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5.4.1 二元一次方程与一次函数
二元一次方程和一次函数是初中数学中的重要内容，它们之间存在着密切的内在联系。从代数角度看，二元一次方程可以通过变形转化为一次函数的形式；从几何角度看，一次函数的图像是一条直线，而二元一次方程的解则对应着这条直线上的点的坐标。本节将深入探究二元一次方程与一次函数之间的关系，理解它们在代数和几何层面的对应性，为后续学习用函数观点解决方程问题奠定基础。
一、二元一次方程与一次函数的表达式转化
（一）一次函数的表达式
一次函数的一般形式为\(y = kx + b\)（\(k\)，\(b\)为常数，且\(k \neq 0\)），其中\(k\)是斜率，\(b\)是函数图像与\(y\)轴的交点纵坐标。一次函数的图像是一条直线，具有单调性：当\(k > 0\)时，函数值\(y\)随自变量\(x\)的增大而增大；当\(k < 0\)时，函数值\(y\)随自变量\(x\)的增大而减小。
（二）二元一次方程转化为一次函数
任何一个二元一次方程都可以通过变形转化为一次函数的形式。对于二元一次方程\(ax + by + c = 0\)（\(a\)，\(b\)，\(c\)为常数，且\(a \neq 0\)，\(b \neq 0\)），我们可以把\(y\)看作\(x\)的函数，解出\(y\)：\(
by=-ax - c \Rightarrow y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}
\)
此时，方程就转化为了一次函数\(y = kx + b\)的形式，其中\(k=-\frac{a}{b}\)，\(b=-\frac{c}{b}\)（注意此处的\(b\)与原方程中的常数\(b\)含义不同，仅为一次函数表达式中的常数项）。
例如：
二元一次方程\(2x + 3y - 6 = 0\)，变形为一次函数形式为：\(3y=-2x + 6 \Rightarrow y=-\frac{2}{3}x + 2\)；
二元一次方程\(x - y + 1 = 0\)，变形为一次函数形式为：\(-y=-x - 1 \Rightarrow y = x + 1\)。
（三）实例解析
例 1：将下列二元一次方程转化为一次函数\(y = kx + b\)的形式：
（1）\(3x + 2y = 8\)；
（2）\(5x - y = 3\)；
（3）\(2x + 5y - 10 = 0\)。
解：
（1）对于方程\(3x + 2y = 8\)，移项得\(2y=-3x + 8\)，两边同时除以 2 得：\(y=-\frac{3}{2}x + 4\)；
（2）对于方程\(5x - y = 3\)，移项得\(-y=-5x + 3\)，两边同时乘以 - 1 得：\(y = 5x - 3\)；
（3）对于方程\(2x + 5y - 10 = 0\)，移项得\(5y=-2x + 10\)，两边同时除以 5 得：\(y=-\frac{2}{5}x + 2\)。
二、二元一次方程的解与一次函数图像上的点的对应关系
（一）二元一次方程的解的几何意义
二元一次方程有无数个解，每一组解都可以用一对有序实数\((x, y)\)来表示。在平面直角坐标系中，每一对有序实数\((x, y)\)都对应着一个点的坐标。将二元一次方程转化为一次函数\(y = kx + b\)后，这个一次函数的图像是一条直线，而二元一次方程的每一组解\((x, y)\)都满足\(y = kx + b\)，因此这些解对应的点\((x, y)\)都在这条直线上。
反之，一次函数\(y = kx + b\)图像上的任意一点\((x, y)\)，其坐标都满足函数表达式\(y = kx + b\)，将其变形后就是二元一次方程\(kx - y + b = 0\)，因此该点的坐标\((x, y)\)也是这个二元一次方程的一组解。
（二）实例解析
例 2：已知二元一次方程\(x + y = 5\)。
（1）将其转化为一次函数的形式；
（2）求出该方程的三组解；
（3）在平面直角坐标系中画出对应的一次函数图像，并标出这三组解对应的点。
解：
（1）将方程\(x + y = 5\)变形为一次函数形式：\(y=-x + 5\)；
（2）该方程的三组解可以是：\(\begin{cases}x = 0 \\ y = 5\end{cases}\)，\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}\)，\(\begin{cases}x = 5 \\ y = 0\end{cases}\)；
（3）一次函数\(y=-x + 5\)的图像是一条直线，经过点\((0, 5)\)和\((5, 0)\)。在图像上标出点\((0, 5)\)、\((2, 3)\)、\((5, 0)\)，可以发现这三个点都在这条直线上（图像略）。
