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7.2.2 平行线的性质
平行线的性质是平面几何中研究直线平行关系的重要内容，它与平行线的判定相辅相成。如果说判定是通过角的关系判断直线平行，那么性质则是在已知直线平行的前提下，推导角之间的关系。本节将系统学习平行线的性质，掌握其逻辑推导过程，并能运用性质解决几何证明和计算问题。
一、平行线性质的引入
在学习平行线的判定时，我们知道 “同位角相等，两直线平行”，这是由角的关系推导出直线的位置关系。反过来，如果两条直线平行，被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角之间会有什么关系呢？通过画图测量和逻辑推理，我们可以得出平行线的性质。
例如，画两条平行直线\(a\parallel b\)，被第三条直线\(c\)所截，测量形成的同位角\(\angle1\)和\(\angle2\)，会发现\(\angle1=\angle2\)；测量内错角\(\angle2\)和\(\angle3\)，会发现\(\angle2=\angle3\)；测量同旁内角\(\angle2\)和\(\angle4\)，会发现\(\angle2+\angle4 = 180^\circ\)。这些规律就是平行线的性质。
二、平行线的性质定理
（一）性质 1：两直线平行，同位角相等
定理 1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
即：如果\(a\parallel b\)，那么同位角相等。
证明思路：
该性质可通过反证法证明。假设\(a\parallel b\)，但同位角\(\angle1\neq\angle2\)，过截线与\(a\)的交点作一条直线\(a'\)，使\(a'\)与截线形成的同位角等于\(\angle2\)，根据 “同位角相等，两直线平行”，可得\(a'\parallel b\)。但过一点有且只有一条直线与已知直线平行，这与\(a\)和\(a'\)都过该点且平行于\(b\)矛盾，因此假设不成立，故\(\angle1=\angle2\)。
实例解析：
例 1：如图 1，已知\(AB\parallel CD\)，直线\(EF\)分别交\(AB\)、\(CD\)于点\(E\)、\(F\)，\(\angle1 = 50^\circ\)，求\(\angle2\)的度数。
解：∵\(AB\parallel CD\)（已知），
∴\(\angle1=\angle2\)（两直线平行，同位角相等）。
∵\(\angle1 = 50^\circ\)（已知），
∴\(\angle2 = 50^\circ\)（等量代换）。
（二）性质 2：两直线平行，内错角相等
定理 2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
即：如果\(a\parallel b\)，那么内错角相等。
证明过程：
已知：如图 2，\(a\parallel b\)，直线\(c\)截\(a\)、\(b\)于点\(M\)、\(N\)，\(\angle1\)和\(\angle2\)是内错角。
求证：\(\angle1=\angle2\)。
证明：∵\(a\parallel b\)（已知），
∴\(\angle1=\angle3\)（两直线平行，同位角相等）。
∵\(\angle2=\angle3\)（对顶角相等），
∴\(\angle1=\angle2\)（等量代换）。
实例解析：
例 2：如图 3，\(AD\parallel BC\)，\(\angle A = 100^\circ\)，求\(\angle B\)的度数（提示：延长\(AD\)构造内错角）。
解：延长\(AD\)至点\(E\)。
∵\(AD\parallel BC\)（已知），
∴\(\angle A+\angle B = 180^\circ\)？（此处修正：延长后\(\angle EAB\)与\(\angle B\)是内错角？不，更简单的是利用同旁内角，这里按内错角思路：）
∵\(AD\parallel BC\)，
∴\(\angle A=\angle EBC\)（两直线平行，同位角相等），但更直接的是：
∵\(AD\parallel BC\)，\(\angle A\)和\(\angle B\)是同旁内角，不过按内错角：
过点\(B\)作\(BF\parallel AE\)，则\(AD\parallel BF\)，\(\angle A=\angle ABF\)（内错角相等），又\(AD\parallel BC\)，所以\(BF\parallel BC\)，点\(F\)在\(BC\)上，故\(\angle ABF+\angle FBC = 180^\circ\)，但可能更简单：
∵\(AD\parallel BC\)，\(\angle DAB\)与\(\angle ABC\)是同旁内角，互补，不过例 2 按题目提示用内错角：
其实更简单的方法：∵\(AD\parallel BC\)，\(\angle A\)和\(\angle B\)的内错角可通过辅助线构造，最终可得\(\angle B = 80^\circ\)（过程略，实际\(\angle A\)与\(\angle B\)互补）。
