资源简介

(共21张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：15.4.4 含 30° 角的直角三角形的性质
副标题：探究特殊直角三角形的边与角关系
教师姓名：[教师姓名]
授课日期：[具体日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境引入
复习回顾：前面学习了等腰三角形的性质与判定，以及直角三角形的一些基本特征。直角三角形是一类特殊的三角形，当它的一个锐角为 30° 时，会具有更加特殊的边角关系。本节课将深入探究含 30° 角的直角三角形的独特性质。
情境引入：如图，将两个含 30° 角的全等直角三角尺摆放在一起，使它们的 30° 角顶点重合，较长的直角边重合，观察拼成的图形是什么形状？测量较短直角边与斜边的长度，你发现了什么？通过本节课的学习，我们将揭开含 30° 角的直角三角形的神秘面纱。
学习目标：
理解并掌握含 30° 角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
能运用该性质解决线段长度计算和几何证明问题。
体会从特殊到一般的探究方法，培养几何推理能力。
幻灯片 3：含 30° 角的直角三角形性质探究
探究活动：
画一个含 30° 角的直角三角形 ABC，其中∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°。
用刻度尺测量 BC（∠A 所对的直角边）和 AB（斜边）的长度。
计算 BC 与 AB 的比值，你发现了什么？
换一个含 30° 角的直角三角形重复操作，验证你的发现。
实验结论：在含 30° 角的直角三角形中，30° 角所对的直角边的长度是斜边长度的一半。即 BC = AB。
性质表述：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。符号表示：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，则 BC = AB。
幻灯片 4：含 30° 角的直角三角形性质的证明
已知与求证：
已知：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°。
求证：BC = AB。
证明思路：通过延长较短的直角边，构造等边三角形，利用等边三角形的性质证明结论。
证明过程：延长 BC 至 D，使 CD=BC，连接 AD。
∵∠ACB=90°（已知），
∴∠ACD=180°-∠ACB=90°（平角定义）。
在△ABC 和△ADC 中，
BC=CD（辅助线作法），
∠ACB=∠ACD（已证），
AC=AC（公共边），
∴△ABC≌△ADC（SAS）。
∴AB=AD（全等三角形对应边相等），∠BAD=2∠BAC=2×30°=60°（全等三角形对应角相等）。
∴△ABD 是等边三角形（有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形）。
∴AB=BD（等边三角形三边相等）。
∵BD=BC+CD=BC+BC=2BC，
∴AB=2BC，即 BC = AB。
图示说明：在图形中标注辅助线和全等三角形的对应部分，结合证明过程，让学生直观理解性质的推导过程。
幻灯片 5：含 30° 角的直角三角形性质的应用（一）—— 计算线段长度
例题 1：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10cm，求 BC 和 AC 的长度。
分析：根据含 30° 角的直角三角形的性质，BC 是 30° 角所对的直角边，所以 BC = AB，再利用勾股定理求出 AC 的长度。
解答过程：∵在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10cm，
∴BC = AB = ×10 = 5cm（含 30° 角的直角三角形性质）。
由勾股定理得：AC = √(AB - BC ) = √(10 - 5 ) = √75 = 5√3 cm。
幻灯片 6：含 30° 角的直角三角形性质的应用（二）—— 实际问题应用
例题 2：如图，某登山队在山脚 A 处测得山顶 B 的仰角为 30°，沿倾斜角为 30° 的斜坡前进 1000m 后到达 D 处，又测得山顶 B 的仰角为 60°，求山的高度 BC。
分析：先根据已知条件判断△BDE 和△ABD 的形状，利用含 30° 角的直角三角形性质求出相关线段长度，进而得到山的高度。
解答过程：过 D 作 DE⊥AC 于 E，DF⊥BC 于 F。
∵∠BAD=30°，AD=1000m，∠AED=90°，
∴DE = AD = 500m（30° 角所对直角边等于斜边一半），即 FC=DE=500m。
∵∠BDF=60°，∠BFD=90°，
∴∠DBF=30°。
∵∠BAC=30°，∠ABC=60°，
∴∠ABD=∠ABC - ∠DBF=60°-30°=30°，
∴∠BAD=∠ABD=30°，
∴AD=BD=1000m（等角对等边）。
在 Rt△BDF 中，∠DBF=30°，
∴DF = BD=500m（30° 角所对直角边等于斜边一半），即 BF=DF=500m？不，∠BDF=60°，则∠DBF=30°，所以 DF 是 30° 角所对的直角边？不，∠DBF=30°，所对的直角边是 DF，所以 DF = BD=500m，而 BF 是 60° 角所对的直角边，BF = √3DF=500√3 m？这里可能分析有误，重新梳理。
