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7.1.3 认识证明 - 定理与证明
在数学的逻辑体系中，定理是经过严谨证明的真命题，而证明则是连接公理、定义与定理的桥梁。理解定理的本质、证明的逻辑过程和书写规范，是掌握数学推理能力的核心。本节将深入探讨定理的特征、证明的步骤与方法，通过实例展示如何构建完整的逻辑链条，完成对命题的证明。
一、定理：经过证明的真命题
（一）定理的概念与特征
定理是指经过逻辑推理被证明为真的命题，它是数学知识体系的核心组成部分。定理具有以下特征：
真实性：定理必须是经过严格证明的真命题，其结论在题设成立的条件下绝对可靠。例如，“三角形内角和等于 180°” 经过了无数次逻辑验证，是几何中的核心定理。
依赖性：定理的证明依赖于已有的公理、定义和其他已证明的定理，不能凭空产生。例如，“等腰三角形两底角相等” 的证明依赖于 “全等三角形的判定定理” 和 “等腰三角形的定义”。
应用性：定理可以作为后续推理的依据，用于证明新的命题或解决实际问题。例如，利用 “勾股定理” 可以计算直角三角形的边长，解决几何测量问题。
系统性：多个定理相互关联，形成严谨的知识网络。例如，三角形的全等定理、相似定理、内角和定理等共同构成了三角形的理论体系。
（二）定理与公理的关系
公理和定理都是真命题，但二者存在本质区别：
公理（基本事实）：是不需要证明而被公认的真命题，是整个知识体系的逻辑起点。公理的真实性基于人类长期实践的检验，无法通过其他命题推导得出。例如，“经过两点有且只有一条直线”“等量加等量，和相等” 都是公理。
定理：是需要通过公理、定义或其他定理证明的真命题，其真实性依赖于逻辑推理。定理是公理的延伸和发展，没有公理作为基础，定理就失去了证明的依据。
二者的联系在于：公理是定理的基础，定理是公理的发展；公理和定理共同构成了数学证明的前提库，所有证明都必须以它们为依据。
（三）定理的命名与表述
数学中的定理通常有明确的命名和规范的表述：
命名方式：有些定理以发现者的名字命名，如 “勾股定理”“欧几里得定理”；有些以定理的内容命名，如 “三角形内角和定理”“平行线的性质定理”。
表述规范：定理的表述必须准确、简洁，明确题设和结论。多数定理以 “如果…… 那么……” 的形式呈现，或可改写为这种形式。例如，“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等” 可改写为 “如果一个点在线段的垂直平分线上，那么这个点到线段两端的距离相等”。
二、证明：构建逻辑链条的过程
（一）证明的定义与本质
证明是指根据已知的公理、定义、定理等，通过一系列逻辑推理，逐步确认命题真实性的过程。证明的本质是构建从 “已知条件” 到 “结论” 的逻辑链条，每一步推理都必须有依据，确保结论的必然性。
例如，证明 “对顶角相等” 的过程：
已知\(\angle1\)和\(\angle2\)是对顶角（题设）；
根据平角的定义，\(\angle1+\angle3 = 180^\circ\)，\(\angle2+\angle3 = 180^\circ\)（依据：平角的定义）；
因此\(\angle1+\angle3=\angle2+\angle3\)（依据：等量代换）；
两边同时减去\(\angle3\)，得\(\angle1=\angle2\)（依据：等式的性质）；
结论：对顶角相等。
这一过程通过定义和公理，逐步推导出结论，形成完整的逻辑链条。
（二）证明的一般步骤
证明一个命题通常遵循以下步骤：
明确命题：准确区分命题的题设（已知条件）和结论（需要证明的内容），必要时画出图形，标注字母和符号，使命题直观化。
梳理依据：回顾与命题相关的公理、定义、定理，确定证明所需的前提知识。例如，证明三角形全等时，需明确 “SSS”“SAS” 等判定定理。
构建思路：从已知条件出发，结合相关依据，逐步推导中间结论，直至得出命题的结论。也可采用逆向思维，从结论反推需要的条件，再与已知条件衔接。
书写过程：按照逻辑顺序，清晰、规范地书写证明过程，每一步推理都要注明依据（如 “根据定义”“根据公理”“根据定理” 等）。
验证结论：检查推理过程是否严谨，依据是否正确，步骤是否完整，确保没有逻辑漏洞。
（三）证明的书写规范
