资源简介

(共25张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：11.1.2 幂的乘方
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：含有多层幂运算符号（如\((a^m)^n\)）的背景图，突出指数的层级关系
幻灯片 2：目录
情境引入：幂的乘方实际背景
复习回顾：同底数幂乘法法则
幂的乘方法则的推导
幂的乘方法则的表述
幂的乘方与同底数幂乘法的区别
典型例题讲解
课堂互动：计算与辨析
课堂总结与归纳
课后作业布置
幻灯片 3：情境引入：幂的乘方实际背景
实际问题 1：一个正方体的棱长为\(a^2\)厘米，它的体积是多少立方厘米？
分析：正方体体积 = 棱长 ，即\((a^2)^3\)。
思考：如何计算\((a^2)^3\)？
实际问题 2：若一个细胞每小时分裂一次，每次分裂后数量变为原来的\(2^3\)倍，那么 3 小时后细胞数量是原来的多少倍？（涉及\((2^3)^3\)的计算）
引入概念：像\((a^2)^3\)、\((2^3)^3\)这样，底数是幂的形式，再进行乘方运算，就是幂的乘方。
配图：正方体体积计算示意图、细胞分裂数量变化示意图，标注对应的幂的乘方式子
幻灯片 4：复习回顾：同底数幂乘法法则
法则内容：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
符号表示：\(a^m a^n = a^{m + n}\)（\(m\)、\(n\)为正整数）。
示例应用：
\(2^3 2^5 = 2^{3 + 5} = 2^8\)
\(x^2 x^4 x = x^{2 + 4 + 1} = x^7\)
\((-a)^2 (-a)^3 = (-a)^{2 + 3} = (-a)^5 = -a^5\)
引入新问题：当遇到\((a^m)^n\)这样的式子时，能否用同底数幂乘法法则推导其结果？
配图：同底数幂乘法法则回顾表，示例计算过程标注
幻灯片 5：幂的乘方法则的推导
实例分析：
计算\((a^2)^3\)：
根据乘方定义：\((a^2)^3 = a^2 a^2 a^2\)（3 个\(a^2\)相乘）。
应用同底数幂乘法法则：\(a^2 a^2 a^2 = a^{2 + 2 + 2} = a^{6} = a^{2 3}\)。
计算\((10^3)^4\)：
乘方定义展开：\((10^3)^4 = 10^3 10^3 10^3 10^3\)（4 个\(10^3\)相乘）。
同底数幂乘法：\(10^3 10^3 10^3 10^3 = 10^{3 + 3 + 3 + 3} = 10^{12} = 10^{3 4}\)。
规律总结：
当\(m\)、\(n\)是正整数时，\((a^m)^n = a^m a^m a^m\)（\(n\)个\(a^m\)相乘） = \(a^{m + m + + m}\)（\(n\)个\(m\)相加） = \(a^{m n}\)。
推导结论：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
配图：幂的乘方展开式示意图，标注指数相乘的过程
幻灯片 6：幂的乘方法则的表述
文字语言：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
符号语言：\((a^m)^n = a^{m n}\)（其中\(a\)是任意实数，\(m\)、\(n\)都是正整数）。
法则拓展：多重幂的乘方仍适用，即\(((a^m)^n)^p = a^{m n p}\)（\(m\)、\(n\)、\(p\)都是正整数）。
注意事项：
运算对象：底数是幂的形式，进行乘方运算（与同底数幂乘法的 “底数相同的幂相乘” 区分）。
底数范围：底数\(a\)可以是具体的数、单项式或多项式（视为整体）。
