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4.3.2 一次函数的图象与性质
一次函数是初中数学中最基本的函数类型之一，其图象和性质是函数学习的核心内容。与正比例函数相比，一次函数的图象和性质更为丰富，它不仅包含了正比例函数的特征，还因常数项的存在而呈现出新的规律。本节将在正比例函数图象与性质的基础上，学习一次函数图象的绘制方法、图象特征，探究参数对图象的影响，并总结一次函数的性质及应用。
一、一次函数的图象
（一）图象的绘制
一次函数的图象是一条直线，绘制其图象同样可以采用两点法，具体步骤如下：
确定两点坐标：对于一次函数\(y = kx + b\)（\(k \neq 0\)），选取两个易于计算的点。通常选取与坐标轴的交点：当\(x = 0\)时，\(y = b\)，即与\(y\)轴的交点\((0, b)\)；当\(y = 0\)时，\(x = -\frac{b}{k}\)（\(k \neq 0\)），即与\(x\)轴的交点\((-\frac{b}{k}, 0)\)。也可选取其他简单点，如\(x = 1\)时，\(y = k + b\)，即点\((1, k + b)\)。
描点：在平面直角坐标系中准确标出所选的两个点。
连线：用直尺连接这两个点，得到的直线就是一次函数\(y = kx + b\)的图象。
（二）实例解析
例 1：画出一次函数\(y = 2x + 3\)和\(y = -2x + 1\)的图象。
解：
绘制\(y = 2x + 3\)的图象：
确定两点：当\(x = 0\)时，\(y = 3\)，即点\((0, 3)\)；当\(y = 0\)时，\(2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}\)，即点\((-\frac{3}{2}, 0)\)。
描点：在坐标系中描出\((0, 3)\)和\((-\frac{3}{2}, 0)\)。
连线：连接两点，得到\(y = 2x + 3\)的图象（如图 2 所示）。
绘制\(y = -2x + 1\)的图象：
确定两点：当\(x = 0\)时，\(y = 1\)，即点\((0, 1)\)；当\(y = 0\)时，\(-2x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\)，即点\((\frac{1}{2}, 0)\)。
描点：在坐标系中描出\((0, 1)\)和\((\frac{1}{2}, 0)\)。
连线：连接两点，得到\(y = -2x + 1\)的图象（如图 2 所示）。
（三）一次函数与正比例函数图象的关系
一次函数\(y = kx + b\)的图象可以看作是由正比例函数\(y = kx\)的图象平移得到的：
当\(b > 0\)时，将正比例函数\(y = kx\)的图象向上平移\(b\)个单位长度，得到一次函数\(y = kx + b\)的图象；
当\(b < 0\)时，将正比例函数\(y = kx\)的图象向下平移\(|b|\)个单位长度，得到一次函数\(y = kx + b\)的图象。
例如：
函数\(y = 2x + 3\)的图象是由\(y = 2x\)的图象向上平移 3 个单位长度得到的；
函数\(y = -2x - 1\)的图象是由\(y = -2x\)的图象向下平移 1 个单位长度得到的。
二、参数\(k\)和\(b\)对图象的影响
一次函数的图象位置和倾斜程度由参数\(k\)和\(b\)共同决定，其中\(k\)决定直线的倾斜方向和倾斜程度，\(b\)决定直线与\(y\)轴的交点位置。
（一）参数\(k\)的影响
倾斜方向：
当\(k > 0\)时，直线从左到右呈上升趋势；
当\(k < 0\)时，直线从左到右呈下降趋势。
倾斜程度：
\(|k|\)越大，直线越靠近\(y\)轴，倾斜程度越陡；
\(|k|\)越小，直线越靠近\(x\)轴，倾斜程度越缓。这一特征与正比例函数一致。
（二）参数\(b\)的影响
参数\(b\)是一次函数图象与\(y\)轴交点的纵坐标，即交点坐标为\((0, b)\)：
当\(b > 0\)时，直线与\(y\)轴交于正半轴；
当\(b = 0\)时，直线经过原点（此时为正比例函数）；
当\(b < 0\)时，直线与\(y\)轴交于负半轴。
（三）直线经过的象限
一次函数\(y = kx + b\)的图象经过的象限由\(k\)和\(b\)的符号共同决定：
