资源简介

(共23张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：11.1.3 积的乘方
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：含有积的乘方运算符号（如\((ab)^n\)）的背景图，突出底数为乘积形式的特征
幻灯片 2：目录
情境引入：积的乘方实际背景
复习回顾：同底数幂乘法与幂的乘方
积的乘方法则的推导
积的乘方法则的表述
三种幂运算的区别与联系
典型例题讲解
课堂互动：计算与辨析
课堂总结与归纳
课后作业布置
幻灯片 3：情境引入：积的乘方实际背景
实际问题 1：一个长方体的长、宽、高分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)，若长、宽、高都扩大为原来的 2 倍，新的体积是多少？
分析：新棱长为\(2a\)、\(2b\)、\(2c\)，体积 = \(2a 2b 2c = (2 2 2) (a b c) = 2^3 abc\)，也可表示为\((2abc)\)？不，应为\((2 a) (2 b) (2 c) = 2^3 a b c\)，若用积的乘方表示：\((2a)^3 b c\)？更准确的问题：边长为\(2a\)的正方体体积是多少？即\((2a)^3\)。
思考：如何计算\((2a)^3\)？
实际问题 2：若一个正方形的边长为\(3x\)，则它的面积是多少？（涉及\((3x)^2\)的计算）
引入概念：像\((2a)^3\)、\((3x)^2\)这样，底数是乘积形式，再进行乘方运算，就是积的乘方。
配图：正方体体积计算示意图、正方形面积计算示意图，标注对应的积的乘方式子
幻灯片 4：复习回顾：同底数幂乘法与幂的乘方
同底数幂乘法法则：
文字语言：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
符号表示：\(a^m a^n = a^{m + n}\)（\(m\)、\(n\)为正整数）。
示例：\(x^3 x^5 = x^{8}\)。
幂的乘方法则：
文字语言：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
符号表示：\((a^m)^n = a^{m n}\)（\(m\)、\(n\)为正整数）。
示例：\((x^3)^5 = x^{15}\)。
引入新问题：当底数是乘积形式（如\(ab\)）时，如何计算\((ab)^n\)？
配图：两种法则对比表，示例计算过程标注
幻灯片 5：积的乘方法则的推导
实例分析：
计算\((2a)^3\)：
根据乘方定义：\((2a)^3 = 2a 2a 2a\)（3 个\(2a\)相乘）。
乘法交换律和结合律：\((2 2 2) (a a a) = 2^3 a^3 = 8a^3\)。
计算\((ab)^4\)：
乘方定义展开：\((ab)^4 = ab ab ab ab\)（4 个\(ab\)相乘）。
乘法交换律和结合律：\((a a a a) (b b b b) = a^4 b^4\)。
规律总结：
当\(n\)是正整数时，\((ab)^n = ab ab ab\)（\(n\)个\(ab\)相乘） = \((a a a) (b b b)\)（\(n\)个\(a\)相乘，\(n\)个\(b\)相乘） = \(a^n b^n\)。
推导结论：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
配图：积的乘方展开式示意图，标注因式分别乘方的过程
幻灯片 6：积的乘方法则的表述
文字语言：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
符号语言：\((ab)^n = a^n b^n\)（其中\(a\)、\(b\)是任意实数，\(n\)是正整数）。
法则拓展：多个因式的积的乘方仍适用，即\((abc)^n = a^n b^n c^n\)（\(n\)是正整数）。
注意事项：
运算对象：底数是乘积形式（至少两个因式相乘），进行乘方运算。
适用范围：每个因式都要分别乘方，不能遗漏任何一个因式。
符号处理：负数的乘方要注意符号，奇次幂为负，偶次幂为正。
