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4.2 认识一次函数
在学习了函数的基本概念后，我们将进入具体函数的学习。一次函数是最基本、最常见的函数类型之一，它在现实生活中有着广泛的应用，如匀速运动的路程与时间关系、商品销售的总价与数量关系等都可以用一次函数来描述。本节将学习一次函数的定义、表达式、特征以及与正比例函数的关系，为后续学习一次函数的图像和性质奠定基础。
一、一次函数的定义
（一）定义内容
一般地，形如\(y = kx + b\)（\(k\)，\(b\)是常数，\(k \neq 0\)）的函数，叫做一次函数。其中，\(x\)是自变量，\(y\)是因变量（函数），\(k\)称为比例系数，\(b\)称为常数项。
例如：
汽车以 60 千米 / 小时的速度匀速行驶，路程\(s\)（千米）与时间\(t\)（小时）的函数关系为\(s = 60t\)，符合一次函数的形式；
某商店销售某种商品，每件商品的售价为 5 元，另加运费 2 元，购买\(x\)件商品的总费用\(y\)（元）与\(x\)的函数关系为\(y = 5x + 2\)，也符合一次函数的形式。
（二）对定义的理解
表达式形式：一次函数的表达式必须是关于自变量\(x\)的一次整式，即自变量\(x\)的次数为 1，且不能在分母、根号或绝对值符号内。例如，\(y = 2x + 3\)是一次函数，而\(y = 2x^2 + 3\)（\(x\)的次数为 2）、\(y = \frac{1}{x} + 3\)（\(x\)在分母中）都不是一次函数。
系数要求：比例系数\(k\)不能为 0，否则函数表达式变为\(y = b\)，此时自变量\(x\)的次数为 0，不是一次函数。而常数项\(b\)可以为 0，当\(b = 0\)时，一次函数就变成了正比例函数。
变量关系：在一次函数中，对于自变量\(x\)的每一个确定的值，因变量\(y\)都有唯一确定的值与其对应，这符合函数的基本定义。
（三）例题解析
例 1：判断下列函数是否为一次函数：
（1）\(y = 3x + 5\)；
（2）\(y = -2x\)；
（3）\(y = 5\)；
（4）\(y = \frac{1}{2}x - 3\)；
（5）\(y = 2x^2 + 1\)。
解：
（1）函数\(y = 3x + 5\)是关于\(x\)的一次整式，且\(k = 3 \neq 0\)，因此是一次函数。
（2）函数\(y = -2x\)可以看作\(y = -2x + 0\)，是关于\(x\)的一次整式，且\(k = -2 \neq 0\)，因此是一次函数。
（3）函数\(y = 5\)可以看作\(y = 0x + 5\)，但\(k = 0\)，不符合一次函数\(k \neq 0\)的要求，因此不是一次函数。
（4）函数\(y = \frac{1}{2}x - 3\)是关于\(x\)的一次整式，且\(k = \frac{1}{2} \neq 0\)，因此是一次函数。
（5）函数\(y = 2x^2 + 1\)中\(x\)的次数为 2，不是一次整式，因此不是一次函数。
二、正比例函数
（一）定义
一般地，形如\(y = kx\)（\(k\)是常数，\(k \neq 0\)）的函数，叫做正比例函数，其中\(k\)叫做比例系数。
例如：
正方形的周长\(C\)与边长\(a\)的函数关系为\(C = 4a\)，是正比例函数；
速度为 5 米 / 秒的物体所运动的路程\(s\)（米）与时间\(t\)（秒）的函数关系为\(s = 5t\)，是正比例函数。
（二）正比例函数与一次函数的关系
正比例函数是一次函数的特殊形式。当一次函数\(y = kx + b\)中的常数项\(b = 0\)时，一次函数就变成了正比例函数\(y = kx\)。因此，正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。
例如：
\(y = 2x\)是正比例函数，也是一次函数；
\(y = 2x + 3\)是一次函数，但不是正比例函数，因为\(b = 3 \neq 0\)。
（三）例题解析
例 2：判断下列函数是否为正比例函数：
（1）\(y = 5x\)；
（2）\(y = -3x + 1\)；
（3）\(y = \frac{1}{2}x\)；
（4）\(y = 0x\)。
解：
（1）函数\(y = 5x\)符合正比例函数\(y = kx\)（\(k \neq 0\)）的形式，其中\(k = 5 \neq 0\)，因此是正比例函数。