例 3：已知一次函数\(y = 2x - 1\)。
（1）将其转化为二元一次方程的形式；
（2）判断点\((1, 1)\)、\((2, 3)\)、\((0, 0)\)是否在该函数的图像上，并说明这些点的坐标是否为对应的二元一次方程的解。
解：
（1）将一次函数\(y = 2x - 1\)变形为二元一次方程形式：\(2x - y - 1 = 0\)；
（2）- 对于点\((1, 1)\)，将\(x = 1\)，\(y = 1\)代入函数表达式：左边\(= 2 1 - 1 = 1\)，右边\(= 1\)，左边 = 右边，因此点\((1, 1)\)在该函数的图像上，且\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 1\end{cases}\)是二元一次方程\(2x - y - 1 = 0\)的解；
对于点\((2, 3)\)，将\(x = 2\)，\(y = 3\)代入函数表达式：左边\(= 2 2 - 1 = 3\)，右边\(= 3\)，左边 = 右边，因此点\((2, 3)\)在该函数的图像上，且\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}\)是二元一次方程\(2x - y - 1 = 0\)的解；
对于点\((0, 0)\)，将\(x = 0\)，\(y = 0\)代入函数表达式：左边\(= 2 0 - 1=-1\)，右边\(= 0\)，左边≠右边，因此点\((0, 0)\)不在该函数的图像上，且\(\begin{cases}x = 0 \\ y = 0\end{cases}\)不是二元一次方程\(2x - y - 1 = 0\)的解。
三、二元一次方程与一次函数关系的应用
（一）通过函数图像求二元一次方程的解
由于二元一次方程的解对应着一次函数图像上的点的坐标，因此我们可以通过观察一次函数的图像，找到图像上的点的坐标，从而得到二元一次方程的解。对于一些难以直接求解的方程，这种方法可以提供直观的结果。
例 4：利用一次函数图像求二元一次方程\(3x + 2y = 6\)的正整数解。
解：
将方程\(3x + 2y = 6\)变形为一次函数形式：\(y=-\frac{3}{2}x + 3\)。
在平面直角坐标系中画出该函数的图像（图像略），该直线经过点\((0, 3)\)和\((2, 0)\)。
观察图像，在第一象限内（\(x > 0\)，\(y > 0\)）的点的坐标即为正整数解。
当\(x = 1\)时，\(y=-\frac{3}{2} 1 + 3=\frac{3}{2}\)，不是整数；
当\(x = 2\)时，\(y = 0\)，不是正整数；
当\(x = 0\)时，\(y = 3\)，\(x\)不是正整数。
因此，该方程没有正整数解。
（二）根据二元一次方程确定一次函数的图像特征
二元一次方程转化为一次函数后，一次函数的斜率\(k\)和截距\(b\)由二元一次方程的系数决定。通过分析二元一次方程的系数，可以确定一次函数图像的增减性、与坐标轴的交点等特征。
例 5：已知二元一次方程\(2x - 4y + 8 = 0\)。
（1）将其转化为一次函数形式；
（2）判断该函数图像的增减性；
（3）求出该函数图像与\(x\)轴、\(y\)轴的交点坐标。
解：
（1）将方程\(2x - 4y + 8 = 0\)变形为一次函数形式：\(-4y=-2x - 8 \Rightarrow y=\frac{1}{2}x + 2\)；
（2）在一次函数\(y=\frac{1}{2}x + 2\)中，\(k=\frac{1}{2}>0\)，因此函数值\(y\)随自变量\(x\)的增大而增大；
（3）- 求与\(x\)轴的交点：令\(y = 0\)，则\(\frac{1}{2}x + 2 = 0 \Rightarrow x=-4\)，因此与\(x\)轴的交点坐标为\((-4, 0)\)；
求与\(y\)轴的交点：令\(x = 0\)，则\(y=\frac{1}{2} 0 + 2 = 2\)，因此与\(y\)轴的交点坐标为\((0, 2)\)。
四、常见误区
表达式转化错误：在将二元一次方程转化为一次函数形式时，出现移项错误或系数计算错误，例如将\(2x + y = 3\)错误地转化为\(y = 2x + 3\)，而正确的应为\(y=-2x + 3\)。
解与点的对应关系理解偏差：混淆二元一次方程的解与一次函数图像上的点的对应关系，误认为一次函数图像上的点的坐标只是部分满足二元一次方程，或者二元一次方程的部分解对应着一次函数图像上的点。
图像特征判断错误：对一次函数的斜率\(k\)和截距\(b\)的意义理解不清，导致无法正确判断函数图像的增减性或与坐标轴的交点坐标。