指数关系：指数相乘而非相加，注意与同底数幂乘法的区别。
示例：\((2^3)^2 = 2^{3 2} = 2^6\)；\((x^5)^4 = x^{5 4} = x^{20}\)；\(((a^2)^3)^4 = a^{2 3 4} = a^{24}\)。
配图：法则文字与符号表述对比图，多重幂的乘方示例
幻灯片 7：幂的乘方与同底数幂乘法的区别
核心区别对比：
运算类型
形式特征
运算规则
指数变化
示例
同底数幂乘法
\(a^m a^n\)
底数不变，指数相加
指数和（\(m + n\)）
\(2^3 2^4 = 2^{3 + 4} = 2^7\)
幂的乘方
\((a^m)^n\)
底数不变，指数相乘
指数积（\(m n\)）
\((2^3)^4 = 2^{3 4} = 2^{12}\)
易混点辨析：
错误 1：\((a^3)^4 = a^{3 + 4} = a^7\)（纠正：应为指数相乘，\(a^{3 4} = a^{12}\)）。
错误 2：\(a^3 a^4 = a^{3 4} = a^{12}\)（纠正：应为指数相加，\(a^{3 + 4} = a^7\)）。
判断方法：观察运算符号，乘法运算用加法法则，乘方运算用乘法法则。
配图：两种运算对比表格，错误示例纠正图
幻灯片 8：典型例题讲解（一）—— 直接应用法则
例题 1：计算下列各题。
（1）\((10^5)^2\) 解：原式 = \(10^{5 2} = 10^{10}\)。
（2）\((a^7)^3\) 解：原式 = \(a^{7 3} = a^{21}\)。
（3）\((x^4)^4\) 解：原式 = \(x^{4 4} = x^{16}\)。
（4）\(((x^2)^3)^5\) 解：原式 = \(x^{2 3 5} = x^{30}\)。
例题 2：计算下列各题（底数为负数或含负号）。
（1）\((-2^3)^2\) 解：先算底数\(-2^3 = -8\)，原式 = \((-8)^2 = 64\)（注意：底数是\(-2^3\)而非\((-2)^3\)）。
（2）\(((-a)^2)^3\) 解：原式 = \((-a)^{2 3} = (-a)^6 = a^6\)（负数的偶次幂为正数）。
配图：例题 1 和例题 2 的计算步骤，标注法则应用过程
幻灯片 9：典型例题讲解（二）—— 法则的综合应用与逆用
例题 3：计算下列各题（混合运算）。
（1）\((a^2)^3 a^5\) 解：先算幂的乘方，再算同底数幂乘法，原式 = \(a^6 a^5 = a^{11}\)。
（2）\((x^3)^4 + (x^4)^3\) 解：分别计算幂的乘方，再合并同类项，原式 = \(x^{12} + x^{12} = 2x^{12}\)。
例题 4：逆用幂的乘方法则计算。
（1）已知\(a^m = 2\)，求\(a^{3m}\)的值。 解：\(a^{3m} = (a^m)^3 = 2^3 = 8\)。
（2）若\(2^x = 3\)，求\(2^{3x}\)的值。 解：\(2^{3x} = (2^x)^3 = 3^3 = 27\)。
说明：逆用法则\(a^{mn} = (a^m)^n = (a^n)^m\)可将指数变形，简化计算。
配图：例题 3 的运算顺序标注，例题 4 的逆应用推导过程
幻灯片 10：典型例题讲解（三）—— 底数为多项式及化简求值
例题 5：计算下列各题（底数为多项式）。
（1）\(((x + y)^2)^3\) 解：把\((x + y)\)看作整体，原式 = \((x + y)^{2 3} = (x + y)^6\)。
（2）\((a - b)^3 [(a - b)^2]^4\) 解：先算幂的乘方，再算同底数幂乘法，原式 = \((a - b)^3 (a - b)^8 = (a - b)^{11}\)。
