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6.1.4 方差的应用
方差作为描述数据离散程度的核心统计量，在实际生活和生产中有着广泛的应用。它能够帮助我们量化数据的稳定性、一致性或波动性，为决策提供科学依据。无论是产品质量控制、教育评价，还是体育训练、金融分析等领域，方差都发挥着重要作用。本节将通过具体实例，深入探讨方差在不同场景中的应用方法和价值。
一、方差在质量控制中的应用
在工业生产中，产品质量的稳定性是衡量生产水平的重要指标，而方差是评估质量稳定性的关键工具。通过计算产品质量指标的方差，可以判断生产过程是否稳定，及时发现异常波动，从而采取措施改进生产。
（一）实例解析：零件尺寸稳定性分析
例 1：某工厂生产一批零件，要求零件的标准尺寸为 50mm。质检员随机抽取了甲、乙两条生产线各 10 个零件，测量其尺寸（单位：mm）如下：
甲生产线：50.1, 50.0, 49.9, 50.0, 50.1, 49.9, 50.0, 50.1, 49.9, 50.0
乙生产线：50.2, 49.8, 50.3, 49.7, 50.1, 49.9, 50.4, 49.6, 50.0, 50.2
通过计算方差判断哪条生产线的零件尺寸更稳定。
解题步骤：
计算甲生产线零件尺寸的平均数\(\bar{x}_ \)：\(\bar{x}_ =\frac{50.1 + 50.0+49.9 + 50.0+50.1+49.9 + 50.0+50.1+49.9 + 50.0}{10}\)\(=\frac{500.0}{10}=50.0\)mm；
计算甲生产线的方差\(s_ ^2\)：\(s_ ^2=\frac{1}{10}[(50.1 - 50.0)^2+(50.0 - 50.0)^2+\cdots+(50.0 - 50.0)^2]\)\(=\frac{1}{10}[0.01 + 0+0.01 + 0+0.01+0.01 + 0+0.01+0.01 + 0]\)\(=\frac{1}{10} 0.06 = 0.006\)；
计算乙生产线零件尺寸的平均数\(\bar{x}_ \)：\(\bar{x}_ =\frac{50.2 + 49.8+50.3 + 49.7+50.1+49.9 + 50.4+49.6+50.0 + 50.2}{10}\)\(=\frac{500.0}{10}=50.0\)mm；
计算乙生产线的方差\(s_ ^2\)：\(s_ ^2=\frac{1}{10}[(50.2 - 50.0)^2+(49.8 - 50.0)^2+\cdots+(50.2 - 50.0)^2]\)\(=\frac{1}{10}[0.04 + 0.04+0.09 + 0.09+0.01+0.01 + 0.16+0.16+0 + 0.04]\)\(=\frac{1}{10} 0.64 = 0.064\)；
结论：因为\(s_ ^2=0.006 < s_ ^2=0.064\)，所以甲生产线的零件尺寸更稳定。
应用价值：在质量控制中，方差越小说明产品尺寸与标准值的偏差越稳定，生产过程越可控。工厂可根据方差结果调整乙生产线的设备精度或操作流程，降低尺寸波动。
二、方差在教育评价中的应用
在教育领域，方差可用于分析学生成绩的稳定性、班级整体的学差异等。通过比较不同学生或班级的成绩方差，能更全面地评估学习效果，为教学改进提供方向。
（一）实例解析：学生成绩稳定性比较
例 2：某班两名学生近 5 次数学考试成绩（单位：分）如下：
小明：85, 90, 88, 92, 85
小红：75, 95, 85, 100, 75
计算两人成绩的方差，并分析谁的成绩更稳定，更适合参加数学竞赛。
解题步骤：
计算小明成绩的平均数\(\bar{x}_ \)：\(\bar{x}_ =\frac{85 + 90+88 + 92+85}{5}=\frac{440}{5}=88\)分；
计算小明成绩的方差\(s_ ^2\)：\(s_ ^2=\frac{1}{5}[(85 - 88)^2+(90 - 88)^2+(88 - 88)^2+(92 - 88)^2+(85 - 88)^2]\)\(=\frac{1}{5}[9 + 4+0 + 16+9]=\frac{1}{5} 38 = 7.6\)；