示例：\((3x)^2 = 3^2 x^2 = 9x^2\)；\((-2ab)^3 = (-2)^3 a^3 b^3 = -8a^3b^3\)；\((xyz)^4 = x^4y^4z^4\)。
配图：法则文字与符号表述对比图，多个因式积的乘方示例
幻灯片 7：三种幂运算的区别与联系
核心区别对比：
运算类型
形式特征
运算规则
示例
同底数幂乘法
\(a^m a^n\)
底数不变，指数相加
\(2^3 2^4 = 2^{7}\)
幂的乘方
\((a^m)^n\)
底数不变，指数相乘
\((2^3)^4 = 2^{12}\)
积的乘方
\((ab)^n\)
各因式分别乘方，再相乘
\((2 3)^4 = 2^4 3^4\)
联系：
都是幂的运算，都涉及底数和指数的变化。
可综合应用，解决复杂的幂运算问题。
易混点辨析：
错误 1：\((a + b)^2 = a^2 + b^2\)（纠正：这是和的乘方，不能用积的乘方法则，正确展开为\(a^2 + 2ab + b^2\)）。
错误 2：\((2a)^3 = 2a^3\)（纠正：每个因式都要乘方，应为\(2^3 a^3 = 8a^3\)）。
判断方法：观察底数形式，同底数用加法法则，幂的乘方用乘法法则，积的乘方用因式分别乘方法则。
配图：三种运算对比表格，错误示例纠正图
幻灯片 8：典型例题讲解（一）—— 直接应用法则
例题 1：计算下列各题。
（1）\((2x)^3\) 解：原式 = \(2^3 x^3 = 8x^3\)。
（2）\((-3a^2b)^2\) 解：原式 = \((-3)^2 (a^2)^2 b^2 = 9 a^4 b^2 = 9a^4b^2\)。
（3）\((xy^2)^4\) 解：原式 = \(x^4 (y^2)^4 = x^4 y^8 = x^4y^8\)。
（4）\((-2a^2b^3c)^3\) 解：原式 = \((-2)^3 (a^2)^3 (b^3)^3 c^3 = -8 a^6 b^9 c^3 = -8a^6b^9c^3\)。
例题 2：计算下列各题（多个因式的积）。
（1）\((2a 3b)^2\) 解：先算括号内乘法\(6ab\)，原式 = \((6ab)^2 = 6^2 a^2 b^2 = 36a^2b^2\)。
（2）\((-x y^2 z^3)^4\) 解：原式 = \((-1)^4 x^4 (y^2)^4 (z^3)^4 = 1 x^4 y^8 z^{12} = x^4y^8z^{12}\)。
配图：例题 1 和例题 2 的计算步骤，标注法则应用过程
幻灯片 9：典型例题讲解（二）—— 法则的综合应用与逆用
例题 3：计算下列各题（混合运算）。
（1）\((2a^2)^3 a^4\) 解：先算积的乘方，再算同底数幂乘法，原式 = \(8a^6 a^4 = 8a^{10}\)。
（2）\((x^3y)^2 (x^2y^3)^3\) 解：分别计算积的乘方，再算乘法，原式 = \(x^6y^2 x^6y^9 = x^{12}y^{11}\)。
例题 4：逆用积的乘方法则计算。
（1）计算\(2^{10} 5^{10}\) 解：\(2^{10} 5^{10} = (2 5)^{10} = 10^{10}\)。
（2）计算\((-4)^{2023} (0.25)^{2023}\) 解：原式 = \((-4 0.25)^{2023} = (-1)^{2023} = -1\)。
说明：逆用法则\(a^n b^n = (ab)^n\)可简化指数相同的幂的乘法运算。
配图：例题 3 的运算顺序标注，例题 4 的逆应用推导过程
幻灯片 10：典型例题讲解（三）—— 化简求值与实际应用
例题 5：化简求值：已知\(a = 2\)，\(b = 3\)，求\((2ab)^3 - (3a)^2 b^3\)的值。
解题步骤：
化简式子：\((2ab)^3 - (3a)^2 b^3 = 8a^3b^3 - 9a^2b^3\)。
代入已知值：\(8 2^3 3^3 - 9 2^2 3^3 = 8 8 27 - 9 4 27 = 1728 - 972 = 756\)。
例题 6：实际应用：一个正方体的棱长为\(2 10^3\)毫米，求它的体积（用科学记数法表示）。
解题步骤：
体积 = 棱长 = \((2 10^3)^3 = 2^3 (10^3)^3 = 8 10^9\)立方毫米。
因此，正方体的体积是\(8 10^9\)立方毫米。
配图：例题 5 的化简与代入过程，例题 6 的正方体体积计算示意图
