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6.1.3 方差
方差是描述数据离散程度的重要统计量，它能反映一组数据相对于平均数的波动大小。在实际生活中，我们不仅需要了解数据的平均水平，还需要知道数据的稳定性，方差正是衡量这种稳定性的关键指标。本节将深入学习方差的定义、计算方法、性质以及在数据分析中的具体应用，进一步完善对数据特征的理解。
一、方差的定义与意义
（一）定义
设一组数据为\(x_1, x_2, \cdots, x_n\)，其平均数为\(\bar{x}\)，则每个数据与平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，记作\(s^2\)。方差的本质是通过计算数据与平均数的偏离程度的平方的平均值，来衡量数据的离散程度。
（二）意义
反映波动程度：方差越大，说明数据与平均数的偏离程度越大，数据的波动越大，稳定性越差；方差越小，说明数据越集中在平均数附近，波动越小，稳定性越好。
弥补平均数的不足：平均数只能反映数据的集中趋势，无法体现数据的分布情况。两组数据的平均数可能相同，但方差可能差异很大，方差能补充说明数据的离散特征。例如，两名运动员的平均成绩相同，但方差小的运动员发挥更稳定。
二、方差的计算公式
（一）基本公式
方差的计算公式为：\(
s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\cdots+(x_n-\bar{x})^2]
\)
其中，\(n\)为数据的个数，\(\bar{x}\)为这组数据的平均数，\((x_i-\bar{x})\)表示第\(i\)个数据与平均数的差，平方后可以避免正负抵消，更直观地反映偏离程度。
（二）公式变形（简化计算）
当数据较大时，直接使用基本公式计算方差较为繁琐，可通过代数变形简化计算：\(
s^2=\frac{1}{n}[(x_1^2 + x_2^2+\cdots + x_n^2)-n\bar{x}^2]
\)
推导过程：\(
\begin{align*}
s^2&=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\cdots+(x_n-\bar{x})^2]\\
&=\frac{1}{n}[x_1^2 - 2x_1\bar{x}+\bar{x}^2 + x_2^2 - 2x_2\bar{x}+\bar{x}^2+\cdots + x_n^2 - 2x_n\bar{x}+\bar{x}^2]\\
&=\frac{1}{n}[(x_1^2 + x_2^2+\cdots + x_n^2)-2\bar{x}(x_1 + x_2+\cdots + x_n)+n\bar{x}^2]\\
&=\frac{1}{n}[(x_1^2 + x_2^2+\cdots + x_n^2)-2\bar{x}\cdot n\bar{x}+n\bar{x}^2]\\
&=\frac{1}{n}[(x_1^2 + x_2^2+\cdots + x_n^2)-n\bar{x}^2]
\end{align*}
\)
此变形公式可减少计算步骤，尤其适用于数据较多或数值较大的情况。
三、方差的计算步骤与实例解析
（一）基本步骤
计算一组数据的方差，通常遵循以下步骤：
计算平均数：先求出这组数据的算术平均数\(\bar{x}\)；
计算偏差平方：分别求出每个数据与平均数的差\((x_i-\bar{x})\)，并计算差的平方\((x_i-\bar{x})^2\)；
求平方和：将所有偏差平方相加，得到总和\(\sum_{i = 1}^n(x_i-\bar{x})^2\)；
计算方差：用平方和除以数据个数\(n\)，得到方差\(s^2\)。
（二）实例解析
例 1：计算数据\(3, 5, 7, 9, 11\)的方差。
解题步骤：
计算平均数\(\bar{x}\)：\(\bar{x}=\frac{3 + 5+7 + 9+11}{5}=\frac{35}{5}=7\)；
计算每个数据与平均数的差的平方：\((3 - 7)^2=(-4)^2 = 16\)；\((5 - 7)^2=(-2)^2 = 4\)；\((7 - 7)^2=0^2 = 0\)；\((9 - 7)^2=2^2 = 4\)；\((11 - 7)^2=4^2 = 16\)；
计算平方和：\(16+4 + 0+4+16=40\)；
计算方差：\(s^2=\frac{1}{5} 40 = 8\)。
答：这组数据的方差为 8。
例 2：甲、乙两组各 5 名学生的数学成绩（单位：分）如下：
甲组：80，85，90，95，100
乙组：85，85，90，95，95
分别计算两组成绩的方差，并比较哪组成绩更稳定。
解题步骤：
计算甲组平均数\(\bar{x}_ \)：\(\bar{x}_ =\frac{80 + 85+90 + 95+100}{5}=\frac{450}{5}=90\)；
