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5.4.2 用二元一次方程组确定一次函数表达式
一次函数的表达式为\(y = kx + b\)（\(k \neq 0\)），其中\(k\)和\(b\)是确定函数的关键参数。若已知一次函数图像上的两个点的坐标，我们可以利用这两个点的坐标满足函数表达式的性质，建立关于\(k\)和\(b\)的二元一次方程组，通过解方程组求出\(k\)和\(b\)的值，从而确定一次函数的表达式。本节将详细学习这一方法，体会方程与函数的紧密联系。
一、基本原理与思路
（一）原理分析
一次函数的表达式\(y = kx + b\)中含有两个未知参数\(k\)和\(b\)，要确定这个函数的表达式，需要两个独立的条件。由于一次函数的图像是一条直线，直线上任意一点的坐标\((x, y)\)都满足函数表达式\(y = kx + b\)，因此若已知直线上两个点的坐标\((x_1, y_1)\)和\((x_2, y_2)\)，则这两个点的坐标分别满足：\(
\begin{cases}
y_1 = kx_1 + b \\
y_2 = kx_2 + b
\end{cases}
\)
这是一个关于\(k\)和\(b\)的二元一次方程组，解这个方程组即可求出\(k\)和\(b\)的值，进而确定一次函数的表达式。
（二）解题思路
用二元一次方程组确定一次函数表达式的基本步骤如下：
设函数表达式：设所求的一次函数表达式为\(y = kx + b\)（\(k \neq 0\)），其中\(k\)和\(b\)为待求参数。
列方程组：将已知的两个点的坐标\((x_1, y_1)\)和\((x_2, y_2)\)分别代入函数表达式，得到关于\(k\)和\(b\)的二元一次方程组：\(
\begin{cases}
kx_1 + b = y_1 \\
kx_2 + b = y_2
\end{cases}
\)
解方程组：运用代入消元法或加减消元法解这个二元一次方程组，求出\(k\)和\(b\)的值。
写函数表达式：将求出的\(k\)和\(b\)的值代入\(y = kx + b\)，得到所求的一次函数表达式。
检验（可选）：将已知点的坐标代入所求的函数表达式，验证是否满足，以确保结果的正确性。
二、实例解析
（一）已知两点坐标确定一次函数表达式
例 1：已知一次函数的图像经过点\((2, 5)\)和\((-1, -1)\)，求这个一次函数的表达式。
解题步骤：
设函数表达式：设这个一次函数的表达式为\(y = kx + b\)（\(k \neq 0\)）。
列方程组：因为函数图像经过点\((2, 5)\)和\((-1, -1)\)，将这两个点的坐标代入函数表达式得：\(
\begin{cases}
2k + b = 5 \\
-k + b = -1
\end{cases}
\)
解方程组：用第一个方程减去第二个方程消去\(b\)：\((2k + b) - (-k + b) = 5 - (-1)\)\(2k + b + k - b = 6\)\(3k = 6 \Rightarrow k = 2\)
将\(k = 2\)代入第二个方程\(-k + b = -1\)得：\(-2 + b = -1 \Rightarrow b = 1\)
写函数表达式：将\(k = 2\)，\(b = 1\)代入\(y = kx + b\)，得到一次函数的表达式为\(y = 2x + 1\)。
检验：将点\((2, 5)\)代入\(y = 2x + 1\)，左边\(= 2 2 + 1 = 5\)，右边\(= 5\)，左边 = 右边；将点\((-1, -1)\)代入，左边\(= 2 (-1) + 1 = -1\)，右边\(= -1\)，左边 = 右边，检验正确。
答：这个一次函数的表达式为\(y = 2x + 1\)。
例 2：已知一次函数\(y = kx + b\)的图像经过点\((0, 3)\)和\((4, 0)\)，求这个函数的表达式。
解题步骤：
设函数表达式：已知函数为一次函数，表达式设为\(y = kx + b\)（\(k \neq 0\)）。
列方程组：将点\((0, 3)\)和\((4, 0)\)代入函数表达式得：\(
\begin{cases}
0 k + b = 3 \\
4k + b = 0
\end{cases}
\)