当\(k > 0\)，\(b > 0\)时，直线经过第一、二、三象限；
当\(k > 0\)，\(b < 0\)时，直线经过第一、三、四象限；
当\(k < 0\)，\(b > 0\)时，直线经过第一、二、四象限；
当\(k < 0\)，\(b < 0\)时，直线经过第二、三、四象限。
（四）例题解析
例 2：判断下列一次函数图象经过的象限，并说明\(k\)和\(b\)的符号：
（1）\(y = 3x + 2\)；（2）\(y = -2x + 5\)；（3）\(y = \frac{1}{2}x - 1\)；（4）\(y = -x - 3\)。
解：
（1）对于\(y = 3x + 2\)，\(k = 3 > 0\)，\(b = 2 > 0\)，因此直线经过第一、二、三象限。
（2）对于\(y = -2x + 5\)，\(k = -2 < 0\)，\(b = 5 > 0\)，因此直线经过第一、二、四象限。
（3）对于\(y = \frac{1}{2}x - 1\)，\(k = \frac{1}{2} > 0\)，\(b = -1 < 0\)，因此直线经过第一、三、四象限。
（4）对于\(y = -x - 3\)，\(k = -1 < 0\)，\(b = -3 < 0\)，因此直线经过第二、三、四象限。
例 3：已知一次函数\(y = (m - 2)x + m + 1\)的图象经过第一、二、四象限，求\(m\)的取值范围。
解：
因为一次函数图象经过第一、二、四象限，所以需满足：\(
\begin{cases}
k < 0 \\
b > 0
\end{cases}
\)
即：\(
\begin{cases}
m - 2 < 0 \\
m + 1 > 0
\end{cases}
\)
解第一个不等式：\(m - 2 < 0 \Rightarrow m < 2\)；
解第二个不等式：\(m + 1 > 0 \Rightarrow m > -1\)。
因此，\(m\)的取值范围是\(-1 < m < 2\)。
三、一次函数的性质
一次函数的性质是其图象特征的代数表达，主要体现在函数值随自变量的变化规律以及图象的对称性等方面，这些性质与参数\(k\)密切相关。
（一）函数的增减性
当\(k > 0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。即自变量\(x\)的值增大时，函数值\(y\)的值也随之增大；\(x\)的值减小时，\(y\)的值也随之减小。例如，对于\(y = 2x + 3\)，当\(x = 1\)时，\(y = 5\)；当\(x = 2\)时，\(y = 7\)，\(x\)增大，\(y\)也增大。
当\(k < 0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小。即自变量\(x\)的值增大时，函数值\(y\)的值随之减小；\(x\)的值减小时，\(y\)的值随之增大。例如，对于\(y = -2x + 1\)，当\(x = 1\)时，\(y = -1\)；当\(x = 2\)时，\(y = -3\)，\(x\)增大，\(y\)减小。
（二）函数的对称性
一次函数\(y = kx + b\)的图象是一条直线，关于其上任一点成中心对称，关于其垂直平分线成轴对称，但不关于原点对称（除非\(b = 0\)，即正比例函数）。
（三）例题解析
例 4：已知一次函数\(y = (2k - 1)x + 3\)，根据下列条件求\(k\)的取值范围：
（1）\(y\)随\(x\)的增大而增大；
（2）\(y\)随\(x\)的增大而减小。
解：
（1）因为\(y\)随\(x\)的增大而增大，所以比例系数\(k > 0\)，即\(2k - 1 > 0\)，解得\(2k > 1 \Rightarrow k > \frac{1}{2}\)。因此，\(k\)的取值范围是\(k > \frac{1}{2}\)。
（2）因为\(y\)随\(x\)的增大而减小，所以比例系数\(k < 0\)，即\(2k - 1 < 0\)，解得\(2k < 1 \Rightarrow k < \frac{1}{2}\)。因此，\(k\)的取值范围是\(k < \frac{1}{2}\)。
例 5：已知一次函数\(y = -3x + 2\)，比较当\(x_1 = -1\)和\(x_2 = 3\)时对应的函数值\(y_1\)和\(y_2\)的大小。
解：