（三）性质 3：两直线平行，同旁内角互补
定理 3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
即：如果\(a\parallel b\)，那么同旁内角的和为\(180^\circ\)。
证明过程：
已知：如图 4，\(a\parallel b\)，直线\(c\)截\(a\)、\(b\)于点\(P\)、\(Q\)，\(\angle1\)和\(\angle2\)是同旁内角。
求证：\(\angle1+\angle2 = 180^\circ\)。
证明：∵\(a\parallel b\)（已知），
∴\(\angle1=\angle3\)（两直线平行，同位角相等）。
∵\(\angle3+\angle2 = 180^\circ\)（平角定义），
∴\(\angle1+\angle2 = 180^\circ\)（等量代换）。
实例解析：
例 3：如图 5，\(AB\parallel CD\)，\(\angle B = 65^\circ\)，求\(\angle D\)的度数，其中\(BC\parallel DE\)。
解：∵\(AB\parallel CD\)（已知），
∴\(\angle B=\angle C\)（两直线平行，内错角相等）。
∵\(\angle B = 65^\circ\)（已知），
∴\(\angle C = 65^\circ\)（等量代换）。
∵\(BC\parallel DE\)（已知），
∴\(\angle C+\angle D = 180^\circ\)（两直线平行，同旁内角互补）。
∴\(\angle D = 180^\circ-\angle C=180^\circ - 65^\circ=115^\circ\)（等式性质）。
三、平行线的性质与判定的区别与联系
（一）区别
类别
条件
结论
用途
平行线的判定
角的关系（相等或互补）
直线平行
由角定线
平行线的性质
直线平行
角的关系（相等或互补）
由线定角
例如：
判定：∵\(\angle1=\angle2\)，∴\(a\parallel b\)（同位角相等，两直线平行）；
性质：∵\(a\parallel b\)，∴\(\angle1=\angle2\)（两直线平行，同位角相等）。
（二）联系
两者都涉及直线平行和角的关系，共用同一组同位角、内错角、同旁内角；
判定是性质的逆过程，性质是判定的逆命题（部分为逆定理）；
在证明中，两者常结合使用，先用判定证明直线平行，再用性质推导角的关系，或反之。
四、平行线性质的综合应用
运用平行线的性质解决几何问题，通常需要结合图形分析，明确已知的平行关系和需要推导的角的关系，步骤如下：
识别平行关系：明确题目中给出的平行线，确定截线；
确定角的类型：找出平行线被截线所截形成的同位角、内错角或同旁内角；
应用性质推导：根据平行线的性质，由平行关系推导出角之间的相等或互补关系；
结合其他知识计算或证明：利用推导得出的角的关系，结合对顶角、邻补角等知识，解决问题。
例 4：如图 6，已知\(AB\parallel CD\)，\(EF\)分别交\(AB\)、\(CD\)于点\(E\)、\(F\)，\(EG\)平分\(\angle BEF\)，\(FH\)平分\(\angle EFD\)，求证：\(EG\parallel FH\)。
证明：∵\(AB\parallel CD\)（已知），
∴\(\angle BEF=\angle EFD\)（两直线平行，内错角相等）。
∵\(EG\)平分\(\angle BEF\)，\(FH\)平分\(\angle EFD\)（已知），
∴\(\angle GEF=\frac{1}{2}\angle BEF\)，\(\angle HFE=\frac{1}{2}\angle EFD\)（角平分线定义）。
∴\(\angle GEF=\angle HFE\)（等量代换）。
∴\(EG\parallel FH\)（内错角相等，两直线平行）。
例 5：如图 7，\(AD\parallel BC\)，\(AB\parallel DC\)，\(\angle B = 60^\circ\)，求\(\angle D\)和\(\angle BAD\)的度数。
解：∵\(AD\parallel BC\)（已知），
∴\(\angle B+\angle BAD = 180^\circ\)（两直线平行，同旁内角互补）。
∵\(\angle B = 60^\circ\)（已知），
∴\(\angle BAD = 180^\circ - 60^\circ=120^\circ\)（等式性质）。
∵\(AB\parallel DC\)（已知），
∴\(\angle B=\angle C\)（两直线平行，内错角相等），\(\angle C+\angle D = 180^\circ\)（两直线平行，同旁内角互补）。
∴\(\angle D=\angle BAD = 120^\circ\)（等量代换）。
五、常见误区
性质与判定混淆：误用性质代替判定或反之。例如，已知直线平行却用 “同位角相等，两直线平行” 作为依据，或已知角相等却用 “两直线平行，同位角相等” 推导平行。
角的对应关系错误：未准确识别同位角、内错角或同旁内角，导致推导的角的关系与平行线不对应。例如，将不同截线形成的角错误地当作平行线被同一条截线所截的角。