计算小红成绩的平均数\(\bar{x}_ \)：\(\bar{x}_ =\frac{75 + 95+85 + 100+75}{5}=\frac{430}{5}=86\)分；
计算小红成绩的方差\(s_ ^2\)：\(s_ ^2=\frac{1}{5}[(75 - 86)^2+(95 - 86)^2+(85 - 86)^2+(100 - 86)^2+(75 - 86)^2]\)\(=\frac{1}{5}[121 + 81+1 + 196+121]=\frac{1}{5} 520 = 104\)；
结论：小明的成绩方差远小于小红，说明小明的成绩更稳定。数学竞赛对稳定性要求较高，因此小明更适合参加。
应用价值：方差帮助教师识别学生成绩的波动情况，对成绩不稳定的学生可针对性辅导，巩固薄弱知识点；对班级整体方差较大的情况，可调整教学进度或分层教学。
三、方差在体育训练中的应用
体育训练中，运动员的成绩稳定性直接影响比赛表现。方差可用于评估运动员的技术稳定性，指导训练计划的制定，帮助运动员提升竞技状态。
（一）实例解析：运动员成绩稳定性评估
例 3：两名射击运动员在选拔赛中各射击 10 次，命中环数如下：
甲：9, 8, 9, 10, 9, 9, 10, 9, 8, 9
乙：10, 7, 10, 9, 8, 10, 7, 10, 9, 8
计算两人命中环数的方差，判断谁的发挥更稳定，更适合参加正式比赛。
解题步骤：
计算甲的平均环数\(\bar{x}_ \)：\(\bar{x}_ =\frac{9 + 8+9 + 10+9+9 + 10+9+8 + 9}{10}=\frac{90}{10}=9\)环；
计算甲的方差\(s_ ^2\)：\(s_ ^2=\frac{1}{10}[(9 - 9)^2+(8 - 9)^2+\cdots+(9 - 9)^2]\)\(=\frac{1}{10}[0 + 1+0 + 1+0+0 + 1+0+1 + 0]=\frac{1}{10} 4 = 0.4\)；
计算乙的平均环数\(\bar{x}_ \)：\(\bar{x}_ =\frac{10 + 7+10 + 9+8+10 + 7+10+9 + 8}{10}=\frac{90}{10}=9\)环；
计算乙的方差\(s_ ^2\)：\(s_ ^2=\frac{1}{10}[(10 - 9)^2+(7 - 9)^2+\cdots+(8 - 9)^2]\)\(=\frac{1}{10}[1 + 4+1 + 0+1+1 + 4+1+0 + 1]=\frac{1}{10} 14 = 1.4\)；
结论：甲的方差小于乙，说明甲的射击成绩更稳定，更适合参加正式比赛。
应用价值：教练可根据方差结果调整训练重点，对乙进行稳定性训练，减少极端成绩出现的频率；在团队选拔中，优先选择方差小的运动员以降低比赛风险。
四、方差在金融分析中的应用
在金融领域，方差常被用来衡量投资风险。资产收益率的方差越大，说明收益波动越剧烈，投资风险越高；方差越小，说明收益越稳定，风险越低。
（一）实例解析：投资风险比较
例 4：某投资者考虑两种基金产品，近 6 个月的月收益率（单位：%）如下：
基金 A：2.1, 2.3, 2.2, 2.4, 2.3, 2.2
基金 B：1.8, 2.5, 2.0, 2.7, 1.9, 2.6
计算两种基金收益率的方差，判断哪种基金风险更低。
解题步骤：
计算基金 A 的平均收益率\(\bar{x}_A\)：\(\bar{x}_A=\frac{2.1 + 2.3+2.2 + 2.4+2.3+2.2}{6}=\frac{13.5}{6}=2.25\%\)；
计算基金 A 的方差\(s_A^2\)：\(s_A^2=\frac{1}{6}[(2.1 - 2.25)^2+(2.3 - 2.25)^2+\cdots+(2.2 - 2.25)^2]\)\(=\frac{1}{6}[0.0225 + 0.0025+0.0025 + 0.0225+0.0025+0.0025]\)\(=\frac{1}{6} 0.0525 = 0.00875\)；
计算基金 B 的平均收益率\(\bar{x}_B\)：\(\bar{x}_B=\frac{1.8 + 2.5+2.0 + 2.7+1.9+2.6}{6}=\frac{13.5}{6}=2.25\%\)；