因为一次函数\(y = -3x + 2\)中\(k = -3 < 0\)，所以\(y\)随\(x\)的增大而减小。
由于\(x_1 = -1 < x_2 = 3\)，因此\(y_1 > y_2\)。
四、一次函数图象与性质的应用
一次函数的图象和性质在实际生活中有着广泛的应用，能够帮助我们解决与线性变化相关的问题。
（一）利用图象解决实际问题
通过绘制一次函数的图象，可以直观地反映变量之间的线性关系，便于分析变化趋势、预测结果或确定最优方案。例如，在成本与产量的关系、行程问题等场景中，一次函数图象能清晰呈现变量间的对应关系。
（二）利用性质解决函数值问题
根据一次函数的增减性，可以求解函数值的范围、比较函数值大小或确定自变量的取值范围。
例 6：已知一次函数\(y = 2x - 1\)，当\(x\)取何值时，\(y > 0\)？
解：
由\(y > 0\)可得\(2x - 1 > 0\)，解得\(2x > 1 \Rightarrow x > \frac{1}{2}\)。
因此，当\(x > \frac{1}{2}\)时，\(y > 0\)。
例 7：某商店销售某种商品，每件成本为 3 元，售价为\(x\)元（\(3 < x \leq 10\)），每天的销售量为\(y\)件，且\(y\)与\(x\)之间的函数关系为\(y = -10x + 100\)。
（1）写出每天的利润\(w\)（元）与售价\(x\)（元）之间的函数关系式；
（2）当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
解：
（1）每天的利润 =（售价 - 成本）× 销售量，因此\(w\)与\(x\)之间的函数关系式为：\(w = (x - 3)(-10x + 100) = -10x^2 + 130x - 300\)（\(3 < x \leq 10\)）。
（2）对于二次函数\(w = -10x^2 + 130x - 300\)，由于二次项系数\(-10 < 0\)，函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值。对称轴为\(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{130}{2 (-10)} = 6.5\)。
因为\(3 < 6.5 \leq 10\)，所以当\(x = 6.5\)时，\(w\)取得最大值，最大值为：\(w = -10 (6.5)^2 + 130 6.5 - 300 = -10 42.25 + 845 - 300 = -422.5 + 845 - 300 = 122.5\)（元）。
因此，当售价为 6.5 元时，每天的利润最大，最大利润是 122.5 元。
五、常见误区
图象绘制错误：绘制一次函数图象时，选取的两点计算错误或连线不直，导致图象失真；或混淆平移方向，将\(y = kx + b\)的图象平移方向弄反。
参数影响判断错误：对\(k\)和\(b\)的符号与象限关系记忆混淆，例如错误地认为\(k > 0\)、\(b < 0\)时直线经过第二象限。
增减性应用错误：在利用增减性比较函数值或求解自变量范围时，忽略\(k\)的符号对增减性的影响，导致结论错误。
忽略自变量取值范围：在实际问题中，未考虑自变量的实际意义，导致函数关系式的应用超出合理范围。
平移规律理解偏差：错误地认为一次函数图象的平移是对\(x\)进行加减，而非对整个函数值进行平移，例如将\(y = 2x + 3\)看作\(y = 2(x + 3)\)的平移结果。
六、课堂总结
一次函数的图象：是一条直线，绘制方法采用两点法，可通过正比例函数图象平移得到（\(b > 0\)上移，\(b < 0\)下移）。
参数对图象的影响：
\(k\)决定倾斜方向（\(k > 0\)上升，\(k < 0\)下降）和倾斜程度（(|k
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.3.2一次函数的图象与性质
第四章 一次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.通过阅读课本，了解一次函数两个变量之间的变化规律，掌握一次函数的图象及其简单性质，提高学生的理解能力和归纳总结能力；
2.经历对一次函数图象变化规律的探究过程，学会解决一次函数问题的一些基本方法和策略；
3.在结合图象探究一次函数性质的过程中，增强学生数形结合的意识，体会从特殊到一般的数学思想.
