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7.2.1 平行线的证明 - 平行线的判定
在平面几何中，平行线是一类特殊的直线关系，其判定是几何证明的重要基础。平行线的判定不仅依赖于直观的观察，更需要通过严谨的逻辑推理来确认。本节将系统梳理平行线的判定公理、判定定理，结合实例展示如何运用这些知识证明两条直线平行，培养几何证明的逻辑思维能力。
一、平行线的定义与判定公理
（一）平行线的定义
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。这个定义揭示了平行线的本质属性 ——“不相交”，但直接利用定义判断两条直线是否平行较为困难（因为无法无限延伸直线验证是否相交），因此需要更具操作性的判定方法。
（二）平行线的判定公理（基本事实）
经过长期实践验证，以下命题被作为平行线判定的公理（基本事实），无需证明即可直接使用：
同位角相等，两直线平行。
即：如果两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等，那么这两条直线平行。
如图 1 所示，直线\(a\)、\(b\)被直线\(c\)所截，若\(\angle1=\angle2\)（同位角相等），则\(a\parallel b\)。
这一公理是平行线判定的基础，其他判定定理都可由它推导得出。
二、平行线的判定定理
基于同位角相等判定公理，通过逻辑推理可进一步得出其他平行线判定定理。
（一）内错角相等，两直线平行
定理 1：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
即：若内错角相等，则两直线平行。
证明过程：
已知：如图 2，直线\(a\)、\(b\)被直线\(c\)所截，\(\angle1=\angle2\)（内错角相等）。
求证：\(a\parallel b\)。
证明：
∵\(\angle1=\angle3\)（对顶角相等），
又∵\(\angle1=\angle2\)（已知），
∴\(\angle2=\angle3\)（等量代换）。
∵\(\angle2\)和\(\angle3\)是同位角（同位角定义），
∴\(a\parallel b\)（同位角相等，两直线平行）。
实例解析：
例 1：如图 3，已知\(\angle1 = 110^\circ\)，\(\angle2 = 110^\circ\)，求证：\(AB\parallel CD\)。
证明：
∵\(\angle1 = 110^\circ\)，\(\angle2 = 110^\circ\)（已知），
∴\(\angle1=\angle2\)（等量代换）。
∵\(\angle1\)和\(\angle2\)是内错角（内错角定义），
∴\(AB\parallel CD\)（内错角相等，两直线平行）。
（二）同旁内角互补，两直线平行
定理 2：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
即：若同旁内角互补（和为\(180^\circ\)），则两直线平行。
证明过程：
已知：如图 4，直线\(a\)、\(b\)被直线\(c\)所截，\(\angle1+\angle2 = 180^\circ\)（同旁内角互补）。
求证：\(a\parallel b\)。
证明：
∵\(\angle1+\angle3 = 180^\circ\)（平角定义），
又∵\(\angle1+\angle2 = 180^\circ\)（已知），
∴\(\angle2=\angle3\)（同角的补角相等）。
∵\(\angle2\)和\(\angle3\)是同位角（同位角定义），
∴\(a\parallel b\)（同位角相等，两直线平行）。
实例解析：
例 2：如图 5，已知\(\angle A + \angle D=180^\circ\)，求证：\(AB\parallel CD\)。
证明：
∵\(\angle A + \angle D=180^\circ\)（已知），
又∵\(\angle A\)和\(\angle D\)是直线\(AB\)、\(CD\)被直线\(AD\)所截形成的同旁内角（同旁内角定义），
∴\(AB\parallel CD\)（同旁内角互补，两直线平行）。
（三）平行线的其他判定方法
除上述公理和定理外，结合其他几何知识还可得出以下判定方法：
平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行公理的推论）。
即：若\(a\parallel c\)，\(b\parallel c\)，则\(a\parallel b\)。这一结论可通过反证法证明（见本节课后作业 3）。
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
即：若\(a\perp c\)，\(b\perp c\)，则\(a\parallel b\)。
证明：∵\(a\perp c\)，\(b\perp c\)（已知），
∴\(\angle1 = 90^\circ\)，\(\angle2 = 90^\circ\)（垂直定义），
∴\(\angle1=\angle2\)（等量代换），
∴\(a\parallel b\)（同位角相等，两直线平行）。
三、平行线判定的一般步骤
运用上述公理和定理证明两条直线平行，通常遵循以下步骤：
明确目标：确定需要证明平行的两条直线（\(a\)和\(b\)）以及截线（与\(a\)、\(b\)都相交的直线\(c\)）。
识别角的关系：找出截线与两条直线形成的同位角、内错角或同旁内角，明确需要证明的角的关系（相等或互补）。
推导角的关系：利用已知条件、对顶角相等、邻补角互补等知识，推导出同位角相等、内错角相等或同旁内角互补。
得出平行结论：根据相应的判定公理或定理，得出两条直线平行的结论，并注明依据。
四、实例解析：综合运用判定方法
例 3：如图 6，已知\(\angle1=\angle2\)，\(\angle3+\angle4 = 180^\circ\)，求证：\(a\parallel c\)。