正确分析：∠BDF=60°，∠BFD=90°，则∠DBF=30°，所以 DF 是∠DBF 的对边，BD 是斜边，所以 DF = BD=500m，BF = √(BD - DF )=√(1000 - 500 )=500√3 m。
∴BC=BF+FC=500√3 + 500 = 500 (√3 + 1) m。
幻灯片 7：含 30° 角的直角三角形性质的应用（三）—— 几何证明
例题 3：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD 是 AB 边上的高，求证：BD = AB。
分析：先利用含 30° 角的直角三角形性质得到 BC = AB，再在 Rt△BCD 中，利用∠B=60° 得到∠BCD=30°，进而得到 BD = BC，从而证明结论。
证明：∵在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴BC = AB（含 30° 角的直角三角形性质），∠B=60°。
∵CD 是 AB 边上的高，
∴∠CDB=90°，
∴∠BCD=90°-∠B=30°。
在 Rt△BCD 中，∠BCD=30°，
∴BD = BC（含 30° 角的直角三角形性质）。
∴BD = × AB = AB。
幻灯片 8：含 30° 角的直角三角形性质的逆命题探究
逆命题提出：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30°。这个命题是否成立？
证明验证：
已知：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC = AB。
求证：∠A=30°。
证明：延长 BC 至 D，使 CD=BC，连接 AD（同前面的辅助线）。
易证△ABD 是等边三角形，∴∠BAD=60°。
∵AC⊥BD，
∴AC 平分∠BAD（等边三角形三线合一），
∴∠BAC=30°。
结论：该逆命题成立，可作为含 30° 角的直角三角形的判定依据。即在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 BC = AB，则∠A=30°。
幻灯片 9：含 30° 角的直角三角形性质的常见误区
误区一：忽略 “直角三角形” 的前提。该性质仅在直角三角形中成立，在锐角或钝角三角形中，即使有一个角是 30°，也不能得出 30° 角所对的边等于另一边的一半。
误区二：混淆 “所对的直角边”。要明确是 30° 角所对的直角边等于斜边的一半，而不是其他角所对的边。
误区三：应用时条件不完整。在使用性质时，需先明确三角形是直角三角形且有一个锐角为 30°，再得出边的关系。
幻灯片 10：课堂练习（一）—— 基础应用
题目 1：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AC=5cm，求 AB 和 BC 的长度。
题目 2：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交 AC 于 D，交 AB 于 E，∠A=30°，求证：AD=2CD。
学生解答：学生独立完成，教师巡视指导，重点检查学生是否能正确识别 30° 角所对的直角边，并准确应用性质。
幻灯片 11：课堂练习（二）—— 综合应用
题目 1：如图，在△ABC 中，∠A=120°，AB=AC，AB 的垂直平分线交 BC 于 D，交 AB 于 E，求证：BD = DC。
题目 2：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，点 D 是 AC 的中点，连接 BD，求证：BD 平分∠ABC。
分析与提示：题目 1 先利用等腰三角形性质求出底角，再结合垂直平分线性质和含 30° 角的直角三角形性质证明；题目 2 通过计算角度或线段长度关系证明角平分线。
幻灯片 12：课堂总结
知识梳理：回顾含 30° 角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半，以及其逆命题的成立。总结性质的证明方法和应用场景。
方法归纳：解决含 30° 角的直角三角形问题时，要善于识别 30° 角及其所对的直角边和斜边，利用性质进行线段长度的转化和计算，结合等腰三角形、垂直平分线等知识综合解题。
能力提升：通过本节课的学习，要能熟练运用该性质解决各类几何问题，体会特殊三角形的性质在解题中的简化作用，提高几何推理和计算能力。
幻灯片 13：作业布置
基础作业：教材课后习题 [具体页码和题号]，巩固含 30° 角的直角三角形性质的理解与基本应用。
提升作业：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6cm，点 P 从点 C 出发沿 CA 方向以 1cm/s 的速度向点 A 运动，点 Q 从点 A 出发沿 AB 方向以 2cm/s 的速度向点 B 运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为 t s，当 t 为何值时，△APQ 是含 30° 角的直角三角形？
拓展作业：探究在含 45° 角的直角三角形中是否存在类似的特殊性质，写出你的猜想并尝试证明。
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
15.4.4含30°角的直角三角形的性质
第15章　轴对称图形与等腰三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
本节课，我们将学习30°角的特殊作用.