解方程组：由第一个方程得\(b = 3\)，将\(b = 3\)代入第二个方程：\(4k + 3 = 0 \Rightarrow 4k = -3 \Rightarrow k=-\frac{3}{4}\)
写函数表达式：一次函数的表达式为\(y=-\frac{3}{4}x + 3\)。
检验：将点\((0, 3)\)代入得\(y = 3\)，正确；将点\((4, 0)\)代入得\(y=-\frac{3}{4} 4 + 3=-3 + 3 = 0\)，正确。
答：这个一次函数的表达式为\(y=-\frac{3}{4}x + 3\)。
（二）结合几何图形或实际问题确定一次函数表达式
例 3：一个一次函数的图像与\(x\)轴交于点\(A(6, 0)\)，与\(y\)轴交于点\(B(0, 8)\)，求这个一次函数的表达式。
题意分析：一次函数与\(x\)轴的交点\(A(6, 0)\)和与\(y\)轴的交点\(B(0, 8)\)都在函数图像上，可利用这两个点的坐标确定函数表达式。
解题步骤：
设函数表达式：设这个一次函数的表达式为\(y = kx + b\)（\(k \neq 0\)）。
列方程组：将点\(A(6, 0)\)和\(B(0, 8)\)代入函数表达式得：\(
\begin{cases}
6k + b = 0 \\
0 k + b = 8
\end{cases}
\)
解方程组：由第二个方程得\(b = 8\)，将\(b = 8\)代入第一个方程：\(6k + 8 = 0 \Rightarrow 6k=-8 \Rightarrow k=-\frac{4}{3}\)
写函数表达式：一次函数的表达式为\(y=-\frac{4}{3}x + 8\)。
答：这个一次函数的表达式为\(y=-\frac{4}{3}x + 8\)。
例 4：某商店销售一种商品，已知该商品的销售量\(y\)（件）与销售单价\(x\)（元）是一次函数关系，当销售单价为 20 元时，销售量为 300 件；当销售单价为 25 元时，销售量为 250 件。求销售量\(y\)与销售单价\(x\)之间的函数表达式。
题意分析：销售量\(y\)与销售单价\(x\)是一次函数关系，可设函数表达式为\(y = kx + b\)，利用已知的两组销售单价和销售量数据建立方程组求解。
解题步骤：
设函数表达式：设销售量\(y\)与销售单价\(x\)之间的函数表达式为\(y = kx + b\)（\(k \neq 0\)）。
列方程组：根据题意，当\(x = 20\)时，\(y = 300\)；当\(x = 25\)时，\(y = 250\)，代入函数表达式得：\(
\begin{cases}
20k + b = 300 \\
25k + b = 250
\end{cases}
\)
解方程组：用第二个方程减去第一个方程：\((25k + b) - (20k + b) = 250 - 300\)\(5k = -50 \Rightarrow k=-10\)
将\(k = -10\)代入第一个方程\(20k + b = 300\)得：\(20 (-10) + b = 300 \Rightarrow -200 + b = 300 \Rightarrow b = 500\)
写函数表达式：销售量\(y\)与销售单价\(x\)之间的函数表达式为\(y=-10x + 500\)。
答：销售量\(y\)与销售单价\(x\)之间的函数表达式为\(y=-10x + 500\)。
（三）含参数的一次函数表达式确定
例 5：已知一次函数\(y = kx + b\)中，当\(x = 1\)时，\(y = 2\)；当\(x = -2\)时，\(y = -1\)，求\(k\)和\(b\)的值，并写出函数表达式。
解题步骤：
列方程组：根据题意，将\(x = 1\)，\(y = 2\)和\(x = -2\)，\(y = -1\)代入\(y = kx + b\)得：\(
\begin{cases}
k + b = 2 \\
-2k + b = -1
\end{cases}
\)
解方程组：用第一个方程减去第二个方程：\((k + b) - (-2k + b) = 2 - (-1)\)\(k + b + 2k - b = 3\)\(3k = 3 \Rightarrow k = 1\)
将\(k = 1\)代入第一个方程\(k + b = 2\)得：\(1 + b = 2 \Rightarrow b = 1\)
写函数表达式：函数表达式为\(y = x + 1\)。
