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5.2.1 代入消元法
在学习了二元一次方程组的概念后，接下来我们需要掌握求解二元一次方程组的方法。代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一，它的核心思想是 “消元”，即通过代入的方式将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，从而实现从 “二元” 到 “一元” 的转化。本节将学习代入消元法的基本原理、解题步骤，并通过实例进行巩固。
一、代入消元法的基本原理
二元一次方程组含有两个未知数，直接求解比较困难。代入消元法的基本思路是：将方程组中的一个方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程，再将求得的未知数的值代入变形后的方程中，求出另一个未知数的值。
这种方法的关键是 “消元”，即消除一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程，利用我们已有的知识解决问题。例如，对于方程组\(\begin{cases}x + y = 5 \\ 2x - y = 1\end{cases}\)，我们可以从第一个方程中用\(x\)表示\(y\)（或用\(y\)表示\(x\)），然后代入第二个方程，消去\(y\)（或\(x\)），得到一个关于\(x\)（或\(y\)）的一元一次方程。
二、用代入消元法解二元一次方程组的步骤
用代入消元法解二元一次方程组通常遵循以下步骤：
（一）变形方程
从方程组中选择一个系数比较简单的方程，将其变形为用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，即\(y = ax + b\)或\(x = ay + b\)（其中\(a\)、\(b\)为常数）。
（二）代入消元
将变形后的方程代入另一个未变形的方程中，消去一个未知数，得到一个关于另一个未知数的一元一次方程。
（三）求解一元一次方程
解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
（四）回代求解
将求得的未知数的值代入变形后的方程中，求出另一个未知数的值。
（五）写出方程组的解
用大括号将两个未知数的值联立起来，表示方程组的解。
（六）检验（可选）
将求得的解代入原方程组的两个方程中，验证左右两边是否相等，以确保解的正确性。
三、实例解析
（一）基本例题
例 1：用代入消元法解方程组\(\begin{cases}x + y = 5 \\ 2x - y = 1\end{cases}\)。
解：
变形方程：选择第一个方程\(x + y = 5\)，将其变形为用\(x\)表示\(y\)的形式：\(y = 5 - x\) （1）
代入消元：将（1）代入第二个方程\(2x - y = 1\)中，得：\(2x - (5 - x) = 1\)
求解一元一次方程：
去括号：\(2x - 5 + x = 1\)
合并同类项：\(3x - 5 = 1\)
移项：\(3x = 1 + 5\)
计算：\(3x = 6 \Rightarrow x = 2\)
回代求解：将\(x = 2\)代入（1）式，得：\(y = 5 - 2 = 3\)
写出方程组的解：\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}\)
检验：将\(x = 2\)，\(y = 3\)代入原方程组：
第一个方程：左边\(= 2 + 3 = 5\)，右边\(= 5\)，左边 = 右边；
第二个方程：左边\(= 2 2 - 3 = 1\)，右边\(= 1\)，左边 = 右边。
因此，解是正确的。
（二）系数为 1 或 - 1 的情况
例 2：解方程组\(\begin{cases}y = 2x - 3 \\ 3x + 2y = 8\end{cases}\)。
解：
变形方程：第一个方程\(y = 2x - 3\)已经是用\(x\)表示\(y\)的形式，无需再变形。
代入消元：将\(y = 2x - 3\)代入第二个方程\(3x + 2y = 8\)中，得：\(3x + 2(2x - 3) = 8\)
求解一元一次方程：
去括号：\(3x + 4x - 6 = 8\)
合并同类项：\(7x - 6 = 8\)
移项：\(7x = 8 + 6\)
计算：\(7x = 14 \Rightarrow x = 2\)
回代求解：将\(x = 2\)代入\(y = 2x - 3\)，得：\(y = 2 2 - 3 = 1\)
写出方程组的解：\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)
（三）系数不为 1 的情况
例 3：解方程组\(\begin{cases}2x + 3y = 16 \\ x + 4y = 13\end{cases}\)。
解：
变形方程：选择第二个方程\(x + 4y = 13\)，将其变形为用\(y\)表示\(x\)的形式：\(x = 13 - 4y\) （1）
代入消元：将（1）代入第一个方程\(2x + 3y = 16\)中，得：\(2(13 - 4y) + 3y = 16\)
求解一元一次方程：
去括号：\(26 - 8y + 3y = 16\)
合并同类项：\(26 - 5y = 16\)
移项：\(-5y = 16 - 26\)
计算：\(-5y = -10 \Rightarrow y = 2\)
回代求解：将\(y = 2\)代入（1）式，得：\(x = 13 - 4 2 = 13 - 8 = 5\)
写出方程组的解：\(\begin{cases}x = 5 \\ y = 2\end{cases}\)
