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7.1 为什么要证明
在日常生活和学习中，我们常常通过观察、经验或直觉得出结论。然而，这些结论是否一定正确？在数学等严谨的学科中，为什么不能仅凭感觉或实例就认定一个命题的真实性？“证明” 作为一种理性思维的工具，究竟扮演着怎样的角色？本节将深入探讨 “为什么要证明”，理解证明在知识构建、逻辑推理和认知升级中的核心价值。
一、直觉与观察的局限性
（一）视觉错觉的误导
我们的眼睛有时会欺骗大脑，产生 “视觉错觉”，让我们对事物的判断出现偏差。例如：
平行线错觉：某些图形中，原本平行的直线看起来却在逐渐靠拢或发散；
大小错觉：两个大小相同的物体，在不同背景的衬托下，看起来会有明显的大小差异；
长度错觉：等长的线段在不同的排列方式下，视觉上会给人 “一长一短” 的印象。
这些错觉表明，仅凭观察得出的结论可能与事实不符。在数学中，如果仅通过图形的直观感受来判断几何关系（如线段是否相等、角是否全等），很容易陷入错误。
（二）经验归纳的不可靠性
通过有限的实例归纳规律，是我们认识世界的常用方法，但这种方法并非绝对可靠。例如：
古人观察到 “太阳东升西落”，便归纳出 “太阳绕地球旋转” 的结论，后来却被科学证明是错误的；
在数学中，若计算\(n^2 - n + 41\)的值：当\(n = 1\)时，结果为 41（质数）；\(n = 2\)时，结果为 43（质数）；\(n = 3\)时，结果为 47（质数）…… 直到\(n = 41\)时，结果为\(41^2-41 + 41=41^2\)（合数）。可见，即使前 40 个实例都符合 “质数” 规律，也不能断定所有情况都成立。
这说明，有限的经验实例无法保证结论的普遍适用性，尤其在数学中，命题需要对所有符合条件的情况都成立，而非仅对部分实例成立。
二、证明的定义与核心作用
（一）什么是证明
在数学中，证明是指根据已知的真命题（公理、定理、定义等），通过逻辑推理的方式，逐步推导出某个命题真实性的过程。证明必须遵循严格的逻辑规则，每一步推理都要有依据，不能依赖直觉、猜测或未经验证的前提。
例如，要证明 “对顶角相等”，不能仅通过测量几个对顶角的度数就得出结论，而需要基于 “平角的定义” 和 “等式的性质” 进行逻辑推导：
因为\(\angle1\)和\(\angle2\)组成平角，所以\(\angle1+\angle2 = 180^\circ\)（平角定义）；
因为\(\angle2\)和\(\angle3\)组成平角，所以\(\angle2+\angle3 = 180^\circ\)（平角定义）；
因此\(\angle1+\angle2=\angle2+\angle3\)（等量代换）；
两边同时减去\(\angle2\)，得\(\angle1=\angle3\)（等式性质）。
通过这样的逻辑链条，才能严谨地证明 “对顶角相等”。
（二）证明的核心作用
保证结论的可靠性：证明通过逻辑推理排除了例外情况和主观偏差，确保命题在所有符合条件的情况下都成立。一旦一个命题被严格证明，它就成为了可靠的知识，可以作为后续推理的基础。
揭示事物的本质联系：证明不仅能验证命题的真实性，还能展现命题背后的逻辑关系和本质原理。例如，“三角形内角和等于 180°” 的证明过程，揭示了三角形与平角之间的内在联系，让我们理解 “内角和” 这一性质的来源，而非仅仅记住结论。
推动知识体系的构建：数学等学科的知识体系是通过公理、定义和定理的逻辑推导逐步建立的。证明就像 “知识的黏合剂”，将零散的命题连接成严谨的体系，使知识具有系统性和传承性。例如，欧几里得通过 5 条公理和 5 条公设，证明了数百条几何定理，构建了完整的欧式几何体系。
培养理性思维能力：学习证明的过程，本质上是培养逻辑推理、批判性思维和严谨表达能力的过程。它要求我们不盲从、不臆断，而是通过证据和逻辑得出结论，这种思维方式不仅适用于数学，也适用于日常生活中的问题分析和决策。
三、数学证明的必要性
（一）数学的严谨性要求
数学是一门追求严谨的学科，它的结论必须具有绝对的普遍性和必然性，而不是 “大概率成立” 或 “在某些情况下成立”。例如：
