\)和面积\(S\)的数值都在变化，因此变量是\(r\)和\(S\)；圆周率\(\pi\)的数值始终不变，因此常量是\(\pi\)。
（2）在水箱放水的过程中，放水时间\(t\)和水箱中的水量\(V\)的数值都在变化，因此变量是\(t\)和\(V\)；放水速度 2 升 / 分钟的数值始终不变，因此常量是 2。
二、函数的概念
（一）函数的定义
在一个变化过程中，如果有两个变量\(x\)与\(y\)，并且对于\(x\)的每一个确定的值，\(y\)都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说\(x\)是自变量，\(y\)是\(x\)的函数。
例如：
在汽车行驶过程中，路程\(s\)与时间\(t\)是两个变量，对于时间\(t\)的每一个确定的值，路程\(s\)都有唯一确定的值与其对应，因此路程\(s\)是时间\(t\)的函数，时间\(t\)是自变量；
在购买商品过程中，总价\(y\)与数量\(x\)是两个变量，对于数量\(x\)的每一个确定的值，总价\(y\)都有唯一确定的值与其对应，因此总价\(y\)是数量\(x\)的函数，数量\(x\)是自变量。
（二）对函数概念的理解
函数涉及两个变量，即自变量和函数，其中自变量是主动变化的量，函数是随着自变量的变化而变化的量。
对于自变量的每一个确定的值，函数都有且只有一个值与其对应，这是函数概念的核心。也就是说，一个自变量的值不能对应多个函数值。
函数与自变量之间存在着一种对应关系，这种对应关系可以是解析式、表格、图像等形式。
（三）例题解析
例 2：判断下列变量之间的关系是否是函数关系：
（1）正方形的面积\(S\)与边长\(a\)；
（2）人的身高\(h\)与年龄\(t\)；
（3）汽车行驶的路程\(s\)与速度\(v\)（时间固定）。
解：
（1）对于正方形边长\(a\)的每一个确定的值，正方形的面积\(S\)都有唯一确定的值（\(S = a^2\)）与其对应，因此正方形的面积\(S\)是边长\(a\)的函数，它们之间是函数关系。
（2）对于年龄\(t\)的每一个确定的值，人的身高\(h\)不一定有唯一确定的值与其对应，因为不同的人在相同的年龄可能有不同的身高，因此人的身高\(h\)与年龄\(t\)之间不是函数关系。
（3）当时间固定时，对于速度\(v\)的每一个确定的值，汽车行驶的路程\(s\)都有唯一确定的值（\(s = vt\)，其中\(t\)是固定的时间）与其对应，因此汽车行驶的路程\(s\)是速度\(v\)的函数，它们之间是函数关系。
三、函数的表示方法
函数的表示方法主要有三种：解析式法、列表法和图像法。
（一）解析式法
用数学式子表示函数与自变量之间的关系，这种表示方法称为解析式法。例如：
正方形的面积\(S\)与边长\(a\)的函数关系可以表示为\(S = a^2\)；
匀速直线运动中，路程\(s\)与时间\(t\)的函数关系可以表示为\(s = vt\)（其中\(v\)是速度，为常量）；
圆的周长\(C\)与半径\(r\)的函数关系可以表示为\(C = 2\pi r\)。
解析式法的优点是简洁明了，便于进行数学运算和分析；缺点是不够直观，对于一些复杂的函数关系，很难用解析式表示。
（二）列表法
列出表格来表示函数与自变量之间的对应关系，这种表示方法称为列表法。例如：
某商店销售某种商品的数量与总价的关系如下表所示：
数量\(x\)（件）
1
2
3
4
5
总价\(y\)（元）
5
10
15
20
25
某城市一周的最高气温与星期的关系如下表所示：
星期
一
二
三
四
五
六
日
最高气温\(T\)（℃）
20
22
23
21
19
18
20
列表法的优点是直观明了，可以直接看出自变量与函数的对应值；缺点是只能列出部分自变量与函数的对应值，不能反映函数的整体变化趋势。
（三）图像法
用图像表示函数与自变量之间的关系，这种表示方法称为图像法。例如：
用平面直角坐标系中的一条曲线表示某物体运动的路程与时间的关系；
用平面直角坐标系中的一条直线表示某商店销售某种商品的总价与数量的关系。
图像法的优点是形象直观，能够清晰地反映函数的变化趋势；缺点是不够精确，不能直接得到函数的具体数值。