规范的证明书写是逻辑清晰的体现，需遵循以下要求：
语言准确：使用数学规范语言，避免模糊表述。例如，“因为” 用符号 “∵” 表示，“所以” 用符号 “∴” 表示；几何证明中需准确描述图形关系，如 “AB⊥CD 于点 O” 表示 AB 垂直 CD 且垂足为 O。
依据明确：每一步推理都必须注明依据，确保 “言必有据”。常见的依据包括：
定义：如 “根据平行线的定义”“根据矩形的定义”；
公理（基本事实）：如 “根据两点之间线段最短”“根据等量代换”；
定理：如 “根据三角形内角和定理”“根据全等三角形的判定定理 SAS”。
逻辑连贯：证明过程的步骤要环环相扣，前一步的结论是后一步的前提，不能出现逻辑跳跃。例如，在证明全等三角形时，需先明确已知的边或角的关系，再依据判定定理得出全等结论。
格式规范：通常采用 “∵……（依据），∴……（结论）” 的格式，重要步骤需单独列出，复杂证明可分阶段推导，使过程层次分明。
三、实例解析：证明的完整过程
例 1：证明 “同角的余角相等”。
解题步骤：
明确命题：
题设：两个角是同一个角的余角；
结论：这两个角相等；
改写为 “如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”。
画出图形：设\(\angle1\)和\(\angle2\)都是\(\angle3\)的余角，即\(\angle1+\angle3 = 90^\circ\)，\(\angle2+\angle3 = 90^\circ\)。
书写证明过程：
∵\(\angle1\)是\(\angle3\)的余角（已知），
∴\(\angle1+\angle3 = 90^\circ\)（余角的定义）。
∵\(\angle2\)是\(\angle3\)的余角（已知），
∴\(\angle2+\angle3 = 90^\circ\)（余角的定义）。
∴\(\angle1+\angle3=\angle2+\angle3\)（等量代换）。
∴\(\angle1=\angle2\)（等式的性质：等式两边同时减去同一个数，等式仍成立）。
结论：同角的余角相等。
例 2：证明 “等腰三角形的两底角相等”（已知：在\(\triangle ABC\)中，\(AB = AC\)；求证：\(\angle B=\angle C\)）。
解题步骤：
明确命题：题设是 “在\(\triangle ABC\)中，\(AB = AC\)”（等腰三角形），结论是 “\(\angle B=\angle C\)”（两底角相等）。
构建思路：通过作辅助线（顶角平分线），利用全等三角形的判定定理证明两个三角形全等，进而得出对应角相等。
书写证明过程：
证明：作\(\angle BAC\)的平分线 AD，交 BC 于点 D。
∵AD 是\(\angle BAC\)的平分线（辅助线作法），
∴\(\angle BAD=\angle CAD\)（角平分线的定义）。
在\(\triangle ABD\)和\(\triangle ACD\)中，\(\begin{cases}AB = AC · \\\angle BAD=\angle CAD · è \\AD = AD ±è \end{cases}\)
∴\(\triangle ABD\cong\triangle ACD\)（全等三角形判定定理 SAS）。
∴\(\angle B=\angle C\)（全等三角形的对应角相等）。
结论：等腰三角形的两底角相等。
四、证明的常用方法
根据命题的特点，证明可采用不同的方法，常见的有：
综合法：从已知条件出发，逐步推导得出结论，即 “由因导果”。例如，例 2 中从等腰三角形的已知条件出发，通过作辅助线和全等证明，得出底角相等的结论。
分析法：从结论出发，反推需要的条件，直至与已知条件或公理、定理衔接，即 “执果索因”。分析法常用于复杂证明的思路构建，书写时通常仍转化为综合法的格式。
反证法：假设命题的结论不成立，由此推出矛盾，从而证明原命题成立。反证法适用于直接证明较困难的命题，例如证明 “过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。
五、常见误区
依据缺失：证明过程中未注明推理依据，或依据错误（如误用假命题作为依据），导致逻辑不严谨。
