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6.1.1 平均数与方差
在数据分析中，平均数和方差是描述数据特征的两个重要统计量。平均数反映了数据的集中趋势，即数据的平均水平；方差则反映了数据的离散程度，即数据相对于平均数的波动大小。掌握平均数和方差的计算方法及其意义，对于分析数据、做出决策具有重要作用。本节将详细学习平均数和方差的概念、计算方法以及它们在实际问题中的应用。
一、平均数
（一）基本概念
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数，它是反映数据集中趋势的一项指标。常见的平均数有算术平均数，对于一组数据，通常所说的平均数即指算术平均数。
（二）计算公式
设一组数据为\(x_1, x_2, \cdots, x_n\)，则这组数据的算术平均数\(\bar{x}\)（读作 “\(x\)拔”）的计算公式为：\(
\bar{x}=\frac{x_1 + x_2+\cdots + x_n}{n}
\)
其中，\(n\)为数据的个数，\(x_1, x_2, \cdots, x_n\)为各个数据的值。
（三）实例解析
例 1：某学习小组 6 名同学的数学成绩（单位：分）分别为：85，92，78，90，88，95，求这组成绩的平均数。
解题步骤：
确定数据个数\(n = 6\)；
计算数据总和：\(85+92 + 78+90+88+95\)\(= (85 + 95)+(92 + 88)+(78 + 90)\)\(= 180+180 + 168\)\(= 528\)；
根据公式计算平均数：\(\bar{x}=\frac{528}{6}=88\)。
答：这组成绩的平均数为 88 分。
例 2：某班 40 名学生的身高（单位：cm）统计如下表，求该班学生的平均身高。
身高
155
160
165
170
175
人数
5
10
15
7
3
解题步骤：
明确数据与对应个数：身高分别为 155、160、165、170、175，对应人数分别为 5、10、15、7、3；
计算数据总和：\(155 5+160 10 + 165 15+170 7+175 3\)\(= 775+1600 + 2475+1190+525\)\(= 775+1600 = 2375\)；\(2375+2475 = 4850\)；\(4850+1190 = 6040\)；\(6040+525 = 6565\)；
数据总个数\(n=5 + 10+15 + 7+3=40\)；
计算平均数：\(\bar{x}=\frac{6565}{40}=164.125\)。
答：该班学生的平均身高为 164.125cm。
二、方差
（一）基本概念
方差是用来衡量一组数据波动大小的量。一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大，数据越不稳定；方差越小，说明这组数据的波动越小，数据越稳定。
（二）计算公式
设一组数据为\(x_1, x_2, \cdots, x_n\)，其平均数为\(\bar{x}\)，则这组数据的方差\(s^2\)的计算公式为：\(
s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\cdots+(x_n-\bar{x})^2]
\)
其中，\(n\)为数据的个数，\(\bar{x}\)为这组数据的平均数，\((x_i-\bar{x})^2\)表示每个数据与平均数的差的平方。
（三）实例解析
例 3：求例 1 中 6 名同学数学成绩的方差。
解题步骤：
由例 1 可知，这组数据的平均数\(\bar{x}=88\)；
计算每个数据与平均数的差的平方：\((85 - 88)^2=(-3)^2 = 9\)；\((92 - 88)^2=4^2 = 16\)；\((78 - 88)^2=(-10)^2 = 100\)；\((90 - 88)^2=2^2 = 4\)；\((88 - 88)^2=0^2 = 0\)；\((95 - 88)^2=7^2 = 49\)；
计算这些平方差的总和：\(9+16 + 100+4+0+49=178\)；
根据公式计算方差：\(s^2=\frac{1}{6} 178\approx29.67\)。
答：这组成绩的方差约为 29.67。
例 4：甲、乙两名运动员在最近几次训练中的跳高成绩（单位：m）如下：
甲：1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.73，1.68，1.67
乙：1.60，1.73，1.72，1.61，1.62，1.71，1.70，1.75
分别计算甲、乙两名运动员跳高成绩的方差，并比较谁的成绩更稳定。
解题步骤：
计算甲运动员成绩的平均数\(\bar{x}_ \)：\(\bar{x}_ =\frac{1.70 + 1.65+1.68 + 1.69+1.72 + 1.73+1.68 + 1.67}{8}\)\(=\frac{(1.70+1.67)+(1.65+1.73)+(1.68+1.68)+(1.69+1.72)}{8}\)\(=\frac{3.37+3.38 + 3.36+3.41}{8}\)\(=\frac{13.52}{8}=1.69\)；
