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5.5 三元一次方程组
在解决实际问题时，我们常常会遇到含有三个未知数的等量关系，这时需要引入三元一次方程组。三元一次方程组是二元一次方程组的延伸，其解题思想仍然是 “消元”，通过逐步减少未知数的个数，将三元问题转化为二元问题，再进一步转化为一元问题求解。本节将学习三元一次方程组的概念、解法步骤，并通过实例掌握这一重要的数学工具。
一、三元一次方程组的概念
（一）三元一次方程
含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程，叫做三元一次方程。其一般形式为：\(ax + by + cz = d\)
其中\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)是常数，且\(a\)、\(b\)、\(c\)不全为 0，\(x\)、\(y\)、\(z\)是未知数。
例如：\(2x + 3y - z = 5\)、\(x - y + 2z = 1\)都是三元一次方程。三元一次方程有无数组解，每一组解都是由三个未知数的取值组成的有序实数对\((x, y, z)\)。
（二）三元一次方程组
由三个含有相同未知数的三元一次方程组成的方程组，叫做三元一次方程组。其一般形式为：\(
\begin{cases}
a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\
a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\
a_3x + b_3y + c_3z = d_3
\end{cases}
\)
其中\(a_1\)、\(b_1\)、\(c_1\)（\(i = 1,2,3\)）不全为 0。
例如：\(
\begin{cases}
x + y + z = 6 \\
2x - y + z = 3 \\
x + 2y - z = 2
\end{cases}
\)
就是一个三元一次方程组。三元一次方程组的解是指同时满足方程组中所有方程的一组未知数的值。
二、三元一次方程组的解法思路
三元一次方程组的解法核心是 “消元”，与二元一次方程组的解法思路一致，但需要多一步消元过程。具体思路如下：
化三元为二元：从方程组中选择一个系数较简单的未知数，通过代入消元法或加减消元法，消去这个未知数，将三元一次方程组转化为一个二元一次方程组。
化二元为一元：解转化后的二元一次方程组，求出两个未知数的值。
回代求解：将求出的两个未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出第三个未知数的值。
写出方程组的解：用大括号将三个未知数的值联立起来，表示方程组的解。
检验（可选）：将求得的解代入原方程组的三个方程中，验证左右两边是否相等，确保解的正确性。
三、三元一次方程组的解法步骤与实例解析
（一）加减消元法为主的解法
例 1：解方程组\(
\begin{cases}
x + y + z = 6 \quad (1) \\
2x - y + z = 3 \quad (2) \\
x + 2y - z = 2 \quad (3)
\end{cases}
\)
解题步骤：
消去\(z\)，得到二元一次方程组：
用方程（1）减去方程（2）：\((x + y + z) - (2x - y + z) = 6 - 3\)
化简得：\(-x + 2y = 3\) （4）
用方程（1）加上方程（3）：\((x + y + z) + (x + 2y - z) = 6 + 2\)
化简得：\(2x + 3y = 8\) （5）
得到二元一次方程组：\(
\begin{cases}
-x + 2y = 3 \\
2x + 3y = 8
\end{cases}
\)
解二元一次方程组：
由方程（4）得：\(x = 2y - 3\) （6）
将（6）代入方程（5）：\(2(2y - 3) + 3y = 8\)\(4y - 6 + 3y = 8\)\(7y = 14 \Rightarrow y = 2\)
将\(y = 2\)代入（6）得：\(x = 2 2 - 3 = 1\)
回代求\(z\)：
将\(x = 1\)，\(y = 2\)代入方程（1）：\(1 + 2 + z = 6 \Rightarrow z = 3\)
写出方程组的解：\(
\begin{cases}
x = 1 \\
y = 2 \\
z = 3
\end{cases}
\)
检验：
将\(x = 1\)，\(y = 2\)，\(z = 3\)代入原方程组：
方程（1）：左边\(= 1 + 2 + 3 = 6\)，右边\(= 6\)，左边 = 右边；