（2）函数\(y = -3x + 1\)是一次函数，但常数项\(b = 1 \neq 0\)，不符合正比例函数的形式，因此不是正比例函数。
（3）函数\(y = \frac{1}{2}x\)符合正比例函数\(y = kx\)（\(k \neq 0\)）的形式，其中\(k = \frac{1}{2} \neq 0\)，因此是正比例函数。
（4）函数\(y = 0x\)中\(k = 0\)，不符合正比例函数\(k \neq 0\)的要求，因此不是正比例函数（此时函数值恒为 0，是常数函数）。
例 3：已知函数\(y = (m - 2)x + m + 1\)是一次函数，求\(m\)的取值范围；若该函数是正比例函数，求\(m\)的值。
解：
若函数\(y = (m - 2)x + m + 1\)是一次函数，则比例系数\(k = m - 2 \neq 0\)，解得\(m \neq 2\)，因此\(m\)的取值范围是\(m \neq 2\)。
若该函数是正比例函数，则需满足\(\begin{cases}m - 2 \neq 0 \\ m + 1 = 0\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}m \neq 2 \\ m = -1\end{cases}\)，因此\(m\)的值为\(-1\)。
三、一次函数中参数的意义
在一次函数\(y = kx + b\)中，参数\(k\)和\(b\)有着重要的实际意义，它们决定了函数的性质和变化规律。
（一）比例系数\(k\)的意义
数学意义：\(k\)表示自变量\(x\)每增加 1 个单位时，因变量\(y\)的变化量，即函数的变化率。当\(k > 0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大；当\(k < 0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小。\(k\)的绝对值越大，\(y\)随\(x\)变化的速度越快。
实际意义：在实际问题中，\(k\)通常表示单位变化量。例如：
在路程函数\(s = vt\)（\(v\)为速度）中，\(k = v\)表示单位时间内行驶的路程；
在总价函数\(y = px\)（\(p\)为单价）中，\(k = p\)表示每件商品的价格。
（二）常数项\(b\)的意义
数学意义：当\(x = 0\)时，\(y = b\)，因此\(b\)是函数图像与\(y\)轴交点的纵坐标，即函数的初始值。
实际意义：在实际问题中，\(b\)通常表示固定不变的量。例如：
在总费用函数\(y = 5x + 2\)中，\(b = 2\)表示固定的运费；
在温度变化函数\(y = 2x + 10\)中，\(b = 10\)表示初始温度。
（三）例题解析
例 4：某电信公司推出一种套餐业务，每月基本费用为 10 元，每分钟通话费用为 0.2 元。设每月通话时间为\(x\)分钟，每月总费用为\(y\)元。
（1）写出\(y\)与\(x\)之间的函数关系式，并判断是否为一次函数；
（2）指出函数关系式中\(k\)和\(b\)的实际意义。
解：
（1）每月总费用 = 基本费用 + 通话费用，因此\(y\)与\(x\)之间的函数关系式为\(y = 0.2x + 10\)。该函数是关于\(x\)的一次整式，且\(k = 0.2 \neq 0\)，因此是一次函数。
（2）在函数关系式\(y = 0.2x + 10\)中，\(k = 0.2\)表示每分钟的通话费用为 0.2 元；\(b = 10\)表示每月的基本费用为 10 元。
例 5：已知一次函数\(y = kx + b\)，当\(x = 1\)时，\(y = 5\)；当\(x = 2\)时，\(y = 9\)。求\(k\)和\(b\)的值。
解：
将\(x = 1\)，\(y = 5\)和\(x = 2\)，\(y = 9\)分别代入函数关系式\(y = kx + b\)中，可得方程组：\(
\begin{cases}
k + b = 5 \\
2k + b = 9
\end{cases}
\)
用第二个方程减去第一个方程，得\((2k + b) - (k + b) = 9 - 5\)，即\(k = 4\)。
将\(k = 4\)代入第一个方程，得\(4 + b = 5\)，解得\(b = 1\)。
因此，\(k\)的值为 4，\(b\)的值为 1。
四、一次函数的实际应用
一次函数在实际生活中有着广泛的应用，我们可以通过建立一次函数模型来解决实际问题。