对于 “所有三角形的内角和都等于 180°” 这一命题，即使测量了成千上万的三角形都符合这一规律，也不能称为 “定理”，因为我们无法测量世界上所有的三角形；
只有通过逻辑证明，排除了任何可能的例外，才能确认这一命题的普遍正确性，使其成为定理。
（二）避免错误的积累
在数学研究中，新的命题往往依赖于已有的结论。如果一个基础命题未经证明就被当作真理，可能会导致后续一系列推理出现错误，甚至整个知识体系的崩塌。历史上，曾有数学家假设 “所有集合都可以被良序化” 而未加证明，后来发现这一假设与某些集合论原理矛盾，引发了数学基础的危机。证明的严格性正是为了避免这种 “错误积累” 的风险。
（三）解决 “无限” 带来的挑战
数学中经常涉及 “无限” 的概念，如无限多个自然数、无限条直线等。对于有限的事物，我们可以通过逐一验证来确认结论，但对于无限的情况，逐一验证是不可能的。证明通过逻辑推理的方法，能够突破 “无限” 的限制，对无限多的情况做出普遍判断。例如，“对于任意自然数\(n\)，\(n^2 + n\)都是偶数” 这一命题，无法通过验证所有自然数来证明，但若通过因式分解\(n^2 + n=n(n + 1)\)，利用 “两个连续自然数必有一个是偶数” 的逻辑，就能证明对所有自然数都成立。
四、证明在其他领域的意义
证明不仅在数学中至关重要，在科学、法律、哲学等领域也具有核心价值：
科学领域：科学理论的建立需要通过实验验证和逻辑证明，确保理论能够解释现象并预测结果。例如，爱因斯坦的相对论通过数学推导得出，并通过 “星光偏转” 等实验证据得到证明，才被广泛接受。
法律领域：司法审判中，“证明” 是认定事实的关键。控辩双方需要通过证据链和逻辑推理，证明被告是否有罪，避免主观臆断或冤假错案。
日常生活：在日常决策中，“证明” 的思维方式帮助我们理性分析问题。例如，判断一则信息的真实性时，我们会寻找证据、验证逻辑，而不是轻信传言；规划行程时，我们会通过分析路线、时间和交通方式的合理性，证明计划的可行性。
五、课堂总结
直觉与观察的局限：视觉错觉和有限经验可能导致错误结论，无法保证普遍性和可靠性。
证明的定义：基于已知真命题，通过逻辑推理推导命题真实性的过程，具有严格的逻辑性和依据性。
证明的核心价值：保证结论可靠、揭示本质联系、构建知识体系、培养理性思维。
数学证明的必要性：满足数学的严谨性要求，避免错误积累，解决 “无限” 问题的挑战。
跨领域意义：证明在科学、法律和日常生活中同样是理性决策和知识验证的核心工具。
证明是人类理性思维的光辉成果，它让我们摆脱了主观臆断和经验局限，走向严谨的知识殿堂。学习证明，不仅是掌握一种数学技能，更是培养一种理性看待世界的态度 —— 不盲从、重逻辑、讲证据，这正是 “为什么要证明” 的深层意义。
六、课后思考
举例说明生活中因依赖直觉或经验而得出错误结论的案例，并思考如何通过 “证明” 的思维方式避免这类错误。
尝试证明 “矩形的对角线相等”，并分析证明过程中用到了哪些已知的定义或定理。
结合本节内容，谈谈为什么科学研究需要 “可重复验证” 和 “逻辑自洽”。
思考：如果一个数学命题长期未被证明也未被推翻（如哥德巴赫猜想），它能否被当作真理使用？为什么？
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
7.1 为什么要证明
第七章 命题与证明
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过观察、猜想、归纳等得到的结论不一定正确，使学生对由这些方法得到的结论产生怀疑，从而认识到证明的必要性，发展推理能力．
2．通过理解并掌握检验数学结论是否正确的常用方法：实验验证、举出反例、推理证明等，理解数学的严谨性．
3．通过观察、猜想、推理的过程，发展学生的探索意识与合作交流的意识．
重点
难点
旧识回顾
回顾勾股定理的验证过程．
提示：利用图形：
图片导入
韦德螺旋：
这真是一个螺旋吗？
【解析】英国视觉科学家、艺术家尼古拉斯·韦德向我们展示了他的弗雷泽螺旋幻觉的变体形式.虽然图形看起来像螺旋，但实际上它是一系列同心圆.
