资源简介

(共21张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：11.1.4 同底数幂的除法
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：含有同底数幂除法运算符号（如\(a^m ·a^n\)）的背景图，突出底数相同的特征
幻灯片 2：目录
情境引入：同底数幂除法实际背景
复习回顾：相关幂运算法则
同底数幂除法法则的推导
同底数幂除法法则的表述
零指数幂与负整数指数幂
四种幂运算的区别与联系
典型例题讲解
课堂互动：计算与辨析
课堂总结与归纳
课后作业布置
幻灯片 3：情境引入：同底数幂除法实际背景
实际问题 1：一种计算机每秒可进行\(10^8\)次运算，完成\(10^{12}\)次运算需要多少秒？
分析：时间 = 总运算次数 ÷ 每秒运算次数，即\(10^{12} ·10^8\)。
思考：如何计算\(10^{12} ·10^8\)？
实际问题 2：一个长方形的面积为\(a^5\)，其中一边长为\(a^3\)，求另一边长。（涉及\(a^5 ·a^3\)的计算）
引入概念：像\(10^{12} ·10^8\)、\(a^5 ·a^3\)这样，底数相同的幂相除，就是同底数幂的除法。
配图：计算机运算时间计算示意图、长方形边长计算示意图，标注对应的同底数幂除法式子
幻灯片 4：复习回顾：相关幂运算法则
同底数幂乘法法则：
文字语言：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
符号表示：\(a^m a^n = a^{m + n}\)（\(m\)、\(n\)为正整数）。
幂的乘方法则：
文字语言：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
符号表示：\((a^m)^n = a^{m n}\)（\(m\)、\(n\)为正整数）。
积的乘方法则：
文字语言：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
符号表示：\((ab)^n = a^n b^n\)（\(n\)为正整数）。
引入新问题：同底数幂相除时，是否也有类似的运算规律？
配图：三种法则对比表，示例计算过程标注
幻灯片 5：同底数幂除法法则的推导
实例分析：
计算\(10^{12} ·10^8\)：
根据除法定义：\(10^{12} ·10^8 = \frac{10 10 10}{10 10 10}\)（12 个 10）（8 个 10）。
约分后：剩下\(12 - 8 = 4\)个 10 相乘，即\(10^4\)。
计算\(a^5 ·a^3\)（\(a 0\)）：
除法定义展开：\(a^5 ·a^3 = \frac{a a a a a}{a a a}\)（5 个\(a\)）（3 个\(a\)）。
约分后：剩下\(5 - 3 = 2\)个\(a\)相乘，即\(a^2 = a^{5 - 3}\)。
规律总结：
当\(m\)、\(n\)是正整数且\(m > n\)，\(a 0\)时，\(a^m ·a^n = \frac{a a a}{a a a}\)（\(m\)个\(a\)）（\(n\)个\(a\)） = \(a a a\)（\(m - n\)个\(a\)） = \(a^{m - n}\)。
推导结论：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
配图：同底数幂除法约分过程示意图，标注指数相减的过程
幻灯片 6：同底数幂除法法则的表述
文字语言：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
符号语言：\(a^m ·a^n = a^{m - n}\)（其中\(a 0\)，\(m\)、\(n\)都是正整数，且\(m > n\)）。
注意事项：
前提条件：必须是 “同底数幂” 相除，底数相同且不为 0（除数不能为 0）。
指数要求：\(m > n\)（后续会拓展到\(m = n\)和\(m < n\)的情况）。
底数范围：底数\(a\)可以是具体的数、单项式或多项式，但\(a 0\)。
示例：\(2^7 ·2^3 = 2^{7 - 3} = 2^4 = 16\)；\(x^6 ·x^2 = x^{6 - 2} = x^4\)；\((a + b)^5 ·(a + b)^2 = (a + b)^{5 - 2} = (a + b)^3\)（\(a + b 0\)）。
