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6.3 哪个团队收益大
在实际工作中，我们经常需要对不同团队的收益情况进行比较，以评估团队的业绩表现。收益比较不能仅依靠单一数据，而需要结合统计量全面分析数据的集中趋势、离散程度等特征。本节将通过具体案例，学习如何运用平均数、中位数、方差以及箱线图等工具，科学判断哪个团队的收益更大、更稳定，为决策提供可靠依据。
一、问题背景与数据收集
（一）问题提出
某公司有 A、B 两个销售团队，为了评估两个团队的业绩，需要比较它们在过去 6 个月的收益情况，判断哪个团队的收益更大，同时分析哪个团队的收益更稳定，为资源分配和奖励机制提供参考。
（二）数据收集
通过财务记录，收集到 A、B 两个团队近 6 个月的收益数据（单位：万元）如下：
A 团队：35, 42, 38, 45, 40, 48
B 团队：30, 50, 35, 55, 40, 45
二、收益大小的初步比较：平均数
平均数是反映数据集中趋势的核心指标，通过计算两个团队收益的平均数，可以初步判断哪个团队的整体收益水平更高。
（一）计算步骤
计算 A 团队的平均收益：\(
\bar{x}_A=\frac{35 + 42+38 + 45+40+48}{6}
\)
\(
=\frac{35+42=77 77+38=115 115+45=160 160+40=200 200+48=248}{6}
\)
\(
=\frac{248}{6}\approx41.33\text{ }
\)
计算 B 团队的平均收益：\(
\bar{x}_B=\frac{30 + 50+35 + 55+40+45}{6}
\)
\(
=\frac{30+50=80 80+35=115 115+55=170 170+40=210 210+45=255}{6}
\)
\(
=\frac{255}{6}=42.5\text{ }
\)
（二）初步结论
从平均数来看，B 团队的平均收益（42.5 万元）高于 A 团队（约 41.33 万元），初步判断 B 团队的整体收益水平更高。
三、收益稳定性分析：方差与中位数
仅通过平均数比较收益大小并不全面，收益的稳定性同样重要。一个收益波动较小的团队，其业绩更可靠、风险更低。我们可以通过方差分析收益的离散程度，结合中位数进一步验证数据的集中趋势。
（一）方差计算
A 团队的方差：
先计算每个数据与平均数的差的平方：\((35 - 41.33)^2\approx(-6.33)^2\approx40.07\)\((42 - 41.33)^2\approx(0.67)^2\approx0.45\)\((38 - 41.33)^2\approx(-3.33)^2\approx11.09\)\((45 - 41.33)^2\approx(3.67)^2\approx13.47\)\((40 - 41.33)^2\approx(-1.33)^2\approx1.77\)\((48 - 41.33)^2\approx(6.67)^2\approx44.49\)
方差：\(
s_A^2=\frac{40.07 + 0.45+11.09 + 13.47+1.77+44.49}{6}\approx\frac{111.34}{6}\approx18.56
\)
B 团队的方差：
先计算每个数据与平均数的差的平方：\((30 - 42.5)^2=(-12.5)^2 = 156.25\)\((50 - 42.5)^2=(7.5)^2 = 56.25\)\((35 - 42.5)^2=(-7.5)^2 = 56.25\)\((55 - 42.5)^2=(12.5)^2 = 156.25\)\((40 - 42.5)^2=(-2.5)^2 = 6.25\)\((45 - 42.5)^2=(2.5)^2 = 6.25\)
方差：\(
s_B^2=\frac{156.25 + 56.25+56.25 + 156.25+6.25+6.25}{6}=\frac{437.5}{6}\approx72.92
\)
（二）中位数计算
A 团队收益排序：35, 38, 40, 42, 45, 48
中位数为第 3 个和第 4 个数据的平均数：\(
\text{ °}_A=\frac{40 + 42}{2}=41\text{ }
\)
B 团队收益排序：30, 35, 40, 45, 50, 55