活动导入
请同学们从感官上感觉该图形是怎么样的，见证该图形与感觉判断的差异 .
生活中的图片
彭罗斯楼梯 莫比乌斯环 克莱因瓶
观察与思考两图中的中间圆大小一样吗？探究新知知识点1数学的结论必须经过严格的论证探究新知线是直还是曲？观察与思考
图中的四边形是正方形吗？
探究新知
观察与思考
是静还是动？
探究新知
观察与思考
平行线:不敢相信图中的横线是平行的,不过它们就是平行线!你觉得观察得到的结论正确吗？探究新知观察与思考
判断一个数学结论是否正确，仅观察、猜想、
实验还不够；
必须经过一步一步、 有根有据的证明.
请举例说明，你用到过的推理.
探究新知
做一做
如图，假如用一根比地球的赤道长1m的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？（地球看成球形）能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？
解：设赤道周长为C，铁丝与地球赤道
之间的间隙为 ：
它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头.
探究新知
费 马
对于所有自然数n， 的值都是质数.
当n=0，1，2，3，4时，
= 3，5，17，257，65 537
都是质数.
欧 拉
当n=5时，
= 4 294 967 297=
641×6 700 417
举出反例是检验错误数学结论的有效方法.
大数学家也有失误
探究新知
这个故事告诉我们：
1. 学习欧拉的求实精神与严谨的科学态度.
2.没有严格的推理，仅由若干特例归纳、猜测的结论可能潜藏着错误，未必正确.
3.要证明一个结论是错误的，举反例就是一种常用方法.
探究新知
归纳总结
例1先观察再验证．(1)图①中实线是直的还是弯曲的？(2)图②中两条线段a与b哪一条更长？(3)图③中的直线AB与直线CD平行吗？知识点2检验数学结论的常用方法探究新知素养考点1实验验证法解：观察可能得出的结论是：①实线是弯曲的；②a更长一些；③AB与DC不平行．而我们用科学的方法验证后发现：①实线是直的；②a与b一样长；③AB平行于CD.探究新知归纳总结有时视觉受周围环境的影响，往往误导我们，让我们得出错误的结论，所以仅靠经验、观察是不够的，只有通过科学的实验进行严格的推理，才能得出最准确的结论．探究新知a = b
巩固练习
图中两条线段a与b的长度相等吗
变式训练
变式训练
a
b
ab考考你的眼力线段a与线段b哪个比较长？abcd谁与线段d在一条直线上？巩固练习变式训练ababcd检验你的结论a=b巩固练习例2 当n为正整数时，代数式(n2－5n＋5)2的值都等于1吗？
解：当n＝1时，(n2－5n＋5)2＝12＝1；
当n＝2时，(n2－5n＋5)2＝(－1)2＝1；
当n＝3时，(n2－5n＋5)2＝(－1)2＝1；
当n＝4时，(n2－5n＋5)2＝12＝1；
当n＝5时，(n2－5n＋5)2＝52＝25≠1.
所以当n为正整数时，(n2－5n＋5)2的值不一定等于1.
探究新知
方法总结:验证特例是判断一个结论错误的最好方法．
素养考点 2
推理证明法
当n=0，1，2，3，4，5时，代数式n2 -n+11的值是质数吗？
你能否得到结论：对于所有自然数n，代数式n2-n+11的值都是质数？
n 0 1 2 3 4 5
n2 -n+11 11
11
13
17
23
31
代数式n2-n+11的值都是质数吗？
巩固练习
n 6 7 8 9 10 11
n2 -n+11 41
53
67
83
101
121
对于所有自然数n，代数式n2-n+11的值不一定都是质数.