方程（2）：左边\(= 2 1 - 2 + 3 = 3\)，右边\(= 3\)，左边 = 右边；
方程（3）：左边\(= 1 + 2 2 - 3 = 2\)，右边\(= 2\)，左边 = 右边。
解正确。
（二）代入消元法与加减消元法结合
例 2：解方程组\(
\begin{cases}
3x - y + z = 4 \quad (1) \\
2x + 3y - z = 12 \quad (2) \\
x + y + z = 6 \quad (3)
\end{cases}
\)
解题步骤：
消去\(z\)，得到二元一次方程组：
方程（1）+ 方程（2）：\(3x - y + z + 2x + 3y - z = 4 + 12\)
化简得：\(5x + 2y = 16\) （4）
方程（2）+ 方程（3）：\(2x + 3y - z + x + y + z = 12 + 6\)
化简得：\(3x + 4y = 18\) （5）
得到二元一次方程组：\(
\begin{cases}
5x + 2y = 16 \\
3x + 4y = 18
\end{cases}
\)
解二元一次方程组：
方程（4）×2 - 方程（5）：\(2(5x + 2y) - (3x + 4y) = 32 - 18\)\(10x + 4y - 3x - 4y = 14\)\(7x = 14 \Rightarrow x = 2\)
将\(x = 2\)代入方程（4）：\(5 2 + 2y = 16 \Rightarrow 10 + 2y = 16 \Rightarrow y = 3\)
回代求\(z\)：
将\(x = 2\)，\(y = 3\)代入方程（3）：\(2 + 3 + z = 6 \Rightarrow z = 1\)
写出方程组的解：\(
\begin{cases}
x = 2 \\
y = 3 \\
z = 1
\end{cases}
\)
（三）含缺项的三元一次方程组
例 3：解方程组\(
\begin{cases}
x + z = 5 \quad (1) \\
3x + 2y = 12 \quad (2) \\
4y + z = 21 \quad (3)
\end{cases}
\)
题意分析：方程组中每个方程都缺少一个未知数，可先从只含两个未知数的方程入手消元。
解题步骤：
由方程（1）得\(z = 5 - x\) （4）
将（4）代入方程（3）消去\(z\)：\(4y + 5 - x = 21 \Rightarrow -x + 4y = 16\) （5）
联立方程（2）和（5）组成二元一次方程组：\(
\begin{cases}
3x + 2y = 12 \\
-x + 4y = 16
\end{cases}
\)
解二元一次方程组：
方程（5）×3 + 方程（2）：\(3(-x + 4y) + 3x + 2y = 48 + 12\)\(-3x + 12y + 3x + 2y = 60\)\(14y = 60 \Rightarrow y = \frac{30}{7}\)
将\(y = \frac{30}{7}\)代入方程（2）：\(3x + 2 \frac{30}{7} = 12 \Rightarrow 3x = 12 - \frac{60}{7} = \frac{24}{7} \Rightarrow x = \frac{8}{7}\)
回代求\(z\)：
将\(x = \frac{8}{7}\)代入（4）得：\(z = 5 - \frac{8}{7} = \frac{27}{7}\)
写出方程组的解：\(
\begin{cases}
x = \frac{8}{7} \\
y = \frac{30}{7} \\
z = \frac{27}{7}
\end{cases}
\)
四、三元一次方程组的实际应用
例 4：某学校购买了三种图书共 100 本，花费 2800 元。已知故事书每本 20 元，科技书每本 30 元，文艺书每本 40 元，且科技书的数量是故事书的 2 倍。求三种图书各购买了多少本？
解题步骤：
设未知数：设故事书购买了\(x\)本，科技书购买了\(y\)本，文艺书购买了\(z\)本。
找等量关系：
三种图书总数为 100 本：\(x + y + z = 100\)；
总花费为 2800 元：\(20x + 30y + 40z = 2800\)；
科技书数量是故事书的 2 倍：\(y = 2x\)。
列方程组：\(
\begin{cases}
x + y + z = 100 \\
20x + 30y + 40z = 2800 \\
y = 2x
\end{cases}
\)
化简方程组：
方程（2）两边同时除以 10 得：\(2x + 3y + 4z = 280\) （4）
将方程（3）\(y = 2x\)代入方程（1）和（4）：
