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6.1.2 加权平均数
在实际生活中，我们遇到的数据往往并非同等重要，某些数据可能对结果的影响更大。这时，简单的算术平均数就无法准确反映数据的真实水平，需要引入 “权” 来体现数据的重要程度，进而计算加权平均数。加权平均数是算术平均数的延伸，它能更合理地处理带有不同权重的数据。本节将学习加权平均数的概念、计算公式、“权” 的意义以及在实际问题中的应用。
一、加权平均数的概念与 “权” 的意义
（一）加权平均数的概念
加权平均数是指在一组数据中，每个数据乘以相应的权重后求和，再除以权重总和所得到的平均数。它考虑了不同数据在总体中的重要程度，权重越大，对应的数据对平均数的影响就越大。
（二）“权” 的意义
“权” 即权重，是衡量每个数据重要性的数值，通常用比例、百分比、次数、频数等形式表示。权重的作用是调整数据在平均数计算中的贡献程度：
当数据的重要性不同时，权重可以体现这种差异。例如，在考试成绩中，期末考试成绩的权重通常比期中考试成绩高，因为它更能反映学生的最终学习成果。
当数据出现的次数不同时，次数可以作为权重。例如，在统计某商品的平均售价时，不同售价对应的销售量就是权重，销售量越大的售价对平均售价的影响越大。
二、加权平均数的计算公式
（一）基本公式
设一组数据为\(x_1, x_2, \cdots, x_n\)，对应的权重为\(w_1, w_2, \cdots, w_n\)（权重均为正数），则这组数据的加权平均数\(\bar{x}_ \)的计算公式为：\(
\bar{x}_ =\frac{x_1w_1 + x_2w_2+\cdots + x_nw_n}{w_1 + w_2+\cdots + w_n}
\)
其中，\(x_i\)为第\(i\)个数据，\(w_i\)为第\(i\)个数据的权重，权重之和\(w_1 + w_2+\cdots + w_n\)称为总权重。
（二）特殊形式
当权重为百分比时（权重之和为 1），公式可简化为：\(
\bar{x}_ =x_1p_1 + x_2p_2+\cdots + x_np_n
\)
其中\(p_1, p_2, \cdots, p_n\)为百分比权重（\(p_1 + p_2+\cdots + p_n = 1\)）。
当权重为数据出现的次数时，加权平均数公式与算术平均数公式一致（此时次数即为权重），这说明算术平均数是加权平均数的特殊情况（权重相等的情况）。
三、实例解析
（一）按比例权重计算
例 1：某公司招聘员工，笔试、面试和实习成绩分别按 40%、30%、30% 的权重计入总成绩。若某应聘者的笔试成绩为 85 分，面试成绩为 90 分，实习成绩为 88 分，求该应聘者的总成绩。
解题步骤：
确定数据和对应权重：笔试成绩\(x_1 = 85\)，权重\(w_1 = 40\%\)；面试成绩\(x_2 = 90\)，权重\(w_2 = 30\%\)；实习成绩\(x_3 = 88\)，权重\(w_3 = 30\%\)；
代入加权平均数公式（百分比形式）：\(\bar{x}_ =85 40\%+90 30\% + 88 30\%\)\(=85 0.4+90 0.3 + 88 0.3\)\(=34 + 27+26.4\)\(=87.4\)。
答：该应聘者的总成绩为 87.4 分。
（二）按次数权重计算
例 2：某商店销售一种水果，10 元 / 千克的售价销售了 20 千克，12 元 / 千克的售价销售了 30 千克，15 元 / 千克的售价销售了 10 千克，求这种水果的平均售价。
解题步骤：
确定数据和对应权重：售价\(x_1 = 10\)元 / 千克，权重\(w_1 = 20\)千克；售价\(x_2 = 12\)元 / 千克，权重\(w_2 = 30\)千克；售价\(x_3 = 15\)元 / 千克，权重\(w_3 = 10\)千克；
计算总销售额：\(10 20 + 12 30+15 10=200 + 360+150=710\)元；
计算总销售量（总权重）：\(20 + 30+10=60\)千克；