（四）例题解析
例 3：某汽车在公路上匀速行驶，速度为 60 千米 / 小时，行驶的时间为\(t\)小时，行驶的路程为\(s\)千米。
（1）用解析式法表示\(s\)与\(t\)之间的函数关系；
（2）用列表法表示当\(t = 1, 2, 3, 4, 5\)时\(s\)与\(t\)之间的对应关系；
（3）说明这个函数的自变量和函数。
解：
（1）因为汽车匀速行驶，速度为 60 千米 / 小时，根据路程 = 速度 × 时间，可得\(s\)与\(t\)之间的函数关系为\(s = 60t\)（\(t \geq 0\)）。
（2）当\(t = 1\)时，\(s = 60 1 = 60\)；当\(t = 2\)时，\(s = 60 2 = 120\)；当\(t = 3\)时，\(s = 60 3 = 180\)；当\(t = 4\)时，\(s = 60 4 = 240\)；当\(t = 5\)时，\(s = 60 5 = 300\)。列表如下：
\(t\)（小时）
1
2
3
4
5
\(s\)（千米）
60
120
180
240
300
（3）在这个函数中，自变量是时间\(t\)，函数是路程\(s\)。
四、函数的自变量取值范围
在函数关系中，自变量的取值不能任意确定，必须使函数有意义，这样的自变量取值的全体称为自变量的取值范围。
（一）确定自变量取值范围的方法
当函数关系是用解析式表示时，自变量的取值范围应使解析式有意义：
对于整式函数（如一次函数、二次函数等），自变量的取值范围是全体实数；
对于分式函数，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；
对于二次根式函数，自变量的取值范围是使被开方数是非负数的实数；
对于实际问题中的函数，自变量的取值范围还应使实际问题有意义。
当函数关系是用列表法表示时，自变量的取值范围是表格中自变量的所有取值；
当函数关系是用图像法表示时，自变量的取值范围是图像上所有点的横坐标的取值范围。
（二）例题解析
例 4：求下列函数中自变量\(x\)的取值范围：
（1）\(y = 2x + 1\)；
（2）\(y = \frac{1}{x - 2}\)；
（3）\(y = \sqrt{x + 3}\)；
（4）某学校要购买一批篮球，每个篮球的价格为 80 元，购买篮球的总费用\(y\)（元）与购买篮球的数量\(x\)（个）之间的函数关系为\(y = 80x\)。
解：
（1）函数\(y = 2x + 1\)是整式函数，自变量\(x\)的取值范围是全体实数。
（2）函数\(y = \frac{1}{x - 2}\)是分式函数，分母不能为零，即\(x - 2 \neq 0\)，解得\(x \neq 2\)，因此自变量\(x\)的取值范围是\(x \neq 2\)的实数。
（3）函数\(y = \sqrt{x + 3}\)是二次根式函数，被开方数必须是非负数，即\(x + 3 \geq 0\)，解得\(x \geq -3\)，因此自变量\(x\)的取值范围是\(x \geq -3\)的实数。
（4）在实际问题中，购买篮球的数量\(x\)必须是正整数，因此自变量\(x\)的取值范围是正整数。
五、函数值
对于函数\(y = f(x)\)，当自变量\(x\)取某一个确定的值\(x_0\)时，函数\(y\)的对应值称为当\(x = x_0\)时的函数值，记作\(f(x_0)\)或\(y|_{x = x_0}\)。
例如，对于函数\(y = 2x + 3\)，当\(x = 1\)时，函数值为\(y = 2 1 + 3 = 5\)，记作\(f(1) = 5\)或\(y|_{x = 1} = 5\)；当\(x = -2\)时，函数值为\(y = 2 (-2) + 3 = -1\)，记作\(f(-2) = -1\)或\(y|_{x = -2} = -1\)。
（一）求函数值的方法
求函数值的方法很简单，只需将自变量的取值代入函数解析式中，计算出对应的函数值即可。
（二）例题解析
例 5：已知函数\(f(x) = 3x^2 - 2x + 1\)，求：
