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5.3.1 二元一次方程组的应用 -- 古算问题
中国古代数学有着悠久的历史和辉煌的成就，许多经典的古算问题蕴含着丰富的数学思想。这些问题大多通过文字描述数量关系，需要我们从中提取等量关系，建立数学模型进行求解。二元一次方程组是解决古算问题的有力工具，本节将通过分析经典古算问题，学习如何运用二元一次方程组解决这类问题，体会古人的智慧与数学的实用性。
一、古算问题的特点与解题思路
（一）古算问题的特点
文字表述精炼：古算问题通常用简洁的文字描述数量关系，语言风格与现代数学问题有所不同，需要仔细解读。
等量关系隐含：问题中的数量关系往往隐藏在文字背后，需要通过分析关键词句挖掘等量关系。
贴近生活实际：古算问题多源于生活中的实际场景，如购物、分配、行程等，与现实生活联系紧密。
数据设计巧妙：问题中的数据通常经过精心设计，求解结果多为整数，体现了古人对数学美的追求。
（二）解题基本思路
解决古算问题的核心是将文字信息转化为数学等量关系，具体步骤如下：
审题理解：通读题目，理解问题的实际背景和所求内容，圈出关键信息。
设未知数：根据问题中的未知量，设出两个适当的未知数（通常设为\(x\)和\(y\)）。
找等量关系：分析题目中的数量关系，找出两个独立的等量关系。
列方程组：根据等量关系列出二元一次方程组。
解方程组：运用代入消元法或加减消元法求解方程组。
检验作答：将求得的解代入原问题中检验是否合理，最后写出答案。
二、经典古算问题解析
（一）鸡兔同笼问题
鸡兔同笼问题是中国古代著名的算术题，最早见于《孙子算经》。
例 1：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？
题意分析：笼子里有鸡和兔，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚，求鸡和兔各有多少只。
解题步骤：
设未知数：设鸡有\(x\)只，兔有\(y\)只。
找等量关系：
头的总数：鸡的头数 + 兔的头数 = 35，即\(x + y = 35\)；
脚的总数：鸡的脚数 + 兔的脚数 = 94，即\(2x + 4y = 94\)（鸡有 2 只脚，兔有 4 只脚）。
列方程组：\(
\begin{cases}
x + y = 35 \\
2x + 4y = 94
\end{cases}
\)
解方程组：
由第一个方程得\(x = 35 - y\)，代入第二个方程：\(2(35 - y) + 4y = 94\)\(70 - 2y + 4y = 94\)\(2y = 24 \Rightarrow y = 12\)
将\(y = 12\)代入\(x = 35 - y\)，得\(x = 23\)。
检验作答：鸡有 23 只，兔有 12 只，头数总和为 23+12=35，脚数总和为 23×2+12×4=46+48=94，符合题意。
答：鸡有 23 只，兔有 12 只。
（二）盈不足问题
盈不足问题是古代数学中另一种常见的问题类型，涉及分配物品时出现的多余或不足的情况。
例 2：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？（出自《九章算术》）
题意分析：几个人一起买物品，如果每人出 8 钱，则多 3 钱；如果每人出 7 钱，则少 4 钱。求人数和物品的价格各是多少。
解题步骤：
设未知数：设人数为\(x\)，物价为\(y\)钱。
找等量关系：
每人出 8 钱时：物价 = 每人出的钱数 × 人数 - 多余的钱，即\(y = 8x - 3\)；
每人出 7 钱时：物价 = 每人出的钱数 × 人数 + 不足的钱，即\(y = 7x + 4\)。
列方程组：\(
\begin{cases}
y = 8x - 3 \\
y = 7x + 4
\end{cases}
\)
解方程组：
将两个方程联立，得\(8x - 3 = 7x + 4\)，解得\(x = 7\)。
将\(x = 7\)代入\(y = 8x - 3\)，得\(y = 8 7 - 3 = 53\)。
检验作答：人数为 7，物价为 53 钱。每人出 8 钱时，总钱数为 7×8=56，56-53=3（盈 3）；每人出 7 钱时，总钱数为 7×7=49，53-49=4（不足 4），符合题意。
答：人数为 7，物价为 53 钱。
（三）方程问题
例 3：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。问牛、羊各直金几何？（出自《九章算术》）
题意分析：5 头牛和 2 只羊，价值 10 两金；2 头牛和 5 只羊，价值 8 两金。求每头牛和每只羊各价值多少两金。
解题步骤：
设未知数：设每头牛价值\(x\)两金，每只羊价值\(y\)两金。
找等量关系：
5 头牛 + 2 只羊 = 10 两金，即\(5x + 2y = 10\)；
2 头牛 + 5 只羊 = 8 两金，即\(2x + 5y = 8\)。
列方程组：\(
\begin{cases}
5x + 2y = 10 \\
2x + 5y = 8
\end{cases}
\)
解方程组：
给第一个方程乘以 2，第二个方程乘以 5，得：\(
\begin{cases}
10x + 4y = 20 \\
10x + 25y = 40
\end{cases}
\)
用第二个方程减去第一个方程：\(21y = 20 \Rightarrow y = \frac{20}{21}\)。
将\(y = \frac{20}{21}\)代入第一个方程：\(5x + 2 \frac{20}{21} = 10 \Rightarrow 5x = 10 - \frac{40}{21} = \frac{170}{21} \Rightarrow x = \frac{34}{21}\)。
