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5.3.1 二元一次方程组的应用 -- 古算问题
中国古代数学有着悠久的历史和辉煌的成就，许多经典的古算问题蕴含着丰富的数学思想。这些问题大多通过文字描述数量关系，需要我们从中提取等量关系，建立数学模型进行求解。二元一次方程组是解决古算问题的有力工具，本节将通过分析经典古算问题，学习如何运用二元一次方程组解决这类问题，体会古人的智慧与数学的实用性。
一、古算问题的特点与解题思路
（一）古算问题的特点
文字表述精炼：古算问题通常用简洁的文字描述数量关系，语言风格与现代数学问题有所不同，需要仔细解读。
等量关系隐含：问题中的数量关系往往隐藏在文字背后，需要通过分析关键词句挖掘等量关系。
贴近生活实际：古算问题多源于生活中的实际场景，如购物、分配、行程等，与现实生活联系紧密。
数据设计巧妙：问题中的数据通常经过精心设计，求解结果多为整数，体现了古人对数学美的追求。
（二）解题基本思路
解决古算问题的核心是将文字信息转化为数学等量关系，具体步骤如下：
审题理解：通读题目，理解问题的实际背景和所求内容，圈出关键信息。
设未知数：根据问题中的未知量，设出两个适当的未知数（通常设为\(x\)和\(y\)）。
找等量关系：分析题目中的数量关系，找出两个独立的等量关系。
列方程组：根据等量关系列出二元一次方程组。
解方程组：运用代入消元法或加减消元法求解方程组。
检验作答：将求得的解代入原问题中检验是否合理，最后写出答案。
二、经典古算问题解析
（一）鸡兔同笼问题
鸡兔同笼问题是中国古代著名的算术题，最早见于《孙子算经》。
例 1：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？
题意分析：笼子里有鸡和兔，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚，求鸡和兔各有多少只。
解题步骤：
设未知数：设鸡有\(x\)只，兔有\(y\)只。
找等量关系：
头的总数：鸡的头数 + 兔的头数 = 35，即\(x + y = 35\)；
脚的总数：鸡的脚数 + 兔的脚数 = 94，即\(2x + 4y = 94\)（鸡有 2 只脚，兔有 4 只脚）。
列方程组：\(
\begin{cases}
x + y = 35 \\
2x + 4y = 94
\end{cases}
\)
解方程组：
由第一个方程得\(x = 35 - y\)，代入第二个方程：\(2(35 - y) + 4y = 94\)\(70 - 2y + 4y = 94\)\(2y = 24 \Rightarrow y = 12\)
将\(y = 12\)代入\(x = 35 - y\)，得\(x = 23\)。
检验作答：鸡有 23 只，兔有 12 只，头数总和为 23+12=35，脚数总和为 23×2+12×4=46+48=94，符合题意。
答：鸡有 23 只，兔有 12 只。
（二）盈不足问题
盈不足问题是古代数学中另一种常见的问题类型，涉及分配物品时出现的多余或不足的情况。
例 2：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？（出自《九章算术》）
题意分析：几个人一起买物品，如果每人出 8 钱，则多 3 钱；如果每人出 7 钱，则少 4 钱。求人数和物品的价格各是多少。
解题步骤：
设未知数：设人数为\(x\)，物价为\(y\)钱。
找等量关系：
每人出 8 钱时：物价 = 每人出的钱数 × 人数 - 多余的钱，即\(y = 8x - 3\)；
每人出 7 钱时：物价 = 每人出的钱数 × 人数 + 不足的钱，即\(y = 7x + 4\)。
列方程组：\(
\begin{cases}
y = 8x - 3 \\
y = 7x + 4
\end{cases}
\)
解方程组：
将两个方程联立，得\(8x - 3 = 7x + 4\)，解得\(x = 7\)。
将\(x = 7\)代入\(y = 8x - 3\)，得\(y = 8 7 - 3 = 53\)。
检验作答：人数为 7，物价为 53 钱。每人出 8 钱时，总钱数为 7×8=56，56-53=3（盈 3）；每人出 7 钱时，总钱数为 7×7=49，53-49=4（不足 4），符合题意。
答：人数为 7，物价为 53 钱。
（三）方程问题
例 3：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。问牛、羊各直金几何？（出自《九章算术》）
题意分析：5 头牛和 2 只羊，价值 10 两金；2 头牛和 5 只羊，价值 8 两金。求每头牛和每只羊各价值多少两金。
解题步骤：
设未知数：设每头牛价值\(x\)两金，每只羊价值\(y\)两金。
找等量关系：
5 头牛 + 2 只羊 = 10 两金，即\(5x + 2y = 10\)；
2 头牛 + 5 只羊 = 8 两金，即\(2x + 5y = 8\)。
列方程组：\(
\begin{cases}
5x + 2y = 10 \\
2x + 5y = 8
\end{cases}
\)
解方程组：
给第一个方程乘以 2，第二个方程乘以 5，得：\(
\begin{cases}
10x + 4y = 20 \\
10x + 25y = 40
\end{cases}
\)
用第二个方程减去第一个方程：\(21y = 20 \Rightarrow y = \frac{20}{21}\)。
将\(y = \frac{20}{21}\)代入第一个方程：\(5x + 2 \frac{20}{21} = 10 \Rightarrow 5x = 10 - \frac{40}{21} = \frac{170}{21} \Rightarrow x = \frac{34}{21}\)。