重点
难点
情境导入
一农民带着若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售，售出的土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题。
（1）农民自带的零钱是多少？
（2）试求降价前y与x之间的关系。
（3）由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少吗？
视频导入
-3
-2
-1
5
4
3
2
1
0
-2
-3
-4
-5
2
3
4
5
x
y
1
y=-2x＋1
描点、
连线
一次函数的图象
是什么？
-1
列表
x –2 –1 0 1 2
y=-2x+1 5 3 1 –1 –3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
画出一次函数y=-2x+1的图象.
例
知识点 1
一次函数的图象
解：
一次函数y=kx＋b的图象也称为直线y=kx＋b.
探究新知
归纳小结
(0, b)
( , 0)
y=kx+b
由于两点确定一条直线，画一次函数图象时
我们只需描点(0，b)和点 或 (1，k+b)，连线即可.
与x轴的交点坐标
与y轴的交点坐标
画出函数y=-6x与y=-6x+5的图象.
x ... -1 0 ...
y=-6x ... ...
y=-6x+5 ... ...
6
0
11
5
O
2
x
y
1
2
3
-2
-1
8
6
4
10
12
列表
描点
连线
探究新知
探究一
解：
观察与比较：
这两个函数的图象形状都是 ，并且倾斜程度 .函数y=-6x的图象经过原点，函数
y=-6x+5的图象与y轴交于点 ，即它可以看作由直线y=-6x向 平移 个单位长度得到.
比较上面两个函数图象的相同点与不同点.填出你的观察结果并与同伴交流.
一条直线
（0,5）
相同
上
5
O
2
x
y
1
2
3
-2
-1
8
6
4
10
12
探究新知
2
-2
-4
-6
-2
2
x
y
O
x … -2 1 …
y=2x … -4 2 …
y=2x-3 … -7 -1 …
描点
连线
列表
画一次函数y=2x与 y =2x-3 的图象．
y =2x-3
y =2x
4
探究新知
探究二
解：
比较上面两个函数的图象回答下列问题：
（2）函数 y=2x 的图象经过 ，函数
y= 2x-3的图像与y轴交于点( )，即它可以看作由直线 y=2x向 平移 个单位长度而得到.
（1）这两个函数的图象形状都是 ，并且倾斜程度 .
原点
0 ，-3
下
3
一条直线
相同
(3)在同一直角坐标系中，直线 y =2x -3与 y =2x的位置关系是 .
平行
探究新知
探究新知
归纳总结
一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（0，b），可以由正比例函数y=kx的图象平移 个单位长度得到（当b＞0时，向 平移；当b＜0时，向 平移）.
下
上
O
例 用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
（1） y=-2x-1；（2） y=0.5x+1
x 0 1
y=-2x-1
y=0.5x+1
-1
-3
1
y=-2x-1
1.5
y=0.5x+1
也可以先画直线 y=-2x与 y=0.5x，再分别平移它们，也能得到直线y=-2x-1与 y=0.5x+1.
素养考点 1
画一次函数的图象
探究新知
解：
在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并指出三个函数的图象有什么关系.
y=x-1 y=x y=x+1
解：列表：
描点并连线：
x
0
1
y=x-1
y=x
y=x+1
-1
0
0
1
1
2
巩固练习
-3
y=x-1
y=x+1
4
2
-2
-4
4
x
y
O
y = x
-3
-2
2
1
1
-1
3
3
-1
变式训练
三个函数图像的关系是互相平行
画出函数y=x+1， y=-x+1， y=2x+1，
y=-2x+1的图象.
x 0 1
y=x+1
y=-x+1
y=2x+1
y=-2x+1
1
2
1
0
1
3
1
-1
O
1
x
y
1
-1
-1
y=x+1
y=-x+1
y=2x+1
y=-2x+1
探究新知
知识点 2
一次函数的性质
观察函数y=x+1， y=-x+1， y=2x+1，y=-2x+1的图象.