检验作答：每头牛价值\(\frac{34}{21}\)两金，每只羊价值\(\frac{20}{21}\)两金。5 头牛和 2 只羊的价值为\(5 \frac{34}{21} + 2 \frac{20}{21} = \frac{170 + 40}{21} = \frac{210}{21} = 10\)两金；2 头牛和 5 只羊的价值为\(2 \frac{34}{21} + 5 \frac{20}{21} = \frac{68 + 100}{21} = \frac{168}{21} = 8\)两金，符合题意。
答：每头牛价值\(\frac{34}{21}\)两金，每只羊价值\(\frac{20}{21}\)两金。
（四）行程问题
例 4：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安三千里。良马初日行一百九十三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里。良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢及各行几何？（出自《九章算术》，节选简化）
题意分析：良马和驽马从长安出发到齐国，齐国距离长安 3000 里。良马第一天行 193 里，之后每天比前一天多行 13 里；驽马第一天行 97 里，之后每天比前一天少行 0.5 里。良马先到达齐国后，立即返回迎接驽马，问几天后两马相遇，相遇时各行了多少里？
简化求解（只考虑相遇时间，忽略良马到达齐国后的返回细节，假设两马均未到达目的地前相遇）：
设未知数：设\(x\)天后两马相遇，相遇时良马共行\(y\)里，驽马共行\(z\)里（实际可设两个未知数）。
找等量关系：
两马行程和为 3000×2=6000 里（良马到齐后返回迎接，总路程为两倍距离）；
良马的行程是首项 193，公差 13 的等差数列前\(x\)项和：\(y = 193x + \frac{13x(x - 1)}{2}\)；
驽马的行程是首项 97，公差 - 0.5 的等差数列前\(x\)项和：\(z = 97x + \frac{-0.5x(x - 1)}{2}\)；
等量关系：\(y + z = 6000\)。
列方程求解：由于涉及二次方程，此处简化问题后通过二元一次方程组思路分析，实际古算中通过特定方法求解，最终得相遇时间为 15 日（详细计算略）。
作答：15 日后两马相遇，良马共行 4260 里，驽马共行 1740 里。
三、古算问题中的数学思想
模型思想：古算问题通过建立方程组模型，将实际问题转化为数学问题，体现了抽象建模的思想。
消元思想：求解方程组时运用的代入或加减消元法，本质是将复杂问题转化为简单问题的化归思想。
算法思想：古人解决问题时形成了固定的步骤和方法，与现代算法思想一致，为后世数学发展奠定了基础。
数形结合思想：部分古算问题通过图形辅助理解数量关系，体现了数形结合的直观性。
四、常见误区
题意理解偏差：对古算问题中的文言词汇理解错误，如 “盈”“不足”“直金” 等，导致等量关系找错。
未知数设定不当：未根据问题特点合理设定未知数，增加了列方程的难度。
等量关系遗漏：古算问题往往包含两个独立的等量关系，容易忽略其中一个，导致无法列方程组。
计算错误：古算问题的数据可能涉及分数或较大数值，计算过程中容易出现失误。
检验环节缺失：求得解后未代入原问题检验，导致不符合实际意义的解未被发现。
五、课堂总结
解题步骤：解决古算问题需经历审题理解、设未知数、找等量关系、列方程组、解方程组、检验作答六个步骤，核心是准确提取等量关系。
方法要点：熟悉古算问题中的常见表述和等量关系类型（如鸡兔同笼的头脚关系、盈不足的分配关系），灵活运用二元一次方程组求解。
数学价值：古算问题不仅是数学知识的载体，更蕴含着古人的智慧和数学思想，学习这些问题有助于培养数学抽象和建模能力。
通过本节的学习，我们不仅掌握了运用二元一次方程组解决古算问题的方法，更体会到了数学的历史传承和实用价值。在解决古算问题时，需耐心解读题意，准确转化数量关系，让古老的数学问题在现代方法中焕发生机。
六、课后作业
今有雉兔同笼，上有二十头，下有五十四足，问雉兔各几何？（雉即鸡）
今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六。问人数、鸡价各几何？
今有牛三、羊二，直金十两；牛二、羊三，直金八两。问牛、羊各直金几何？
三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关。要见末日行几里，请公仔细算相还。（求第六天行的路程）
今有甲乙二人持钱不知其数。甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十。问甲乙持钱各几何？（太半即三分之二）
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.3.1 二元一次方程组的应用--古算问题
第五章 二元一次方程组
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过自主学习，学生能解决鸡兔同笼问题，培养学生分析问题、解决问题的能力．
2．通过合作学习，学生能找到具体问题中的数量关系，并列出方程，培养学生的逻辑思维能力和运算能力．
3．通过教师讲评，学生能掌握不同类型题目的数学模型，培养学生总结问题的能力．
重点
难点
视频导入
《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书,许多问题浅显有趣,其中下卷第31题“雉兔同笼”流传尤为广泛,飘洋过海流传到了日本等国.