中位数为第 3 个和第 4 个数据的平均数：\(
\text{ °}_B=\frac{40 + 45}{2}=42.5\text{ }
\)
（三）稳定性结论
方差：A 团队的方差（约 18.56）远小于 B 团队（约 72.92），说明 A 团队的收益波动更小，稳定性更好。
中位数：B 团队的中位数（42.5 万元）高于 A 团队（41 万元），与平均数结论一致，进一步说明 B 团队的中等收益水平更高。
四、综合分析：箱线图可视化
为了更直观地比较两个团队的收益分布特征，我们可以绘制箱线图，综合展示数据的最小值、最大值、四分位数、中位数等信息。
（一）箱线图关键统计量计算
A 团队五数概括：
最小值 = 35 万元；
Q1 位置\(=\frac{6 + 1}{4}=1.75\)，Q1=35 + 0.75×(38 - 35)=35 + 2.25=37.25 万元；
中位数 = 41 万元；
Q3 位置\(=\frac{3 (6 + 1)}{4}=5.25\)，Q3=45 + 0.25×(48 - 45)=45 + 0.75=45.75 万元；
最大值 = 48 万元；
四分位距 IQR=45.75 - 37.25=8.5 万元。
B 团队五数概括：
最小值 = 30 万元；
Q1 位置 = 1.75，Q1=30 + 0.75×(35 - 30)=30 + 3.75=33.75 万元；
中位数 = 42.5 万元；
Q3 位置 = 5.25，Q3=50 + 0.25×(55 - 50)=50 + 1.25=51.25 万元；
最大值 = 55 万元；
四分位距 IQR=51.25 - 33.75=17.5 万元。
（二）箱线图分析
箱体长度：A 团队箱体较短（IQR=8.5 万元），B 团队箱体较长（IQR=17.5 万元），说明 A 团队中间 50% 的收益更集中，B 团队收益分布更分散。
中位数位置：B 团队的中位数在箱体中位置较居中，A 团队中位数略偏下，但整体均能反映各自的中等收益水平。
须线长度：B 团队须线更长，说明其收益的极端值（最大值和最小值）与中间数据的差距更大，波动更明显。
五、结论与决策建议
（一）综合结论
收益大小：B 团队的平均收益和中位数均高于 A 团队，说明 B 团队的整体收益水平更高，有更高的盈利潜力。
收益稳定性：A 团队的方差远小于 B 团队，且箱线图显示其收益分布更集中，说明 A 团队的收益更稳定，风险更低。
（二）决策建议
若公司追求高收益，愿意承担一定的波动风险，B 团队的表现更值得肯定，可给予更多资源支持以扩大优势。
若公司注重业绩的稳定性和可持续性，A 团队的稳健表现更符合需求，可鼓励其保持稳定增长，同时分析 B 团队收益波动的原因，优化其业绩稳定性。
从长期发展来看，可结合两个团队的优势，让 A 团队分享稳定运营的经验，帮助 B 团队降低波动；同时借鉴 B 团队的高收益策略，提升 A 团队的盈利空间。
通过多维度的统计分析，我们不仅能判断哪个团队收益更大，还能深入了解收益背后的分布特征，为科学决策提供全面支持。在实际应用中，需根据具体场景的需求（如风险偏好、目标导向），综合运用统计量进行分析。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
6.3 哪个团队收益大
第六章 数据的分析
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过自主探究进一步理解平均数、中位数、众数等的实际含义；能从条形统计图、折线统计图、扇形统计图中获取信息，求出相关数据的平均数、中位数、众数，提高学生的应用意识．
2．通过初步经历数据的获取，以及求出相关数据的平均数、中位数、众数的过程，发展学生的统计意识和数据处理能力．
3．通过探索活动，培养学生的探索精神和创新意识；通过相互间的合作交流，让所有学生都有收获，共同发展．
重点
难点
旧知回顾
1．怎么计算算术平均数？
2．如何求中位数和众数？
(x1+x2+…+xn).
将一组数据按大小顺序排列，如果数据个数为奇数，那么中间的那个数据就是中位数；如果数据个数为偶数，那么中间的两个数据的平均数是中位数．
一组数据中出现次数最多的那个数据是众数.
探
究
一
1.为了检查面包的质量是否达标,随机抽取了同种规格的面包10个,这10个面包的质量如下图所示：
（1）这10个面包质量的中位数是 众数是＿＿＿.