（一）应用步骤
分析问题：找出问题中的变量和常量，确定自变量和因变量；
建立模型：根据变量之间的关系，列出一次函数关系式\(y = kx + b\)；
确定参数：根据已知条件求出\(k\)和\(b\)的值；
解决问题：利用建立的函数关系式解决实际问题，如预测结果、计算数值等。
（二）例题解析
例 6：某工厂生产一种产品，每件产品的生产成本为 30 元，销售单价为 50 元。设每月生产并销售\(x\)件产品，每月的利润为\(y\)元。
（1）写出\(y\)与\(x\)之间的函数关系式；
（2）若每月生产并销售 1000 件产品，每月的利润是多少元？
（3）若每月的利润为 40000 元，每月需要生产并销售多少件产品？
解：
（1）每月利润 =（销售单价 - 生产成本）× 销售数量，因此\(y\)与\(x\)之间的函数关系式为\(y = (50 - 30)x = 20x\)。这是一个正比例函数，也是一次函数。
（2）当\(x = 1000\)时，\(y = 20 1000 = 20000\)（元）。因此，每月生产并销售 1000 件产品时，每月的利润是 20000 元。
（3）当\(y = 40000\)时，\(20x = 40000\)，解得\(x = 2000\)。因此，每月需要生产并销售 2000 件产品才能获得 40000 元的利润。
例 7：某出租车公司的收费标准为：起步价 8 元（3 千米以内），超过 3 千米的部分，每千米收费 1.5 元。设行驶的路程为\(x\)千米（\(x \geq 3\)），应付的车费为\(y\)元。
（1）写出\(y\)与\(x\)之间的函数关系式；
（2）若行驶的路程为 10 千米，应付的车费是多少元？
解：
（1）应付车费 = 起步价 + 超过 3 千米的费用，超过 3 千米的部分为\((x - 3)\)千米，因此\(y\)与\(x\)之间的函数关系式为\(y = 8 + 1.5(x - 3) = 1.5x + 3.5\)（\(x \geq 3\)）。
（2）当\(x = 10\)时，\(y = 1.5 10 + 3.5 = 15 + 3.5 = 18.5\)（元）。因此，行驶的路程为 10 千米时，应付的车费是 18.5 元。
五、常见误区
对一次函数定义理解错误：忽略\(k \neq 0\)的条件，认为\(y = b\)（\(b\)为常数）也是一次函数，实际上当\(k = 0\)时，函数不是一次函数。
混淆一次函数与正比例函数的关系：认为正比例函数不是一次函数，或认为一次函数都是正比例函数，忽略了正比例函数是一次函数的特殊情况（\(b = 0\)）。
参数意义理解偏差：不能正确理解\(k\)和\(b\)在实际问题中的意义，例如将\(k\)错误地理解为固定值，而不是变化率。
建立函数关系式错误：在实际问题中，不能正确分析变量之间的关系，列出错误的函数关系式，例如忽略固定费用或计算错误单位变化量。
自变量取值范围考虑不全面：在实际问题中，没有根据实际情况确定自变量的取值范围，导致函数关系式应用错误。
六、课堂总结
一次函数的定义：形如\(y = kx + b\)（\(k\)，\(b\)是常数，\(k \neq 0\)）的函数，其中\(x\)是自变量，\(y\)是函数。
正比例函数的定义：形如\(y = kx\)（\(k\)是常数，\(k \neq 0\)）的函数，是一次函数当\(b = 0\)时的特殊情况。
参数的意义：\(k\)是比例系数，表示函数的变化率；\(b\)是常数项，表示函数的初始值（当\(x = 0\)时的函数值）。
实际应用：通过建立一次函数模型解决实际问题，步骤包括分析问题、建立模型、确定参数和解决问题。
一次函数是函数家族中的重要成员，掌握一次函数的定义、特征和应用，不仅能帮助我们解决实际问题，还能为学习更复杂的函数打下坚实的基础。在学习
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.2.认识一次函数
第四章 一次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过阅读课本，理解一次函数和正比例函数的概念以及它们的联系；能根据所给条件写出简单的一次函数表达式，培养学生的归纳总结能力．
2．通过对问题的研究，体会建立数学模型的思想；经历利用一次函数解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力．
3．通过一次函数和正比例函数概念的引入，使学生进一步认识数学是由于人们的需要而产生的，与实际生活密切相关．
