资源简介

(共23张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：11.1.1 同底数幂的乘法
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：含有幂运算符号（如\(a^n\)）和乘号的背景图，点缀指数、底数相关元素
幻灯片 2：目录
情境引入：幂的实际背景
复习回顾：乘方的概念与表示
同底数幂乘法法则的推导
同底数幂乘法法则的表述
典型例题讲解
课堂互动：计算与辨析
课堂总结与归纳
课后作业布置
幻灯片 3：情境引入：幂的实际背景
实际问题 1：一种电子计算机每秒可进行\(10^8\)次运算，它工作\(10^3\)秒可进行多少次运算？
分析：运算总次数 = 每秒运算次数 × 工作时间，即\(10^8 10^3\)。
思考：如何计算\(10^8 10^3\)？
实际问题 2：边长为\(a^2\)的正方形，其面积是多少？若边长扩大为原来的\(a^3\)倍，新的边长是多少？（涉及\(a^2 a^3\)的计算）
引入概念：像\(10^8\)、\(10^3\)、\(a^2\)、\(a^3\)这样的式子都是幂，且底数相同，它们的乘法运算就是同底数幂的乘法。
配图：电子计算机运算示意图、正方形边长变化示意图，标注对应的幂运算式子
幻灯片 4：复习回顾：乘方的概念与表示
乘方的定义：求\(n\)个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
幂的表示：\(n\)个\(a\)相乘记作\(a^n\)，其中\(a\)叫做底数，\(n\)叫做指数，\(a^n\)读作 “\(a\)的\(n\)次幂” 或 “\(a\)的\(n\)次方”。
示例：
\(2^3 = 2 2 2\)（底数是 2，指数是 3，表示 3 个 2 相乘）。
\( (-3)^4 = (-3) (-3) (-3) (-3) \)（底数是 - 3，指数是 4，表示 4 个 - 3 相乘）。
\( a^5 = a a a a a \)（底数是\(a\)，指数是 5，表示 5 个\(a\)相乘）。
注意事项：底数可以是有理数、无理数或代数式；指数是正整数，表示相同因数的个数。
配图：乘方概念示意图，标注底数、指数和幂的位置
幻灯片 5：同底数幂乘法法则的推导
实例分析：
计算\(10^8 10^3\)：
根据乘方定义：\(10^8 = 10 10 10\)（8 个 10），\(10^3 = 10 10 10\)（3 个 10）。
相乘得：\(10^8 10^3 = (10 10 10) (10 10 10) = 10 10 10\)（共 8+3=11 个 10） = \(10^{11}\)。
计算\(a^2 a^3\)：
\(a^2 = a a\)（2 个\(a\)），\(a^3 = a a a\)（3 个\(a\)）。
相乘得：\(a^2 a^3 = (a a) (a a a) = a a a a a = a^5 = a^{2+3}\)。
规律总结：
当\(m\)、\(n\)是正整数时，\(a^m a^n = (a a a) (a a a)\)（\(m\)个\(a\)）（\(n\)个\(a\)） = \(a a a\)（共\(m + n\)个\(a\)） = \(a^{m + n}\)。
推导结论：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
配图：幂乘法的展开式示意图，标注指数相加的过程
幻灯片 6：同底数幂乘法法则的表述
文字语言：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
符号语言：\(a^m a^n = a^{m + n}\)（其中\(a\)是任意实数，\(m\)、\(n\)都是正整数）。
法则拓展：当有多个同底数幂相乘时，法则仍然适用，即\(a^m a^n a^p = a^{m + n + p}\)（\(m\)、\(n\)、\(p\)都是正整数）。
注意事项：
前提条件：必须是 “同底数幂” 相乘，即底数相同的幂才能应用此法则。
底数范围：底数\(a\)可以是具体的数（正数、负数、0），也可以是单项式或多项式。
指数要求：指数\(m\)、\(n\)必须是正整数。
示例：\(2^3 2^5 = 2^{3 + 5} = 2^8\)；\(x^2 x^4 x = x^{2 + 4 + 1} = x^7\)（注意\(x = x^1\)）。
配图：法则文字与符号表述对比图，多个同底数幂相乘的示例
幻灯片 7：典型例题讲解（一）—— 直接应用法则
例题 1：计算下列各题。
（1）\(10^5 10^6\) 解：原式 = \(10^{5 + 6} = 10^{11}\)。
（2）\(a^7 a^3\) 解：原式 = \(a^{7 + 3} = a^{10}\)。
（3）\(x^3 x\) 解：原式 = \(x^{3 + 1} = x^4\)（注意\(x = x^1\)）。
（4）\(y^2 y^3 y^4\) 解：原式 = \(y^{2 + 3 + 4} = y^9\)。
例题 2：计算下列各题（底数为负数）。
（1）\((-2)^3 (-2)^5\) 解：原式 = \((-2)^{3 + 5} = (-2)^8 = 256\)（底数为负数时，先按法则计算指数，再确定符号）。