答：\(k = 1\)，\(b = 1\)，函数表达式为\(y = x + 1\)。
三、常见误区
函数表达式设错：错误地将一次函数表达式设为其他形式，如设为\(y = kx\)（正比例函数），忽略了常数项\(b\)，导致无法正确建立方程组。
代入坐标错误：将点的坐标\((x, y)\)代入函数表达式时，混淆\(x\)和\(y\)的对应关系，如将点\((2, 5)\)错误地代入为\(2 = 5k + b\)，而正确的应为\(5 = 2k + b\)。
解方程组错误：在解关于\(k\)和\(b\)的二元一次方程组时，出现计算错误，如移项错误、符号错误等，导致\(k\)和\(b\)的值求解错误。
忽略检验：求出函数表达式后未进行检验，未能及时发现代入错误或计算错误，导致最终结果错误。
对一次函数概念理解不清：在实际问题中，未能正确判断变量之间的关系是否为一次函数关系，盲目套用方法求解，导致结果无实际意义。
四、课堂总结
核心方法：用二元一次方程组确定一次函数表达式的核心是利用一次函数图像上两个点的坐标满足函数表达式，建立关于\(k\)和\(b\)的方程组，解方程组求出参数值。
解题步骤：设表达式→列方程组→解方程组→写表达式→检验（可选），其中准确代入点的坐标和正确解方程组是关键步骤。
应用场景：该方法适用于已知一次函数图像上两个点的坐标，或已知两组变量对应值的情况，无论是纯数学问题还是实际应用问题，都可以通过这一方法确定函数表达式。
通过本节的学习，我们进一步加深了对一次函数与二元一次方程组关系的理解，掌握了用方程思想解决函数问题的方法。这一方法体现了代数与几何的结合，为我们解决与一次函数相关的问题提供了有力的工具。
五、课后作业
已知一次函数的图像经过点\((3, 4)\)和\((-2, -1)\)，求这个一次函数的表达式。
一次函数\(y = kx + b\)的图像与\(y\)轴交于点\((0, -2)\)，与\(x\)轴交于点\((4, 0)\)，求该函数的表达式。
某地区的电费收费标准为：每月用电量不超过 100 度时，电费\(y\)（元）与用电量\(x\)（度）是一次函数关系，当用电量为 50 度时，电费为 30 元；当用电量为 100 度时，电费为 60 元。求电费\(y\)与用电量\(x\)之间的函数表达式。
已知一次函数\(y = kx + b\)中，当\(x = 0\)时，\(y = 5\)；当\(x = 3\)时，\(y = -1\)，求这个函数的表达式。
一次函数的图像经过点\((1, -1)\)和点\((-3, 7)\)，求这个函数的表达式，并判断点\((2, -5)\)是否在该函数的图像上。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.4.2用二元一次方程组确定一次函数表达式
第五章 二元一次方程组
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过阅读课本，掌握用二元一次方程组确定一次函数表达式的方法，提高学生的运算能力．
2．通过合作学习进一步理解方程与函数的联系，感受“数形结合”在数学中的应用．
3．通过对本节课的探究，培养学生的观察能力、识图能力、合作能力以及语言表达能力．
重点
难点
问题导入
A，B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离S(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数．1小时后乙距离A地80千米；2小时后甲距离A地30千米．问经过多长时间两人将相遇？
同学们思考这个问题，你是怎么解决的呢？
复习导入
二元一次方程组与一次函数有何联系？
二元一次方程组有哪些解法？
如何利用二元一次方程组求一次函数的表达式？
视频导入
探究 A ,B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数.1小时后乙距A地80千米; 2小时后甲距A地30千米.
问：经过多长时间两人相遇 说出你的方法，并与同学们交流.
1小时后
2小时后甲距A地30千米
乙距A地80千米
甲
A
乙
B
知识点
确定一次函数的表达式
图象表示
(A)
0
4
1
2
3
t/时
s/千米
120
100
80
60
40
20
(B)
可以分别作出两人s 与t 之间的关系图象，找出交点的横坐标就行了.