代入方程（1）：\(x + 2x + z = 100 \Rightarrow 3x + z = 100 \Rightarrow z = 100 - 3x\) （5）
代入方程（4）：\(2x + 3 2x + 4z = 280 \Rightarrow 2x + 6x + 4z = 280 \Rightarrow 8x + 4z = 280 \Rightarrow 2x + z = 70\) （6）
解二元一次方程组：
将（5）代入（6）：\(2x + 100 - 3x = 70 \Rightarrow -x = -30 \Rightarrow x = 30\)
则\(y = 2x = 60\)，\(z = 100 - 3 30 = 10\)
检验作答：故事书 30 本，科技书 60 本，文艺书 10 本，总数 30+60+10=100 本，总花费 20×30+30×60+40×10=600+1800+400=2800 元，符合题意。
答：故事书购买了 30 本，科技书购买了 60 本，文艺书购买了 10 本。
五、常见误区
消元顺序不当：在消元时未选择系数简单的未知数，导致计算过程繁琐，容易出错。例如，优先消去系数较大或分数系数的未知数。
符号错误：在进行加减消元时，未正确处理符号，尤其是减去一个负数时容易出错，如将\((x + y) - (-x + z)\)错误计算为\(x + y - x + z\)。
漏写未知数：在转化为二元一次方程组后，忘记原方程组中的第三个未知数，导致最终只求出两个未知数的值。
代入错误：将求得的两个未知数的值回代时，代入了错误的方程，或计算过程中出现失误。
忽略检验：三元一次方程组计算步骤较多，容易出现计算错误，忽略检验会导致错误解未被发现。
六、课堂总结
核心概念：三元一次方程组是由三个含相同未知数的三元一次方程组成的方程组，其解是同时满足所有方程的一组未知数的值。
解题思想：核心思想是 “消元”，通过代入或加减消元法，逐步将三元转化为二元，再转化为一元，最终求解。
解题步骤：选择消元对象→消元得二元一次方程组→解二元一次方程组→回代求第三个未知数→检验写解。
关键技巧：优先消去系数简单（如系数为 1 或 - 1）的未知数，消元过程中注意符号变化，步骤较多时可分步书写，减少错误。
通过本节的学习，我们掌握了三元一次方程组的解法，进一步巩固了消元思想在方程求解中的应用。三元一次方程组能够解决更复杂的实际问题，为分析含有多个等量关系的问题提供了有效的数学模型。
七、课后作业
解方程组：\(
\begin{cases}
x + y + z = 12 \\
x + 2y + 5z = 22 \\
x = 4y
\end{cases}
\)
解方程组：\(
\begin{cases}
2x + y + z = 15 \\
x + 2y + z = 16 \\
x + y + 2z = 17
\end{cases}
\)
一个三位数，个位、十位、百位上的数字之和为 12，百位上的数字是个位上的数字的 2 倍，个位上的数字与十位上的数字之和为 7，求这个三位数。
甲、乙、丙三人共捐款 150 元，甲捐款的 2 倍比乙多 10 元，丙捐款的 3 倍比乙少 5 元，求甲、乙、丙三人各捐款多少元？
某车间共有工人 50 人，生产 A、B、C 三种零件，每人每小时可生产 A 零件 3 个，或 B 零件 2 个，或 C 零件 1 个。已知生产 3 个 A 零件、2 个 B 零件和 1 个 C 零件
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.5三元一次方程组
第五章 二元一次方程组
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过类比二元一次方程(组)及其解的概念，理解三元一次方程(组)及其解的概念，培养归纳能力和类比思想．
2．通过类比解二元一次方程组的“消元”思想，探究出解三元一次方程组的方法，培养类比思想和迁移能力．
3．通过例题讲评，会应用代入消元法和加减消元法解简单的三元一次方程组，培养计算能力．
重点
难点
旧识回顾
1．什么是二元一次方程组？
2．求解二元一次方程组的方法有哪些？
共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组
代入消元法、加减消元法
问题导入
1.什么叫二元一次方程组？什么叫“元”，什么叫“次”？
2.解二元一次方程组有哪几种方法？
3.它们的实质是什么？
4.前面我们学习了一元一次方程，二元一次方程（组），今天我们继续学习三元一次方程（组）.
提出问题 1．题目中有几个条件？
2．问题中有几个未知量？
3．根据等量关系你能列出方程组吗？
已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数大1，甲数的2倍与乙数的和比丙数大20，求这三个数.