重点
难点
情境导入
生活中，我们经常见到各种各样的钟表．时钟的秒针每旋转一圈，表示时间过了1min；旋转两圈，表示时间过了2min,而分针每旋转一圈，表示时间过去了一小时。那么，秒针走过的圈数或分针走过的圈数与经过的时间之间的关系如何表示呢？
x/kg 1 2 3 4 5 …
y/cm …
（1）计算所挂物体的质量分别为1 kg，2 kg，3 kg，4 kg，5 kg时弹簧的长度，并填入下表：
3.5
4
4.5
5
5.5
复习引入
（2）你能写出y与x之间的关系式吗？
知识点 1
一次函数与正比例函数的概念
某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1 kg，弹簧长度y增加0.5 cm.
问题1
解：y与x之间的关系式为：y=3+0.5x.
分析： 它们之间的数量关系是:
弹簧长度=原长+增加的长度
汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 200 300
耗油量y/L
某辆汽车油箱中原有汽油60 L，汽车每行驶50 km耗油6 L.
（1）完成下表：
0
6
12
18
24
36
（2）你能写出耗油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？
（3）你能写出油箱剩余油量z（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？
y=0.12x
z = 60-0.12x
探究新知
问题2
研讨以下两个函数关系式:
(1)y=0.5x+3. (2)y=-0.12x+60.
它们的结构有什么特点？
解析:1．都是含有两个变量x，y的等式.
2．x和y的指数都是一次.
3．自变量x的系数都不为0.
探究新知
若两个变量 x，y间的对应关系可以表示成y=kx+b (k, b为常数，k≠0）的形式，则称 y是x的一次函数.
特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.
函数是一次函数
关系式为：y=kx+b
(k,b为常数，k≠0）
函数是正比例函数
关系式为：y=kx
(k为常数，k≠0）
定义：
探究新知
思考 一次函数的结构特征有哪些？
（1）k≠0 .
（2）x 的次数是1.
（3）常数项b可以为一切实数.
一次函数
正比例函数
探究新知
答：一次函数的结构特征：
例1 下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
(1)y=-x-4; (2)y＝5x2-6； (3)y=2πx; (6)y=8x2+x(1-8x);
解：(1)是一次函数，不是正比例函数；
(2)不是一次函数，也不是正比例函数；
(3)是一次函数，也是正比例函数；
(4)是一次函数，也是正比例函数；
(5)不是一次函数，也不是正比例函数；
(6)是一次函数，也是正比例函数；
(7)不是一次函数，也不是正比例函数.
（7）y=kx+b.
探究新知
素养考点 1
一次函数与正比例函数的判断
探究新知
方法点拨
1.判断一个函数是一次函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零；
2.判断一个函数是正比例函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．
下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
（1） ； （2） ；
（3） ； （4）
答：（1）是一次函数，又是正比例函数；
（4）是一次函数.
巩固练习
变式训练
例2 已知函数y=(m-2)x+4-m2
（1）当m为何值时，这个函数是一次函数
解：（1）由题意可得m-2≠0，
解得m≠2.
即m≠2时，这个函数是一次函数.
探究新知
素养考点 2
利用一次函数的概念求字母的值
注意：利用定义求一次函数
解析式时，必须保证：
（1）k ≠ 0；
（2）自变量x的指数是“1”
（2）当m为何值时，这个函数是正比例函数
（2）由题意可得m-2≠0，4-m2=0，
解得m=-2.
即m=-2时，这个函数是正比例函数.
已知函数y=2x|m|+(m+1).
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是正比例函数，求m的值.