小明
乙
甲
探究新知
小颖
对于乙，s是t的一次函数，可设s=kt+b.当t=0时，s=100；当t=1时s=80.将它们分别代入s=kt+b中，
可以求出k，b的值，即可以求出乙中s与t之间的函数表达式.你能求出甲的表达式吗？
探究新知
因为甲为正比例函数，设甲的关系式为s=kt,当t=2时s=30，即30=2k，k=15,所以s=15t
小亮
1小时后乙距A地80千米,即乙的速度是20千米/时
2小时后甲距A 地30千米,故甲的速度是15千米/时
设同时出发后t小时相遇，则15t+20t=100，
探究新知
所以
用一元一次方程的方法可以解决问题
用图象法可以解决问题
用方程组的方法可以解决问题
小明
小亮
小颖
用作图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以准确，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法.
在以上的解题过程中你受到什么启发？
探究新知
探究交流
某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数．已知李明带了60 kg的行李，交了行李费5元；张华带了90 kg的行李，交了行李费10元．
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？
探究新知
例
解：（1）设此一次函数表达式为：y=kx+b（k≠0) . 根据题意，可得方程组
解得
答：旅客最多可免费携带30千克的行李．
所以当x>30时，y>0.
探究新知
（2）当y=0时， .解得x=30
所以
像这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.
利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：
1.设：用含字母的系数设出一次函数的表达式：y=kx+b.
2.代：将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组.
3.解：解这个二元一次方程组得k，b.
4.求：进而求出一次函数的表达式.
探究新知
在某个范围内,某产品的购买量y(单位:kg)与单价x(单位:元)之间满足一次函数,若购买1000kg,单价为800元;若购买2000kg,单价为700元.若一客户购买400kg,单价是多少
解:设购买量y与单价x的函数解析式为y=kx+b，
因为当x=1000时 y = 800;当x=2000时y = 700，
所以
800k + b = 1000
700k + b = 2000
｛
因此,购买量y与单价x的函数解析式为 y =-10x + 9000
当 y = 400时得，-10 x + 900 =400,
所以x =860.
答:当客户购买400kg,单价是860元.
巩固练习
解这个方程组得:
b =900
｛
k=-10
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.
所以这个一次函数的解析式为
-k+b=3，
2k+b=-3，
把点（-1，3）与（2，-3）分别代入，得：
解方程组得
b=1.
k=-2，
y=-2x+1.
探究新知
素养考点 1
已知两点坐标确定一次函数的表达式
已知一次函数的图象过点（-1，3）与（2，-3），
求这个一次函数的解析式．
例
1）设关系式；
2）找x与y的对应值；
3）代入转化成方程（组）
4）解方程（组）确定系数；
5）还原关系式.
探究新知
方法点拨
确定一次函数关系式的方法：
已知一次函数的图象过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的解析式．
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.
3k+b=5，
-4k+b=-9，
把点（3，5）与（-4，-9）分别代入，得：
解方程组得
b=-1.
k=2，
所以这个一次函数的解析式为
y=2x-1.
巩固练习
变式训练
知识点1 用待定系数法确定一次函数表达式
1.［教材尝试·思考变式］ 已知一次函数 的图象经过点
， ，则该一次函数的表达式为( )
A
A. B. C. D.
返回
2.已知是的一次函数，下表中列出了与的部分对应值，则 ___。
… 0 3 …
… 5 …
2
返回
3.如图，直线与轴交于点，点
关于轴的对称点为，经过点和 轴上的点
的直线对应的函数表达式设为
。
（1）求点 的坐标；
解：对于，令，则，所以 ，所以
。因为点关于轴的对称点为，所以 。
（2）确定直线 对应的函数表达式。
解：因为直线对应的函数表达式为，且，，
所以解得
所以直线对应的函数表达式为 。
返回
知识点2 借助一次函数表达式解决实际问题
4.某公司销售部营销人员的个人收入 （元）与
其每月的销售量 （万件）成一次函数关系，其
图象如图，营销人员没有销售量时的个人收入是
( )
B
A.1 000元 B.2 000元 C.3 000元 D.4 000元
返回
利用二元一次方程组确定一次函数表达式
用含字母的系数设出一次函数的表达式：y=kx+b
将已知条件代入上述表达式中得关于k，b的二元一次方程组
解这个二元一次方程组得k，b
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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