配图：法则文字与符号表述对比图，不同底数形式的示例
幻灯片 7：零指数幂与负整数指数幂
零指数幂的定义：
规定：任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1，即\(a^0 = 1\)（\(a 0\)）。
推导：当\(m = n\)时，\(a^m ·a^n = a^{0}\)，而\(a^m ·a^m = 1\)，因此\(a^0 = 1\)。
示例：\(5^0 = 1\)；\((-3)^0 = 1\)；\((x^2 + 1)^0 = 1\)（\(x^2 + 1 0\)，恒成立）。
负整数指数幂的定义：
规定：任何不等于 0 的数的\(-n\)（\(n\)是正整数）次幂，等于这个数的\(n\)次幂的倒数，即\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)（\(a 0\)，\(n\)是正整数）。
推导：当\(m < n\)时，\(a^m ·a^n = a^{-(n - m)} = \frac{1}{a^{n - m}}\)。
示例：\(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\)；\(x^{-2} = \frac{1}{x^2}\)（\(x 0\)）；\((\frac{1}{3})^{-2} = 3^2 = 9\)。
注意事项：0 的 0 次幂和 0 的负整数次幂无意义（因为 0 不能作除数）。
配图：零指数幂和负整数指数幂的定义与示例图
幻灯片 8：四种幂运算的区别与联系
核心区别对比：
运算类型
形式特征
运算规则
指数变化
示例
同底数幂乘法
\(a^m a^n\)
底数不变，指数相加
\(m + n\)
\(2^3 2^4 = 2^7\)
同底数幂除法
\(a^m ·a^n\)
底数不变，指数相减
\(m - n\)
\(2^7 ·2^3 = 2^4\)
幂的乘方
\((a^m)^n\)
底数不变，指数相乘
\(m n\)
\((2^3)^4 = 2^{12}\)
积的乘方
\((ab)^n\)
各因式分别乘方，再相乘
各指数乘\(n\)
\((2 3)^4 = 2^4 3^4\)
联系：
都是幂的基本运算，共同构成整式乘除的基础。
运算规则都围绕底数和指数的变化，可相互推导验证。
易混点辨析：
错误 1：\(a^5 ·a^5 = a^{5 - 5} = a^0 = 0\)（纠正：应为\(a^0 = 1\)，\(a 0\)）。
错误 2：\(a^3 ·a^5 = a^{5 - 3} = a^2\)（纠正：应为\(a^{3 - 5} = a^{-2} = \frac{1}{a^2}\)，\(a 0\)）。
判断方法：观察运算符号和底数形式，选择对应的指数运算规则。
配图：四种运算对比表格，错误示例纠正图
幻灯片 9：典型例题讲解（一）—— 直接应用法则
例题 1：计算下列各题（\(a 0\)）。
（1）\(10^9 ·10^6\) 解：原式 = \(10^{9 - 6} = 10^3 = 1000\)。
（2）\(a^8 ·a^3\) 解：原式 = \(a^{8 - 3} = a^5\)。
（3）\((-x)^7 ·(-x)^2\) 解：原式 = \((-x)^{7 - 2} = (-x)^5 = -x^5\)。
（4）\((a^2b)^5 ·(a^2b)^2\) 解：把\(a^2b\)看作整体，原式 = \((a^2b)^{5 - 2} = (a^2b)^3 = a^6b^3\)。
例题 2：计算下列零指数幂和负整数指数幂。
（1）\(5^0\) 解：原式 = 1。
（2）\((-3)^{-2}\) 解：原式 = \(\frac{1}{(-3)^2} = \frac{1}{9}\)。
（3）\((x^2)^0 ·x^3\)（\(x 0\)） 解：原式 = \(1 ·x^3 = x^{-3} = \frac{1}{x^3}\)。
配图：例题 1 和例题 2 的计算步骤，标注法则应用过程
幻灯片 10：典型例题讲解（二）—— 法则的综合应用
例题 3：计算下列各题（混合运算）。
（1）\(a^9 ·a^3 a^2\) 解：从左到右依次运算，原式 = \(a^{6} a^2 = a^8\)。