逻辑跳跃：省略关键推理步骤，导致前后步骤缺乏必然联系。例如，在证明三角形全等时，未完整列出全等条件就直接得出全等结论。
图形依赖：仅通过观察图形得出结论，而非逻辑推理。例如，认为 “看起来相等的角就是相等的”，忽略证明过程。
辅助线错误：辅助线作法不规范或未说明，导致后续推理失去依据。例如，未说明 “作 AB 的垂线” 而直接使用垂线的性质。
题设混淆：证明时误用未给出的条件，或遗漏题设中的关键条件。例如，在证明 “矩形的对角线相等” 时，未使用 “矩形有一个角是直角” 的条件。
六、课堂总结
定理：是经过证明的真命题，依赖公理、定义和其他定理，具有真实性、应用性和系统性，与公理共同构成证明的前提。
证明：是通过逻辑推理确认命题真实性的过程，核心是构建从已知到结论的逻辑链条，每一步推理都必须有依据。
证明步骤：明确命题、梳理依据、构建思路、书写过程、验证结论。
书写规范：语言准确、依据明确、逻辑连贯、格式规范，使用 “∵……∴……” 的推理格式。
常见方法：综合法、分析法、反证法等，需根据命题特点选择合适方法。
定理与证明是数学严谨性的集中体现，通过学习证明，我们不仅能掌握数学知识，更能培养逻辑推理、批判性思维和严谨表达的能力。下一节，我们将通过更多实例练习，巩固证明的方法和技巧。
七、课后作业
证明 “等角的补角相等”（提示：结合补角的定义和等式性质）。
已知：在\(\triangle ABC\)中，\(AB = AC\)，AD 是 BC 边上的中线。求证：AD⊥BC（提示：利用全等三角形的性质）。
证明 “平行于同一条直线的两条直线互相平行”（可结合平行线的判定公理）。
分析下列证明过程中的错误，并改正：
命题：求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
错误证明：∵\(\angle1\)是\(\triangle ABC\)的外角，∴\(\angle1=\angle A+\angle B\)（看起来是这样）。
结合本节内容，思考：为什么证明过程必须 “言必有据”？这体现了数学的什么特点？
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
7.1.3 认识证明-定理与证明
第七章 命题与证明
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过学习知道什么是公理，什么是定理，理解证明的概念，发展学生的思维能力．
2．学生通过具体实例学习证明的基本步骤和书写格式，发展推理能力．
3．通过理解证明要步步有据，培养学生养成科学、严谨的学习态度．
重点
难点
旧识回顾
上节课学习了有关命题的哪些知识？
真命题、假命题、命题的条件和结论
如何证实一个命题是真命题呢？
用我们以前学过的观察,实验,验证特例等方法.
这些方法往往并不可靠.
那已经知道的真命题又是如何证实的
能不能根据已经知道的真命题证实呢
哦……那可
怎么办
导入新知
了解《原本》与《几何原本》；了解古希腊数学家欧几里得(Euclid,公元前300前后)；找出下列各个定义并举例．
1.原名:
2.公理:
3.证明:
4.定理:
知识点 1
公理、证明、定理的概念
某些数学名词称为原名.
公认的真命题称为公理.
除了公理外,其他真命题的正确性都需要通过演绎推理的方法证实.演绎推理的过程称为证明.
经过证明的真命题称为定理.
归纳总结
证实其他命
题的正确性
推 理
演绎推理的过程叫证明
经过证明的真命题叫定理
原名、公理
一些条件
+
探究新知
本套教科书选用九条，我们已经认识了其中的八条:
1.两点确定一条直线;
2.两点之间线段最短;
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（简述为：同位角相等，两直线平行）;
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;
6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等;
7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等;
8.三边分别相等的两个三角形全等.