（2）估算平均质量是 算一算验证你的估计.
99.8克
100克
100克
101
105
95
100
99
97
100
103
98
100
100克
探究新知
知识点
统计图中分析数据
根据统计图，确定10次射击成绩的众数 、中位数 ，先估计这10次射击成绩的平均数为 ，再具体算一算，看看你的估计水平如何.
某次射击比赛，甲队员的成绩如下图：
9环
9环
9环
9.4
8.4
9.2
9.2
8.8
9
8.6
9
9
9.4
（9.4+9.4+9.2+9.2+9+9+8.8+8.6+8.4）÷10=9（环）
探究新知
9.4
次序
成绩/环
众数： __________________________________;

中位数：__________________________________________;
平均数： .
同一水平线上出现次数最多的数据
折线图上，从上到下(或从下到上)处于中间点所对应的数
可以用中位数与众数估测平均数.具体计算时可以以这个数为基准用简便算法求平均数.
探究反思
在折线统计图中，可以怎样求一组数据的众数、中位数、平均数？
探究新知
探
究
二
甲、乙、丙三支青年排球队各有12名队员，三队队员的年龄情况如下图：
（1）你能从图中分别看出三支球队队员年龄的众数吗？中位数呢？
（2）你能大致估计出三支球队队员的平均年龄哪个大、哪个小吗？你是怎么估计的？
（3）计算出三支球队队员的平均年龄，看看你的估计是否准确.
探究新知
甲、乙、丙三支青年排球队各有12名队员，三队队员的年龄情况如下图：
在条形统计图中，首先要弄清楚横、纵坐标上的数据表示的意义.例如本题中，横轴上的数据是要研究的数据：年龄（岁），纵轴上的数1、2、3表示的是人数，相当于平均数中的“权”.
思路导析
探究新知
甲队：
众数：20岁.
中位数：20岁.
平均数：20岁.
探究新知
问题解答
乙队：
问题解答
众数：19岁.
中位数：19岁.
平均年龄：比20岁小.
探究新知
丙队:
问题解答
众数：21岁.
中位数：21岁.
平均年龄：比20岁大.
探究新知
（3）计算出三支球队队员的平均年龄，看看你的估计是否准确.
探究新知
甲、乙、丙三支青年排球队各有12名队员，三队队员的年龄情况如图.
甲队：20岁
乙队：约19.3岁
丙队：约20.9岁
探究新知
归纳总结
条形统计图中，柱子最高的是众数；找中位数要先排大小顺序；还可以用数据的中位数与众数估测其平均数．
探究新知
如图是某中学男田径队队员年龄结构条形统计图 ，根据图中信息解答下列问题：
（1）田径队共有______人.
（2）该队队员年龄的众数是_____;中位数是______.
（3）该队队员的平均年龄是______.
队员人数
15岁
16岁
17岁
18岁
0
1
2
3
4
年龄
10
17岁
17岁
16.9岁
巩固练习
小明调查了班级里20位同学本学期计划购买课外书的花费情况，并将结果绘制成了统计图：
(1)在这20位同学中,本学期计划购买课外书的花费的众数、中位数分别是多少？
众数：50元.
中位数：50元.
探究新知
探
究
三
想一想 在上面的问题中，如果不知道调查的总人数，你还能求平均数吗？
(2) 计算这20名同学计划购买课外书的平均花费，你是怎么计算的？与同伴交流.
=57（元）
探究新知
=100×10%+80×25%+50×40%+30×20%+20×5%
在扇形统计图中，可以怎样求一组数据的众数、中位数、平均数？
众数： _____________________________;

中位数：________________________________________;

平均数：____________________________.
面积最大的扇形所对应的数据
扇形图中各数据按大小顺序排列，相应的百分比 第50%、51%两个数据的平均数是中位数
可以利用加权平均数进行计算
探究新知
探究反思
某地连续统计了10天日最高气温，并绘制了扇形统计图.
（1）这10天中，日最高气温的众数是多少？
（2）计算这10天日最高气温的平均值.