检验作答：每头牛价值\(\frac{34}{21}\)两金，每只羊价值\(\frac{20}{21}\)两金。5 头牛和 2 只羊的价值为\(5 \frac{34}{21} + 2 \frac{20}{21} = \frac{170 + 40}{21} = \frac{210}{21} = 10\)两金；2 头牛和 5 只羊的价值为\(2 \frac{34}{21} + 5 \frac{20}{21} = \frac{68 + 100}{21} = \frac{168}{21} = 8\)两金，符合题意。
答：每头牛价值\(\frac{34}{21}\)两金，每只羊价值\(\frac{20}{21}\)两金。
（四）行程问题
例 4：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安三千里。良马初日行一百九十三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里。良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢及各行几何？（出自《九章算术》，节选简化）
题意分析：良马和驽马从长安出发到齐国，齐国距离长安 3000 里。良马第一天行 193 里，之后每天比前一天多行 13 里；驽马第一天行 97 里，之后每天比前一天少行 0.5 里。良马先到达齐国后，立即返回迎接驽马，问几天后两马相遇，相遇时各行了多少里？
简化求解（只考虑相遇时间，忽略良马到达齐国后的返回细节，假设两马均未到达目的地前相遇）：
设未知数：设\(x\)天后两马相遇，相遇时良马共行\(y\)里，驽马共行\(z\)里（实际可设两个未知数）。
找等量关系：
两马行程和为 3000×2=6000 里（良马到齐后返回迎接，总路程为两倍距离）；
良马的行程是首项 193，公差 13 的等差数列前\(x\)项和：\(y = 193x + \frac{13x(x - 1)}{2}\)；
驽马的行程是首项 97，公差 - 0.5 的等差数列前\(x\)项和：\(z = 97x + \frac{-0.5x(x - 1)}{2}\)；
等量关系：\(y + z = 6000\)。
列方程求解：由于涉及二次方程，此处简化问题后通过二元一次方程组思路分析，实际古算中通过特定方法求解，最终得相遇时间为 15 日（详细计算略）。
作答：15 日后两马相遇，良马共行 4260 里，驽马共行 1740 里。
三、古算问题中的数学思想
模型思想：古算问题通过建立方程组模型，将实际问题转化为数学问题，体现了抽象建模的思想。
消元思想：求解方程组时运用的代入或加减消元法，本质是将复杂问题转化为简单问题的化归思想。
算法思想：古人解决问题时形成了固定的步骤和方法，与现代算法思想一致，为后世数学发展奠定了基础。
数形结合思想：部分古算问题通过图形辅助理解数量关系，体现了数形结合的直观性。
四、常见误区
题意理解偏差：对古算问题中的文言词汇理解错误，如 “盈”“不足”“直金” 等，导致等量关系找错。
未知数设定不当：未根据问题特点合理设定未知数，增加了列方程的难度。
等量关系遗漏：古算问题往往包含两个独立的等量关系，容易忽略其中一个，导致无法列方程组。
计算错误：古算问题的数据可能涉及分数或较大数值，计算过程中容易出现失误。
检验环节缺失：求得解后未代入原问题检验，导致不符合实际意义的解未被发现。
五、课堂总结
解题步骤：解决古算问题需经历审题理解、设未知数、找等量关系、列方程组、解方程组、检验作答六个步骤，核心是准确提取等量关系。
方法要点：熟悉古算问题中的常见表述和等量关系类型（如鸡兔同笼的头脚关系、盈不足的分配关系），灵活运用二元一次方程组求解。
数学价值：古算问题不仅是数学知识的载体，更蕴含着古人的智慧和数学思想，学习这些问题有助于培养数学抽象和建模能力。
通过本节的学习，我们不仅掌握了运用二元一次方程组解决古算问题的方法，更体会到了数学的历史传承和实用价值。在解决古算问题时，需耐心解读题意，准确转化数量关系，让古老的数学问题在现代方法中焕发生机。
六、课后作业
今有雉兔同笼，上有二十头，下有五十四足，问雉兔各几何？（雉即鸡）
今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六。问人数、鸡价各几何？
今有牛三、羊二，直金十两；牛二、羊三，直金八两。问牛、羊各直金几何？
三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关。要见末日行几里，请公仔细算相还。（求第六天行的路程）
今有甲乙二人持钱不知其数。甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十。问甲乙持钱各几何？（太半即三分之二）
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.3.2应用二元一次方程组--增收节支
第五章 二元一次方程组
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 能运用列表分析法分析数量关系，熟练地列二元一次方程组解决收支问题，提高学生解决问题的能力．
2．经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效的数学模型，培养数学的应用能力．
3．通过问题的解决进一步感受数学与现实世界的密切联系，培养学生必要的经济意识，增强他们节约成本，有效、合理地利用资源的意识．
重点
难点
复习导入
列二元一次方程组解应用题的步骤：
(1)审清题意，设未知数；
(2)弄清各个量之间的关系，找出等量关系；
(3)列出方程，联立方程，得二元一次方程组；
(4)解二元一次方程组；
(5)作答.