忽略实际意义：在通过函数图像求方程的解时，忽略解的实际意义，如求出负数解但未考虑问题中未知数的取值范围（如长度、时间等不能为负数）。
图像绘制错误：绘制一次函数图像时，未准确找到关键点（如与坐标轴的交点），导致图像绘制错误，进而影响对解的判断。
五、课堂总结
表达式转化：任何二元一次方程都可以转化为一次函数\(y = kx + b\)的形式，转化过程中需注意移项和系数计算的准确性。
解与点的对应：二元一次方程的每一组解\((x, y)\)都对应着其转化后的一次函数图像上的点的坐标；反之，一次函数图像上任意一点的坐标\((x, y)\)都是对应的二元一次方程的一组解。
应用价值：可以通过一次函数的图像直观地找到二元一次方程的解，也可以根据二元一次方程的系数确定一次函数图像的特征，体现了代数与几何的紧密结合。
通过本节的学习，我们深刻理解了二元一次方程与一次函数之间的内在联系，体会到了数形结合思想在数学中的重要应用。这种联系为我们提供了从不同角度解决问题的思路，为后续学习二元一次方程组与一次函数的关系奠定了坚实的基础。
六、课后作业
将下列二元一次方程转化为一次函数\(y = kx + b\)的形式：
（1）\(4x + 5y = 20\)；
（2）\(3x - y = 6\)；
（3）\(x + 2y - 4 = 0\)。
已知一次函数\(y = -3x + 6\)。
（1）将其转化为二元一次方程的形式；
（2）求出该函数图像与\(x\)轴、\(y\)轴的交点坐标；
（3）判断点\((1, 3)\)、\((2, 0)\)、\((-1, 9)\)是否在该函数的图像上。
利用一次函数图像求二元一次方程\(2x + y = 5\)的非负整数解。
已知二元一次方程\(ax + y = 3\)的一次函数形式为\(y = 2x + b\)，求\(a\)和\(b\)的值。
画出二元一次方程\(x - 2y = 4\)对应的一次函数图像，并根据图像回答：当\(x = 0\)时，\(y\)的值是多少？当\(y = 0\)时，\(x\)的值是多少？
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.4.1二元一次方程与一次函数
第五章 二元一次方程组
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 在经历同一数学问题可用不同的数学方法解决的过程中，培养学生的创新意识和变式能力．
2．通过学生的思考和操作，提示出方程与函数之间的关系，引入二元一次方程组的图象解法，同时培养了学生初步的数形结合的意识和能力．
3．通过学生的自主探索，引出方程和函数之间的对应关系，加强新旧知识之间的联系，培养了学生的创新意识，激发了学生学习数学的兴趣．
重点
难点
问题导入
1．方程x+y=5的解有多少个？写出其中的几个。
2．在直角坐标系内分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y=5-x的图象上吗？
3．在一次函数y=5-x的图象上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？
4．以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同吗？
图片导入
同学们，从不同的角度观察下面的图像，你有什么发现？
视频导入
探究一 方程x+y=5的解有多少个 写出其中的几个.
无数个
探究二 等式x+y=5还可以看成一个一次函数，把它变成y=kx+b的形式是_____________.
y=-x+5
知识点 1
二元一次方程与一次函数的关系
探究三 画出y=-x+5 的图象.
·
·
5
5
x 0
y=-x+5 0
y=-x+5
探究四 以方程x+y=5的解为坐标的点都在一次函数
y=-x+5的图象上吗？
都在
探究新知
·
·
y=-x+5
探究五 在一次函数y=-x+5的图象上任取一点，点的坐标适合方程x+y=5吗？
都适合
探究六 以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=-x+5的图象相同吗？
相同
在一次函数
y=5-x的图象上
方程x+y=5
的解
从形到数
从数到形
探究新知
讨论 一次函数与二元一次方程有什么关系？
一次函数
二元一次方程
一次函数
y =-x+5
二元一次方程
y +x =5
二元一次方程
y =-x+5
用方程观点看
用函数观点看
　　从式子（数）角度看：
探究新知
二元一次方程的解
一次函数图象上点的坐标
一一对应
二元一次方程与一次函数的关系
探究新知
6　二元一次方程与一次函数
解析：将方程 化为一次函数的形式,得 .
