资源简介

(共21张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：15.4.3 等腰三角形的判定
副标题：掌握等腰三角形的判定方法与应用
教师姓名：[教师姓名]
授课日期：[具体日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境引入
复习回顾：前面学习了等腰三角形的性质，包括 “等边对等角” 和 “三线合一”。“等边对等角” 指的是等腰三角形中相等的边所对的角相等，那么反过来，如果一个三角形中有两个角相等，这个三角形是否是等腰三角形呢？这就是本节课要探究的等腰三角形的判定问题。
情境引入：如图，在一个三角形纸片 ABC 中，测得∠B=∠C，不用测量边的长度，你能判断 AB 和 AC 的长度关系吗？通过本节课的学习，我们将找到解决这个问题的方法。
学习目标：
理解并掌握等腰三角形的判定定理（等角对等边）。
能运用等腰三角形的判定定理证明一个三角形是等腰三角形。
能综合运用等腰三角形的性质和判定解决几何问题，提高推理能力。
体会性质与判定的互逆关系，培养辩证思维。
幻灯片 3：等腰三角形的判定定理探究
探究活动：在△ABC 中，已知∠B=∠C，画出△ABC，测量 AB 和 AC 的长度，你发现了什么？换一组相等的角（如∠A=∠B），重复操作，观察对应边的长度关系。
实验结论：当三角形中有两个角相等时，这两个角所对的边也相等。
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成 “等角对等边”）。即在△ABC 中，若∠B=∠C，则 AB=AC。
幻灯片 4：等腰三角形判定定理的证明
已知与求证：
已知：在△ABC 中，∠B=∠C。
求证：AB=AC。
证明思路：通过作辅助线（顶角平分线、底边上的高或底边上的中线），利用全等三角形证明对应边相等。这里以作∠BAC 的平分线为例。
证明过程：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
∵AD 平分∠BAC（辅助线作法），
∴∠BAD=∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B=∠C（已知），
∠BAD=∠CAD（已证），
AD=AD（公共边），
∴△ABD≌△ACD（AAS）。
∴AB=AC（全等三角形对应边相等）。
其他证法提示：也可通过作 BC 边上的高或中线证明全等，进而得到 AB=AC，课后可尝试不同证法。
幻灯片 5：等腰三角形判定定理的应用（一）—— 证明线段相等
例题 1：如图，在△ABC 中，∠A=36°，∠C=72°，BD 平分∠ABC 交 AC 于 D，求证：AD=BD=BC。
分析：先根据三角形内角和定理求出∠ABC 的度数，再利用角平分线的性质求出相关角的度数，最后根据 “等角对等边” 证明线段相等。
证明：在△ABC 中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
∵∠A=36°，∠C=72°，
∴∠ABC=180°-36°-72°=72°。
∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC（等角对等边）。
∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°。
∴∠A=∠ABD=36°，
∴AD=BD（等角对等边）。
在△BDC 中，∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°，
∴∠BDC=∠C=72°，
∴BD=BC（等角对等边）。
∴AD=BD=BC。
幻灯片 6：等腰三角形判定定理的应用（二）—— 判断三角形形状
例题 2：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE∥AC 交 AB 于 E，求证：△ADE 是等腰三角形。
分析：要证明△ADE 是等腰三角形，需证明 AE=DE，可通过证明∠EAD=∠EDA 来实现，利用角平分线和平行线的性质得到角相等。
证明：∵AD 平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD（角平分线定义）。
∵DE∥AC，
∴∠EDA=∠CAD（两直线平行，内错角相等）。
∴∠EAD=∠EDA（等量代换）。
∴AE=DE（等角对等边）。
∴△ADE 是等腰三角形。
幻灯片 7：等腰三角形判定定理的应用（三）—— 角度计算与判定结合
例题 3：在△ABC 中，∠B=2∠C，AD 是∠BAC 的平分线，求证：AB+BD=AC。
AB=AE（辅助线作法），
∠BAD=∠EAD（已证），
AD=AD（公共边），
∴△ABD≌△AED（SAS）。
∴BD=DE，∠B=∠AED。
∵∠B=2∠C，
∴∠AED=2∠C。
∵∠AED=∠C+∠EDC（三角形外角性质），
∴2∠C=∠C+∠EDC，
∴∠C=∠EDC，
∴DE=EC（等角对等边）。
∵AC=AE+EC，AE=AB，EC=DE=BD，
∴AC=AB+BD，即 AB+BD=AC。
分析：采用截长补短法，在 AC 上截取 AE=AB，连接 DE，先证明△ABD≌△AED，得到 BD=DE，∠B=∠AED，再利用角度关系证明 DE=EC，进而得到 AB+BD=AC。
证明：在 AC 上截取 AE=AB，连接 DE。
∵AD 是∠BAC 的平分线，
∴∠BAD=∠EAD。
在△ABD 和△AED 中，
幻灯片 8：等腰三角形性质与判定的区别与联系
项目
等腰三角形的性质
等腰三角形的判定
条件
两边相等（等腰三角形）
两角相等
结论
两角相等（等边对等角）
两边相等（等角对等边）
作用
由边相等推出角相等
由角相等推出边相等
关系
互逆定理
互逆定理
总结：性质和判定是互逆的，性质是 “已知等腰证边角关系”，判定是 “已知边角关系证等腰”，在解题时需根据题目条件和求证目标灵活选择使用。
幻灯片 9：等腰三角形判定的常见误区
误区一：忽略 “在一个三角形中” 的前提。“等角对等边” 必须在同一个三角形中成立，不能将两个三角形中的角相等转化为边相等。
误区二：错误应用判定定理。如认为有两个角相等的三角形是等边三角形，实际上等边三角形需要三个角都相等（或三边都相等）。
误区三：证明时条件不充分。在证明线段相等时，仅说明两角相等就直接得出边相等，未明确这两个角在同一个三角形中。
幻灯片 10：课堂练习（一）—— 基础应用
题目 1：在△ABC 中，∠A=80°，∠B=50°，判断△ABC 的形状，并说明理由。
题目 2：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=AC。
学生解答：学生独立完成，教师巡视指导，重点检查学生是否能正确应用 “等角对等边” 进行判定。