例题 6：化简求值：已知\(x^{2n} = 3\)，求\((x^{3n})^2 - 4(x^2)^{2n}\)的值。
解题步骤：
化简式子：\((x^{3n})^2 - 4(x^2)^{2n} = x^{6n} - 4x^{4n} = (x^{2n})^3 - 4(x^{2n})^2\)。
代入已知值：\(3^3 - 4 3^2 = 27 - 4 9 = 27 - 36 = -9\)。
配图：例题 5 中多项式底数的整体标注，例题 6 的化简与代入过程
幻灯片 11：课堂互动：计算与辨析
活动一：基础计算：
练习 1：计算\((10^3)^5\)；\((b^4)^2\)；\(((m^2)^3)^4\)。
练习 2：计算\((-a^2)^3\)；\(((x - y)^3)^2\)。
活动二：辨析纠错：
指出错误并改正：
（1）\((c^2)^3 = c^5\)（错误，应为\(c^{2 3} = c^6\)）。
（2）\(a^3 a^4 = a^{12}\)（错误，应为\(a^{3 + 4} = a^7\)）。
（3）\((-2^2)^3 = (-2)^6 = 64\)（错误，底数是\(-2^2 = -4\)，应为\((-4)^3 = -64\)）。
活动三：能力提升：
练习 3：已知\(a^m = 4\)，求\(a^{2m}\)和\(a^{4m}\)的值。
练习 4：计算\((x^2)^3 x^5 - (x^3)^3\)。
配图：练习题展示图，附带答题区和纠错提示
幻灯片 12：课堂总结与归纳
知识要点回顾：
幂的乘方定义：底数为幂的形式的乘方运算（如\((a^m)^n\)）。
运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘（\((a^m)^n = a^{m n}\)，\(m\)、\(n\)为正整数）。
法则拓展：多重幂的乘方\(((a^m)^n)^p = a^{m n p}\)。
逆用法则：\(a^{mn} = (a^m)^n = (a^n)^m\)，用于化简求值。
与同底数幂乘法的区别：指数运算不同（乘方用乘法，乘法用加法）。
方法总结：进行幂的运算时，先判断运算类型（乘法或乘方），再选择对应法则；底数为多项式时视为整体；混合运算先算乘方再算乘法；逆用法则可简化求值问题。
易错提醒：
混淆指数运算（乘方用加法或乘法用乘法）。
底数含负号时符号处理错误（区分\((-a)^n\)与\(-a^n\)）。
混合运算顺序错误（未先算乘方再算乘法）。
幻灯片 13：课后作业布置
基础作业：课本 [具体页码] 习题 [具体题号]，完成幂的乘方的基本计算题。
提升作业：
计算：\((-x^2)^3 (x^3)^2\)；\(((a + b)^2)^3 (a + b)^4\)。
若\(3^x = 5\)，求\(3^{3x + 2}\)的值（提示：结合同底数幂乘法法则）。
拓展作业：
比较\(2^{30}\)与\(3^{20}\)的大小（提示：转化为同指数幂\(2^{30} = (2^3)^{10}\)，\(3^{20} = (3^2)^{10}\)）。
探索规律：计算\(((a^2)^3)^4 ((a^3)^2)^5\)，并用幂的形式表示结果，总结指数变化规律。
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
11.1.2 幂的乘方
第11章 整式的乘除
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1．理解并掌握幂的乘方的概念与意义；
2．熟练运用幂的乘方运算法则进行计算；
温故知新
am·an=am+n（m、n为正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
同底数幂的乘法
公式：
文字描述：
　
解：设地球的半径为1，则木星的半径就是10.
