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7.1.2 认识证明 - 定义与命题
在数学的严谨世界中，“证明” 并非空中楼阁，它建立在清晰的概念和明确的判断之上。定义为我们提供了精确的概念基础，命题则是需要被证明或证伪的判断语句。理解定义与命题的本质、结构和分类，是进入逻辑证明领域的第一步。本节将深入剖析定义与命题的核心内容，为后续学习证明的方法奠定基础。
一、定义：明确概念的基石
（一）定义的含义
定义是对一个概念的含义进行精确描述的语句，它通过已知的、已被理解的概念来解释新的概念，明确概念的本质属性和适用范围。在数学中，定义是构建整个知识体系的基础，没有清晰的定义，就无法进行准确的判断和推理。
例如：
“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形” 是 “矩形” 的定义，它通过 “直角” 和 “平行四边形” 这两个已知概念，明确了矩形的本质属性；
“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线” 是 “平行线” 的定义，它限定了 “同一平面内” 和 “不相交” 这两个关键属性。
（二）定义的作用
明确概念边界：定义通过精确描述概念的本质属性，避免了概念的模糊性和歧义性。例如，若没有 “菱形” 的严格定义（“邻边相等的平行四边形”），我们可能会将菱形与普通平行四边形或正方形混淆。
为推理提供依据：在证明过程中，定义是重要的推理依据。当我们需要判断一个图形是否为矩形时，只需验证它是否满足 “有一个角是直角的平行四边形” 这一定义条件，这是证明的关键步骤。
构建知识关联：定义将新概念与已有概念连接起来，形成逻辑网络。例如，“正方形” 的定义（“有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形”）同时关联了 “平行四边形”“邻边相等”“直角” 等概念，体现了知识的系统性。
（三）定义的基本要求
一个严谨的数学定义必须满足以下要求：
准确性：定义必须准确反映概念的本质属性，不能遗漏关键特征或包含无关属性。例如，不能将 “矩形” 定义为 “四个角都相等的四边形”，虽然矩形确实满足这一条件，但该定义未体现其与平行四边形的关联，不够本质。
无歧义性：定义的语言必须清晰明确，避免模糊或多义的表述。例如，“很大的数” 不能作为数学定义，因为 “很大” 是一个主观模糊的概念。
简洁性：定义应尽可能简洁，避免冗余描述。例如，“对边平行且相等的四边形叫做平行四边形” 中，“对边平行” 已能推出 “对边相等”（在平面几何中），因此更简洁的定义是 “两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”。
不循环性：定义不能依赖被定义的概念本身来解释。例如，“加法是把两个数加起来的运算” 就是循环定义，因为 “加起来” 与 “加法” 是同一概念的不同表述，未起到解释作用。
二、命题：判断的语句表达
（一）命题的含义
命题是对一件事情作出判断的语句。它通常包含 “肯定” 或 “否定” 的判断，能够明确区分真假 —— 要么为真，要么为假，不存在第三种情况。在数学中，所有需要被证明的内容都以命题的形式呈现。
例如：
“对顶角相等” 是命题，它对 “对顶角” 的关系作出了肯定判断，且这一判断为真；
“三角形的内角和等于 200°” 是命题，它作出了错误的判断，因此为假；
“今天天气好吗？” 不是命题，因为它是疑问句，没有作出判断；
“画一条线段” 不是命题，因为它是祈使句，没有作出真假判断。
（二）命题的结构
数学命题通常由题设（条件） 和结论两部分组成，其一般形式为 “如果…… 那么……”。其中，“如果” 后面的部分是题设，“那么” 后面的部分是结论。
例如：
命题 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” 中，题设是 “两个角是对顶角”，结论是 “这两个角相等”；
命题 “等腰三角形的两底角相等” 可以改写为 “如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等”，题设是 “一个三角形是等腰三角形”，结论是 “它的两个底角相等”。
并非所有命题都直接以 “如果…… 那么……” 的形式呈现，但通过改写可以明确其题设和结论，这是分析命题和进行证明的重要步骤。
（三）命题的分类
根据命题的真假性和内容，可对命题进行如下分类：
真命题与假命题：