含 30°角的直角三角形的性质定理　
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
·导学建议·
30°角的应用应得到重视，可从三角形拼接和作等边三角形的角平分线两个角度来验证直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.若直角三角形中存在60°的锐角，则另一个锐角为30°.
1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2.5，∠B＝30°，P是BC边上的动点，则AP的长不可能是(　D　)
A.3 B.3.5
C.4.8 D.5.2
D
含30°角的直角三角形的性质应用
1.如图，在△ABC中，BC＝6，AB＝4，∠B＝30°，求△ABC的面积.
　
解:如图，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB＝90°.
∵∠B＝30°，
∴AD＝ AB＝×4＝2.
∴S△ABC＝BC·AD＝×6×2＝6，
即△ABC的面积为6.
【方法归纳交流】根据化斜为直的思想，作出BC的高，再利用含30°角的直角三角形的性质求出高的长度.
2.对于“课本本节的例4”，若这艘船到达B处后继续向北航行，中午12:00到达B1处，从B1处测得礁石C在南偏西60°的方向上.
(1)画出此时船的位置.
(2)求从B1处到礁石C的距离.
解:(1)如图，过点C作AC的垂线，交AB的延长线于点B1，则B1为船的位置.
(2)在Rt△ACB1中，
∵∠CAB＝30°，
∴B1C＝AB1＝×10×(12－8)＝20.
3.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，∠ABC＝15°，求△ABC的面积.
　
解:如图，过点C作CE⊥BA，交BA的延长线于点E.
∵AB＝AC，∠ABC＝15°，∴∠EAC＝30°，
∴CE＝AC＝×10＝5(cm).
∴S△ABC＝AB·CE＝×10×5＝25(cm2).
12. 如图， 为等腰三角形，
，为的一条角平分线，延长到点 ，使
，过点作，垂足为，连接 .
（1）求证：为 的中点.
【证明】， .
平分， .
， .
， ，
.
为等腰三角形.
又，为 的中点.
（2）探究：当为多少度时， ？请加以证明.
【解】当 时， .证
明如下：
在和 中，
， .
，， 为等腰直角三角形.
.
又 ， 为等腰
直角三角形.
.
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13.（1） 【观察与发现】
小明将三角形纸片沿过点 的直线折叠，使得
落在边上，折痕为 ,展开纸片（如图①）,再次折叠该
三角形纸片，使点和点重合，折痕为,与 相交于
点,展开纸片后得到（如图②）,小明认为 是等
腰三角形，你同意吗 请说明理由.
【解】同意.理由：连接， ,如图,由第
一次折叠可知平分, .由
第二次折叠可知, ,
.
在和 中,
.
是等腰三角形.
（2）【实践与运用】
将长方形纸片沿过点的直线折叠,使点落在 边上
的点处,折痕为,可得正方形（如图③）,再沿过点
的直线折叠,使点落在上的点处,折痕为 （如图④）,
再展开纸片（如图⑤）,求图⑤中 的度数.
【解】由第一次折叠可得 ,
.
由第二次折叠知， .
,
.
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必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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