计算甲组方差\(s_ ^2\)：\(s_ ^2=\frac{1}{5}[(80 - 90)^2+(85 - 90)^2+(90 - 90)^2+(95 - 90)^2+(100 - 90)^2]\)\(=\frac{1}{5}[100 + 25+0 + 25+100]\)\(=\frac{1}{5} 250 = 50\)；
计算乙组平均数\(\bar{x}_ \)：\(\bar{x}_ =\frac{85 + 85+90 + 95+95}{5}=\frac{450}{5}=90\)；
计算乙组方差\(s_ ^2\)：\(s_ ^2=\frac{1}{5}[(85 - 90)^2+(85 - 90)^2+(90 - 90)^2+(95 - 90)^2+(95 - 90)^2]\)\(=\frac{1}{5}[25 + 25+0 + 25+25]\)\(=\frac{1}{5} 100 = 20\)；
比较方差：因为\(50>20\)，即\(s_ ^2>s_ ^2\)。
答：甲组成绩的方差为 50，乙组成绩的方差为 20，乙组成绩更稳定。
例 3：使用变形公式计算数据\(12, 14, 16, 18, 20\)的方差。
解题步骤：
计算平均数\(\bar{x}\)：\(\bar{x}=\frac{12 + 14+16 + 18+20}{5}=\frac{80}{5}=16\)；
计算数据的平方和：\(12^2+14^2 + 16^2+18^2+20^2=144 + 196+256 + 324+400=1320\)；
代入变形公式：\(s^2=\frac{1}{5}[1320-5 16^2]=\frac{1}{5}[1320 - 5 256]=\frac{1}{5}[1320 - 1280]=\frac{1}{5} 40 = 8\)。
答：这组数据的方差为 8。
四、方差的性质
非负性：方差是平方的平均数，因此方差的值始终是非负的，即\(s^2\geq0\)。当且仅当所有数据都相等时，方差为 0。
数据平移不变性：若一组数据\(x_1, x_2, \cdots, x_n\)的方差为\(s^2\)，则每个数据加上或减去同一个常数\(a\)后，新数据\(x_1+a, x_2+a, \cdots, x_n+a\)的方差仍为\(s^2\)。这是因为数据的平移不改变数据的波动程度。
数据缩放性质：若一组数据\(x_1, x_2, \cdots, x_n\)的方差为\(s^2\)，则每个数据乘以同一个常数\(k\)后，新数据\(kx_1, kx_2, \cdots, kx_n\)的方差为\(k^2s^2\)。这是因为数据的缩放会放大或缩小波动程度。
例如：数据\(1, 2, 3\)的方差为\(\frac{2}{3}\)，则数据\(1+2, 2+2, 3+2\)（即\(3, 4, 5\)）的方差仍为\(\frac{2}{3}\)；数据\(2 1, 2 2, 2 3\)（即\(2, 4, 6\)）的方差为\(4 \frac{2}{3}=\frac{8}{3}\)。
五、方差与标准差的关系
标准差是方差的算术平方根，记作\(s\)，即：\(
s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\cdots+(x_n-\bar{x})^2]}
\)
标准差与方差的意义相同，都反映数据的离散程度，但标准差的单位与原数据的单位一致，而方差的单位是原数据单位的平方。在实际应用中，标准差更便于解释数据的波动情况，例如身高数据的标准差单位是厘米，而方差单位是平方厘米。
六、常见误区
计算偏差时忘记平方：在计算方差时，误将\((x_i-\bar{x})\)的和直接除以\(n\)，忽略平方步骤，导致结果错误。例如，将方差计算为\(\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})+(x_2-\bar{x})+\cdots+(x_n-\bar{x})]\)，而实际上这个和为 0（平均数的性质）。
混淆方差与标准差：误将标准差当作方差，或反之，导致单位和数值错误。例如，将方差的结果开平方后当作方差，忽略两者的定义差异。
方差意义理解颠倒：误认为方差越大，数据越稳定，这是对离散程度的错误解读。正确的理解是方差越小，数据越集中，稳定性越好。
忽略数据单位：在比较两组数据的方差时，未注意数据的单位是否一致，导致无意义的比较。例如，比较身高（厘米）和体重（千克）的方差，两者单位不同，无法直接比较波动程度。
计算错误：方差计算步骤较多，涉及平均数、平方、求和等运算，容易出现计算错误，尤其是在数据较多或数值较大时，需仔细核对每一步结果。
七、课堂总结
核心概念：方差是衡量数据离散程度的统计量，计算公式为\(s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\cdots+(x_n-\bar{x})^2]\)，反映数据相对于平均数的波动大小。
计算步骤：先求平均数，再算偏差平方，求和后除以数据个数，也可使用变形公式简化计算。
性质与意义：方差非负，数据平移不改变方差，缩放会改变方差；方差越小，数据越稳定，与平均数结合可全面描述数据特征。