探究新知
素养考点 1
从统计图分析数据集中趋势的应用
例1
解：（1）根据扇形统计图，35℃占的比例最大，因此日最高气温的众数是35℃.
（2）这10天日最高气温的平均值是：
32×10％+33×20％+34×20％+35×30％+36×20％=34.3(°C)
探究新知
在一次爱心捐款中，某班有40名学生拿出自己的零花钱，有捐5元、10元、20元、50元的，图7反映了不同捐款的人数比例，那么这个班的学生平均每人捐款_________元，中位数是______元，众数是_________元.
16
5
5
巩固练习
变式训练
归纳总结
(2)条形
统计
图中
(3)扇形
统计
图中
(1)折线
统计
图中
众数：同一水平线上出现次数最多的数据；
中位数：从上到下（或从下到上）找中间点所对的数；
平均数：可以用中位数与众数估测平均数．
众数：是柱子最高的数据；
中位数：从左到右（或从右到左）找中间数；
平均数：可以用中位数与众数估测平均数．
众数：为扇形面积最大的数据；
中位数：按顺序，看相应百分比，第50%与第51%两个数据的平均数；
平均数：可以利用加权平均数进行计算．
探究新知
例2 甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别绘制成下列两个统计图：
素养考点 2
利用平均数、众数、中位数与统计图结合的问题
探究新知
次序
次序
根据以上信息，整理分析数据如下：
平均成绩(环) 中位数(环) 众数(环)
甲 a 7 7
乙 7 b 8
(1)写出表格中a，b的值；
解：(1)a＝7，b＝7.5
探究新知
(2)分别运用表中的三个统计量，简要分析这两名队员的射击
成绩，若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？
解：(2)从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多.综合以上各因素，若选派一名学生参赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大.
探究新知
五一期间(5月1日～7日)，昌平区每天最高温度(单位： ℃)情况如图所示，则表示最高温度的这组数据的中位数是( )
A. 24 ℃ B. 25 ℃ C. 26 ℃ D. 27 ℃
B
巩固练习
变式训练
知识点 多种方法分析数据
（第1题）
1. 如图是甲、乙两地在某
一个月中日平均气温的箱线图，从中可以
发现这个月的日平均气温方差较大的是
______（填“甲地”或“乙地”）。
甲地
返回
（第2题）
2.已知一班和二班人数相等，在一次考试中
两班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正
确的是( )
C
A.一班成绩比二班成绩集中
B.一班成绩的上四分位数是80
C.从中位数来看，两班成绩相当
D.从平均分来看，一班成绩高于二班成绩
返回
3.某班级学生参加数学测验，成绩统计如下（单位：分）：
85,78,92,65,88,72,90,80,86,75,82,95,70,84,89。
（1）这组数据的平均数、方差分别为______，____（保留整数）；
82分
70
（2）绘制箱线图；
解：箱线图如图：
（3）根据平均数、方差、箱线图分析该班级学生数学成绩的整体水平、
离散程度和数据分布特征。
解：该班级学生数学成绩的平均水平在82分左右。
方差约为70，方差较大，表明成绩的离散程度较大，学生之间成绩差异
明显。
数据分布特征：从箱线图看，下四分位数到最小值距离较远，说明低分
段成绩较为分散；上四分位数到最大值距离较近，说明高分段成绩相对
集中（合理即可）。
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4.［教材P随堂练习T变式］某电商平台记录了、 两款同类型商
品在过去15周的销量，数据如下：
A商品销量：12,15,18,20,22,25,28,30,32,35,38,40,42,45,48；
B商品销量：8,10,15,18,20,22,25,28,30,32,35,38,40,45,50。
（1）分别计算、 两款商品销量的平均数、方差；
解： 商品销量的平均数为
，
方差为
。
B商品销量的平均数为
,
方差为
。
（2）求出两款商品销量数据的四分位数，并绘制箱线图；
解： 商品销量的下四分位数为20，中位数为30，上四分位数为40。
B商品销量的下四分位数为18，中位数为28，上四分位数为38。
箱线图如下：
从统计图分析数据的集中趋势
折线统计图
条形统计图
扇形统计图
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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