幻灯片 11：课堂练习（二）—— 综合应用
题目 1：如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是 AB 上一点，DE⊥BC 于 E，ED 的延长线交 CA 的延长线于 F，求证：AD=AF。
题目 2：在△ABC 中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC 于 D，求证：BC=4CD。
分析与提示：题目 1 利用等腰三角形性质和等角的余角相等得到角相等，再用判定定理证明线段相等；题目 2 结合直角三角形性质和等腰三角形判定进行角度和线段关系推导。
幻灯片 12：课堂总结
知识梳理：回顾等腰三角形的判定定理 “等角对等边”，总结其证明方法和应用场景，强调与性质定理 “等边对等角” 的互逆关系。
方法归纳：证明一个三角形是等腰三角形，可通过证明两个角相等，再应用 “等角对等边”；解决综合问题时，需结合等腰三角形的性质、判定以及全等三角形、平行线等知识，灵活运用截长补短等辅助线方法。
能力提升：通过本节课的学习，要能熟练运用判定定理解决三角形形状判定、线段相等证明等问题，提高几何推理的严密性和灵活性。
幻灯片 13：作业布置
基础作业：教材课后习题 [具体页码和题号]，巩固等腰三角形判定定理的理解与基本应用。
提升作业：如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 O，过 O 作 DE∥BC 交 AB 于 D，交 AC 于 E，求证：BD+EC=DE。
拓展作业：探究在一个三角形中，若一个角是另一个角的 2 倍，能否判定该三角形是等腰三角形？举例说明你的结论。
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
15.4.3等腰三角形的判定
第15章　轴对称图形与等腰三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
之前，我们已经学习了等腰三角形、等边三角形的性质.那么怎么样的三角形是等腰三角形或等边三角形呢？
等腰三角形的判定定理及推论
1.三个角都相等的三角形是　等边　三角形.
2.有一个角是60°的等腰三角形是　等边三角形　.
等边　
等边三角形　
1.在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是(　C　)
A.∠A＝40°，∠B＝50°
B.∠A＝40°，∠B＝60°
C.∠A＝20°，∠B＝80°
D.∠A＝40°，∠B＝80°
C
等边三角形的判定
1.由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆OA＝OB＝18 cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°(如图2)，则此时A、B两点之间的距离是　18　cm.
18　
等腰三角形的判定
2.如图，AC＝DB，∠1＝∠2，AC与DB相交于点O.求证:∠3＝∠4.
证明:∵∠1＝∠2，∴BO＝CO.
∵AC＝DB，∴AO＝DO，∴∠3＝∠4.
【变式训练】在上题中，若∠3＝∠4作为已知条件，能证明AC＝BD吗？
解:可以，证明:∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴BO＝CO，AO＝DO，∴AC＝BD.
【方法归纳交流】在一个三角形中，经常用“等边对等角”证明角相等，用“等角对等边”证明边相等.
学法指导:要正确区分等腰三角形的性质和判定，在解题中不可混淆.
1.如图，在锐角△ABC中，∠ABC的平分线与∠C的外角平分线交于点D，过点D作DE∥BC，交AB于点E，交AC于点F.求证:EF＝BE－CF.
证明:∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBG.
又∵DE∥BC，
∴∠DBG＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB，即EB＝ED.
同理CF＝DF.
又∵EF＝DE－DF，∴EF＝BE－CF.
知识点1 等腰三角形的判定
（第1题）
1. 如图， ，
，则图中的等
腰三角形有( )
D
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
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（第2题）
2.如图，一艘海轮位于灯塔的南偏东
方向的 处，它以每小时40海里的速度向
正北方向航行，2小时后到达位于灯塔
的北偏东 方向的处，则 处与灯塔
的距离为____海里.
80
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3.［2024自贡］如图，在 中，
， .
（1）求证： ；
【证明】， .
又， .
.
（2）若 ，平分，请直接写出 的形状.
【解】 是等腰直角三角形.
【点拨】 ， ，
.
又平分 ，
.
， .
.
是等腰直角三角形.
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知识点2 等边三角形的判定
4. 下列条件不能判定 是等边三角形的是( )
D
A. B.
C. ， D.
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5.将含 角的直角三角尺和直尺按如图所
示的方式放置，已知 ，点， 表
示的刻度分别为1，3，则线段 的长为___
.
2
【点拨】 直尺的两对边相互平行， .
又 ，
.
.
是等边三角形. .
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6.［2024长沙］如图，点在线段 上，
，， .
（1）求证： ；
【证明】在与中，
.
（2）若 ，求 的度数.
【解】， ，
， .
是等边三角形. .
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知识点3 含30°角的直角三角形的性质
（第7题）
7. ［2025安庆校级期末］如图，在
中， ，
，是 上一点，连接
，若 ， ，
则 的长为( )
A
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
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选做作业：完成练习册本课时的习题.
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