（1）\(f(1)\)；
（2）\(f(-2)\)；
（3）\(f(a)\)（其中\(a\)为常数）。
解：
（1）将\(x = 1\)代入函数解析式中，可得\(f(1) = 3 1^2 - 2 1 + 1 = 3 - 2 + 1 = 2\)。
（2）将\(x = -2\)代入函数解析式中，可得\(f(-2) = 3 (-2)^2 - 2 (-2) + 1 = 3 4 + 4 + 1 = 12 + 4 + 1 = 17\)。
（3）将\(x = a\)代入函数解析式中，可得\(f(a) = 3a^2 - 2a + 1\)。
例 6：已知函数\(y = \frac{x + 1}{x - 1}\)，当\(y = 2\)时，求\(x\)的值。
解：
将\(y = 2\)代入函数解析式中，可得\(2 = \frac{x + 1}{x - 1}\)。
两边同时乘以\(x - 1\)，得\(2(x - 1) = x + 1\)。
展开括号，得\(2x - 2 = x + 1\)。
移项，得\(2x - x = 1 + 2\)。
合并同类项，得\(x = 3\)。
经检验，\(x = 3\)是原方程的解，因此当\(y = 2\)时，\(x\)的值为 3。
六、常见误区
对函数概念理解不清：认为只要有两个变量就是函数关系，忽略了 “对于自变量的每一个确定的值，函数都有唯一确定的值与其对应” 这一核心条件。例如，错误地认为人的身高与年龄是函数关系。
自变量取值范围考虑不全面：在确定自变量取值范围时，只考虑解析式有意义，而忽略了实际问题的意义。例如，在求实际问题中函数的自变量取值范围时，没有考虑自变量必须是正整数等情况。
函数值计算错误：在代入自变量的值计算函数值时，出现计算错误，尤其是当自变量取负数或分数时，容易出错。
混淆函数的三种表示方法：不能正确区分函数的三种表示方法的特点和适用范围，在解决问题时选择不合适的表示方法。
七、课堂总结
变量与常量：在变化过程中，数值发生变化的量是变量，数值始终不变的量是常量。
函数的概念：在一个变化过程中，对于自变量\(x\)的每一个确定的值，函数\(y\)都有唯一确定的值与其对应，那么\(y\)是\(x\)的函数。
函数的表示方法：包括解析式法、列表法和图像法，每种方法都有其优缺点，应根据实际情况选择合适的表示方法。
自变量的取值范围：自变量的取值应使函数有意义，对于实际问题，还应使实际问题有意义。
函数值：当自变量取确定的值时，函数的对应值称为函数值，求函数值的方法是代入计算。
函数是描述变量之间对应关系的重要工具，通过本节的学习，我们应理解函数的概念，掌握函数的表示方法，能够确定自变量的取值范围和求函数值，为后续学习一次函数、二次函数等具体函数打下基础。
八、课后作业
指出下列变化过程中的变量和常量：
（1）长方形的周长\(C\)随长\(a\)和宽\(b\)的变化而变化；
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.1 函数
第四章 一次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过阅读课本，学生能判断两个变量间的关系是否可以看成函数，培养学生的抽象概括能力．
2．通过自主学习和合作学习，学生能根据两个变量的关系求未知量，培养学生的数感和计算能力．
3．通过教师讲评，学生能掌握函数的三种表示方法，了解其特点，培养学生的概括总结能力．教学重难点教学重点,掌握函数的概念以及表示方法．
重点
难点
旧识回顾
1．什么叫常量？
2．什么叫变量？
在变化过程中数值始终不变的量叫做常量
在变化过程中不断变化的量叫做变量
情境导入
在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题．如图是某地一天内的气温变化图．
从图中我们可以看到，随着时间t(时)的变化，相应地气温T(℃)也随之变化．那么在生活中是否还有其他类似的数量关系呢？
如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？
引入新知
由低变高，再由高变低.