忽略平行条件：在使用性质时，未先确认直线是否平行，直接套用性质。例如，未证明\(a\parallel b\)就直接说 “因为\(a\parallel b\)，所以同位角相等”。
辅助线使用不当：需要作辅助线构造平行线或角的关系时，未说明辅助线的作法，或构造的辅助线与已知条件矛盾。
六、课堂总结
平行线的性质定理：
性质 1：两直线平行，同位角相等；
性质 2：两直线平行，内错角相等；
性质 3：两直线平行，同旁内角互补。
与判定的区别联系：判定是由角定线，性质是由线定角，两者结合构成平行线的完整知识体系。
应用步骤：识别平行关系→确定角的类型→应用性质推导→结合其他知识解决问题。
关键能力：准确区分性质与判定，熟练运用性质推导角的关系，规范书写推理过程。
平行线的性质是几何证明和计算的重要工具，它将直线的位置关系与角的数量关系紧密联系，为解决复杂几何问题提供了逻辑依据。通过大量练习，我们能更熟练地运用这些性质，提升几何推理能力。
七、课后作业
如图 8，\(AB\parallel CD\)，\(\angle1 = 80^\circ\)，求\(\angle2\)、\(\angle3\)、\(\angle4\)的度数，并说明依据。
已知：如图 9，\(a\parallel b\)，\(c\parallel d\)，\(\angle1 = 70^\circ\)，求\(\angle2\)的度数。
求证：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同旁内角的平分线互相垂直（提示：结合角平分线定义和同旁内角互补）。
如图 10，\(AD\parallel BC\)，\(\angle BAC = 70^\circ\)，\(\angle DAE = 40^\circ\)，求\(\angle C\)的度数。
分析下列推理过程的错误，并改正：
命题：如图 11，已知\(AB\parallel CD\)，求证：\(\angle1+\angle2 = 180^\circ\)。
错误推理：∵\(\angle1+\angle2 = 180^\circ\)，∴\(AB\parallel CD\)（两直线平行，同旁内角互补）。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
7.2.2 平行线的性质
第七章 命题与证明
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过阅读课本，探索平行线的性质，并掌握它们的图形语言、文字语言、符号语言；了解平行线的性质和判定的区别，提高学生的分析能力和归纳总结能力．
2．通过学生观察、动手操作，培养他们主动探索与合作的能力，使学生领会数形结合、转化的数学思想，从而提高学生分析问题和解决问题的能力．
重点
难点
图片导入
思考1 根据“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”.你能作出相关的图形吗？
A
B
C
D
E
F
M
N
1
2
探究新知
知识点 1
两直线平行，同位角相等
思考2 你能根据所作的图形写出已知、求证吗？
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
已知，如图，直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB，CD被直线EF截出的同位角.
求证：∠1=∠2.
文字语言
符号语言
A
B
C
D
E
F
M
N
1
2
探究新知
思考3 你能说说证明的思路吗？
A
B
C
D
E
F
M
N
G
H
1
2
证明：假设∠1 ≠ ∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH= ∠2，如图所示.
根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH ∥ CD.
又因为AB ∥ CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.
这说明∠1 ≠ ∠2的假设不成立，所以∠1 =∠2.
如果∠1 ≠ ∠2，AB与CD的位置关系会怎样呢？
探究新知
一般地，平行线具有如下性质：
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
b
1
2
a
c
∴∠1=∠2 （两直线平行，同位角相等）.
∵a∥b（已知），
几何语言:
探究新知
例 如图，D是AB上一点，E是AC上一点，∠ADE=60°,∠B=60°,
∠AED=40°.
（1）DE和BC平行吗？为什么？（2）∠C是多少度？为什么？
答:（1）DE∥BC ,
∵∠ADE＝60°,∠B＝60°，
∴∠ADE＝ ∠B.
∴DE∥BC （ ）.
同位角相等，两直线平行
（2）∠C =40°.
∵DE∥BC ，∴∠C ＝ ∠AED ( )
∵∠AED=40°，∴∠C =40°.
两直线平行，同位角相等.
探究新知
素养考点
利用“两直线平行，同位角相等”求角的度数
E
A
B
D
C
1.如图所示，∠1＝70°，若m∥n，则∠2＝ .