（四）需要先化简的方程组
例 4：解方程组\(\begin{cases}3(x - 1) = y + 5 \\ 5(y - 1) = 3(x + 5)\end{cases}\)。
解：
首先，将方程组中的两个方程进行化简：
第一个方程：\(3(x - 1) = y + 5\)
去括号：\(3x - 3 = y + 5\)
变形为：\(3x - y = 8\) （1）
第二个方程：\(5(y - 1) = 3(x + 5)\)
去括号：\(5y - 5 = 3x + 15\)
移项、合并同类项：\(-3x + 5y = 20\) （2）
现在方程组化简为：\(\begin{cases}3x - y = 8 \\ -3x + 5y = 20\end{cases}\)
变形方程：由（1）式变形为用\(x\)表示\(y\)的形式：\(y = 3x - 8\) （3）
代入消元：将（3）代入（2）式，得：\(-3x + 5(3x - 8) = 20\)
求解一元一次方程：
去括号：\(-3x + 15x - 40 = 20\)
合并同类项：\(12x - 40 = 20\)
移项：\(12x = 20 + 40\)
计算：\(12x = 60 \Rightarrow x = 5\)
回代求解：将\(x = 5\)代入（3）式，得：\(y = 3 5 - 8 = 15 - 8 = 7\)
写出方程组的解：\(\begin{cases}x = 5 \\ y = 7\end{cases}\)
四、常见误区
变形方程错误：在将方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式时，出现移项错误或符号错误。例如，将\(x + y = 5\)变形为\(y = 5 + x\)，而正确的变形应为\(y = 5 - x\)。
代入时漏括号：当代入的代数式是多项式时，忘记加括号，导致计算错误。例如，将\(y = 5 - x\)代入\(2x - y = 1\)时，错误地写成\(2x - 5 - x = 1\)，而正确的应为\(2x - (5 - x) = 1\)。
解一元一次方程错误：在解消元后的一元一次方程时，出现去括号、移项、合并同类项等步骤的计算错误，导致求得的未知数的值错误。
回代时代入原方程：将求得的未知数的值回代时，错误地代入原方程而非变形后的方程，增加了计算难度，容易出错。例如，在例 1 中，求得\(x = 2\)后，应代入\(y = 5 - x\)，而不是代入原方程\(x + y = 5\)（虽然结果正确，但不够简便）。
忽略检验：虽然检验不是必须步骤，但在解题过程中如果出现错误，检验可以帮助我们及时发现问题。忽略检验可能导致将错误的解当作正确答案。
五、课堂总结
代入消元法的核心思想：消元，即通过代入将二元一次方程组转化为一元一次方程。
解题步骤：变形方程→代入消元→求解一元一次方程→回代求解→写出方程组的解（可选检验）。
关键技巧：选择系数简单的方程进行变形，代入时注意添加括号，回代时选择变形后的方程以简化计算。
注意事项：避免变形错误、代入漏括号、计算错误等问题，必要时进行检验以确保解的正确性。
代入消元法是解二元一次方程组的重要方法，通过本节的学习，我们应熟练掌握其解题步骤和技巧，能够运用代入消元法解决各类二元一次方程组的求解问题，为后续学习更复杂的方程组奠定基础。
六、课后作业
用代入消元法解下列方程组：
\(\begin{cases}x = y + 3 \\ 3x - 8y = 14\end{cases}\)
\(\begin{cases}y = 2x \\ 3x + y = 15\end{cases}\)
\(\begin{cases}2x + y = 5 \\ x - 3y = 6\end{cases}\)
\(\begin{cases}3x + 2y = 11 \\ x - y = 3\end{cases}\)
\(\begin{cases}4(x - y - 1) = 3(1 - y) - 2 \\ \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 2\end{cases}\)
\(\begin{cases}3x + 4y = 16 \\ 5x - 6y = 33\end{cases}\)
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.2.1代入消元法
第五章 二元一次方程组
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过自主探究和合作学习，学生会应用代入消元法解二元一次方程组，通过解二元一次方程组，培养学生的运算能力．
2．通过教师讲评，学生理解“消元”思想，体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想．
重点
难点
旧识回顾
解一元一次方程的步骤是什么？
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
视频导入
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？
(1)如果设胜的场数是x
，则负的场数是10-x,
可得一元一次方程
；
(2)如果设胜的场数是x
,负的场数是y,
可得二元一次方程组
那么怎样解这个二元一次方程组呢？
怎么求x、y的值呢？
昨天,我们8个人去红山公园玩,买门票花了34元.
每张成人票5元,每张儿童票3元.他们到底去了几个成人、几个儿童呢
还记得下面这一问题吗
设他们中有x个成人，y个儿童.
探究新知
知识点
代入消元法解二元一次方程组
回顾思考
5x+3(8-x)=34
x+y=8，
5x+3y=34
解：设去了x个成人，则去了(8-x)个儿童，根据题意，得：
解得：x=5.