计算基金 B 的方差\(s_B^2\)：\(s_B^2=\frac{1}{6}[(1.8 - 2.25)^2+(2.5 - 2.25)^2+\cdots+(2.6 - 2.25)^2]\)\(=\frac{1}{6}[0.2025 + 0.0625+0.0625 + 0.2025+0.1225+0.1225]\)\(=\frac{1}{6} 0.775\approx0.1292\)；
结论：基金 A 的方差远小于基金 B，说明基金 A 的收益率更稳定，投资风险更低。
应用价值：投资者可根据方差选择符合自身风险承受能力的投资产品，保守型投资者倾向选择方差小的低风险产品，激进型投资者可接受高方差的高潜在收益产品。
五、方差应用的注意事项
结合平均数分析：方差仅反映数据的离散程度，需与平均数结合才能全面描述数据特征。两组数据可能方差相同但平均数不同，或平均数相同但方差不同，需综合判断。例如，两组学生成绩方差相同，但一组平均分 80 分，一组平均分 60 分，学存在差异。
数据单位一致性：比较两组数据的方差时，需确保数据单位一致，否则比较无意义。例如，不能直接比较身高（厘米）和体重（千克）的方差来判断波动程度。
样本代表性：计算方差时，样本需具有代表性，否则结果可能偏离实际情况。例如，质量检测中仅抽取少量零件计算方差，可能无法反映整体生产稳定性。
极端值影响：方差对极端值敏感，个别极端数据会显著增大方差。分析时需注意是否存在异常值，必要时剔除或单独分析。例如，学生成绩中某一次意外缺考的 0 分可能导致方差偏大，需结合实际情况解读。
六、课堂总结
核心应用场景：方差在质量控制中用于评估产品稳定性，在教育评价中分析成绩波动，在体育训练中判断竞技状态，在金融分析中衡量投资风险等。
应用逻辑：通过计算方差量化数据离散程度，方差越小说明数据越稳定、波动越小，根据实际需求选择方差符合要求的数据或方案。
注意事项：需结合平均数、数据单位、样本代表性等因素综合分析，避免单一依赖方差做出决策。
方差的应用体现了数据分析从 “描述现象” 到 “指导实践” 的转变，它将抽象的波动程度转化为可量化的指标，为各领域的科学决策提供了有力支持。掌握方差的应用方法，能帮助我们更理性地分析问题、解决问题。
七、课后作业
某饮料厂两条生产线生产的瓶装饮料容量（单位：mL）如下：
生产线 1：500, 502, 498, 500, 501, 499, 500, 501
生产线 2：505, 495, 503, 497, 504, 496, 502, 498
计算两条生产线容量的方差，判断哪条生产线的容量更稳定。
两名运动员近 6 次 100 米跑成绩（单位：秒）如下：
甲：10.8, 10.7, 10.9, 10.8, 10.7, 10.8
乙：10.6, 11.0, 10.5, 11.1, 10.4, 11.2
计算两人成绩的方差，说明谁更适合参加奥运会选拔赛。
某班三个小组的数学测试平均分均为 85 分，方差分别为\(s_1^2=12\)，\(s_2^2=25\)，\(s_3^2=8\)。哪个小组的成绩最稳定？哪个小组的成绩差异最大？
两种股票近 5 个交易日的涨跌幅（单位：%）如下：
股票 A：1.2, 0.8, 1.0, 1.1, 0.9
股票 B：2.5, -0.5, 3.0, -1.0, 2.0
计算两种股票涨跌幅的方差，判断哪种股票投资风险更高。
某工厂为提高产品质量，对旧生产线进行改造，改造前后各抽取 10 个零件测量尺寸偏差（单位：mm）：
改造前：0.3, 0.5, 0.2, 0.4, 0.6, 0.3, 0.5, 0.4, 0.2, 0.5
改造后：0.2, 0.3, 0.1, 0.2, 0.3, 0.1, 0.2, 0.3, 0.2, 0.1
通过方差比较改造效果，说明改造是否提高了生产稳定性。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
6.1.4方差的应用
第六章 数据的分析
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过更为丰富的例子，让学生较为全面地理解方差及其在现实生活中的应用，提高学生的应用意识．
2．通过实例，让学生体会数据的离散程度在现实生活中的广泛应用，应视情况分析方差或标准差对于问题的影响．
重点
难点
某日，A，B两地的气温变化如下图所示：
（1）这一天A，B两地的平均气温分别是多少？
答：A地的平均气温是20.4℃,
B地的平均气温是21.4℃.