幻灯片 11：课堂互动：计算与辨析
活动一：基础计算：
练习 1：计算\((3x)^2\)；\((-2a^3b)^3\)；\((x^2y^3)^4\)。
练习 2：计算\((-5 10^2)^3\)；\((2a b^2)^3 a^2b\)。
活动二：辨析纠错：
指出错误并改正：
（1）\((ab)^3 = ab^3\)（错误，应为\(a^3b^3\)）。
（2）\((2a^2)^3 = 6a^6\)（错误，应为\(8a^6\)）。
（3）\(a^3 b^3 = (ab)^6\)（错误，应为\((ab)^3\)）。
活动三：能力提升：
练习 3：计算\(0.125^{2023} 8^{2023}\)（提示：逆用积的乘方法则）。
练习 4：已知\(a^n = 2\)，\(b^n = 3\)，求\((ab)^n\)和\((a^2b)^n\)的值。
配图：练习题展示图，附带答题区和纠错提示
幻灯片 12：课堂总结与归纳
知识要点回顾：
积的乘方定义：底数为乘积形式的乘方运算（如\((ab)^n\)）。
运算法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘（\((ab)^n = a^n b^n\)，\(n\)为正整数）。
法则拓展：多个因式的积的乘方\((abc)^n = a^n b^n c^n\)。
逆用法则：\(a^n b^n = (ab)^n\)，用于简化指数相同的幂的乘法。
与其他幂运算的区别：根据底数形式选择法则（同底数、幂的形式、乘积形式）。
方法总结：进行积的乘方运算时，先确定每个因式，再将每个因式分别乘方，最后将结果相乘；混合运算时先算乘方，再算乘法；逆用法则可简化指数相同的幂的乘积计算。
易错提醒：
遗漏部分因式的乘方（如\((2a)^3\)只算\(2 a^3\)）。
符号处理错误（负数的乘方未正确判断奇偶次幂的符号）。
混淆积的乘方与和的乘方（如\((a + b)^n\)误用积的乘方法则）。
幻灯片 13：课后作业布置
基础作业：课本 [具体页码] 习题 [具体题号]，完成积的乘方的基本计算题。
提升作业：
计算：\((-3x^2y)^3 (2xy^2)^2\)；\((a^2b)^n (ab^2)^{n + 1}\)。
若\(2^m = 3\)，\(3^m = 5\)，求\(6^m\)的值（提示：\(6 = 2 3\)）。
拓展作业：
比较\(3^{55}\)、\(4^{44}\)、\(5^{33}\)的大小（提示：转化为指数相同的幂，如\(3^{55} = (3^5)^{11}\)）。
探索规律：计算\((2a^2b)^3 (-3ab^3)^2\)，总结运算过程中积的乘方与其他幂运算的综合应用方法。
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
11.1.3积的乘方
第11章 整式的乘除
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1．理解并掌握积的乘方的运算法则；
2．熟练运用积的乘方运算法则进行计算；
温故知新
幂的乘方
法则
（am）n=amn (m,n都是正整数）
注意
幂的乘方，底数不变，指数相乘
幂的乘方与同底数幂的乘法的区别：(am)n=amn;am ﹒an=am+n
幂的乘方法则的逆用：
amn=(am)n=(an)m
　
计算小能手
（1）（x）3
（2）a3·a5
（3）x7· x9（x2）3
=x·x·x=x3
=a3+5
=a8
=x7· x9·x2×3
=x7· x9·x6
=x7+9+6
=x22
计算：
知识点一 积的乘方运算法则
自主探究
试一试
根据乘方的意义和乘法运算律填空：
（1）（ab） =（ab）·（ab）
=（aa）·（bb）
=a2b2
（2）（ab）3=（ab）·（ab）·（ab）
=（aaa）·（bbb）
=a3b3
2个ab
2个a
2个b
3个ab
3个a
3个b
（3）（ab）4=（ab）·（ab）·（ab） ·（ab）
=（aaaa）·（bbbb）
=a4b4
观察这几道题的计算结果，你能发现什么规律？设n为正整数，(ab)n等于什么？
4个ab
4个a
4个b
=（ab）·（ab）·…·（ab）
=（a·a·…·a ）·（b·b·…·b）
=anbn
可得
（ab）n=anbn（n为正整数）.
