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4.3.2 一次函数的图象与性质
一次函数是初中数学中最基本的函数类型之一，其图象和性质是函数学习的核心内容。与正比例函数相比，一次函数的图象和性质更为丰富，它不仅包含了正比例函数的特征，还因常数项的存在而呈现出新的规律。本节将在正比例函数图象与性质的基础上，学习一次函数图象的绘制方法、图象特征，探究参数对图象的影响，并总结一次函数的性质及应用。
一、一次函数的图象
（一）图象的绘制
一次函数的图象是一条直线，绘制其图象同样可以采用两点法，具体步骤如下：
确定两点坐标：对于一次函数\(y = kx + b\)（\(k \neq 0\)），选取两个易于计算的点。通常选取与坐标轴的交点：当\(x = 0\)时，\(y = b\)，即与\(y\)轴的交点\((0, b)\)；当\(y = 0\)时，\(x = -\frac{b}{k}\)（\(k \neq 0\)），即与\(x\)轴的交点\((-\frac{b}{k}, 0)\)。也可选取其他简单点，如\(x = 1\)时，\(y = k + b\)，即点\((1, k + b)\)。
描点：在平面直角坐标系中准确标出所选的两个点。
连线：用直尺连接这两个点，得到的直线就是一次函数\(y = kx + b\)的图象。
（二）实例解析
例 1：画出一次函数\(y = 2x + 3\)和\(y = -2x + 1\)的图象。
解：
绘制\(y = 2x + 3\)的图象：
确定两点：当\(x = 0\)时，\(y = 3\)，即点\((0, 3)\)；当\(y = 0\)时，\(2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}\)，即点\((-\frac{3}{2}, 0)\)。
描点：在坐标系中描出\((0, 3)\)和\((-\frac{3}{2}, 0)\)。
连线：连接两点，得到\(y = 2x + 3\)的图象（如图 2 所示）。
绘制\(y = -2x + 1\)的图象：
确定两点：当\(x = 0\)时，\(y = 1\)，即点\((0, 1)\)；当\(y = 0\)时，\(-2x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\)，即点\((\frac{1}{2}, 0)\)。
描点：在坐标系中描出\((0, 1)\)和\((\frac{1}{2}, 0)\)。
连线：连接两点，得到\(y = -2x + 1\)的图象（如图 2 所示）。
（三）一次函数与正比例函数图象的关系
一次函数\(y = kx + b\)的图象可以看作是由正比例函数\(y = kx\)的图象平移得到的：
当\(b > 0\)时，将正比例函数\(y = kx\)的图象向上平移\(b\)个单位长度，得到一次函数\(y = kx + b\)的图象；
当\(b < 0\)时，将正比例函数\(y = kx\)的图象向下平移\(|b|\)个单位长度，得到一次函数\(y = kx + b\)的图象。
例如：
函数\(y = 2x + 3\)的图象是由\(y = 2x\)的图象向上平移 3 个单位长度得到的；
函数\(y = -2x - 1\)的图象是由\(y = -2x\)的图象向下平移 1 个单位长度得到的。
二、参数\(k\)和\(b\)对图象的影响
一次函数的图象位置和倾斜程度由参数\(k\)和\(b\)共同决定，其中\(k\)决定直线的倾斜方向和倾斜程度，\(b\)决定直线与\(y\)轴的交点位置。
（一）参数\(k\)的影响
倾斜方向：
当\(k > 0\)时，直线从左到右呈上升趋势；
当\(k < 0\)时，直线从左到右呈下降趋势。
倾斜程度：
\(|k|\)越大，直线越靠近\(y\)轴，倾斜程度越陡；
\(|k|\)越小，直线越靠近\(x\)轴，倾斜程度越缓。这一特征与正比例函数一致。
（二）参数\(b\)的影响
参数\(b\)是一次函数图象与\(y\)轴交点的纵坐标，即交点坐标为\((0, b)\)：
当\(b > 0\)时，直线与\(y\)轴交于正半轴；
当\(b = 0\)时，直线经过原点（此时为正比例函数）；
当\(b < 0\)时，直线与\(y\)轴交于负半轴。
（三）直线经过的象限
一次函数\(y = kx + b\)的图象经过的象限由\(k\)和\(b\)的符号共同决定：
当\(k > 0\)，\(b > 0\)时，直线经过第一、二、三象限；
当\(k > 0\)，\(b < 0\)时，直线经过第一、三、四象限；
当\(k < 0\)，\(b > 0\)时，直线经过第一、二、四象限；
当\(k < 0\)，\(b < 0\)时，直线经过第二、三、四象限。
（四）例题解析
例 2：判断下列一次函数图象经过的象限，并说明\(k\)和\(b\)的符号：
（1）\(y = 3x + 2\)；（2）\(y = -2x + 5\)；（3）\(y = \frac{1}{2}x - 1\)；（4）\(y = -x - 3\)。
解：
（1）对于\(y = 3x + 2\)，\(k = 3 > 0\)，\(b = 2 > 0\)，因此直线经过第一、二、三象限。
（2）对于\(y = -2x + 5\)，\(k = -2 < 0\)，\(b = 5 > 0\)，因此直线经过第一、二、四象限。