知识点 1
三元一次方程（组）及其解的概念
分析：在这个题目中，要我们求的有三个未知数，我们自然会想到设甲数、乙数、丙数分别是x、y、 z，根据题意可以得到下列三个方程:
x+y+z=23,x-y=1,2x+y-z=20
类似于二元一次方程组，可以得到下边的方程组：
思考 这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系，又如何求解？
探究新知
观察方程x+y+z=23
和2x+y-z=20
1．它们有什么共同特点？
它们都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1；
2．类比二元一次方程，你能说出这两个方程是什么方程吗？
是三元一次方程；
探究新知
4．你能得出什么是三元一次方程组的解？
是三元一次方程组，类比二元一次方程组，三元一次方程组中的方程不一定每个方程都要含有3个未知数，只要是一共含有三个未知数的三个一次方程所组成一组方程，就是三元一次方程组.
三元一次方程组中各个方程的公共解.
探究新知
3．那么方程组
应该叫做什么方程组呢？
像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组．
探究新知
由此，我们得出三元一次方程组及其解的定义:
1.共含有三个不相同的未知数.
2.未知数的项的次数都是1.
3.共有三个一次方程.
三元一次方程组必须满足的三个条件：
三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
探究新知
例 下列是三元一次方程组的是(　　)
A.　　　　　 B.
C. 　　　　　 D.
素养考点 1
三元一次方程组的判断
D
第二个方程含有未知数的项的次数不是1
第二个方程含有未知数的项的次数不是1
第一个方程不是整式方程
三个方程都是一次方程,且该方程组中一共含有三个未知数,故是三元一次方程组
怎样解三元一次方程组呢？
①
②
③
能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
知识点 2
探究新知
三元一次方程组的解法
解：由方程②得x=y+1④,把④分别代入①③得
2y+z=22 ⑤, 3y-z=18 ⑥
解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得
把y=8代入④，得x=9.
所以原方程的解是
x=9,
y=8,
z=6.
探究新知
解方程组
例
类似二元一次方程组的“消元”,把“三元”化成“二元”.
①
②
③
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 .
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
消元
“三元”
“二元”
二元一次方程组
一元一次方程
探究新知
解三元一次方程组
①
②
③
解：②×3＋③，得 11x＋10z=35④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
探究新知
分析：方程①中只含x, z, 因此,可以由②③消去y, 得到一个只含x, z的方程, 与方程①组成一个二元一次方程组.
把 x＝5，z＝-2 代入②，得
因此，三元一次方程组的解为
你还有其它解法吗？试一试，并与这种解法进行比较.
探究新知
解三元一次方程组
①
②
③
例1 在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=－1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解:根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c= 0， ①
4a＋2b＋c=3， ②
25a＋5b＋c=60. ③
②－①， 得 a＋b=1 ④
③－①，得 4a＋b=10 ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b=1，
4a＋b=10.
探究新知
素养考点 1
三元一次方程组求字母的值
a＋b=1，
4a＋b=10.
a=3，
b=-2.
解这个方程组，得
把 代入①，得
a=3，
b=-2
c=-5,
a=3，
b=-2，
c=-5.
因此
探究新知
例2 幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含A、B、C三种食物，下表给出的是每份（50g)食物A、B、C分别所含的铁、钙和维生素的量（单位）
食物 铁 钙 维生素
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
素养考点 2
探究新知
利用三元一次方程组解答实际问题
解：(1)由该食谱中包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素，得方程组
③
①
②
（1）如果设食谱中A、B、C三种食物各为x、y、z份，请列出方程组，使得A、B、C三种食物中所含的营养量刚好满足幼儿营养标准中的要求.
（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的A、B、C的份数.
探究新知
(2)②-①×4,③-①,得
⑤
①
④
⑤+④,得
⑥
①
④
通过回代，得 z=2,y=1,x=2.
答：该食谱中包含A种食物2份，B种食物1份，C种食物2份.
探究新知
知识点1 三元一次方程（组）的有关概念
1.下列方程中，三元一次方程共有( )
；；； 。
B
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
返回
2.下列方程组中，是三元一次方程组的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
知识点2 三元一次方程组的解法
3.解方程组 时，第一次消去未知数的最佳方法是
( )
C
A.加减法消去，即，
B.加减法消去，即，
C.加减法消去，即，
D.代入法消去，， 中的任何一个
返回
4.［教材随堂练习 变式］解方程组：
解：
由，可得 ，④
由，可得 ，⑤
由，可得，解得 ，
将代入④，可得 ，
解得，将， 代入②，
可得，解得，所以该方程组的解为
返回
三元一次方程组
三元一次方程组的概念
三元一次方程组的解法
三元一次方程组的应用
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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