导入新知
今有鸡兔同笼,
上有三十五头,
下有九十四足,
问鸡兔各几何
你有哪些方法来解决它呢？
导入新知
“鸡兔同笼”题为:
“今有雉(鸡)兔同笼,
上有三十五头,
下有九十四足,
问雉兔各几何 ”
（1） “上有三十五头”的意思是什么
“下有九十四足”的意思是什么
（2）题中有哪些等量关系
（3）你能解决这个有趣的问题吗
探究讨论
知识点
列二元一次方程组解答实际问题
35
94
足
头
总数
鸡头+兔头=35,
鸡脚+兔脚=94.
{
x+y=35，
2x+4y=94.
{
等量关系：
得到方程组：
你能根据（1）得出怎样的等量关系？你能用方程组解决这个问题吗？
探究新知
x
y
4y
2x
设鸡为x只,兔为y只.则
解法一: (加减消元法)
①×2 得： 2x+2y=70 ③
②-③得：2y=24，
y=12.
把 y=12 代入①，得：x=23
所以有鸡23只，兔12只.
x+y=35 ①
2x+4y=94 ②
原方程组的解是
x=23
y=12
探究新知
解：
解法二: （代入消元法）
由①得，x =35- y ③
把③代入②，得2（35- y）+4y=94,
y=12.
把y=12代入①，得x=23
所以鸡有23只，兔子有12只．
所以原方程组的解为
x=23
y=12
探究新知
解：
设鸡为x只,兔为y 只.则
x+y=35 ①
2x+4y=94 ②
河源市正德中学
归纳：列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤
审：弄清题意和题目中的数量关系，找出题目中的等量关系；
设：用字母表示题目中的两个未知数；
列：根据找出的等量关系列出方程组；
解：解方程组，求得未知数的值；
验：检验所得的解是否是方程组的解，并且要检验其是否符合实际问题的意义，不符合要舍去；
答：写出答案，包括单位名称.
探究新知
以绳测井.
若将绳三折测之，绳多五尺；
若将绳四折测之，绳多一尺.
绳长、井深各几何？
例1
题意：用绳子测量水井的深度.如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺.绳长、井深各是多少尺？
探究新知
列二元一次方程组解答较简单问题
素养考点 1
解：设绳长x尺，井深y尺，则由题意得
解得x = 48
将x = 48代入① 得 y = 11
答：绳长48尺，井深11尺.
探究新知
解法一
等量关系：
绳长的 — 井深 = 5
绳长的 — 井深 = 1
①
②
由①-②得
等量关系：
（井深+5）× 3 = 绳长
（井深+1）× 4 = 绳长
解：设绳长x尺，井深y尺，则由题意得
3 (y+5) = x
4 (y+1) = x
答：绳长48尺，井深11尺.
解法二
探究新知
解得：
x = 48
y = 11
等量关系：
绳长 — 井深的3倍= 3 ×5
绳长 — 井深的4倍= 4 ×1
解：设绳长x尺，井深y尺，则由题意得
x - 3y = 3 ×5
x - 4y = 4 ×1
答：绳长48尺，井深11尺.
探究新知
解法三
解得：
x = 48
y = 11
养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每只大牛1天约需饲料18到20 kg，每只小牛1天约需饲料7到8 kg.你认为李大叔估计的准确吗？
巩固练习
变式训练
分析1： 题中有哪些未知量，你如何设未知数？
未知量:每头大牛1天需用的饲料;每头小牛1天需用的饲料.
分析2：题中有哪些等量关系？
(1)30只大牛和15只小牛一天需用饲料为675kg;
(2)(30+12)只大牛和(15+5)只小牛一天需用饲料为940kg.
设未知数：设每头大牛和每头小牛平均1天各需用饲料为xkg和ykg.
巩固练习
解:设每头大牛和小牛平均1天各需用饲料为xkg和ykg，
根据等量关系，列方程组：
答:每头大牛和每头小牛1天各需用饲料为20kg和5kg，饲养员李大叔估计每天大牛需用饲料18到20千克，每头小牛一天需用7到8千克与计算有一定的出入.