（3）对于\(y = \frac{1}{2}x - 1\)，\(k = \frac{1}{2} > 0\)，\(b = -1 < 0\)，因此直线经过第一、三、四象限。
（4）对于\(y = -x - 3\)，\(k = -1 < 0\)，\(b = -3 < 0\)，因此直线经过第二、三、四象限。
例 3：已知一次函数\(y = (m - 2)x + m + 1\)的图象经过第一、二、四象限，求\(m\)的取值范围。
解：
因为一次函数图象经过第一、二、四象限，所以需满足：\(
\begin{cases}
k < 0 \\
b > 0
\end{cases}
\)
即：\(
\begin{cases}
m - 2 < 0 \\
m + 1 > 0
\end{cases}
\)
解第一个不等式：\(m - 2 < 0 \Rightarrow m < 2\)；
解第二个不等式：\(m + 1 > 0 \Rightarrow m > -1\)。
因此，\(m\)的取值范围是\(-1 < m < 2\)。
三、一次函数的性质
一次函数的性质是其图象特征的代数表达，主要体现在函数值随自变量的变化规律以及图象的对称性等方面，这些性质与参数\(k\)密切相关。
（一）函数的增减性
当\(k > 0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。即自变量\(x\)的值增大时，函数值\(y\)的值也随之增大；\(x\)的值减小时，\(y\)的值也随之减小。例如，对于\(y = 2x + 3\)，当\(x = 1\)时，\(y = 5\)；当\(x = 2\)时，\(y = 7\)，\(x\)增大，\(y\)也增大。
当\(k < 0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小。即自变量\(x\)的值增大时，函数值\(y\)的值随之减小；\(x\)的值减小时，\(y\)的值随之增大。例如，对于\(y = -2x + 1\)，当\(x = 1\)时，\(y = -1\)；当\(x = 2\)时，\(y = -3\)，\(x\)增大，\(y\)减小。
（二）函数的对称性
一次函数\(y = kx + b\)的图象是一条直线，关于其上任一点成中心对称，关于其垂直平分线成轴对称，但不关于原点对称（除非\(b = 0\)，即正比例函数）。
（三）例题解析
例 4：已知一次函数\(y = (2k - 1)x + 3\)，根据下列条件求\(k\)的取值范围：
（1）\(y\)随\(x\)的增大而增大；
（2）\(y\)随\(x\)的增大而减小。
解：
（1）因为\(y\)随\(x\)的增大而增大，所以比例系数\(k > 0\)，即\(2k - 1 > 0\)，解得\(2k > 1 \Rightarrow k > \frac{1}{2}\)。因此，\(k\)的取值范围是\(k > \frac{1}{2}\)。
（2）因为\(y\)随\(x\)的增大而减小，所以比例系数\(k < 0\)，即\(2k - 1 < 0\)，解得\(2k < 1 \Rightarrow k < \frac{1}{2}\)。因此，\(k\)的取值范围是\(k < \frac{1}{2}\)。
例 5：已知一次函数\(y = -3x + 2\)，比较当\(x_1 = -1\)和\(x_2 = 3\)时对应的函数值\(y_1\)和\(y_2\)的大小。
解：
因为一次函数\(y = -3x + 2\)中\(k = -3 < 0\)，所以\(y\)随\(x\)的增大而减小。
由于\(x_1 = -1 < x_2 = 3\)，因此\(y_1 > y_2\)。
四、一次函数图象与性质的应用
一次函数的图象和性质在实际生活中有着广泛的应用，能够帮助我们解决与线性变化相关的问题。
（一）利用图象解决实际问题
通过绘制一次函数的图象，可以直观地反映变量之间的线性关系，便于分析变化趋势、预测结果或确定最优方案。例如，在成本与产量的关系、行程问题等场景中，一次函数图象能清晰呈现变量间的对应关系。
（二）利用性质解决函数值问题
根据一次函数的增减性，可以求解函数值的范围、比较函数值大小或确定自变量的取值范围。
例 6：已知一次函数\(y = 2x - 1\)，当\(x\)取何值时，\(y > 0\)？
解：
由\(y > 0\)可得\(2x - 1 > 0\)，解得\(2x > 1 \Rightarrow x > \frac{1}{2}\)。
因此，当\(x > \frac{1}{2}\)时，\(y > 0\)。
例 7：某商店销售某种商品，每件成本为 3 元，售价为\(x\)元（\(3 < x \leq 10\)），每天的销售量为\(y\)件，且\(y\)与\(x\)之间的函数关系为\(y = -10x + 100\)。
（1）写出每天的利润\(w\)（元）与售价\(x\)（元）之间的函数关系式；
（2）当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
解：
（1）每天的利润 =（售价 - 成本）× 销售量，因此\(w\)与\(x\)之间的函数关系式为：\(w = (x - 3)(-10x + 100) = -10x^2 + 130x - 300\)（\(3 < x \leq 10\)）。