计算甲运动员成绩的方差\(s_ ^2\)：\(s_ ^2=\frac{1}{8}[(1.70 - 1.69)^2+(1.65 - 1.69)^2+(1.68 - 1.69)^2+(1.69 - 1.69)^2+(1.72 - 1.69)^2+(1.73 - 1.69)^2+(1.68 - 1.69)^2+(1.67 - 1.69)^2]\)\(=\frac{1}{8}[0.0001+0.0016 + 0.0001+0+0.0009+0.0016+0.0001+0.0004]\)\(=\frac{1}{8} 0.0048 = 0.0006\)；
计算乙运动员成绩的平均数\(\bar{x}_ \)：\(\bar{x}_ =\frac{1.60 + 1.73+1.72 + 1.61+1.62 + 1.71+1.70 + 1.75}{8}\)\(=\frac{(1.60+1.75)+(1.73+1.61)+(1.72+1.62)+(1.71+1.70)}{8}\)\(=\frac{3.35+3.34 + 3.34+3.41}{8}\)\(=\frac{13.44}{8}=1.68\)；
计算乙运动员成绩的方差\(s_ ^2\)：\(s_ ^2=\frac{1}{8}[(1.60 - 1.68)^2+(1.73 - 1.68)^2+(1.72 - 1.68)^2+(1.61 - 1.68)^2+(1.62 - 1.68)^2+(1.71 - 1.68)^2+(1.70 - 1.68)^2+(1.75 - 1.68)^2]\)\(=\frac{1}{8}[0.0064+0.0025 + 0.0016+0.0049+0.0036+0.0009+0.0004+0.0049]\)\(=\frac{1}{8} 0.0252 = 0.00315\)；
比较方差：因为\(0.0006<0.00315\)，即\(s_ ^2答：甲运动员跳高成绩的方差为 0.0006，乙运动员跳高成绩的方差为 0.00315，甲的成绩更稳定。
三、平均数与方差的关系与意义
（一）关系
平均数和方差都是描述数据特征的统计量，但它们反映的角度不同。平均数反映数据的集中趋势，方差反映数据的离散程度。两者结合起来，可以更全面地了解数据的分布情况。例如，两组数据的平均数可能相同，但方差可能不同，说明它们的平均水平相同，但数据的波动情况不同。
（二）意义
平均数的意义：平均数可以作为一组数据的代表值，用于比较不同组数据的平均水平。例如，比较两个班级的考试成绩，可以通过平均分来判断哪个班级的整体成绩更好。但平均数容易受极端值（过大或过小的数据）的影响，当数据中存在极端值时，平均数可能不能很好地反映数据的集中趋势。
方差的意义：方差可以衡量数据的稳定性。在实际生活中，许多领域都需要数据具有较好的稳定性，如产品质量控制、运动员的成绩稳定性等。方差越小，说明数据越稳定，产品质量越可靠，运动员的发挥越稳定。
四、常见误区
计算平均数时漏算数据：在计算平均数时，容易遗漏部分数据，导致总和计算错误，进而使平均数出错。例如，在例 2 中，若遗漏某个身高对应的人数，就会影响数据总和的计算。
方差计算符号错误：在计算每个数据与平均数的差时，容易忽略平方，或者在平方时出现符号错误。例如，将\((x_i-\bar{x})^2\)错误地计算为\(x_i^2-\bar{x}^2\)，或者忘记对差进行平方。
混淆方差与稳定性的关系：误认为方差越大，数据越稳定，这是对方法意义的错误理解。实际上，方差越大，数据的波动越大，越不稳定。
极端值对平均数的影响认识不足：在分析数据时，没有考虑极端值对平均数的影响，导致对数据集中趋势的判断不准确。例如，一组数据中存在一个极大值，会使平均数偏高，不能真实反映大部分数据的水平。
五、课堂总结
平均数：是反映数据集中趋势的统计量，计算公式为\(\bar{x}=\frac{x_1 + x_2+\cdots + x_n}{n}\)，计算时需准确计算数据总和与数据个数。
方差：是反映数据离散程度的统计量，计算公式为\(s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\cdots+(x_n-\bar{x})^2]\)，方差越小，数据越稳定。
两者关系与意义：平均数反映平均水平，方差反映波动大小，结合两者可全面分析数据特征。在实际应用中，需注意极端值对平均数的影响，正确理解方差与数据稳定性的关系。
通过本节的学习，我们掌握了平均数和方差的计算方法，理解了它们在数据分析中的重要意义。在今后的学习和生活中，我们可以运用这些统计量对数据进行分析，为决策提供科学依据。
六、课后作业
某小组 5 名同学的体重（单位：kg）分别为：45，48，50，52，55，求这组体重数据的平均数和方差。
下表是某公司两名员工近 5 个月的销售额（单位：万元），请分别计算他们销售额的平均数和方差，并说明谁的销售业绩更稳定。