大家知道太阳、木星和月亮的体积的大致比例吗？我可以告诉你，木星的半径是地球半径的10倍，太阳的半径是地球半径的102倍，假如地球的半径为r，那么，请同学们计算一下太阳和木星的体积是多少？
（球的体积公式为 ）
因此，木星的体积为V木星=
太阳的体积为V太阳=
知识点一 幂的乘方运算法则
（1）（a3）2
=a3·a3
（4）请同学们猜想并通过以上方法验证：
am·am·am am
n个am
…
· ·
…
= am+m+ +m
n个m
=am·am
（2）（am）2
=amn
（am）n=
=a3+3
=a6
=am+m
= a2m
(m是正整数)
（3）请你观察上述结果的底数与指数有何变化？
自主探究
试一试
根据乘方的意义及同底数幂的乘法法则填空：
（1）（23）2
=23×23
=2×2×2×2×2×2
=26
2个23
am·an=am+n（m、n为正整数）
=3×2
（2）（52）3
（3）（a3）4
=52×52×52
=5×5×5×5×5×5
=56
3个52
=2×3
=a3·a3·a3·a3
4个a3
=a3×4
=a12
（am）n
=am+…+m+m
=amn
可得
n个am
=am·am·…·am
幂的乘方法则
符号语言：(am)n= amn　(m，n都是正整数）
文字语言：幂的乘方，底数＿＿，指数＿＿.
不变
相乘
归纳总结
典例精析
【例1】下列计算中正确的是（ ）
A．(-an)2=an+2 B．(-a3)4=(-a4)3
C．(a4)4=a4·a4 D．(a4)4=(a2)8
【详解】解：A、(-an)2=a2n≠an+2，故计算错误；
B、(-a3)4=a12，(-a4)3=-a12 ， ∴(-a3)4≠(-a4)3，故计算错误；
C、(a4)4=a4·a4·a4·a4=a16≠a4·a4，故计算错误；
D、(a4)4=a16，(a2)8=a16，∴(a4)4=(a2)8，故计算正确.
故选：D．
【例2】若ax=4,ay=3，则ax+2y的值为 ．
【详解】解：∵ax=4,ay=3，
∴ax+2y=ax·(ay)2=4×32=36，
故答案为36．
练一练
1．已知3m=4，3n=，分别求：
(1)3m+n．
(2)32m+3n．
【详解】（1）解：∵3m=4，3n= ，
∴3m+n=3m×3n=4×=2；
（2）解：∵3m=4，3n= ，
∴32m+3n=32m×33n=(3m)2×(3n)3
=16×（）3=2．
1．若am=2，an=3．则a2m+3n的值为（ ）
A．13 B．31 C．100 D．108
【详解】解：∵am=2，an=3，
∴a2m+3n=(am)2(an)3=23×33=4×27=108.
故选：D．
1. 计算 的结果是( )
A. B. C. D.
2. 下列各式中，计算结果等于 的是( )
A. B. C. D.
3. ［2025石家庄新华区月考］如果正方体的棱长是 ，
那么这个正方体的体积是( )
A. B. C. D.
√
√
√
返回
4. 下列算式：
； ；
； .其中正确的是
( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ②④ D. ②③
√
【点拨】 ，则原算式错误；
，则原算式正确；
，则原算式正确；
，则原算式错误.综上，正确的是
②③.
返回
5.若，，则 ____.
6.若，则 的值为____.
40
27
返回
7.计算.
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） ；
原式 .
（4） .
原式
.
运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘
方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项
式，也可以是多项式.
返回
8.若且，，是正整数，则 .利
用此结论解决下列问题：
（1）若，求 的值；
【解】 .
， ，解得
.
（2）若，求 的值.
.
，，解得 .
返回
9. 若，，则 等于( )
A. B. C. D.
【点拨】 ，
，，， .
设，则 ，
.
√
返回
10. ［2025上海普陀区期中］， 为正整数，若
成立，则( )
A. ，必同为奇数 B. ， 必同为偶数
C. 必为奇数 D. 必为奇数
11. 已知，，则 的值是
( )
A. 19 B. 18 C. 9 D. 7
√
√
返回
幂的乘方
法则
（am）n=amn (m,n都是正整数）
注意
幂的乘方，底数不变，指数相乘
幂的乘方与同底数幂的乘法的区别：(am)n=amn;am ﹒an=am+n
幂的乘方法则的逆用：
amn=(am)n=(an)m
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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