代入加权平均数公式：\(\bar{x}_ =\frac{710}{60}\approx11.83\)元 / 千克。
答：这种水果的平均售价约为 11.83 元 / 千克。
（三）混合权重计算
例 3：某班学生的数学成绩统计如下：90 分以上的有 5 人，80-89 分的有 15 人，70-79 分的有 20 人，60-69 分的有 8 人，60 分以下的有 2 人。若各分数段的代表值分别为 95 分、85 分、75 分、65 分、30 分，求该班学生的平均数学成绩。
解题步骤：
确定数据和对应权重：代表值\(x_1 = 95\)，权重\(w_1 = 5\)；\(x_2 = 85\)，权重\(w_2 = 15\)；\(x_3 = 75\)，权重\(w_3 = 20\)；\(x_4 = 65\)，权重\(w_4 = 8\)；\(x_5 = 30\)，权重\(w_5 = 2\)；
计算总分数：\(95 5+85 15 + 75 20+65 8+30 2\)\(=475 + 1275+1500 + 520+60\)\(=475+1275 = 1750\)；\(1750+1500 = 3250\)；\(3250+520 = 3770\)；\(3770+60 = 3830\)；
计算总人数（总权重）：\(5 + 15+20 + 8+2=50\)；
计算平均成绩：\(\bar{x}_ =\frac{3830}{50}=76.6\)分。
答：该班学生的平均数学成绩为 76.6 分。
（四）权重为比例的应用
例 4：某公司生产的产品分为 A、B、C 三个等级，本月生产的 A 等级产品占 40%，B 等级占 50%，C 等级占 10%。各等级产品的利润率分别为 20%、15%、5%，求该公司本月产品的平均利润率。
解题步骤：
确定数据和对应权重：利润率\(x_1 = 20\%\)，权重\(w_1 = 40\%\)；\(x_2 = 15\%\)，权重\(w_2 = 50\%\)；\(x_3 = 5\%\)，权重\(w_3 = 10\%\)；
代入加权平均数公式：\(\bar{x}_ =20\% 40\%+15\% 50\% + 5\% 10\%\)\(=0.2 0.4+0.15 0.5 + 0.05 0.1\)\(=0.08 + 0.075+0.005\)\(=0.16 = 16\%\)。
答：该公司本月产品的平均利润率为 16%。
四、加权平均数与算术平均数的关系
包含关系：算术平均数是加权平均数的特殊情况，当所有数据的权重相等时（即\(w_1 = w_2=\cdots = w_n\)），加权平均数公式简化为算术平均数公式：\(
\bar{x}_ =\frac{x_1w + x_2w+\cdots + x_nw}{w + w+\cdots + w}=\frac{w(x_1 + x_2+\cdots + x_n)}{nw}=\frac{x_1 + x_2+\cdots + x_n}{n}=\bar{x}
\)
差异关系：加权平均数考虑了数据的重要性差异，而算术平均数假设所有数据同等重要。在实际应用中，当数据的重要性不同时，必须使用加权平均数才能得到合理的结果；若数据重要性相同，则可使用算术平均数。
五、常见误区
混淆权重与数据：在计算加权平均数时，误将数据本身当作权重，或反之，导致公式应用错误。例如，在例 2 中，将售价当作权重、销售量当作数据进行计算。
权重处理错误：当权重为百分比时，忘记将百分比转化为小数或分数，直接使用百分比数值计算，导致结果放大 100 倍。例如，将 40% 直接当作 40 代入公式。
忽略权重总和：在计算时未正确计算总权重，或总权重计算错误，导致平均数结果偏差。例如，在例 3 中，漏算某一分数段的人数，使总人数减少。
滥用算术平均数：在数据重要性不同的场景下，错误地使用算术平均数代替加权平均数，导致结果不能反映实际情况。例如，计算不同权重的考试总成绩时使用算术平均数。
六、课堂总结
核心概念：加权平均数是考虑数据权重后的平均数，权重反映数据的重要程度或出现次数，计算公式为\(\bar{x}_ =\frac{x_1w_1 + x_2w_2+\cdots + x_nw_n}{w_1 + w_2+\cdots + w_n}\)。