将x=5代入
8-x=8-5=3.
答：去了5个成人，3个儿童.
用一元一次方程求解
解：设去了x个成人，去了y个儿童，根据题意，得：
用二元一次方程组求解
观察:二元一次方程组和一元一次方程有何联系？这对你解二元一次方程组有何启示？
y=8-x
探究新知
用二元一次方程组求解
由①得：y = 8－x. ③
将③代入②得：
5x+3(8－x)=34.
解得：x = 5.
把x = 5代入③得：y = 3.
x+y=8①
5x+3y=34②
探究新知
所以原方程组的解为：
x+y=8
5x+3y=34
5x+3(8-x)=34
第一个方程x+y=8
说明y=8-x
将第二个方程5x+3y=34的y换成8-x
解得x=5
代入y=8-x
得y=3
y= 3
x=5
思考 从
到
达到了什么目的 怎样达到的
x+y=8
5x+3y=34
5x+3(8-x)=34
探究新知
把二元一次方程转化为一元一次方程.通过减少未知数个数.
一个苹果和一个梨的质量合计200g,这个苹果的质量加上一个10g的砝码恰好与这个梨的质量相等,问苹果和梨的质量各是多少g？
探究新知
问题探究
+
＝200
x
y
＝
+ 10
x
y
+10
+
＝200
x
x
探究新知
x + y = 200
y = x + 10
(x+10)
x +( x +10) = 200
①
②
x = 95
y = 105
故方程组 的解是
y = x + 10
x + y = 200
x = 95，
y =105.
将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想，叫做消元思想.
转化
探究新知
求方程组解的过程叫做解方程组.
解二元一次方程组的基本思路“消元”
二元一次方程组
一元一次方程
消元
转化
用“代入”的方法进行“消元”，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.
代入法是解二元一次方程组常用的方法之一.
探究新知
将y=1代入② ，得x=4.
经检验， x=4，y=1适合原方程组
所以原方程组的解是
x=4，
y=1.
解：将②代入①，得 3(y+3)+2y=14，
3y +9+2y =14，
5y=5，
y=1.
解方程组
3x+2y=14 ①
x=y+3 ②
探究新知
检验可以口算或在草稿纸上验算，以后可以不必写出.
素养考点 1
代入消元法解能直接代入的二元一次方程组
例1
用代入法解下列方程组：
解：把①代入②，得
3x+2（ ）=_
解这个方程，得x＝ .
把x＝ 代入①，得y= __，
所以原方程组的解是 .
2x-3
8
2
2
2
1
1
巩固练习
①
②
变式训练
解方程组：
代入求解
再代求解
写解
（检 验）
变形
还能直接代入吗？
探究新知
素养考点 2
代入消元法解需要变形的二元一次方程组
例2
2x+3y=16 ①
x+4y=13 ②
解：由② ，得 x=13 - 4y ③
将③代入① ，得 2（13 - 4y）+3y=16
26 –8y +3y =16,
-5y= -10,
y=2.
将y=2代入③ ，得x=5.
所以原方程组的解是
x=5
y=2
2
-1
巩固练习
2x-5
2
2x-5
-1
解：由①，得y= … ③
把③代入②，得3x+4（ ）=
解这个方程，得x＝
把x＝ 代入③，得y=
所以原方程组的解是
2
2
用代入法解下列方程组：
变式训练
①
②
例3 解方程组：
③
①
由 得：
解得：x=20000
把x=20000代入 得：y=50000
③
解：
①
②

í
ì
=
+
=
22500000
250
500
2
5
y
x
y
x
探究新知
把 代入 得：
③
②
所以
探究新知
方法点拨
用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取未知数系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.
巩固练习
解方程组：
把 代入 得：2（y-2-1)=y+1
②
①
解得：x=5
把x=5代入①得：y=7
解：
变式训练
①
②
所以原方程组的解是：
知识点1 直接用代入消元法解二元一次方程组
1.用代入法解方程组 时，下列说法正确的是( )
A
A.直接把①代入②，消去 B.直接把①代入②，消去
C.直接把②代入①，消去 D.直接把②代入①，消去
返回
2.对于二元一次方程组将①代入②，消去 可以得到
( )
B
A. B.
C. D.
返回
3.［教材P随堂练习T 变式］ 用代入消元法解二元一次方程组：
（1）
解：将①代入②，得，解得 。
将代入①，得 。
所以原方程组的解为
（2）
解：将②代入①，得，解得 。
将代入②，得 。
所以原方程组的解为
（3）
解：将①代入②，得 。
解得。将 代入①，
得 。
所以原方程组的解为
（4）
解：将①代入②，得，解得 。
将代入①，得 。
所以原方程组的解为
返回
解二元一次方程组
基本思路“消元”
代入法解二元一次方程组的一般步骤
变形
代入
解
回代
写出解
检验
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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