变式训练
例3 如图，从点O出发作出四条射线OA，OB，OC，OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD.
(1)若∠BOC＝30°，求∠AOB和∠COD的度数.
(2)若∠BOC＝54°，求∠AOB和∠COD的度数.
(3)由(1)、(2)你发现了什么？
(4)你能肯定上述的发现吗？
分析：图中∠AOB，∠COD均与∠BOC互余，根据角的和、差关系，可求得∠AOB与∠COD的度数．通过计算发现∠AOB＝∠COD，于是可以归纳∠AOB＝∠COD.
探究新知
解：(1)因为OA⊥OC，OB⊥OD，
所以∠AOC＝∠BOD＝90°.
因为∠BOC＝30°，
所以∠AOB＝∠AOC－∠BOC
＝90°-30°＝60°，
∠COD＝∠BOD－∠BOC
＝90°-30°＝60°.
例3 如图，从点O出发作出四条射线OA，OB，OC，OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD.
(1)若∠BOC＝30°，求∠AOB和∠COD的度数；
探究新知
解：(2)∠AOB＝∠AOC－∠BOC
＝90°－54°＝36°，
∠COD＝∠BOD－∠BOC
＝90°－54°＝36°.
例3 如图，从点O出发作出四条射线OA，OB，OC，OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD.
(2)若∠BOC＝54°，求∠AOB和∠COD的度数；
探究新知
解：(3)由(1)、(2)可发现：
∠AOB＝∠COD.
例3 如图，从点O出发作出四条射线OA，OB，OC，OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD.
(3)由(1)、(2)你发现了什么？
(4)你能肯定上述的发现吗？
探究新知
(4)因为 ∠AOB＋∠BOC＝∠AOC＝90°，
∠BOC＋∠COD＝∠BOD＝90°
所以∠AOB＋∠BOC＝∠BOC＋∠COD.
所以∠AOB＝∠COD.
方法总结:检验数学结论具体经历的过程是：
观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理→正确结论．
知识点 认识证明的必要性
1.下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述正确的是( )
D
A.只需观察得出 B.通过亲自试验得出
C.只靠经验获得 D.必须进行有根据的推理
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2.［教材P随堂练习T 变式］先观察再验证：
（1）图①中三条黑色的线是______（填“直的”或“弯曲的”）；
（2）图②中两条线与 的长度关系是______；
（3）图③中的直线与直线 ______（填“平行”或“不平行”）。
直的
相等
平行
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3.下列结论，一定正确的是( )
B
A.今天是阴天，明天必然还是阴天
B.三个连续整数的积一定能被6整除
C.小明的数学成绩一向很好，因而后天的数学竞赛考试中他必然能获得
一等奖
D.两张照片看起来完全一样，可以知道它们必然是同一张底片冲洗出来的
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4.下列推理正确的是( )
B
A.弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大了5岁，
因为弟弟明年比今年长了1岁
B.如果，，那么
C.与 相等，原因是它们看起来大小差不多
D.因为对顶角相等，所以相等的角必是对顶角
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5. 已知是锐角，在计算 的值时，小明的结果是
， 小丽的结果是 ，小芳的结果是 ，小静的结果是 ,他
们四人的结果有一个是正确的，那么______的结果是正确的。
小明
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6. 某公园计划砌一个形状如图①所示的喷水池,有人建议
改为图②的形状,且外圆的直径不变,则两种方案需要的材料的情况是
________。（填“①需要的多”“②需要的多”或“一样多”）
一样多
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7.［教材习题变式］在学习中，小明发现：当 ,2,3时，
的值都是负数。于是小明猜想：当 为任意正整数时，
的值都是负数。小明的猜想是否正确？说明你的理由。
解：不正确。理由如下：
当时， ，不是负数，所以小明的
猜想不正确。
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为什么要证明数学结论必须经过严格的论证实验验证举出反例推理证明论证方法必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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