知识点
方差的实际应用
探究新知
A地
B地
（2）A地这一天气温的极差、方差分别是多少？B地呢？
解：A地的极差是9.5℃，方差是7.76，
B地的极差是6℃，方差是2.78.
解：A、B两地的平均气温相近，但A地的日温差较大， B地的日温差较小.
（3）A，B两地的气候各有什么特点？
探究新知
A地
B地
我们知道，一组数据的方差越小，这组数据就越稳定，那么，是不是方差越小就表示这组数据越好？
探究新知
例1 某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛．在最近10次选拔赛中，他们的成绩（单位: cm）如下：
甲：585 596 610 598 612 597 604 600 613 601
乙：613 618 580 574 618 593 585 590 598 624
（1）这两名运动员的运动成绩各有何特点？
分析：分别计算出平均数和方差；根据平均数判断出谁的成绩好，根据方差判断出谁的成绩波动大．
探究新知
素养考点
利用方差做判断
(585+596+610+598+612+597+604+600+613+601)
=601．6，
(613+618+580+574+618+593+585+590+598+624)
=599．3，
由上面计算结果可知：甲队员的平均成绩较好，也比较稳定，乙队员的成绩也不突出，所以甲队比较突出．
探究新知
解:
s2甲≈65.84；
s2乙≈284.21．
（2）历届比赛表明，成绩达到5.96 m就很可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到6.10 m就能打破纪录，那么你认为为了打破纪录应选谁参加这项比赛．
解：从平均数分析可知，甲、乙两队员都有夺冠的可能．但由方差分析可知，甲成绩比较平稳，夺冠的可能性比乙大．
但要打破纪录，成绩要比较突出，因此乙队员打破纪录的可能性大，我认为为了打破纪录，应选乙队员参加这项比赛．
探究新知
（1）在解决实际问题时，方差的作用是什么？
反映数据的波动大小．方差越大,数据的波动越大；
方差越小，数据的波动越小，可用样本方差估计总体方差．
（2）运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？
　　先计算样本数据平均数，当两组数据的平均数相等或相近时，再利用样本方差来估计总体数据的波动情况．
探究新知
队员 平均成绩 方差
甲 9.7 2.12
乙 9.6 0.56
丙 9.8 0.56
丁 9.6 1.34
甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩（环）及方差统计如表，现要根据这些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是（ ）
A. 甲 B. 乙 C.丙 D.丁
C
巩固练习
变式训练
某撑杆跳队准备从甲、乙两名运动员中选取成绩稳定的一名参加比赛.下表是这两名运动员10次测验成绩（单位：m）.
甲 4.85 4.93 5.07 4.91 4.99
5.13 4.98 5.05 5.00 5.19
乙 5.11 5.08 4.83 4.92 4.84
4.81 5.18 5.17 4.85 5.21
你认为应该选择哪名运动员参赛？为什么？
变式训练
巩固练习
解：我认为应该选甲运动员参赛.理由是：甲、乙运动员10次测验成绩的平均数分别为
甲、乙运动员10次测验成绩的方差分别为
由 可以知道，甲运动员的成绩更稳定，因此，我认为应该选甲运动员.