公理
探究新知
等式的有关性质和不等式的有关性质（以后将会学到）都可以看作公理．
“在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替”.这一性质也看作公理,简称为“等量代换”.
其他公理
探究新知
证明定理“对顶角相等”
如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证：∠AOC =∠BOD
证明：
∴ ∠AOB与∠COD都是平角( ).
已知
平角的定义
∴ ∠AOC＋∠AOD＝180°.
补角的定义
∴ ∠AOC =∠BOD ( ).
同角的补角相等
∵直线AB与直线CD相交于点O ( )，
∠BOD＋∠AOD＝180°
( ).
探究新知
知识点 2
证明的过程
例
根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证，经过分析找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据.
证明过程的注意事项：
证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.
这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、
基本事实、定理等.
证明的书写格式:
探究新知
证明定理 ：同角的补角相等.
已知：∠2是∠1的补角， ∠3是∠1的补角.
求证：∠2=∠3.
证明：
∴ ∠2＋∠1=180°( ).
已知
补角的定义
∴ ∠2＝ 180°－∠1 ( ).
等式的性质
∵∠3是∠1的补角( ),
已知
∴ ∠3＋∠1＝180°( ).
补角的定义
∴ ∠3＝ 180°－∠1 ( ).
等式的性质
∴ ∠2=∠3( ).
等量代换
∵∠2是∠1的补角( ),
巩固练习
1
3
2
分析：要证明AB，CD平行，就需要同位角相等的条件，图中∠1与∠3就是同位角.我们只要找到：能说明它们相等的条件就行了.
从图中，我们可以发现：∠2与∠3是对顶角，所以∠3=∠2.这样我们就找到了∠1与∠3相等的确切条件了.
例 如图，∠1=∠2，试说明直线AB，CD平行.
素养考点
证明推理的应用
探究新知
证明：
∵∠2与∠3是对顶角
∴∠3=∠2
又∵∠1=∠2
∴∠1=∠3
∴AB∥CD
探究新知
（对顶角的定义）,
（对顶角的性质）.
（已知）,
（等量代换）.
（同位角相等，两直线平行）.
如图所示，直线AB和直线CD，直线BE和直线CF都被直线BC所截，在下面三个式子中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并写出对应的推理过程
①AB∥CD，②BE∥CF，③∠1＝∠2
题设(已知): .…
结论(求证)： ...
①②
③
巩固练习
变式训练
证明：∵AB∥CD
∴∠ABC＝∠DCB
又∵BE∥CF
∴∠EBC＝∠FCB
∵∠ABC－∠EBC＝∠DCB－∠FCB
∴∠1＝∠2.
巩固练习
（已知）,
（两直线平行，内错角相等）.
（已知）,
（两直线平行，内错角相等）.
（等式的性质）,
知识点1 公理、定理
1.下列命题中，不能作为公理的是( )
B
A.三边分别相等的两个三角形全等
B.角平分线上的点到角两边的距离相等
C.两点确定一条直线
D.同位角相等，两直线平行
返回
2.“等式两边除以同一个不为0的数，结果仍是等式”是______（填“定义”
“公理”或“定理”）。
定理
返回
3.关于公理和定理的联系：
①公理和定理都是真命题;
②公理就是定理，定理也是公理;
③公理和定理都可以作为推理论证的依据;
④公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明。说法正确的是______
___。（填序号）
①③④
返回
知识点2 证明
4.在证明过程中可作为推理依据的是( )
B
A.命题、定义、公理 B.定理、定义、公理
C.命题 D.真命题
返回
5. 完成下面的证明：
如图，， ，求证：
。
证明： （______），
____（________________________）。
，
已知
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
____ （__________________________）。
（等量代换）。
返回
6.根据题意，把下列推理所依据的命题写出来，并指出其是
公理还是定理。
（1）如图所示，若，则 ；
解：依据：内错角相等，两直线平行，是定理。
（2）在和中，，， ，则
。
解：依据：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，是公理。
返回
公理、定理、证明
证明：推理的过程
公理：公认的真命题
定理：经过证明的真命题
概念
证明的过程
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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