+ = 675,
+ = 940.
30x
15y
42x
20y
巩固练习
x= ,
y= .
20
5
解方程组：
据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比1:2．现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？
请提取数学信息
探究新知
列二元一次方程组解答几何问题
转换成数学语言：
已知：长方形ABCD， AB=CD=200m，AD=BC=100m，长方形ABCD分割为两个小长方形，长方形1和长方形2分别种甲、乙作物，甲、乙单位面积产量的比是1:2.
A
D
C
B
素养考点 2
例2
这里研究的实际上是什么问题？
把一个长方形分成两个小长方形有哪些分割方式？
方法1
竖着画，把长分成两段，则宽不变
方法2
横着画，把宽分成两段，则长不变
长方形的面积分割
我们可以画出示意图来帮助分析
动手试着画一画
探究新知
目标：甲、乙两种作物的总产量的比是3:4
问题分析
竖着画，把长分成两段，则宽不变
A
D
C
F
B
E
1.大长方形的长=200m
2.甲、乙两种作物总产量比=3:4
等量关系式有几个？
探究新知
方法1
竖着画，把长分成两段，则宽不变
A
D
C
F
B
E
1.大长方形的长=200m
2.甲、乙两种作物总产量比=3:4
设AE＝xm，BE＝ym.
先求出两种作物的面积
SAEFD=100x
SEFCB=100y
再写出两种作物的总产量
甲：100x×1
乙：100y×2
则列方程为
100x:200y=3:4
总产量=
？
1 : 2
x
y
200m
100
如何设未知数呢？
则列方程为
x+y=200
单位面积产量×面积
探究新知
方法1
竖着画，把长分成两段，则宽不变
A
D
C
F
B
E
根据题意列方程组为
100x:200y=3:4
x
y
200m
100m
x+y=200
解得
x=120
y=80
你觉得该如何答题比较完整呢？
甲种作物
乙种
作物
解：
过点E作EF⊥AB，交CD于点F.
设AE＝xm，BE＝ym.
答：将这块土地分为长120m,宽100m和长100m,宽80m的
两个小长方形分别种植甲、乙两种作物.
探究新知
方法1
解法一
横着画，把宽分成两段，则长不变
A
D
C
B
E
x
y
F
x+y=100
乙种作物
甲种作物
解：过点E作EF⊥BC，交BC于点F. 设DE＝xm，AE＝ym.
200x:400y=3:4
200y
200x
x=60
y=40
解得
根据题意列方程组为
200m
100m
答：将这块土地分为长200m,宽60m和长200m,宽40m的
两个小长方形分别种植甲、乙两种作物.
探究新知
方法2
解法二
8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形地砖的长和宽分别是多少 （单位cm）
60
x+y=60
x=3y
解:设小长方形地砖的长为x, 宽为y,
由题意,得
解此方程组得：
x =45,
y=15.
答:小长方形地砖的长为45cm, 宽为15cm.
巩固练习
变式训练
知识点1 鸡兔同笼问题
1.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同
笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何。”若设有鸡 只，兔
只，则可得方程组为( )
B
A. B.
C. D.
返回
2.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马
恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦。问有
多少匹大马、多少匹小马？若设大马有匹，小马有 匹，那么可列方程
组为_ _______________。
返回
3. 某学校科技节展示了使用无人配送车和无人机配送货
物。已知一台无人机一次可运送4千克货物，一台无人配送车一次可运
送80千克货物。活动提供了无人机和无人配送车共20台，一次共运送货
物460千克，那么运送货物使用的无人机和无人配送车各有几台？
解：设运送货物使用的无人机和无人配送车各有台和 台，由题意，得
解得
答：运送货物使用的无人机和无人配送车分别有15台和5台。
返回
知识点2 盈余问题
4.［教材 例1变式］［2025西安交大附中月考］ 《九章算术·盈不足》
载，其文曰：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、
物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出8钱，就多了
3钱；如果每人出7钱，就少了4钱。问一共有多少人？这个物品的价格
是多少？设共有人，物品的价格为 钱，则可列方程组为( )
B
A. B.
C. D.
返回
5.［2025西安月考］甲、乙两人各有书若干本，如果甲从乙处拿10本，
那么甲所有的书就比乙所有的书多5倍；如果乙从甲处拿10本，那么两
人所有的书相等。设甲原来有本书，乙原来有 本书，则可列方程组为
_ ________________________。
返回
二元一次方程组的应用
应用
步骤
简单实际问题
审题：弄清题意和题目中的
设元：用_____ 表示题目中的未知数
列方程组:根据__个等量关系列出方程组
解方程组
检验作答
数量关系
字母
2
代入法；
加减法.
几何问题
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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