判断一个命题为假命题，只需举出一个 “反例” 即可 —— 即满足题设条件但结论不成立的实例。例如，要证明 “所有质数都是奇数” 是假命题，只需举出 “2 是质数但不是奇数” 这个反例。
真命题：正确的命题，即题设成立时，结论一定成立的命题。例如，“平行于同一条直线的两条直线互相平行” 是真命题。
假命题：错误的命题，即题设成立时，结论不一定成立（或一定不成立）的命题。例如，“相等的角是对顶角” 是假命题，因为等腰三角形的两个底角相等，但它们不是对顶角。
公理、定理与猜想：
公理（基本事实）：不需要证明而被公认的真命题，它是整个知识体系的起点。例如，“经过两点有且只有一条直线”“两点之间线段最短” 都是几何公理。
定理：经过逻辑证明被确认为真的命题。定理可以由公理直接推出，也可以由其他已证明的定理推出。例如，“对顶角相等” 是由平角定义和等式性质证明的定理。
猜想：暂时未被证明但被认为可能为真的命题。例如，“哥德巴赫猜想”（任何大于 2 的偶数都可以表示为两个质数之和）至今未被完全证明，但人们通过大量实例验证倾向于认为它是真命题。
三、定义与命题的关系
定义与命题是密不可分的，它们共同构成了数学证明的基础：
定义是命题的基础：命题中的概念必须通过定义明确。例如，命题 “矩形的对角线相等” 中，“矩形” 的概念依赖于 “矩形的定义”，如果没有明确的定义，命题就失去了判断的依据。
定义本身不是命题：定义是对概念的描述，它没有作出 “肯定” 或 “否定” 的判断，因此不属于命题。例如，“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形” 是定义，而 “矩形有一个角是直角” 是命题（由定义衍生的真命题）。
命题的真假依赖定义验证：判断一个命题是否为真，往往需要依据定义进行推理。例如，要判断 “这个四边形是菱形” 是否为真，需根据 “菱形的定义”（邻边相等的平行四边形），验证该四边形是否满足 “邻边相等” 和 “平行四边形” 这两个条件。
四、区分命题与非命题
在数学学习中，准确区分一个语句是否为命题是重要的基础能力。以下是常见的判断方法：
命题的特征：必须是陈述句，且能明确判断真假（要么真，要么假）。例如，“三角形有三条边” 是陈述句，且为真，因此是命题；“5 大于 3” 是陈述句，且为真，因此是命题。
非命题的类型：
疑问句：如 “什么是三角形？” 没有作出判断，不是命题；
祈使句：如 “请画出一个圆” 是指令性语句，没有真假判断，不是命题；
感叹句：如 “这道题真难啊！” 是情感表达，没有作出判断，不是命题；
模糊语句：如 “这个数很大” 无法明确判断真假，不是命题。
五、实例解析：命题的识别与改写
例 1：判断下列语句是否为命题，若是命题，指出其题设和结论，并判断真假。
（1）对顶角相等；
（2）画一条长度为 5cm 的线段；
（3）如果两条直线平行，那么它们的同位角相等；
（4）相等的角是对顶角。
解题步骤：
语句（1）：是命题。改写为 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。题设：两个角是对顶角；结论：这两个角相等。该命题为真命题。
语句（2）：是祈使句，没有作出判断，不是命题。
语句（3）：是命题。题设：两条直线平行；结论：它们的同位角相等。该命题为真命题（平行线的性质定理）。
语句（4）：是命题。题设：两个角相等；结论：这两个角是对顶角。该命题为假命题，反例：等腰三角形的两个底角相等，但它们不是对顶角。
六、课堂总结
定义：是对概念本质属性的精确描述，具有准确性、无歧义性、简洁性和不循环性，是推理的基础。
命题：是对事情作出判断的陈述句，具有题设和结论两部分，可分为真命题、假命题，以及公理、定理、猜想等。
核心关系：定义为命题提供清晰的概念基础，命题的真假需依据定义和逻辑推理验证。
关键能力：能区分命题与非命题，能改写命题以明确题设和结论，能通过反例判断假命题。
定义与命题是数学逻辑的 “砖瓦”，只有打好这一基础，才能理解证明的逻辑链条，逐步掌握严谨的推理方法。下一节，我们将学习证明的具体步骤和常用方法，进一步探索数学推理的奥秘。
七、课后作业
写出下列概念的定义：
（1）平行四边形；（2）质数；（3）全等三角形。
判断下列语句是否为命题，若是命题，指出其题设和结论，并判断真假：
（1）同旁内角互补；
（2）三角形的内角和是 180°；
（3）过一点作已知直线的垂线；
（4）如果\(a > b\)，那么\(a^2 > b^2\)。
举反例说明下列命题是假命题：
（1）所有偶数都是 4 的倍数；
（2）若\(a > b\)，则\(ac > bc\)。
结合本节内容，思考：为什么数学中的定义需要高度严谨？不严谨的定义会对命题和证明产生什么影响？