月份
1
2
3
4
5
员工 A
18
20
19
21
22
员工 B
16
22
20
24
18
已知一组数据\(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\)的平均数为 6，方差为 2，求另一组数据\(3x_1 + 2, 3x_2 + 2, 3x_3 + 2, 3x_4 + 2, 3x_5 + 2\)的平均数和方差。
某班 20 名学生的英语测验成绩如下（单位：分）：85，90，95，80，85，95，90，85，80，90，95，85，90，85，80，95，90，85，90，85。求这组成绩的平均数和方差。
甲、乙两台机床同时生产一种零件，在 10 天中，两台机床每天生产的次品数如下：
甲：0，1，0，2，2，0，3，1，2，4
乙：2，3，1，1，0，2，1，1，0，1
分别计算这两组数据的平均数和方差，从计算结果看，哪台机床的性能更好？
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
6.1.1平均数与方差--众数与算术平均数
第六章 数据的分析
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过阅读课本掌握算术平均数、加权平均数的概念，会求一组数的算术平均数和加权平均数，提高学生的运算能力．
2．经历数据的收集与处理的过程，发展学生初步的统计意识和数据处理的能力；通过有关平均数问题的解决，发展学生的数学应用能力．
3．通过小组合作活动，培养学生的合作意识；通过解决实际问题，让学生体会数学与生活的密切联系．
重点
难点
旧知回顾
什么是平均数？如何计算平均数？
将几个不全相等的数，通过移多补少的方法使它们相等，这个相等的数就是平均数．平均数的计算公式：总数量÷总份数＝平均数.
故事导入
小马想要过一条河流.小松鼠对小马说：这条河平均水深1米，太危险了.小马说：我的身高已经长到1米5了，上一次都轻松过河了，这次就更没有问题了.
请问小马过河有危险么？
在篮球比赛中，队员的身高、年龄都是影响球队实力的因素，如何衡量两个球队队员的身高？
怎样理解“甲队队员的身高比乙队更高”？怎样理解“甲队队员比乙队更年轻”？
知识点
算数平均数与加权平均数
北京金隅队 广东东莞银行队 号码 身高/cm 年龄/岁 号码 身高/cm 年龄/岁
3 188 35 3 205 31
6 175 28 5 206 21
7 190 27 6 188 23
8 188 22 7 196 29
9 196 22 8 201 29
10 206 22 9 211 25
12 195 29 10 190 23
13 209 22 11 206 23
20 204 19 12 212 23
21 185 23 20 203 21
25 204 23 22 216 22
31 195 28 30 180 19
32 211 26 32 207 21
51 202 26 0 183 27
55 227 29
探究新知
哪支球队队员身材更为高大？
哪支球队的队员更为年轻？
北京金隅队的平均年龄
广东东莞银行队的平均年龄
所以广东东莞银行队的队员更为年轻.
探究新知
=25.4 （岁），
≈24.1 （岁），
日常生活中，我们常用平均数表示一组数据的“平均水平”，它反映了一组数据的“集中趋势”.
记作：
x 读作：“x拔”
探究新知
一般地，对于n个数x1,x2,…,xn，我们把
叫做这n个数的算术平均数，简称平均数.
年龄/岁 19 22 23 26 27 28 29 35
相应的队员数 1 4 2 2 1 2 2 1
小明是这样计算北京金隅队队员的平均年龄的：
平均年龄 =（19×1+22×4+23×2+26×2+27×1+28×2+29×2+35×1）÷
（1+4+2+2+1+2+2+1）
=25.4（岁）
小明的做法有道理吗？
探究新知
如果在n个数中，x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（这里f1+f2+… +fk=n），那么
当一组数据中有若干个数据多次重复出现时，可以考虑下面的做法：
探究新知
（1）如果根据三项测试的平均成绩决定录用人选，那么谁将被录用？
测 试 项 目 测 试 成 绩 A B C
创 新
综合知识
语 言
72
50
88
85
74
45
67
70
67
探究新知
某广告公司欲招聘广告策划人员一名，对A,B,C三名候选人进行了三项素质测试，他们的各项测试成绩如下表所示：
例
（1）如果根据三项测试的平均成绩决定录用人选，那么谁将被录用？
测 试 项 目 测 试 成 绩 A B C
创 新
综合知识
语 言
72
50
88
85
74
45
67
70
67
解：A的平均成绩为（72+50+88）÷3=70（分），
B的平均成绩为（85+74+45）÷3=68（分）.
C的平均成绩为（67+70+67）÷3=68（分）.
由70>68，故A将被录用.