解题步骤：
分析需证明平行的直线是\(a\)和\(c\)，需找到连接它们的中间关系（可通过证明\(a\parallel b\)且\(b\parallel c\)，再利用平行公理的推论）。
证明\(a\parallel b\)：
∵\(\angle1=\angle2\)（已知），
且\(\angle1\)和\(\angle2\)是直线\(a\)、\(b\)被直线\(d\)所截形成的内错角（内错角定义），
∴\(a\parallel b\)（内错角相等，两直线平行）。
证明\(b\parallel c\)：
∵\(\angle3+\angle4 = 180^\circ\)（已知），
且\(\angle3\)和\(\angle4\)是直线\(b\)、\(c\)被直线\(e\)所截形成的同旁内角（同旁内角定义），
∴\(b\parallel c\)（同旁内角互补，两直线平行）。
证明\(a\parallel c\)：
∵\(a\parallel b\)，\(b\parallel c\)（已证），
∴\(a\parallel c\)（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
例 4：如图 7，已知\(AB\perp BC\)，\(BC\perp CD\)，且\(\angle1=\angle2\)，求证：\(BE\parallel CF\)。
证明：
∵\(AB\perp BC\)，\(BC\perp CD\)（已知），
∴\(\angle ABC=\angle BCD = 90^\circ\)（垂直定义），即\(\angle1+\angle3=\angle2+\angle4 = 90^\circ\)。
∵\(\angle1=\angle2\)（已知），
∴\(\angle3=\angle4\)（等角的余角相等）。
∵\(\angle3\)和\(\angle4\)是直线\(BE\)、\(CF\)被直线\(BC\)所截形成的内错角（内错角定义），
∴\(BE\parallel CF\)（内错角相等，两直线平行）。
五、常见误区
角的类型识别错误：混淆同位角、内错角、同旁内角的位置特征，导致误用判定方法。例如，将内错角当作同位角来套用 “同位角相等，两直线平行”。
忽略截线：未明确截线，无法准确判断角与直线的对应关系。例如，证明\(AB\parallel CD\)时，错误地使用了与其他直线形成的角的关系。
依据错误：推理过程中使用的依据与角的关系不匹配。例如，内错角相等时却标注依据为 “同旁内角互补，两直线平行”。
逻辑跳跃：未完整推导角的关系就直接得出平行结论。例如，已知\(\angle1=\angle2\)，未说明\(\angle1\)和\(\angle2\)是同位角就直接写 “\(a\parallel b\)”。
六、课堂总结
核心判定方法：
公理：同位角相等，两直线平行；
定理 1：内错角相等，两直线平行；
定理 2：同旁内角互补，两直线平行；
推论：平行于同一直线的两直线平行；同一平面内垂直于同一直线的两直线平行。
证明步骤：明确目标直线与截线→识别角的类型→推导角的关系→依据判定方法得出平行结论。
关键能力：准确识别同位角、内错角、同旁内角，熟练运用角的关系推导平行，规范书写证明过程。
平行线的判定是几何证明的入门基础，其核心是通过角的数量关系（相等或互补）推导出直线的位置关系（平行）。掌握这些判定方法，能为后续学习三角形、四边形等几何知识奠定坚实的逻辑基础。
七、课后作业
如图 8，直线\(AB\)、\(CD\)被直线\(EF\)所截，\(\angle1 = 70^\circ\)，\(\angle2 = 110^\circ\)，求证：\(AB\parallel CD\)（提示：利用同旁内角互补）。
已知：如图 9，\(\angle AEF=\angle EFD\)，求证：\(AB\parallel CD\)（提示：利用内错角相等）。
证明 “平行于同一条直线的两条直线互相平行”（提示：用反证法，假设两直线不平行则相交，推出与平行公理矛盾）。
如图 10，在同一平面内，\(AD\perp AC\)，\(BC\perp AC\)，且\(\angle ADE=\angle BCF\)，求证：\(DE\parallel CF\)。
分析下列证明过程的错误，并改正：
命题：如图 11，已知\(\angle1=\angle2\)，求证：\(AB\parallel CD\)。
错误证明：∵\(\angle1=\angle2\)，∴\(AB\parallel CD\)（同旁内角互补，两直线平行）。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
7.2.1平行线的证明-平行线的判定
第七章 命题与证明
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过阅读课本学生熟练掌握平行线的判定定理，提高学生的分析能力和理解能力；
2．通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力，逐步掌握规范的推理论证格式．
3．通过画图、讨论、推理等活动，使学生对平行线的判定有深入理解，培养学生的化归思想和分类讨论思想．
重点
难点
旧识回顾
什么叫平行线？
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
●
一、放
二、靠
三、推
四、画
我们已经学习过用三角尺和直尺画平行线的方法.
知识点 1
同位角相等两直线平行
b
A
2
1
a
B
（1）画图过程中，什么角始终保持相等？
（2）直线a，b位置关系如何？
探究新知
（3）将其最初和最终的两种特殊位置抽象成几何图形：
1
2
l2
l1
A
B
(4) 由上面的操作过程，你能发现判定两直线平行的方法吗？
探究新知
判定方法1：两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
几何语言：
∵∠1=∠2
∴l1∥l2
1
2
l2
l1
A
B
探究新知
（已知）,
（同位角相等，两直线平行）.