权重意义：权重可以是比例、百分比、次数等，权重越大，对应数据对平均数的影响越大。
与算术平均数的关系：算术平均数是加权平均数的特殊情况（权重相等），加权平均数更具普适性。
应用关键：根据数据特点正确确定权重，准确代入公式计算，避免混淆数据与权重，确保总权重计算正确。
通过本节的学习，我们掌握了加权平均数的计算方法，理解了权重在数据分析中的重要作用。加权平均数能够更客观地反映数据的实际水平，在成绩评定、市场分析、质量评估等领域有着广泛的应用，是数据分析中不可或缺的工具。
七、课后作业
某学生的语文、数学、英语成绩分别为 80 分、90 分、85 分，若这三科的权重分别为 3、4、3，求该学生的加权平均成绩。
某超市购进一批鸡蛋，单价为 5 元 / 千克的有 100 千克，单价为 5.5 元 / 千克的有 200 千克，单价为 6 元 / 千克的有 150 千克，求这批鸡蛋的平均单价。
某公司员工的月工资情况如下：经理 1 人，月工资 8000 元；主管 2 人，月工资 6000 元；普通员工 12 人，月工资 3000 元。求该公司员工的月平均工资。
某选秀比赛中，评委打分、观众投票、网络投票的权重分别为 50%、30%、20%。某选手的评委打分为 92 分，观众投票得分为 85 分，网络投票得分为 90 分，求该选手的最终得分。
某班 40 名学生参加体育测试，其中优秀的有 10 人（90 分），良好的有 20 人（80 分），及格的有 8 人（60 分），不及格的有 2 人（40 分），求该班体育测试的平均成绩。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
6.1.2加权平均数
第六章 数据的分析
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 经历数据的收集与处理的过程，探索算术平均数与加权平均数的联系和区别，提高学生的统计意识和数据处理的能力，通过有关平均数问题的解决，提高学生的数学应用能力．
2．通过解决实际问题体会数学与社会生活的密切联系，了解数学的价值，增强对数学的理解和学好数学的信心．
重点
难点
一般地，对于n个数x1 ，x2 ，… ，xn ，我们把
（ x1 + x2 + … + xn）
叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记作 x .
导入新知
1.什么是算术平均数？
2.什么是加权平均数？
一般地,如果在n个数中,x1出现f1次,x2出现f2次, ……，xk出现fk次(这时 f1+f2+……+fk=n ),那么这n个数的加权平均数为
服装统一 进退场有序 动作规范 动作整齐
一 班 9 8 9 8
二 班 10 9 7 8
三 班 8 9 8 9
问题一 某学校进行广播操比赛，比赛打分包括以下几项：服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐(每项满分10分),其中三个班级的成绩分别如下：
知识点
加权平均数的应用
探究新知
（1）若将服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐这四项得分依次按10%，20%，30%，40%的比例计算各班的广播操比赛成绩，那么哪个班的成绩最高？
（2）你认为上述四项中，哪一项更为重要？请你按自己的想法设计一个评分方案.根据你的评分方案，哪一个班的广播操比赛成绩最高？与同伴进行交流.
服装统一 进退场有序 动作规范 动作整齐
一 班 9 8 9 8
二 班 10 9 7 8
三 班 8 9 8 9
解:(1)一班的广播操成绩为：
9×10%＋8×20%＋9×30%＋8×40%=8.4(分)
二班的广播操成绩为：
10×10%＋9×20%＋7×30%＋8×40%=8.1(分)
三班的广播操成绩为：
8×10%＋9×20%＋8×30%＋9×40%=8.6(分)
因此，三班的广播操成绩最高.
(2)权有差异，得出的结果就会不同，也就是说
权的差异对结果有影响.