知识点 1
函数及相关概念
故事导入
你一定知道乌鸦喝水的故事吧！一个紧口瓶中盛有一些水，乌鸦想喝水，但是嘴够不着瓶中的水，于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度随石子的增多而上升，乌鸦喝到了水.但是还没解渴，瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度了，乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水，哇哇地飞走了.如果设衔入瓶中石子的体积为x，瓶中水面的高度为y，下面能大致表示上面故事情节的图象是(　　)
B
t/min 0 1 2 3 4 5 …
h/m …
如图反映了摩天轮上一点的高度h（m）与旋转时间t（min）之间的关系.
3
13
36
47
36
13
探究新知
（1）根据右图填表：
（2）对于给定的时间t，相应的高度h确定吗？
确定
探究新知
层数n 1 2 3 4 5 …
物体总数y …
1.罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
填写下表：
这个问题中的变量有几个？分别是什么？
探究新知
做一做
1
3
6
10
15
层数与物体总数
只要给定层数，就能求出物体总数.
探究新知
探究新知
2.一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273 ℃，则气体的压强为零.因此，物理学中把-273 ℃作为热力学温度的零度.热力学温度T（K）与摄氏温度t（℃）之间有如下数量关系：T=t+273，T≥0.
（1）当t分别为-43 ℃， -27 ℃，0 ℃，18 ℃时，相应的热力学温度T是多少？
（2）给定一个大于-273 ℃的t值，你都能求出相应的T值吗？
探究新知
探究新知
（1）当t分别为-43 ℃， -27 ℃，0 ℃，18 ℃时，相应的热力学温度T是多少？
解：当t为-43℃时， T= -43+273=230（℃）;
当t为-27℃时， T= -27+273=246（℃）;
当t为0℃时， T=0+273=273（℃）;
当t为18℃时， T=18+273=291（℃）.
探究新知
解：是，因为t ≥ -273时， T≥0.
唯一一个T值
（2）给定一个大于-273 ℃的t值，你都能求出相应的T值吗？
上面的三个问题中，有什么共同特点？
①时间 t 、相应的高度 h ；
②层数n、物体总数y；
③摄氏温度t 、热力学温度T.
共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值.
探究新知
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量.
函数
注意： 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系.
探究新知
小结
例 下列关于变量x ，y 的关系式：①y =2x+3；②y =x2+3；
③y =2|x|；④ ；⑤y2-3x=10，其中表示y 是x 的函数关系的是 ．
①
提示：判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应.
探究新知
素养考点 1
利用函数的定义判断函数
②
③
（1）
（2）
（3）
下列式子中的y是x的函数吗？为什么？若y不是x的函数，怎样改变，才能使y是x的函数？
解：（1）、（2）中y是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应；（3）中，y不是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有两个确定的值与其对应.将关系式改为 或 ，都能使y是x的函数.
巩固练习
变式训练
变量x与y的对应关系如下表所示：
x 1 4 9 16 25 …
y ±1 ±2 ±3 ±4 ±5 …
问：变量y是x的函数吗？为什么？若要使y是x的函数，可以怎样改动表格？
解：y不是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有两个确定的值与其对应. 要使y是x的函数，可以将表格中y的每一个值中的“±”改为“＋”或“－”.
巩固练习
变式训练
探究新知
上述问题中，自变量能取哪些值？
注意：要根据实际问题确定自变量的取值范围.