积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
（ab）n
n个ab
n个a
n个b
积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
(ab)n = anbn （n为正整数）
想一想：三个或三个以上的积的乘方等于什么？
(abc)n = anbncn （n为正整数）
知识要点
积的乘方法则
典例精析
【例1】计算：(-2x3y)3=（ ）
A．-8x9y3 B．8x9y3 C．-6x6y3 D．6x6y3
【详解】解：(-2x3y)3=(-2)3(x3)3y3=-8x9y3，
故选：A．
练一练
1．计算：(-a2)3+(-2a3)2-a2·a3．
【详解】解：原式=-a6+4a6-a5=3a6-a5.
知识点二 积的乘方的逆用
an·bn = (ab)n
am+n =am·an
amn =(am)n
作用：
使运算更加简便快捷！
典例精析
【例3】计算()2025×32024的值是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：( )2025×32024=( )2024×32024×( )= ，
故选：B.
【例4】已知|a-2024|+(b-2025)2=0，则(-0.125)a×8b= ．
【详解】解：∵|a-2024|+(b-2025)2=0，
∴a=2024，b=2025
∴(-0.125)a×8b=(-0.125)2024×82025
=（-0.125×8)2024×8
=(-1)2024×8
=8，
故答案为：8．
练一练
1．已知：5m=a,2m=b,5n=p（m,n都是正整数），用含a,b或p的式子表示下列各式：
(1)10m；
(2)52m+3n．
【详解】（1）∵5m=a,2m=b，
∴10m=2m×5m=ab．
（2）∵5m=a,5n=p，
∴52m+3n=52m·53n=(5m)2·(5n)3=a2p3.
1．下列运算正确的是（　　）
A．a+2a2=3a2 B．a3·a2=a6 C．(-x3)2=x6 D．(x2)3=x3
【详解】解：A、a与2a2不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、a3·a2=a5，故B不符合题意；
C、(-x3)2=x6，故C符合题意；
D、(x2)3=x6，故D不符合题意.
故选：C．
1. 计算 的结果是( )
A. B. C. D.
2. 下列各图中，能直观解释“ ”
的是( )
A. B. C. D.
√
√
返回
3. 下列各式计算正确的有( )
； ；
； .
A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ②③④
4.已知，，，则 的值为___.
5.已知，，，则，， 之间的关系为
________.
9
√
返回
6.（1）已知，则 的值为___.
7
【点拨】 ，
，解
得 .
（2）已知，则 的值为__.
【点拨】由 ，得
，即
，所以
.所以 .所以
.所以.所以 .
返回
7.计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式 .
幂的运算性质
性质
am·an=am+n (am)n=amn
(ab)n=anbn ( m，n都是正整数)
反向运用
am · an =am+n、
(am)n =amn
an·bn = (ab)n
可使某些计算简捷
注意
运用积的乘方法则时要注意：
公式中的a，b代表任何代数式；每一个因式都要“乘方”；注意结果的符号、幂指数及其逆向运用（混合运算要注意运算顺序）
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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