2.如图所示，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A等于 ( )
A. 30° B. 35°
C. 40° D. 50°
70°
C
巩固练习
变式训练
在上一节中，我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行线”，类似地，已知两直线平行，同位角相等，能否得到内错角之间的数量关系？
探究新知
知识点 2
两直线平行，内错角相等
证明： ∵ a∥b(已知),
∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等).
又∵ ∠1=∠3(对顶角相等),
∴ ∠1=∠2(等量代换).
b
1
2
a
c
3
探究新知
定理2：两条直线被第三条直线所截，内错角相等.
已知：直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的内错角.
求证： ∠1=∠2.
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简单说成：两直线平行，内错角相等.
b
1
2
a
c
3
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）.
∵a∥b（已知）,
几何语言:
探究新知
例 如图，已知直线a∥b，∠1 = 50°, 求∠2的度数.
a
b
c
1
2
∴∠ 2= 50° (等量代换).
解：∵ a∥b(已知)，
∴∠ 1= ∠ 2(两直线平行,内错角相等).
又∵∠ 1 = 50° (已知),
探究新知
素养考点
利用“两直线平行，内错角相等”求角的度数
如图所示，AC∥BD，∠A＝70°，∠C＝50°，则∠1＝ ，∠2＝ ，∠3＝ .
70°
50°
60°
巩固练习
变式训练
如图,已知a//b,那么 2与 4有什么关系呢？为什么
b
1
2
a
c
4
解: ∵a//b （已知）,
∴ 1= 2（两直线平行，同位角相等）.
∵ 1+ 4=180°（邻补角的性质），
∴ 2+ 4=180°（等量代换）.
类似地，已知两直线平行，能否得到同旁内角之间的数量关系？
探究新知
知识点 3
两直线平行，同旁内角互补
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
b
1
2
a
c
4
∴∠2+∠4=180 °
（两直线平行，同旁内角互补）
∵a∥b（已知）
几何语言:
探究新知
平行线的性质
性质定理1:
两直线平行,同位角相等.
∵ a∥b, ∴∠1=∠2.
性质定理2:
两直线平行,内错角相等.
∵ a∥b, ∴∠1=∠2.
性质定理3:
两直线平行,同旁内角互补.
∵ a∥b, ∴ ∠1+∠2=1800 .
a
b
c
2
1
a
b
c
1
2
a
b
c
1
2
这里的结论,以后可以直接运用.
探究新知
例 如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角的度数分别是多少？
A
B
C
D
解：∵梯形上、下底互相平行，
∴ ∠A与∠D互补， ∠B与∠C互补.
∴梯形的另外两个角分别是80°、65°.
于是∠D=180 °-∠A=180°-100°=80°,
∠C= 180 °-∠B=180°-115°=65°.
探究新知
素养考点
利用“两直线平行，同旁内角互补”求角的度数
如图所示，直线a∥b，直线l与a，b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1＝58°，则∠2的度数为( )
A. 58° B. 42° C. 32° D. 28°
C
巩固练习
变式训练
定理：平行于同一条直线的两条直线平行.
如图：直线a∥b,a∥c,∠1，∠2和∠3是直线 a,b，c被直线d截出的同位角.求证：b∥c.
证明：∵a∥b
∴∠1=∠2
∵a∥ c
∴∠1=∠3
∴ ∠2=∠3
∴ b∥c
探究新知
（已知）,
（两直线平行，同位角相等）.
（已知）,
（两直线平行，同位角相等）.
（等量代换）.
（同位角相等，两直线平行）.
知识点1 平行线的性质
1.如图,已知直线 。
（1）根据“两直线平行，同位角相等”，可得
___, ___,___， ___；
5
8
6
7
（2）根据“两直线平行，内错角相等”，可得
___, ___；
8
5
（3）根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得 ___ ,
___ 。
5
8
返回
（第2题）
2.［2024重庆中考］如图， ，若
，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3.［教材习题 变式］如图，已知
，平分，，则 为
( )
B
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4.［2024盐城中考］小明将一块直角三角板摆放在
直尺上，如图，若 ，则 的度数为
( )
A. B. C. D.
B
返回
5.如图，直线， ， ，则 ( )
C
（第5题）
A. B. C. D.
返回
6.已知：如图，，点，，分别在 ，
，上。求证： 。
证明：如图， （已知），
（两直线平行，内错角相等）。
（已知），
（两直线平行，内错角相等），
（已知），
（等量代换）。
返回
知识点2 平行线的性质与判定的综合应用
7.如图，点在的延长线上， ，下列结论不正确的是
( )
B
A. B.
C. D.
返回
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行
判定
性质
已知
结论
结论
已知
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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