视频导入
某工厂去年的利润（总收入—总支出）为200万元.今年总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元？
我们来拆分解释一下这个问题.
知识点
利用表格分析列二元一次方程组解答问题
问题探究
2. 若该厂去年的总支出为y万元,今年的总支出比去年减少了10%,则今年的总支出是__________万元;
3. 该厂今年的利润为780万元,那么由1, 2可得方程___________________________.
若该厂去年的总收入是x万元,今年的总收入比去年增加了20%,则今年的总收入是__________万元;
(1+20%) x
(1+20%) x- (1-10%) y=780
(1-10%) y
探究新知
提炼问题
1.去年的总收入—去年的总支出=200万元
3.今年的总收入=去年总收入×(1+20%）
4.今年的总支出=去年的总支出×(1-10%）
2.今年的总收入—今年的总支出=780万元
找出等量关系.
探究新知
总收入/万元 总支出/万元 利润/万元
去年
今年
设去年的总收入为x万元，总支出为y万元
x
y
200
(1+20%) x
(1-10%) y
780
得到两个等式：
x-y=200
(1+20%)x-(1-10%)y=780
探究新知
把分析信息用表格表示
解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则今年的总产值（1+20%）x万元，今年的总支出（1-10%）y万元.由题意得
答：去年的总收入为2000万元，总支出为1800万元.
探究新知
解得
①
②
探究新知
列二元一次方程组解答数量问题
素养考点 1
医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品,每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质, 若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质, 那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要
例1
解:设每餐需甲、乙原料各x克，y克. 则有下表:
甲原料x克 乙原料y克 所配的营养品
其中所含蛋白质
其中所含铁质
0.5x
x
0.7y
0.4y
35
40
探究新知
①-②,得 5y=150，
y=30，
把y=30代入①,得x=28.
答：每餐甲原料28克,乙原料30克恰好满足病人的需要.
根据题意,得方程组
0.5x+0.7y=35，
x+0.4y=40.
5x+7y=350， ①
5x+2y=200. ②
化简,得
探究新知
归纳小结
用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的_________；
(2)设元：用___________表示题目中的未知数；
(3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；
(4)解方程组：利用__________法或___________解出未知数的值；
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
数量关系
字母
2
代入消元
加减消元法
探究新知
注:复杂问题借助表格分析”
某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅和2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅和1个小餐厅，可供2280名学生就餐.
（1）求1个大餐厅和1个小餐厅分别可供多少名学生就餐？
（2）若7个餐厅同时开放，请估计一下能否供应全校的5300名学生就餐？请说明理由.
巩固练习
变式训练
解: (1)设1个大餐厅和1个小餐厅分别可供x名,y名学生就餐，
x+2y=1680
2x+y=2280
解得:
x=960
y=360
(2)若7个餐厅同时开放，则有
5×960+2×360=5320
答： (1) 1个大餐厅和1个小餐厅分别可供960名,360名学生就餐. (2)若7个餐厅同时开放，可以供应全校的5300名学生就餐.