（2）对于二次函数\(w = -10x^2 + 130x - 300\)，由于二次项系数\(-10 < 0\)，函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值。对称轴为\(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{130}{2 (-10)} = 6.5\)。
因为\(3 < 6.5 \leq 10\)，所以当\(x = 6.5\)时，\(w\)取得最大值，最大值为：\(w = -10 (6.5)^2 + 130 6.5 - 300 = -10 42.25 + 845 - 300 = -422.5 + 845 - 300 = 122.5\)（元）。
因此，当售价为 6.5 元时，每天的利润最大，最大利润是 122.5 元。
五、常见误区
图象绘制错误：绘制一次函数图象时，选取的两点计算错误或连线不直，导致图象失真；或混淆平移方向，将\(y = kx + b\)的图象平移方向弄反。
参数影响判断错误：对\(k\)和\(b\)的符号与象限关系记忆混淆，例如错误地认为\(k > 0\)、\(b < 0\)时直线经过第二象限。
增减性应用错误：在利用增减性比较函数值或求解自变量范围时，忽略\(k\)的符号对增减性的影响，导致结论错误。
忽略自变量取值范围：在实际问题中，未考虑自变量的实际意义，导致函数关系式的应用超出合理范围。
平移规律理解偏差：错误地认为一次函数图象的平移是对\(x\)进行加减，而非对整个函数值进行平移，例如将\(y = 2x + 3\)看作\(y = 2(x + 3)\)的平移结果。
六、课堂总结
一次函数的图象：是一条直线，绘制方法采用两点法，可通过正比例函数图象平移得到（\(b > 0\)上移，\(b < 0\)下移）。
参数对图象的影响：
\(k\)决定倾斜方向（\(k > 0\)上升，\(k < 0\)下降）和倾斜程度（(|k
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.4.1根据一次函数的图象确定表达式
第四章 一次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.结合具体的实例，总结出可以由两个条件确定一次函数的表达式，培养学生的抽象概括能力；
2.通过合作学习，能根据题目描述确定一次函数和正比例函数的表达式，培养学生的运算能力；
3.通过教师讲评，掌握一次函数和正比例函数的性质，培养学生分析问题、解决问题的能力.
重点
难点
旧识回顾
正比例函数y＝kx的图象是什么形状？正比例函数有什么性质呢？
2. 一次函数y＝kx＋b的图象是什么形状？一次函数有什么性质呢？
是过原点的一条直线.性质：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小
是过点（0，b）和点 的一条直线.性质：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小
视频导入
t/秒
(1)请写出 v 与 t 的关系式；
(2) v=7.5 米／秒
（２，５）
某物体沿一个斜坡下滑，它的速度 v （米/秒）
与其下滑时间 t （秒）的关系如右图所示：
解：(1)设v＝kt，
因为(2,5)在图象上，
所以5＝2k，
k=2.5，即v=2.5t.
(2)下滑3秒时物体的速度是多少？
（2，5）
探究新知
一次函数的图象过点
（2，5）与（0，0），因此这两点的坐标适合一次函数y=kx+b.
知识点 1
待定系数法求一次函数的解析式
在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）的一次函数.一根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米.请写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度.
解：设y=kx+b(k≠0) 由题意得：14.5=b,16=3k+b,
解得：b=14.5 ; k=0.5.所以在弹性限度内，y=0.5x+14.5,
当x=4时，y＝0.5×4+14.5=16.5（厘米）.
即物体的质量为4千克时，弹簧长度为16.5厘米.
例
探究新知
你能归纳出待定系数法求函数解析式的基本步骤吗？
函数解析式
解析式中未知的系数
像这样先设出____________ ，再根据条件确定____________________ ，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.
探究新知
探究新知
归纳总结
（1）设：设一次函数的一般形式
求一次函数解析式的步骤:
y=kx+b(k≠0)
一次
（2）列：把图象上的点 ， 代入一次
函数的解析式，组成几个_________方程；
（3）解：解几个一次方程得k,b；
（4）还原：把k,b的值代入一次函数的解析式.
函数解析式y=kx+b
满足条件的两定点
一次函数的图象直线
画出
选取
解出
选取
从数到形
从形到数
数学的基本思想方法：
数形结合
整理归纳：从两方面说明：
探究新知
例1 一次函数图像经过点(2,0)和点(0,6)，写出函数解析式.