与标准差的关系：标准差是方差的算术平方根，单位与原数据一致，同样用于描述离散程度。
通过本节的学习，我们掌握了方差的计算方法和应用技巧，能够运用方差分析数据的稳定性，为实际问题中的决策提供科学依据。方差作为数据分析的重要工具，在统计、质量控制、科学实验等领域有着广泛的应用价值。
八、课后作业
计算数据\(5, 7, 9, 11, 13\)的方差。
两组数据如下：
A 组：\(10, 20, 30, 40, 50\)
B 组：\(20, 30, 30, 30, 40\)
分别计算两组数据的方差，并说明哪组数据更稳定。
已知一组数据的方差为 4，若将每个数据都乘以 2，求新数据的方差。
某运动员在最近 10 次训练中的跳远成绩（单位：m）为：5.8, 5.9, 6.0, 6.1, 6.0, 5.9, 6.1, 6.0, 5.9, 6.0，求这组成绩的方差。
甲、乙两台机床生产同一种零件，在 10 天中，两台机床每天生产的零件尺寸偏差（单位：mm）如下：
甲：0.1, 0.2, 0.1, 0, 0.1, 0.3, 0.2, 0.1, 0.1, 0.2
乙：0.2, 0.3, 0, 0.1, 0.4, 0.1, 0.1, 0.2, 0.1, 0.1
分别计算两组数据的方差，判断哪台机床的性能更稳定。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
6.1.3方差
第六章 数据的分析
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过对几组数据差异的分析，逐步抽象出刻画数据离散程度的三个量，求出相应的值并应用，提高学生的理解能力和抽象总结能力．
2．经历表示数据离散程度的几个量的探索过程，通过实例体会用样本估计总体的统计思想，培养学生的数学应用能力．
3．通过小组合作活动，培养学生的合作意识；通过解决实际问题，让学生体会数学与生活的密切联系．
重点
难点
复习导入
一般地，若n个数x1, x2, …, xn的权分别是f1,f2,…,fn ，则 就是这n个数的加权平均数.
一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．
一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.
我们学习了上面三个量是用来刻画数据的集中趋势的，那数据的离散程度如何表示呢？
探究 为了提高农副产品的国际竞争力，一些行业协会对农副产品的规格进行了划分.
某外贸公司要出口一批规格为75 g的鸡腿，现有2个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿品质也相近.
知识点
极差、方差、标准差的概念
质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，质量（单位：g）如下：
甲厂：75 74 74 76 73 76 75 77 77 74
74 75 75 76 73 76 73 78 77 72
乙厂：75 78 72 77 74 75 73 79 72 75
80 71 76 77 73 78 71 76 73 75
把这些数据表示成下图：
探究新知
（1）你能从图中估计出甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量吗？
探究新知
（2）求甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量，并在图上画出表示平均质量的直线.
甲、乙两厂被抽鸡腿的平均质量约为75g.
探究新知
(3)从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是多少？最小值又是多少？它们相差几克？乙厂呢？
(4)如果只考虑鸡腿的规格，你认为外贸公司应购买哪个厂家的鸡腿？
解：甲厂：最大值78g，最小值72g，相差6g；
乙厂：最大值80g，最小值71g，相差9g；
解：平均质量只能反映总体的集中趋势,并不能反映个体的变化情况.从图中看,甲厂的产品更符合要求.
探究新知
现实生活中，除了关心数据的“平均水平”外，人们还关注数据的离散程度，即它们相对于平均水平的偏离情况.极差就是刻画数据离散程度的一个统计量.
极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差.
极差越大,偏离平均数越大,产品的质量(性能)越不稳定.
探究新知
如果丙厂也参与了竞争，从该厂抽样调查了20只鸡腿，它们的质量数据如图：
(1)丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差分别是多少？
丙厂这20只鸡腿质量的平均数为75.1克，极差是7克.
探究新知
（2）如何刻画丙厂这20只鸡腿的质量与其平均数的差距？
可分别用这20只鸡腿的质量与其平均数差的绝对值刻画.