（2）\((x^3)^4 ·(x^2)^5\) 解：先算幂的乘方，再算除法，原式 = \(x^{12} ·x^{10} = x^2\)。
（3）\((-2a^4)^3 ·(a^3)^2\) 解：先算积的乘方和幂的乘方，再算除法，原式 = \(-8a^{12} ·a^6 = -8a^6\)。
例题 4：用科学记数法表示下列结果。
（1）\(10^8 ·10^{-3}\) 解：原式 = \(10^{8 - (-3)} = 10^{11}\)。
（2）\(2 10^6 ·(5 10^{-2})\) 解：原式 = \((2 ·5) (10^6 ·10^{-2}) = 0.4 10^8 = 4 10^7\)。
配图：例题 3 的运算顺序标注，例题 4 的科学记数法转换过程
幻灯片 11：典型例题讲解（三）—— 化简求值与实际应用
例题 5：化简求值：已知\(a^m = 6\)，\(a^n = 2\)，求\(a^{m - n}\)和\(a^{2m - 3n}\)的值。
解题步骤：
\(a^{m - n} = a^m ·a^n = 6 ·2 = 3\)。
\(a^{2m - 3n} = a^{2m} ·a^{3n} = (a^m)^2 ·(a^n)^3 = 6^2 ·2^3 = 36 ·8 = 4.5\)。
例题 6：实际应用：一个纳米粒子的直径为\(3 10^{-9}\)米，一个乒乓球的直径为\(4 10^{-2}\)米，乒乓球的直径是纳米粒子直径的多少倍？
解题步骤：
倍数 = 乒乓球直径 ÷ 纳米粒子直径 = \((4 10^{-2}) ·(3 10^{-9}) (4 ·3) (10^{-2} ·10^{-9}) 1.333 10^7\)。
因此，乒乓球直径约是纳米粒子直径的\(1.33 10^7\)倍。
配图：例题 5 的化简与代入过程，例题 6 的直径对比示意图
幻灯片 12：课堂互动：计算与辨析
活动一：基础计算：
练习 1：计算\(x^7 ·x^4\)；\((-a)^5 ·(-a)^3\)；\((xy)^6 ·(xy)^3\)。
练习 2：计算\(3^0\)；\(2^{-4}\)；\((a^2)^3 ·a^5\)（\(a 0\)）。
活动二：辨析纠错：
指出错误并改正：
（1）\(a^6 ·a^2 = a^{6 ·2} = a^3\)（错误，应为指数相减\(a^{6 - 2} = a^4\)）。
（2）\(a^0 = 0\)（错误，应为\(a^0 = 1\)，\(a 0\)）。
（3）\(x^{-2} = -x^2\)（错误，应为\(x^{-2} = \frac{1}{x^2}\)，\(x 0\)）。
活动三：能力提升：
练习 3：已知\(a^x = 4\)，\(a^y = 9\)，求\(a^{2x - y}\)的值。
练习 4：计算\((-2)^{2023} ·(-2)^{2021} + (-3)^0\)。
配图：练习题展示图，附带答题区和纠错提示
幻灯片 13：课堂总结与归纳
知识要点回顾：
同底数幂除法定义：底数相同的幂相除（如\(a^m ·a^n\)，\(a 0\)）。
运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减（\(a^m ·a^n = a^{m - n}\)，\(m\)、(
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
11.1.4同底数幂的除法
第11章 整式的乘除
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1．理解并掌握同底数幂的除法的运算法则；
2．熟练运用同底数幂的除法法则去计算；
温故知新
幂的运算性质
性质
am·an=am+n (am)n=amn
(ab)n=anbn ( m，n都是正整数)
反向运用
am · an =am+n、
(am)n =amn
an·bn = (ab)n
可使某些计算简捷
注意
运用积的乘方法则时要注意：
公式中的a，b代表任何代数式；每一个因式都要“乘方”；注意结果的符号、幂指数及其逆向运用（混合运算要注意运算顺序）
地球的体积是1.1×1012km3，月球的体积2.2×1010km3，求地球的体积是月球的多少倍？如何列式？
（1.1×1012）÷（2.2×1010）
思考：该如何计算这一式子呢？
知识点一 同底数幂的除法
用你熟悉的方法计算：
（1）25÷22=___________________；