因为以二元一次方程的每个解为坐标的点都在相应的一次函数的图象(直线)上,所以以方程 的解为坐标的点都在直线 上.
探究新知
素养考点 1
一次函数与二元一次方程关系的应用
例 以方程 的解为坐标的点都在直线y=　　　 上.
1.以方程2x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数 ____的图像相同.
2.如图所示的四条直线，其中直线上每个点的坐标都是方程x-2y=2的解的是（ ）
C
y=-2x+5
巩固练习
变式训练
1.解方程组
2.试着在同一直角坐标系内分别画出函数y=-x+5与y=2x-1的图象，找出它们的交点坐标，并比较与上述方程的解有什么联系．
探究新知
探究
知识点 2
二元一次方程组与一次函数的关系
解：利用消元法，解方程组得
y
x
0
4
1
2
3
5
5
4
3
2
1
-1
-2
思考 方程组的解和这两个函数图象的交点坐标有什么关系？
(2,3)
解：
x … 0 5 …
y=-x+5 … 5 0 …
x … 0 0.5 …
y=2x-1 … -1 0 …
探究新知
方程组 的解
是两直线的交点坐标（2,3）
探究新知
讨论 观察下图中函数图象，你能解释两直线的交点坐标（20，25）就是 的解吗？
　　二元一次方程
组的解就是相应的
两个一次函数图象
的交点坐标．
A（20，25）
30
25
20
15
10
5
10
20
y =x+5
y =0.5x+15
15
5
O
x
y
　　从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？
探究新知
解方程组相当于考虑自变量为何值时,两个函数的值相等,就是找这个函数图象的交点．
数
二元一次方程
组的解
两个一次函数所在直线的交点坐标
对应
形
确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点的坐标.
探究新知
用图象法解方程组
x
y
-2
2
-1
0
1
3
解：由
可得 ,
由 可得 .
得l1，l2的交点为P（2，2）.
x … -2 0 …
y … 0 1 …
x … 0 1 …
y … -2 0 …
在同一直角坐标系中作出图象
列表：
描点、连线：
-1
-2
1
2
3
探究新知
素养考点 1
利用一次函数的图象解二元一次方程组
例
所以原方程组的解是 .
6　二元一次方程与一次函数
如图所示,在同一直角坐标系中的两条直线分别是y=-x+1和
y=2x-5,那么方程组 的解是(　　)

巩固练习
A. B. C. D.
A
变式训练
方程组 解的情况如何？
x
3
2
1
-1
-2
y
-2
2
-1
0
1
3
探究 在同一直角坐标系内， 一次函数y = x + 1 和 y = x - 2的图象有怎样的位置关系？
探究新知
没有解
知识点 3
二元一次方程组和对应平行线的关系
1.两不重合的直线
当l1平行于l2时，k1=k2；反之也成立.
2.方程组 当
c1≠c2时，方程组无解；反之也成立.
你发
现了
什么？
探究新知
知识点1 二元一次方程与一次函数的关系
1.二元一次方程 有______个解，以它的每一个解为坐标的点
都在一次函数___________的图象上。反过来，一次函数___________的
图象上的每一个点的坐标均适合二元一次方程 。
无数
返回
2.已知点在一次函数的图象上，则方程 的
一个解为( )
B
A. B. C. D.
返回
3.［2025西安交大附中月考］以二元一次方程 的解为坐标
的点组成的图象画在坐标系中可能是( )
C
A. B. C. D.
返回
知识点2 二元一次方组与一次函数的关系
4.［教材 操作·思考变式］ 如图，在平面直角坐标
系中，直线与直线相交于点 ，
则关于，的二元一次方程组 的解是
( )
B
A. B. C. D.
返回
5.［2025陕西师大附中月考］在同一平面直角坐标系中，直线
与相交于点，则关于， 的方程组
的解为( )
C
A. B. C. D.
返回
6.小亮在用作函数图象的方法解二元一次方程组时，
在同一坐标系中作出如图所示的图象，他解的这个
方程组可能是( )
D
A. B.
C. D.
返回
二元一次方程与一次函数
二元一次方程的解与一次函数图象的关系
二元一次方程组与对应两条相交直线的关系
二元一次方程组与对应两条平行线的关系
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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