解：（1）由题意得： 因此 m=±1.
（2）由题意得：m+1=0 , 解得m= -1.
巩固练习
变式训练
写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;
解：由路程=速度×时间，得y=60x ,y是x的一次函数,也是x的正比例函数.
解：由圆的面积公式，得y=πx2, y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数.
（2）圆的面积y (cm2 )与它的半径x (cm)之间的关系.
探究新知
知识点 2
一次函数与正比例函数的应用
例1
解：这个水池每时增加5m3水，x h增加5x m3水，
因而y=15+5x,y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.
（3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，x h后这个水池有水y m3.
探究新知
某种大米的单价是2.2元/kg，当购买x kg大米时，花费为y元，y是x的一次函数吗？是正比例函数吗？
探究新知
解： y=2.2x，y是x的一次函数,是正比例函数.
巩固练习
自2019年1月1日起，我国居民个人劳务报酬所得税预扣预缴税款的计算方法是：每次收入不超过800元的，预扣预缴税款为0；每次收入超过800元但不超过4000元的，预扣预缴税款=（每次收入-800）×20%……如某人取得劳务报酬2000元，他这笔所得应预扣预缴税款(2000-800)×20%=240（元）.
（1）当每次收入超过800元但不超过4000元时，写出劳务报酬所得税预扣预缴税款y（元）与每次收入x （元）之间的关系式；
解：当每次收入超过800元但不超过4 000元时，
y=(x-800)×20%，
即y=0.2x-160;
探究新知
例2
（2）某人某次取得劳务报酬3 500元，他这笔所得应预扣预缴税款多少元？
解：当x=3500时，y=0.2×3500-160=540（元）；
探究新知
（3）如果某人某次预扣预缴劳务报酬所得税600元，那么此人这次取得的劳务报酬是多少元？
解： 因为(4 000-800)×20%=640（元），600<640，所以此人这次取得的劳务报酬不超过4 000元.
设此人这次取得的劳务报酬是x元，则
600=0.2x-160，
所以此人这次取得的劳务报酬是3800元.
解得x=3800.
知识点 生活中的均匀变化现象
1.［教材 操作·思考变式］水龙头关闭不严会造成漏水。下表记录了
内7个时间点的漏水量，其中表示时间， 表示漏水量。
0 5 10 15 20 25 30
0 15 30 45 60 75 90
（1）结合表中数据写出漏水量关于时间 的函数关系式:_______
（不要求写自变量的取值范围）；
（2）在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，估算一天的漏水量约
为_______ 。
4 320
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2. 声音在空气中的传播速度与温度 的关系
如下表：
0 5 10 15 20
331 334 337 340 343
（1）写出速度与温度 之间的关系式；
解： 。
（2）当 时，求声音的传播速度；
解：当时， 。
（3）当声音的传播速度为 时，温度是多少？
解：当时，,所以 。
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3.一辆汽车以 的速度在公路上匀速行驶。
（1）用表格表示时间与路程之间的关系如下：
0.5 1 1.5 2 2.5 3
30 60 90 120 150 180
当汽车行驶的时间为时，行驶的路程为_____ ；
120
（2）用关系式表示：
设汽车行驶的时间为，行驶的路程为，则_____。当
时，汽车行驶的时间___ ；
4
（3）观察图象，并回答下列问题：
①当时，_____ ；
150
②图中点 表示的意义是什么？
[答案] 当汽车行驶时间为时，行驶的路程为 。
（4）根据以上的说明过程，请你在表示变量间关系的三种方式中任选
一种，说一说这种表示方式的优缺点。
解：用表格表示，可以鲜明地呈现出自变量和因变量之间的数量对应关
系，但只能给出部分数据，难以反映全部变化。
用关系式表示，简明扼要，方便计算，但不够形象，且有的函数变化难
以用关系式表示。
用图象表示，形象直观，能清晰呈现函数增减变化，但只能作出近似图
象，往往不够准确。（任选一种即可）
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一次函数与正比例函数
一次函数形式：y=kx+b（k≠0）
特别地，当b=0时，y=kx(k≠0)是正比例函数
一次函数的简单应用
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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