探究新知
小颖家去年的饮食支出为3600元，教育支出为1200 元，其他支出为7200 元.小颖家今年的这三项支出依次比去年增长了9%，30%，6%，小颖家今年的总支出比去年增长的百分数是多少？
以下是小明和小亮的两种解法，谁做得对？说说你的理由.
小明:(9%+30%+6%)÷3=15%
小亮:(9%×3600+30%×1200+6%×7200)
÷(3600+1200+7200)=9.3%
探究新知
问题二
由于小颖家去年的饮食、教育和其他三项支出金额不等，因此，饮食、教育和其他三项支出的增长率“地位”不同，它们对总支出增长率的“影响”不同，不能简单地用算术平均数计算总支出的增长率，而应将这三项支出金额3600，1200,7200分别视为三项支出增长率的“权”，从而总支出的增长率为小亮的解法是对的.
日常生活中的许多“平均” 现象是“加权平均”.
探究新知
你能举出生活中加权平均数的实例吗？
你知道大学里学期总评成绩是如何计算的吗？
是否简单地将平时成绩与考试成绩相加除以2呢？
是按照“平时成绩40%，考试成绩60%”的比例计算，
假如平时成绩70分，考试成绩为90分，那么学期总评成绩为多少？
70×40%+90×60%=82（分）
82分是上述两个成绩的加权平均数
权重
探究新知
解:(1)1小明的平均速度是(15×1+5×1)÷(1+1)=10（千米/时）.
(2)小明的平均速度是(15×2+5×3)÷(2+3)=9（千米/时）,
小明骑自行车的速度是15千米/时，步行的速度是5千米/时.
(1)如果小明先骑自行车1小时，然后又步行了1小时，那么他的平均速度是多少？
(2)如果小明先骑自行车2小时，然后步行了3小时，那么他的平均速度是多少？你能从权的角度来理解这样的平均速度吗？
巩固练习
小明骑自行车和步行的时间2小时，3小时分别是骑自行车和步行速度的权.
射击比赛中，某队员10次射击成绩如图所示，则该队员的平均成绩是_________环．
8.5　
连接中考
1.面试时，某人的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是80分，70分，85分，若依次按 30%，30%，40% 的比例确定成绩，则这个人的面试成绩是多少？
解:80×30%+70×30%+85×40%=79(分)
答：这个人的面试成绩是79分.
课堂检测
基础巩固题
知识点1 加权平均数
1.在一次数学测评中，六年级一班的23名男生的平均分为 ，22名女生
的平均分为 ，则这个班全体同学的平均分为( )
C
A. B. C. D.
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2.小董参加“吾有所爱，其名华夏”主题演讲比赛，形象、表达、内容三
项得分分别是9分、8分、10分（每项满分为10分）。若将三项得分依次
按 的比例确定最终成绩，则小董的最终成绩为( )
B
A.9.3分 B.8.9分 C.9分 D.9.6分
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3.［教材随堂练习 变式］［2024德阳
中考］某校拟招聘一名优秀的数学教师，
设置了笔试、面试、试讲三项水平测试，
综合成绩按照笔试占，面试占 ，
试讲占 进行计算，小徐的三项测试成
绩如图所示，则她的综合成绩为_____分。
85.8
返回
知识点2 加权平均数与算术平均数的关系
4.若一组数据中有个10，个20， 个30，则这组数据的平均数是
( )
D
A.20 B.
C. D.
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5.某校学期综合评价成绩是由平时作业、期中检测、期末考试三项成绩
构成的，学期综合评价成绩在90分以上则评为“优秀”。下表是小明和小
勇两名同学某学科的成绩。
学生 平时作业/分 期中检测/分 期末考试/分
小明 90 76 89
小勇 92 80 94
（1）若将三项成绩的平均分记为学期综合评价成绩，则小明的学期综
合评价成绩为____分；
85
（2）若将平时作业、期中检测、期末考试三项成绩按 的比例来确
定学期综合评价成绩，则小勇该学科______（填“能”或“不能”）被评为
“优秀”。
不能
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加权平均数的应用
加权平均数的影响
加权平均数的实际应用
权的不同，导致结果不同，故权的差异对结果有影响
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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