（2）\((-a)^2 (-a)^4\) 解：原式 = \((-a)^{2 + 4} = (-a)^6 = a^6\)（负数的偶次幂为正数）。
配图：例题 1 和例题 2 的计算步骤，标注法则应用过程
幻灯片 8：典型例题讲解（二）—— 底数为多项式或特殊形式
例题 3：计算下列各题（底数为多项式）。
（1）\((x + y)^3 (x + y)^5\) 解：把\((x + y)\)看作一个整体，原式 = \((x + y)^{3 + 5} = (x + y)^8\)。
（2）\((a - b)^2 (a - b) (a - b)^3\) 解：原式 = \((a - b)^{2 + 1 + 3} = (a - b)^6\)。
例题 4：判断下列计算是否正确，若不正确请改正。
（1）\(a^3 a^3 = a^9\) 解：不正确，应为\(a^3 a^3 = a^{3 + 3} = a^6\)（指数相加而非相乘）。
（2）\(a^2 + a^2 = a^4\) 解：不正确，这是加法运算，不能用同底数幂乘法法则，应为\(a^2 + a^2 = 2a^2\)。
（3）\(x^5 x^5 = 2x^5\) 解：不正确，应为\(x^5 x^5 = x^{5 + 5} = x^{10}\)（混淆乘法与加法）。
配图：例题 3 中多项式底数的整体标注，例题 4 的错误分析与改正对比
幻灯片 9：典型例题讲解（三）—— 法则的逆应用
例题 5：已知\(a^m = 3\)，\(a^n = 5\)，求\(a^{m + n}\)的值。
解题步骤：
根据同底数幂乘法法则的逆应用：\(a^{m + n} = a^m a^n\)。
代入已知值：\(a^{m + n} = 3 5 = 15\)。
例题 6：若\(2^x = 4\)，\(2^y = 8\)，求\(2^{x + y}\)的值。
解题步骤：
方法一：先求\(x\)、\(y\)的值，\(4 = 2^2\)则\(x = 2\)；\(8 = 2^3\)则\(y = 3\)，因此\(2^{x + y} = 2^{5} = 32\)。
方法二：逆用法则，\(2^{x + y} = 2^x 2^y = 4 8 = 32\)。
说明：逆用法则\(a^{m + n} = a^m a^n\)可简化计算，尤其适用于已知幂的值求相关幂的情况。
配图：例题 5 和例题 6 的逆应用推导过程
幻灯片 10：课堂互动：计算与辨析
活动一：基础计算：
练习 1：计算\(10^2 10^7\)；\(b^4 b^5\)；\(m m^3 m^5\)。
练习 2：计算\((-3)^2 (-3)^4\)；\((-x)^3 (-x)^5\)。
活动二：辨析纠错：
指出错误并改正：
（1）\(c^2 c^3 = c^6\)（错误，应为\(c^5\)）。
（2）\((-2)^7 (-2)^3 = (-2)^{21}\)（错误，应为\((-2)^{10} = 1024\)）。
（3）\(a^3 + a^3 = a^6\)（错误，应为\(2a^3\)）。
活动三：能力提升：
练习 3：已知\(x^a = 2\)，\(x^b = 3\)，求\(x^{a + b}\)的值。
练习 4：计算\((a + b)^2 (a + b)^3 (a + b)\)。
配图：练习题展示图，附带答题区和纠错提示
幻灯片 11：课堂总结与归纳
知识要点回顾：
同底数幂的定义：底数相同的幂（如\(a^m\)与\(a^n\)，底数都是\(a\)）。
乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加（\(a^m a^n = a^{m + n}\)，\(m\)、\(n\)为正整数）。
法则拓展：多个同底数幂相乘，\(a^m a^n a^p = a^{m + n + p}\)。
逆用法则：\(a^{m + n} = a^m a^n\)，用于已知幂的值求相关幂。
方法总结：计算同底数幂乘法时，先确认底数是否相同，再按 “底数不变、指数相加” 计算；底数为负数或多项式时，可将其视为整体应用法则；注意区分乘法与加法运算。
易错提醒：
底数不同时误用法则（如\(a^2 b^3\)不能用同底数幂乘法法则）。
指数相加与相乘混淆（如\(a^3 a^4 = a^7\)而非\(a^{12}\)）。
混淆幂的乘法与整式加法（如\(x^2 + x^2 = 2x^2\)而非\(x^4\)）。
幻灯片 12：课后作业布置
基础作业：课本 [具体页码] 习题 [具体题号]，完成同底数幂乘法的基本计算题。
提升作业：
计算：\((-a)^3 (-a)^2 (-a)\)；\((x - y)^4 (x - y)^2 (y - x)^3\)（提示：\((y - x)^3 = - (x - y)^3\)）。
若\(2^{x + 1} = 16\)，求\(x\)的值。
拓展作业：
探索规律：计算\(2^1 2^2 2^3 2^{10}\)，并用幂的形式表示结果。
思考：当指数为 0 或负整数时，同底数幂的乘法法则是否仍然适用？查阅资料并举例说明。
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
11.1.1 同底数幂的乘法
第11章 整式的乘除