探究新知
（3）分别求出甲、丙两厂的20只鸡腿质量与其相应平均数的差距．
甲厂的差距依次是：
0 1 1 1 2
1 0 2 2 1
1 0 0 1 2
1 2 3 2 3
丙厂的差距依次是：
0.1 1.1 2.1 2.9 3.1 0.9 1.1 0.9 1.1 0.1 1.1 3.1 2.1 3.1 2.9 0.9 1.9 1.9 1.9 3.9
甲厂
丙厂
探究新知
（4）在甲、丙两厂中，你认为哪个厂的鸡腿质量更符合要求？为什么？
差距和较小
甲厂的差距依次是：
0 1 1 1 2
1 0 2 2 1
1 0 0 1 2
1 2 3 2 3
丙厂的差距依次是：
0.1 1.1 2.1 2.9 3.1 0.9 1.1 0.9 1.1 0.1 1.1 3.1 2.1 3.1 2.9 0.9 1.9 1.9 1.9 3.9
甲厂
丙厂
差距和
较大
探究新知
数学上，数据的离散程度还可以用方差或标准差来刻画.
方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数,
即
一般而言,一组数据的极差、方差或标准差越小,这组数据就越稳定.
其中 是x1,x2,……，xn的平均数，s2是方差，而标准差就是方差的算术平方根.
探究新知
计算出从甲厂抽取的20只鸡腿质量的方差？
甲厂20只鸡腿质量的方差:
2.5.
解：甲厂20只鸡腿的平均质量:
=2.5.
或
探究新知
=75（g）.
甲厂：75 74 74 76 73 76 75 77 77 74
74 75 75 76 73 76 73 78 77 72
例
（1）计算出从丙厂抽取的20只鸡腿质量的方差？
（2）根据计算的结果，你认为甲、丙两厂的产品哪个更符合规格？
丙厂:
解：(1)
(2)因为S2甲＜ S2丙 ，所以甲厂更符合规定.
探究新知
做一做
4.2.
S2丙 =
甲团
163
164
164
165
165
166
166
167
乙团
163
165
165
166
166
167
168
168
　　哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？　　
例 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高（单位：cm）分别是：
探究新知
素养考点
利用加权平均数方差解答实际问题
解:甲、乙两团演员的平均身高分别是
探究新知
方法一：
方差分别是
方法二：
解: 取 a = 165
甲芭蕾舞团数据为： -2，-1， -1， 0，0，1，1，2
乙芭蕾舞团数据为： -2，0，0，1，1，2，3，3
求两组新数据方差.
探究新知
探究新知
方法点拨
求一组较大数据的方差，有如下简便计算方法：
1.任取一个基准数a；
2.将原数据减去a，得到一组新数据；
3.求新数据的方差.
甲、乙两台编织机纺织一种毛衣，在5天中两台编织机每天出的合格品数如下（单位：件）：
甲：7 10 8 8 7 ；
乙：8 9 7 9 7 .
计算在这5天中，哪台编织机出合格品的波动较小？
∴乙台编织机出的产品的波动性较小.
巩固练习
∵
解:
变式训练
1.打开计算器，依次按以下键进入统计状态.
2.按键输入数据2,3,4；
3.进入统计计算指令：
按 则显示改组数据的平均数；
按 则显示改组数据的标准差.
使用计算器说明：
探究新知
1.极差的定义：
极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差.
2.方差的定义：
方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，即
其中，x是x1，x2 ，… ，xn的平均数，是方差.
3.标准差的定义：
标准差是方差的算术平方根.
4.数据的稳定性：
一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定.
知识点1 离差平方和
1.［2025西安高新一中月考］一组数据2，3，2，3，5，这组数据的平
均数 是___，离差平方和
___。
3
6
返回
2.教练对王亮进行5次3分投篮测试，每次投10个球，这5次投篮测试中
投中的个数分别为6，7，8，7，7，则这5次测试王亮成绩的离差平方和
为___。
2
返回
知识点2 方差、标准差
3.在方差的计算公式
中，数字10和20分
别表示数据的( )
C
A.个数和方差 B.平均数和个数 C.个数和平均数 D.方差和平均数
返回
4.若一组数据为2，3，3，4，则这组数据的方差为( )
D
A.1 B.0.8 C.0.6 D.0.5
返回
5.若一组数据的方差是2，则其标准差是( )
D
A.4 B.2 C. D.
返回
6.［教材随堂练习 变式］为了解甲、乙两种小麦的长势，在同一
时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得甲、乙苗高的标准差分别为
, ，则麦苗长势较整齐的是____种小麦。
甲
返回
7.［教材 例2变式］［2024淄博中考改编］
数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进
行了测试。如图是他最近五次测试成绩
（满分为100分）的折线统计图，那么其平均
数是______，方差是____。
96分
10
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必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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