（2）107÷103=____________________________________；
（2·2·2·2·2）÷（2·2）
=2·2·2
=23
（10·10·10·10·10·10·10）÷（10·10·10）
=10·10·10·10
=104
=5-2
=7-3
探究发现
（3）a7÷a3=______________________ （a≠0）；
（a·a·a·a·a·a·a）÷（a·a·a）
=a·a·a·a
=a4
=7-3
你是怎样计算的？从这些计算结果中你能发现什么？
（2）107÷103=___________；
（3）a7÷a3=____________（a≠0）；
（1）25÷22=__________；
由上面的计算，我们发现：
23=25-2
104=107-3
a4=a7-3
一般地，我们有
am ÷an=am-n (a ≠0,m,n都是正整数，且m>n)
即 同底数幂相除，底数不变，指数相减.
知识要点
同底数幂的除法
根据除法的意义推导同底数幂的除法法则
前面我们通过一些计算，归纳、探索出同底数幂的除法法则.下面我们根据除法的意义来推导同底数幂的除法法则：
因为除法是乘法的逆运算，计算am÷an（m、n都是正整数，且m＞n，a≠0）实际上是要求一个式子，使
an·（ ）=am.
假设这个式子是ak（k是正整数，待定），即应有
an · ak =am，
即
an+k =am，
所以
n+k =m
得
k =m-n.
因此，要求的式子应是am-n.
由同底数幂的乘法法则，可知
an · am-n =an+（m -n）=am，
所以am-n 满足要求，从而有
am÷an=am-n
（ m、n都是正整数，且m＞n，a≠0 ）.
典例精析
【例1】若3a÷9b=27，则a-2b的值为（　　）
A．3 B．-3 C．6 D．-6
【详解】解：∵3a÷9b=27，
∴3a÷32b=33，
则3a-2b=33，
∴a-2b=3．
故选A．
【例2】若2024m=10，2024n=5，则2024m-n的结果是 ．
【详解】解：∵2024m=10，2024n=5，
∴2024m÷2024n=10÷5，
∴2024m-n=2，
故答案是：2．
练一练
1．计算：
(1)(-a3)4÷(-a4)3； (2)(a2·a3)2÷a7×(-a)2．
【详解】（1）解：原式=a12÷(-a12)=-1；
（2）解：原式=(a5)2÷a7·a2=a10-7+2=a5．
1．若xa÷x=x5,则a的值为（ ）
A． B． C．5 D．6
【详解】解：∵xa÷x=x5，
∴a-1=5，
∴a=6，
故选：D．
1. 墨迹覆盖了等式“ ”中的运算符号，
则覆盖的是( )
A. × B. C. D. -
2. 若 （★） ，则★为( )
A. B. C. D.
3. 已知， ，下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
√
√
√
返回
4. 若，则
的值是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
5. 若，则 的值为( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
√
√
返回
6. 掌握地震知识，提升防震意识.根据里氏震
级的定义，地震所释放出的能量与震级 的关系为
（其中 为大于0的常数），那么震级为6级的
地震所释放的能量是震级为4级的地震所释放能量的_____倍.
【点拨】
.
返回
7. 计算:
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式 .
返回
8. ［2025泰州姜堰区月考］关于， 的方程组
的解满足，则 的值是
( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
√
同底数幂的除法
法则
am ÷an=am-n(a ≠0,m,n都是正整数，且m>n）
同底数幂相除，底数不变，指数相减
同底数幂相除法则的逆用：
am-n=am÷an(a ≠0,m,n都是正整数，且m>n）
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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