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
7.1.2 认识证明-定义与命题
第七章 命题与证明
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过了解命题中的真命题、假命题的含义，命题的构成，能区分命题中的条件和结论，发展应用意识．
2．通过从具体实例中，探索出定义，并了解定义在现实生活中的重要性，了解命题的概念，并会区分命题的真假．
3．通过从具体例子中提炼数学概念，体会数学与实际生活的联系，感受数学来源于生活，并服务于生活．
重点
难点
情境导入
根据上面的情境，你能得出什么结论？
故事导入
笑话一：小明和小华在看书的时候遇到了一道难题.小华说：“小明，我们上网查一下吧.”小明说：“我不会啊.”一旁的小表妹听到了两个人的谈话，想，上网都不会，看我的！
笑话二：小明:“不好了，不好了，我的电脑
中毒啦！”小华：“急什么，不就是中毒了吗，很好办啊.”小明：“怎么办？”小华：“用杀毒水啊！我妈说，一杀就灵！”
小华与小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.
坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄地议论着.
哈!这个黑客终于被逮住了.
是的,现在的因特网广泛运用于我们的生活中,给我们带来了方便,但…….
这个黑客是个小偷吧？
可能是个喜欢穿黑衣服的贼.
可见，在交流时对名称和术语要有共同的认识才行.
探究新知
知识点 1
定义的概念
由此可知：
人与人之间的交流必须对某些名词或术语有共同的认识才能正常进行.为此人们对各个名词或术语的含义，都给予了尽量详细的描述，做出了明确的规定，也就是给出了它们的定义.
探究新知
例如:
1.“具有中华人民共和国国籍的人,叫做中华人民共和国公民” 是“ ”的定义;
2. “两点之间 线段的长度,叫做这两点之间的距离” 是“ ”的定义;
两点之间的距离
中华人民共和国公民
　 一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义．
规定
意义
定义
探究新知
请说出下列名词的定义：
（1）无理数：
（2）直角三角形：
（3）一次函数：
（4）二元一次方程：
无限不循环小数叫做无理数.
有一个角是直角的三角形叫做
直角三角形.
一般地，形如y＝kx＋b（k、b都是
常数且k≠0）叫做一次函数.
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程
说一说
你还学过哪些名词或术语的定义？
巩固练习
下面的语句中，哪些语句对事情作出了判断，哪些没有？与同伴进行交流.
（1）任何一个三角形一定有一个角是直角；
（2）对顶角相等；
（3）无论n为怎样的自然数，式子 的值 都是质数；
（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（5）你喜欢数学吗？
（6）作线段AB=CD.
命题的定义：判断一件事情的句子.
（1）（2）（3）（4）都是命题.你能再举几个例子吗？
√
√
√
√
探究新知
知识点 2
命题的概念
交流探究
下面的语句中，哪些语句是命题？
（1）你喜欢学习吗？
（2）作线段AB=a.
（3）平行用符号“∥”表示.
一般情况下，疑问句不是命题，图形的作法不是命题，祈使句也不是命题！
探究新知
2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么
它就不是命题.
如：画线段AB=CD.
1.只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题.
如：相等的角是对顶角.
注意：
探究新知
例 判断下列四个语句中，哪个是命题， 哪个不是命题？并说明理由：
（1）对顶角相等吗？
（2）画一条线段AB=2cm;
（3）两条直线平行，同位角相等；
（4）相等的两个角，一定是对顶角.
解：（3）（4）是命题，（1）（2）不是命题.
理由如下：（1）是问句，故不是命题；（2）是做一件事情，也不是命题.
探究新知
素养考点
命题的识别
下列语句在表述形式上，哪些是命题？哪些不是命题？
1. 等角的余角相等；
2. 画一个角等于已知角；
3. 两直线平行，内错角相等；
4. a , b两条直线平行吗？
5. 温柔的李明明；
6. 玫瑰花是动物；
7. 若a2＝4，求a的值；
8. 若a2＝b2，则a＝b.