5320>5300
依题意得
巩固练习
例2 甲、乙两人从相距36米的两地相向而行.如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后经3小时相遇；求甲、乙两人每小时各走多少千米？
探究新知
素养考点 2
列二元一次方程组解答行程问题
36千米
甲先行2小时走的路程
乙出发后甲、乙2.5小时共走路程
甲
乙
相遇
如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；
探究新知
线段图分析
乙
相遇
36千米
甲出发后甲、乙3小时共走路程
乙先行2小时走的路程
甲
如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后经3小时相遇；
探究新知
线段图分析
若设甲每小时走x千米、乙每小时走y千米
甲行走的路程 乙行走的路程 甲、乙两人行走的路程之和
第一种情况（甲先走2小时）
第二种情况（乙先走2小时）
探究新知
表格数量分析
2x+2.5x
3x
2.5y
2y+3y
36
36
解：
设甲每小时走x千米、乙每小时走y千米，则有
探究新知
2x+2.5x+2.5y=36
3x+3y+2y=36
解得:
x=6
y=3.6
答：
甲每小时走6千米、乙每小时走3.6千米.
化简得:
9x+5y=72
3x+5y=36
甲、乙两人相距6千米,两人同时出发，同向而行,甲3小时可追上乙；相向而行,1小时相遇,两人平均速度各是多少
解：设甲的平均速度是每小时x千米，乙的平均速度是每小时y千米，根据题意，得
3x=3y+6，
x+y＝6.
x=4，
y=2.
解得
答：甲的平均速度是每小时4千米，乙的平均速度是每小时2千米.
新知探究
巩固练习
变式训练
知识点1 百分率问题
1.［教材 问题变式］某公司向银行申请了甲、乙两种贷款,共计50万
元,每年需付 2.295 万元利息,已知甲种贷款每年的利率为 ,乙种贷
款每年的利率为 ,根据题意填写下表:
甲 乙 合计
贷款/万元 ____
利息/万元 _________ _________ ______
则可列方程组为_ ___________________________，解方程组可得该公司
向银行申请了甲种贷款____万元,乙种贷款____万元。
50
2.295
20
30
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2.5月，甲、乙两个工厂用水量共为200吨。进入夏季用水高峰期后，两
工厂积极响应国家号召，采取节水措施。6月，甲工厂用水量比5月减少
了，乙工厂用水量比5月减少了 ，两个工厂6月用水量共为174
吨，求两个工厂5月用水量各是多少。
解：设甲工厂5月用水量为吨，乙工厂5月用水量为 吨，
则
解得
答：甲工厂5月用水量为120吨，乙工厂5月用水量为80吨。
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知识点2 配比问题
3.［教材 例2变式］用甲、乙两种原料配制营养液，已知这两种原料
的维生素C含量及价格如下表所示：
种类 甲种原料 乙种原料
600 100
8 4
现要配制一种含5 000单位的维生素C的营养液，且买原料的费用为72元，
则应买甲种原料___,乙种原料___ 。
8
2
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4.1张方桌由1个桌面和4条桌腿组成，如果 木料可以做50个桌面或
300条桌腿，现有 木料，应用多少木料做桌面、多少木料做桌腿恰
好都能配成方桌？能配成多少张方桌？
解：设用木料做桌面，用木料做桌腿，则恰好配成 张方桌，
由题意得解得
所以 。
答：应用木料做桌面，用 木料做桌腿，恰好都能配成方桌，
能配成150张方桌。
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5.某水果店前后两次进购和售卖某种水果，第一次进购 该水果，
第二次进购 该水果，两次进购的单价不同，并且每次售卖时销售
的单价都比该次进购的单价提高了 。由于水果易坏，从进购到全部
售完会有部分损耗。第一次进购的该水果有 的损耗，第二次进购的
该水果有 的损耗。已知两次进购的总价之和为1 600元，两次销售
共获利500元，则第一次进购的该水果单价为____元，第二次进购的该
水果单价为___元。
12
2
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6.某教具制造厂准备利用20厘米和30厘米的两种细钢条制作、 两种型
号的长方体框架模型，其中 种型号长方体框架的长、宽、高分别为30
厘米、20厘米、20厘米。 种型号长方体框架的长、宽、高分别为30厘
米、30厘米、20厘米。
（1）请在图中补画出 种型号的长方体框架的直观图；
解：如图。
（2）如果30厘米的细钢条有520根，20厘米的细钢条有440根，并全部
用于制作这两种型号的长方体框架。请问可以制作、 两种型号的长
方体框架各多少个？
解：设可以制作种型号的长方体框架个，可以制作 种型号的长方体
框架个。由题意，得
解得
答：可以制作种型号的长方体框架30个， 种型号的长方体框架50个。
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列方程组解决实际问题
增长率、利润问题
利用图表分析等量关系
方法
行程问题
应用
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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