一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）中，k的正、负对函数图象有什么影响？
当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小.
O
1
x
y
1
-1
-1
y=x+1
y=-x+1
y=2x+1
y=-2x+1
探究新知
例 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是一次函数y=-0.5x+3图象上的两点，下列判断中，正确的是( )
A.y1＞y2 C.当x1＜x2时，y1＜y2
B. y1＜y2 D.当x1＜x2时，y1＞y2
D
提示：反过来也成立：y越大，x就越小．
素养考点 1
利用一次函数的性质比较大小
探究新知
1.在直线y=3x+6上，对于点A（x1,y1)和B（x2，y2)若x1>x2，则y1 y2.(填写大小关系）
2.下列一次函数中，y随x的增大而减小的是（ ）
>
B
巩固练习
变式训练
k 0，b 0
>
>
k 0，b 0
k 0，b 0
k 0，b 0
k 0，b 0
k 0，b 0
>
>
>
<
<
<
<
<
=
=
根据一次函数的图象判断k，b的正负，并说出直线经过的象限：
知识点 3
一次函数经过象限与字母k，b的关系
探究新知
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
一次函数y=kx＋b中，k，b的正负对函数图象及性质有什么影响？
当k＞0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐上升，y随x的增大而增大.
① b>0时，直线经过第 一、二、四象限；
② b<0时，直线经过第二、三、四象限.
① b>0时，直线经过第一、二、三象限；
② b<0时，直线经过第一、三、四象限.
探究新知
当k＜0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐下降，y随x的增大而减小.
例 已知一次函数 y=(1-2m)x+m-1 , 求满足下列条件的m的值：
（1）函数值y 随x的增大而增大；
（2）函数图象与y 轴的负半轴相交；
（3）函数的图象过第二、三、四象限；
解：(1)由题意得1-2m>0，解得
(2)由题意得1-2m≠0且m-1<0，即
(3)由题意得1-2m<0且m-1<0，解得
素养考点 1
利用一次函数的性质求字母的值
探究新知
知识点1 一次函数的图象
1.在平面直角坐标系中，一次函数 的图象是( )
C
A. B. C. D.
返回
2.一次函数 的图象不经过的象限是( )
A
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
返回
3.［教材复习题 变式］ 如图，一次函数
的图象与轴负半轴交于点，与 轴正半轴
交于点 ，则下列结论正确的是( )
A
A., B.，
C.， D.，
返回
4.已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点 。
（1）在给定的直角坐标系中，画出一次函数 的图象；
解：如图所示。
（2）求， 两点的坐标。
解：因为,所以当时， ；
当时， 。
所以, 。
返回
知识点2 一次函数的性质
5.下列一次函数中，随 的增大而减小的是( )
D
A. B. C. D.
返回
6.［2025西安碑林区月考］下列关于一次函数 的说法中，
错误的是( )
D
A.图象与轴的交点坐标为 B.的值随着 的值的增大而减小
C.图象经过第一、二、四象限 D.当时，
返回
7.［2024镇江中考］点，在一次函数 的图象
上，则___（用“ ”“”或“ ”填空）。
返回
8.［2024长春中考］已知直线，是常数经过点，且
随的增大而减小，则 的值可以是_________________。（写出一个即可）
2（答案不唯一）
返回
一次函数的图象和性质
当k>0时，y的值随x值的增大而增大；
当k<0时，y的值随x值的增大而减小.
与y轴的交点是（0，b），
与x轴的交点是（ ，0），
当k>0， b>0时，经过一、二、三象限；
当k>0 ，b<0时，经过一、三、四象限；
当k<0 ，b>0时，经过 一、二、四象限；
当k<0 ，b<0时，经过二、三、四象限.
图象
性质
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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