探究新知
知识点 2
函数值及自变量的取值范围
函数值
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值．
即：如果y是x的函数，当x=a时，y=b，那么b叫做当x=a时的函数值．
注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．而函数值是一个数，它是自变量确定时对应的因变量的值．
探究新知
例1 汽车的油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.
（1）写出表示y与x的函数关系的式子.
解:(1) 函数关系式为: y = 50－0.1x
0.1x表示的意义是什么？
叫做函数的解析式
探究新知
素养考点 1
确定自变量的取值范围
（2）指出自变量x的取值范围；
(2) 由x≥0及50－0.1x ≥0　
得　0 ≤ x ≤ 500，
所以自变量的取值范围是
0 ≤ x ≤ 500.
提示：确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义.
探究新知
汽车行驶里程，油箱中的油量均不能为负数！
解:
（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？
(3)当 x = 200时,函数y的值为y=50－0.1×200=30.
因此,当汽车行驶200 km时,油箱中还有油30L.
探究新知
解:
下列函数中自变量x的取值范围是什么？
（1） ;
（2） ;
（3） ;
解:
x取全体实数;
（1）
（2）
由x+2≠0得 ;
x≠-2
（3）
由x-5≥0得 ;
变式训练
巩固练习
(4) .
使函数解析式有意义的自变量的全体.
（4）
x取全体实数.
例2 已知函数
(1)求当x=2，3，-3时，函数的值；
(2)求当x取什么值时，函数的值为0.
把自变量x的值代入关系式中，即可求出函数的值.
解：（1）当x=2时， ;
探究新知
素养考点 2
求函数的值
当x=3时， ;
当x=-3时，y=7.
（2）令 解得 ，即当 时，y=0.
已知函数 .
(1)当x=3时,求函数y的值;
(2)当y=2时,求自变量x的值.
解:(1)当x=3时, .
(2)当y=2时,可得到 ,则4=36-2x2,即x2=16,
解得x=±4.
巩固练习
变式训练
知识点1 函数的相关概念
1.［2025陕西师大附中月考］下列图象中，表示是 的函数的是( )
B
A. B. C. D.
返回
2.［2025西安西咸新区期中］“白毛浮绿水，红掌拨清波”，白鹅拨出的
圆形水波不断扩大，水波的周长与半径的关系式为 ，则其中
的自变量是( )
A
A.半径 B.周长 C.2 D.
返回
3.下列四个选项中，不是 的函数的是( )
D
A. B. C. D.
返回
4.［教材习题 变式］ 下列变量之间的关系不是函数关系的是
( )
A
A.某班某同学的身高和体重
B.底边上的高一定，等腰三角形的底边长与面积
C.速度一定时，汽车行驶的路程与时间
D.正方形的周长与面积
返回
知识点2 函数的表示法
5. 一项试验的统计数据中变量与 之间的关系如表所示：
30 40 100 120
15 20 50 60
则下面能表示这种关系的式子是( )
D
A. B. C. D.
返回
6. 李老师骑车外出办事,离校不久便接到学校要他返校的紧急电话,
李老师急忙赶回学校。下面四个图象中,能描述李老师与学校的距离 随
时间 变化的图象是( )
C
A. B. C. D.
返回
7.［教材P随堂练习T 变式］
蛇的体温随外部环境温度的变化而
变化,如图表现了一条蛇在两昼夜之
间体温的变化情况。
（1）第一天,蛇的体温的变化范围是什么 它的体温从最低上升到最高
需要多少时间
解：变化范围为。需要 。
（2）若用表示时间, 表示蛇的体温，将相应数据填入下表:
4 12 20 28 32 40 48
____ ____ ____ ____ ____ ____ ____
35
39
39
35
36
40
36
（3）是 的函数吗？为什么？
解：是 的函数，因为随着时间的变化，每一个时刻，蛇都有唯一一个
体温与之对应，符合函数的定义，所以是 的函数。
返回
函数
概念：函数在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么x是自变量，y是x的函数.
函数值
自变量的取值范围
1.使函数解析式有意义
2.符合实际意义
函数的关系式：三种表示方法
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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