解得：
这个一次函数的解析式为y=-3x+6.
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.
把点（2，0）与（0，6）分别代入y=kx+b，得：
探究新知
素养考点 1
已知两点利用待定系数法求一次函数的解析式
已知一次函数的图象过点（3，5）与（0，-4），求这个一次函数的解析式．
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.
所以这个一次函数的解析式为
把点（3，5）与（0，-4）分别代入，得：
y=3x-4.
巩固练习
变式训练
解得 ,
例2 若一次函数的图象经过点 A(2,0)且与直线y=-x+3平行，求其解析式.
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.
探究新知
素养考点 2
已知一点利用待定系数法求一次函数的解析式
方法点拨：两直线平行，则一次函数中x的系数相等，即k的值不变.
因为一次函数图象与直线y= -x+3平行，所以k= -1.
又因为直线过点（2，0），
所以0=-1×2+b, 解得b=2,
y=-x+2.
所以解析式为
解：设直线l为y=kx+b,
因为l与直线y= -2x平行，所以k= -2.
又因为直线过点（0，2），
所以2=-2×0+b,解得b=2,
所以直线l的解析式为y=-2x+2.
已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，2)，求直线l的解析式.
巩固练习
变式训练
例3 已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的解析式.
y
x
O
2
注意：此题有两种情况.
素养考点 3
探究新知
几何面积和待定系数法求一次函数的解析式
分析：一次函数y=kx+b与y轴的交点是（0，b），与x轴的交点是（ ，0）.由题意可列出关于k，b的方程.
解：设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),
因为一次函数y=kx+b的图象过点（0，2），
所以b=2，
因为一次函数的图象与x轴的交点是( ，0)，则
解得k=1或-1.
故此一次函数的解析式为y=x+2或y=-x+2.
探究新知
正比例函数y=k1x与一次函数y=k2x+b的图象如图所示，它们的交点A的坐标为(3，4)，并且OB=5.
(1)你能求出这两个函数的解析式吗？
(2)△AOB的面积是多少呢？
分析：由OB=5可知点B的坐标为(0,-5).y=k1x的图象过点A(3，4)，y=k2x+b的图象过点A(3，4)，B(0,-5)，代入解方程(组)即可.
巩固练习
变式训练
巩固练习
解：（1）由题意知道，B点的坐标是（0，-5）
因为一次函数y=k2x+b的图象过点（0，-5），（3,4）
代入得，
因此y=3x-5.
因为正比例函数y=k1x的图象过点（3,4），
得 ， 因此 ，
S△AOB=5×4÷2=10.
解得 ，
知识点1 确定一次函数表达式
1.已知直线过点，则直线 对应的函数表达式是
( )
D
A. B. C. D.
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2.［教材P随堂练习T变式］ 已知正比例函数 的图象经过点
。
（1）求这个函数的表达式；
解：将点的坐标代入,得 ,
解得 ,
所以这个函数的表达式为 。
（2）判断点 是否在这个函数的图象上。
解：当时，,所以点 不在这个函数
的图象上。
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3.在平面直角坐标系内，一次函数的图象经过 ，
，三点，求这个一次函数的表达式及 的值。
解：由已知条件得，,,解得 。所以这个一次函数
的表达式为 。
因为一次函数的图象过点 ，
所以。所以 。
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知识点2 借助一次函数表达式解决简单实际问题
4.游学期间，两名老师带领 名学生到展览馆参观，已知老师参观门票
每张40元，学生参观门票每张20元，设参观门票总费用为元，则与
的函数关系为( )
A
A. B. C. D.
返回
5.如图，用绳子围成周长为的长方形，记长方形的一边长为 ，
它的邻边长为，则关于 的函数表达式是( )
A
A. B. C. D.
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6. 某地随着海拔的升高，大气压强下降，空气中的含氧
量也随之下降，即含氧量与大气压强 成正比例函数关系。
当时， 。
（1）含氧量与大气压强 之间的关系式是________；
（2）当大气压强是时，含氧量是____ 。
87
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7. ［教材 例1变式］物理实验证实：在弹性限度内，
某弹簧长度与所挂物体质量 满足一次函数关系。如表是实
验时，该弹簧长度与所挂物体质量的部分对应关系：
0 2 5
15 19 25
（1）求与 之间的函数关系式；
解：设与之间的关系式为，把， 代入
，得，再将，代入 ，易得
，所以与之间的函数关系式为 。
（2）当弹簧长度为 时，求所挂物体的质量。
解：当弹簧长度为 时，
，解得 ，
所以当弹簧长度为时，所挂物体的质量为 。
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用待定系数法求一次函数的解析式
2. 根据已知条件列出关于k，b的方程；
1. 设所求的一次函数解析式为y=kx+b（k≠0）；
3. 解方程，求出k，b;
4. 把求出的k，b代回解析式即可.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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