例 下图中，如果∠1=∠7，能得出AB∥CD吗？写出你的推理过程.
解：∵∠1=∠7
∠1=∠3
∴ ∠7=∠3
∴ AB∥CD
B
1
A
C
D
F
3
7
E
（ ）,
已知
（ ）,
对顶角相等
（ ）.
等量代换
（ ）.
同位角相等
两直线平行
探究新知
素养考点
利用同位角相等判定两直线平行
如图所示，∠1＝∠2＝35°，则AB与CD的关系是 ，
理由是 .
AB∥CD
同位角相等，两直线平行
巩固练习
变式训练
定理 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.
这个定理可以简单说成:内错角相等,两直线平行.
你能运用所学知识来证实它是一个真命题吗
探究新知
知识点 2
内错角相等两直线平行
已知: 如图,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的内错角,且∠1=∠2.
求证: a∥b.
证明:∵ ∠1=∠2 ,
∠1=∠3 ,
∴∠2=∠3 ,
∴ a∥b .
(已知)
(对顶角相等)
(等量代换)
(同位角相等,两直线平行)
探究新知
判定方法2：两条直线被第三条直线所截 ,如果内错角相等,那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
∵∠3=∠2(已知)
∴a∥b (内错角相等，两直线平行)
几何语言：
探究新知
2
b
a
1
3
例 完成下面证明：如图所示，CB平分∠ACD，∠1＝∠3. 求证AB∥CD.
证明：∵CB平分∠ACD，∴∠1＝∠2( ).
∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠ .
∴AB∥CD( ).
角平分线的定义
3
内错角相等，两直线平行
探究新知
素养考点
利用内错角相等判定两直线平行
已知∠3=45 °，∠1与∠2互余，试说明AB//CD ？
解：∵∠1=∠2（对顶角相等），
∠1与∠2互余，
∴ ∠1+∠2=90°(已知).
∴∠1=∠2=45°.
∵ ∠3=45°(已知),
∴∠ 2=∠3.
∴ AB∥CD(内错角相等，两直线平行).
1
2
3
A
B
C
D
巩固练习
变式训练
c
a
1
b
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
条件是： ，
结论是： .
同旁内角互补
两直线平行
2
探究新知
知识点 3
利用同旁内角互补判定两直线平行
已知: 如图,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的同旁内角,且∠1与∠2互补.
求证: a∥b.
证明: ∵ ∠1与∠2互补
∴∠1+∠2=1800
又∵∠3+∠1=1800
∴∠2=∠3
∴ a∥b
(已知),
(两角互补的定义).
(平角的定义),
(同角的补角相等).
(同位角相等,两直线平行).
探究新知
判定方法3：两条直线被第三条直线所截 ,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
几何语言：
2
b
a
1
3
∵∠1+∠2=180°(已知),
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）.
探究新知
例 如图：直线AB、CD都和AE相交，且∠1+∠A=180 ．求证：AB//CD.
证明：∵∠1+∠A=180
C
B
A
D
2
1
E
3
∴∠2+∠A=180
∴
（ ）,
（ ）.
（ ）.
已知
对顶角相等
等量代换
同旁内角互补，两直线平行
∠1=∠2 （ ）,
AB∥CD
探究新知
利用同旁内角互补判定两直线平行
素养考点
① ∵ ∠2 = ∠ 6（已知）,
∴ ___∥___( ).
② ∵ ∠3 = ∠5（已知）,
∴ ___∥___( ).
③∵ ∠4 +___=180o（已知）,
∴ ___∥___( ).
AB
CD
AB
CD
∠5
AB
CD
A
C
1
4
2
3
5
8
6
7
B
D
同位角相等,两直线平行
内错角相等,两直线平行
同旁内角互补,两直线平行
F
E
根据条件完成填空.
巩固练习
变式训练
知识点 平行线的判定
1.下列图形中，由能得到 的是( )
B
A. B. C. D.
返回
2.［教材习题 变式］如图，木工师傅用图中的角尺画平行线的依
据是( )
B
（第2题）
A.两直线平行，同位角相等
B.同位角相等，两直线平行
C.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线
也互相平行
返回
3.如图，点在的延长线上，下列条件中不能判断 的是
( )
A
（第3题）
A. B.
C. D.
返回
（第4题）
4. ［2025咸阳期末］如图，将一款教
室护眼灯用两根电线，吊在天花板上，
是护眼灯，已知 ，为保证护眼灯与天花
板平行,下面添加的条件中，正确的是( )
D
A. B. C. D.
返回
（第5题）
5.如图，一条街道有两个拐角和 ，测得
，则 ，就可以知道
，其依据的定理是_____________________
_____。
内错角相等，两直线
平行
返回
6. 如图，在四边形中，是 延长线上一点，请
添加一个条件，使 ，那么可以添加的条件是________________
_______________（写出一个即可）。
（答案不唯一）
（第6题）
返回
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行
平行线的判定示意图
判定
数量关系
位置关系
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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