巩固练习
分数 50 60 70 80 90 100
人数 甲组 2 5 10 13 14 6
乙组 4 4 16 2 12 12
例2 一次科技知识竞赛,两组学生成绩统计如下:
已经算得两个组的人平均分都是80分,请根据你所学过的统计知识,进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣,并说明理由.
探究新知
解: (1)甲组成绩的众数为90分,乙组成绩的众数为70分, 以成绩的众数比较看,甲组成绩好些.
(3)甲、乙两组成绩的中位数都是80分,甲组成绩在中位数以上(包括中位数)的人有33人,乙组成绩在中位数以上(包括中位数)的人有26人,从这一角度,看甲组成绩总体较好;
(4)从成绩统计表看,甲组成绩高于80分的人数为20人,乙组成绩高于80分的人数为24人,乙组成绩集中在高分段的人数多,同时,乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人,从这一角度看,乙组的成绩较好.
探究新知
(2)
因为 ，从数据的离散程度的角度看，甲组较优；
甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示：
巩固练习
变式训练
知识点1 方差的应用
1.［2024青岛中考改编］图①和图②中的两组数据，分别是甲、乙两地
2024年5月27日至31日每天的最高气温，设这两组数据的方差分别为
，，则与 的关系是( )
A
A. B. C. D.无法确定
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2.［2024上海中考改编］科学家同时培育了甲、乙、丙、丁四种花，其
开花时间的平均数及方差如下表，开花时间最短并且最平稳的是( )
种类 甲 乙 丙 丁
平均数 2.3天 2.3天 2.8天 3.1天
方差 1.05 0.78 1.05 0.78
B
A.甲种类 B.乙种类 C.丙种类 D.丁种类
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3.在一次芭蕾舞选拔赛中，甲、乙两个芭蕾舞团参加表演的8位女演员
身高的折线统计图如下。若选择甲团参赛，则理由是________________
___________。
甲团8位女演员的
身高更整齐
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知识点2 利用“组内离差平方和达到最小”分组
4.科研人员选出8株植物，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速
率（单位： ）。统计结果为35,30,23,17,20,25,32,30，若
按照“组内离差平方和达到最小”的方法将这8株植物分成两组，则需要
将数据由____到____排序，共可以分成___种情况。
小
大
7
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5.［教材 例3变式］在一次女子体操比赛中，10名运动员的年龄
（单位：岁）分别为10，8，12，15，10，12，11，9，10，13。若想把
10名运动员分成两组，使每组组内运动员年龄差不多，且两组之间年龄
差别较明显，那么你将运用________________________的方法进行分组。
具体分组过程如下：将10名运动员的年龄按从小到大排列____________
_______________________。
把10个数据分成两组，共有9种情况：
组内离差平方和达到最小
8,9,10,10,10,11,12,12,13,15
情况 第一组 第二组
一 ___ _______________________
二
三 _______ ___________________
四 _________ ________________
8
9,10,10,10,11,12,12,13,15
8,9,10
10,10,11,12,12,13,15
8,9,10,10
10,11,12,12,13,15
情况 第一组 第二组
五 ____________ ______________
六 ______________ ___________
七 _________________ _________
八
九
8,9,10,10,10
11,12,12,13,15
8,9,10,10,10,11
12,12,13,15
8,9,10,10,10,11,12
12,13,15
续表
情况 平均数（除不尽的保留2位 小数） 组内离差平方和 第一组 第二组 第一组 第二组 两组和
一 ___ 11.33 ___ __________
二 8.5 11.625 0.5 21.875 22.375
三 9 11.86 2
四 9.25 12.17 2.75
五 9.4 12.6 3.2 9.2 12.4
8
0
续表
情况 平均数（除不尽的保留2位 小数） 组内离差平方和 第一组 第二组 第一组 第二组 两组和
六 9.67 13 6
七 10 13.33 10
八 10.25 ____ 13.5 ___ _____
九 10.56 15 ___ __________
14
2
15.5
0
续表
通过计算得到，第____种情况得到的组内离差平方和最小，因此将10名
运动员按年龄大小分成两组为__________________________________。
六
，
返回
根据方差做决策
方差的作用：比较数据的稳定性
利用方差解答实际问题
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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