探究新知
这样选择好不好？
测 试 项 目 测 试 成 绩 A B C
创 新
综合知识
语 言
72
50
88
85
74
45
67
70
67
（2）根据实际需要，公司将创新、综合知识和语言三项测试得分按4∶3∶1的比例确定各人测试成绩，此时谁将被录用？
解∶
A的测试成绩为∶（72×4+50×3+88×1）÷（4+3+1）=65.75（分）,
B的测试成绩为∶（85×4+74×3+45×1）÷（4+3+1）=75.875（分）,
C的测试成绩为∶（67×4+70×3+67×1）÷（4+3+1）=68.125（分）.
因此候选人B将被录用.
探究新知
为何结果不一样？
(1)(2)的结果不一样说明了什么？
思 考
实际问题中，一组数据的各个数据的“重要程度”未必相同.因此，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”，如上例中的4就是创新的权、3是综合知识的权、1是语言的权 ，而称
为A的三项测试成绩的加权平均数.
探究新知
一般地，若n个数x1, x2, …, xn的权分别是f1,f2,…,fn ，则
叫做这n个数的加权平均数.
探究新知
权的意义：（1）数据的重要程度
（2）权衡轻重或份量大小
应试者 听 说 读 写
甲 85 78 85 73
乙 73 80 82 83
（1）如果这家公司想找一名综合能力较强的翻译，那听、说、读、写成绩按多少比确定？如何计算平均成绩，说明你的方法.
（2）如果公司要招聘一名笔译能力较强的翻译，那听、说、读、写成绩按2:1:3:4的比确定，计算两名应试者的平均成绩，从他们的成绩看，应该录取谁？
例1 一家公司打算招聘一名英文翻译.对甲、乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们的各项成绩（百分制）如下表所示：
探究新知
素养考点 1
利用加权平均数解答实际问题
探究新知
因为79.5＜80.4，所以应该录取乙.
因为80.25＞79.5，所以应该录取甲.
解：（1）甲的平均成绩
(分)，
乙的平均成绩
(分)，
（2）甲的平均成绩
(分)，
乙的平均成绩
(分)，
（3）如果公司想招一名口语能力较强的翻译，则应该录取谁？
应试者 听 说 读 写
甲 85 78 85 73
乙 73 80 82 83
听、说、读、写的成绩按照3:3:2:2的比确定．
探究新知
解：通过计算比较，应该录取甲.
同样一张应试者的应聘成绩单，由于各个数据所赋的权数不同，造成的录取结果截然不同.
讨论 将问题（1）、（2）、（3）比较，你能体会到权的作用吗？
应试者 听 说 读 写
甲 85 78 85 73
乙 73 80 82 83
数据的权能够反映数据的相对重要程度！
探究新知
你能说说算术平均数与加权平均数的区别和联系吗？
2.在实际问题中，各项权不相等时，计算平均数时就要采用加权平均数，当各项权相等时，计算平均数就要采用算术平均数.
1.算术平均数是加权平均数的一种特殊情况（它特殊在各项的权相等）；
探究新知
例2 某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，结果如下：13岁8人，14岁16人，15岁24人，16岁2人.求这个跳水队运动员的平均年龄（结果取整数）.
解：这个跳水队运动员的平均年龄为：　
=
≈______（岁）.
答：这个跳水队运动员的平均年龄约为___岁.
8
16
24
2
14
探究新知
素养考点 1
加权平均数的应用
14
某校八年级一班有学生50人，八年级二班有学生45人，期末数学测试中，一班学生的平均分为81.5分，二班学生的平均分为83.4分，这两个班95名学生的平均分是多少？
解：（81.5×50 +83.4×45）÷95
=7828÷95
=82.4（分）
答：这两个班95名学生的平均分是82.4分.
巩固练习
变式训练
知识点1 众数
1.在数据2,4,4,5,5,6,8中，2出现了___次，4出现了___次，5出现了___次，
6出现了___次，8出现了___次，出现次数最多的数据是______，故这组
数据的众数是______。
1
2
2
1
1
4和5
4和5
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2.［2024河北中考］某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，
几天后观察并记录种子的发芽粒数分别为89，73，90，86，75，86，89，
95，89，以上数据的众数为____。
89
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3.某校开展视力检查，某班51名同学视力检查数据如下表：
视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 7 4 4 7 11 10 5 3
这51名同学视力检查数据的众数是( )
B
A.4.6 B.4.7 C.4.8 D.4.9
返回
知识点2 算术平均数
4.一组数据3，2，4，6，5的平均数是( )
B
A.3 B.4 C.5 D.6
返回
5.［教材 操作·思考变式］
在学校的体育训练中，小
杰投掷实心球的7次成绩如图所示，若去掉一
个最高成绩，去掉一个最低成绩，其余成绩
A
A. B. C. D.
的平均值作为本次训练的最终成绩，则小杰训练中的最终成绩为( )
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平均数与加权平均数
算术平均数：
加权平均数：
（f（ f1 + f2 + …+ fk =n）
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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