否
是
否
否
是
否
是
是
巩固练习
变式训练
观察下列命题，这些命题有什么共同的结构特征:（1）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；
（2）如果a=b，那么a2=b2；
（3）如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等.
命题的形式：如果……那么…….
命题的结构：由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项.
“如果” 引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.
探究新知
知识点 3
命题的构成
有些命题没有写成“如果……那么……”的形式，条件和结论不明显，对于这样的命题，要经过分析才能找出条件和结论，也可以先将它们改写成“如果……那么……”的形式.
注意：命题的条件部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述，命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述.
探究新知
命题
题设
结论
已知事项
由已知事项推出的事项
两直线平行， 同位角相等
题设（条件）
结论
命题的组成：
探究新知
例 分别把下列命题写成“如果……那么……”的形式.
(1)两点确定一条直线；
(2)等角的补角相等；
(3)内错角相等.
解：(1)如果有两个定点，那么过这两点有且只有一条直线；
(2)如果两个角分别是两个等角的补角，那么这两个角相等；
(3)如果两个角是内错角，那么这两个角相等.
素养考点
命题表述形式的变换
探究新知
请将它们改写成“如果……，那么……”的形式.
（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；
（3）互为相反数的两个数相加得0；
（4）同旁内角互补；
（5）对顶角相等．
如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补；
如果等式两边都加同一个数，那么结果仍是等式；
如果两个数互为相反数，那么这两个数相加得0；
如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补；
如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等．
巩固练习
变式训练
有些命题如果题设成立，那么结论一定成立；而有些命题题设成立时，结论不一定成立.
正确的命题叫真命题，不正确的命题叫假命题.
如命题：“如果两个角互补，那么它们是邻补角”就是一个错误的命题.
如命题：“如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除”就是一个正确的命题.
探究新知
知识点 4
真假命题的概念
注意：要说明一个命题是假命题，只需举一个反例.反例是指具备命题的条件，而不具有命题的结论的例子.
例 下列命题哪些命题是正确的，哪些命题是错误的？
（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；
（3）互为相反数的两个数相加得0；
（4）同旁内角互补；
（5）对顶角相等．
√
√
√
探究新知
真假命题的识别
素养考点
下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？
（1）猪有四只脚；
（2）内错角相等；
（3）画一条直线；
（4）四边形是正方形；
（5）你的作业做完了吗？
（6）同位角相等，两直线平行；
（7）同角的补角相等；
（8）同垂直于一直线的两直线平行；
（9）过点P画线段MN的垂线；
（10）x＞2.
是
真命题
否
是
假命题
是
假命题
否
是
真命题
是
真命题
是
真命题
否
否
巩固练习
变式训练
知识点1 定义与命题的概念
1.下列语句中，属于定义的是( )
C
A.对顶角相等
B.作一条直线和已知直线垂直
C.在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线
D.图形的平移不改变图形的形状和大小
返回
2.［2025西安雁塔区期末］下列语句：①钝角大于 ；②两点之间，
线段最短；③希望明天下雨；④作 ；⑤同旁内角不互补，两直
线不平行。其中是命题的是( )
B
A.①②③ B.①②⑤ C.①②④⑤ D.①②④
返回
知识点2 命题结构
3.命题“平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是______
_____________________________，结论是________________。
平面
内的两条直线垂直于同一条直线
这两条直线平行
返回
4.将命题“绝对值相等的两个数互为相反数”改写成“如果 ，那么……”
的形式：________________________________________________。
如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数
返回
知识点3 真、假命题
5.［2025西安高新一中期末］下列四个命题，是真命题的是( )
C
A.面积相等的两个三角形全等
B.负数没有立方根
C.有一个角是 的等腰三角形是等边三角形
D.两直线平行，同位角互补
返回
6.要证明命题“若 ,为锐角，则 ”是假命题，
下列 的度数能作为反例的是( )
A
A. B. C. D.
返回
7.［教材P随堂练习T 变式］判断下列命题的真假，若是假命题，请
举出反例。
（1）若，则 ；
解：假命题，反例：如,但 。
（2）有理数与数轴上的点一一对应；
解：假命题，反例：如可以用数轴上的点表示出来，但 不是有理数。
（3）同位角相等；
解：假命题，反例：当两条直线不平行时，同位角不相等。
（4）两个角的度数和等于直角的度数时，这两个角互为余角。
解：真命题。
返回
定义与命题
定义
概念：判断一个事件的句子
结构：如果……那么……
分类：真命题、假命题
命题
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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