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1．掌握同底数幂的乘法运算法则；
2．学会利用同底数幂的乘法运算法则来计算；
某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林地的长、宽分别增加n米和b米.用两种方法表示这块林地现在的面积，你知道下面的等式蕴含着什么样的运算法则吗？
m
n
b
am
bm
an
bn
(m+n)(a+b) =ma+mb+na+nb
a
“盘古开天辟地”的故事：公元前一百万年，没有天没有地，整个宇宙是混浊的一团，突然间窜出来一个巨人，他的名字叫盘古，他手握一把巨斧，用力一劈，把混沌的宇宙劈成两半，上面是天，下面是地，从此宇宙有了天地之分，盘古完成了这样一个壮举，累死了，他的左眼变成了太阳，右眼变成了月亮，毛发变成了森林和草原，骨头变成了高山和高原，肌肉变成了平原与谷地，血液变成了河流.
知识点一 同底数幂的乘法
盘古的左眼变成了太阳，那么，太阳离我们多远呢？你可以计算一下，太阳到地球的距离是多少？
光的速度为3×105千米/秒，太阳光照射到地球大约需要5×102秒，你能计算出地球距离太阳大约有多远呢？
3×105×5×102=15×105×102=15×？
105×102
思考探究
105×102
105×102
=10×10×10×10×10×10×10
=107
探究新知
试一试
根据幂的意义填空：
（1）23×24=
（2×2×2）×（2×2×2×2）
=2×2×2×2×2×2×2
=27
=3+4
3
4
3个2
4个2
7个2
（3）(-3)3×(-3)4
（2）53×54=
（5×5×5）×（5×5×5×5）
=5×5×5×5×5×5×5
=57
=3+4
3
4
3个5
4个5
7个5
=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)×(-3)×(-3)×(-3)
=[(-3)×(-3)×(-3)]×[(-3)×(-3)×(-3)×(-3)]
=(-3)7
（5）a3·a4=
（a · a · a）（a · a · a · a）
=a · a · a · a · a · a · a
=a7
=3+4
3
4
3个a
4个a
7个a
（4）
am·an=（a · a · a· … · a）（a · a · a· … · a）
=a · a · a· … · a
=am+n
am·an=am+n（m、n为正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
可得
m个a
n个a
(m+n)个a
典例精析
【例1】若，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】解：∵，
∴，
∴4m+2=10，
∴解得：m=2，
故选B．
练一练
1．若2×4×8×16=，则m= ．
【详解】解：∵2×4×8×16= ，
∴2×22×23×24=2m，
∴210=2m，
∴m=10；
故答案为：10．
2．计算下列各式，结果用幂的形式表示．
(1)；
(2)；
(3)．
【详解】（1）解：原式=a3·a5
=a8；
（2）解：原式=(y-x)2(y-x)3
=(y-x)5；
（3）解：原式=(x-2y)2+m-1+m+2
=a2m+3．
1．计算所得结果是（ ）
A．22024 B．-22024 C．22025 D．-22025
【详解】解：原式=
=[1+(-2)]
=-22024
故选：B
1. 若 ，则？是( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2. 式子 的运算结果与下列运算结果一致的是( )
A. 3个相乘 B. 6个 相乘
C. 5个相乘 D. 2个 相乘
√
√
返回
3. 若，是正整数，且，则，
的值有( )
A. 4对 B. 3对 C. 2对 D. 1对
4. 当，为正整数时， 的值为( )
A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数
5.已知，，那么 的值为_____.
6.若，，则______.（用含 的式子表示）
7. 若，则 ___.
5
√
√
返回
8. 计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） ；
原式 .
（4） .
原式 .
同底数幂的特点：（1）相同:各因式中幂的底数必
须相同.（2）不变:相乘时,底数不能发生变化.（3）求和:各因
式中幂的指数和作为结果幂的指数.
返回
9.求下列各式中 的值：
（1） ；
【解】， ，
则，解得 .
（2） .
， ，
则，解得 .
返回
10. 电子文件的大小常用B，，， 等作为单位，其中
，， .某视频文件
的大小约为， 等于( )
A. B. C. D.
√
返回
am·an=am+n（m、n为正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
同底数幂的乘法
公式：
文字描述：
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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