资源简介

(共24张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：11.2.1 单项式与单项式相乘
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：含有单项式乘法算式（如\(3x^2y \times 2xy^3\)）的背景图，突出系数和字母因式的特征
幻灯片 2：目录
情境引入：单项式乘法的实际背景
复习回顾：相关幂运算法则
单项式与单项式相乘法则的推导
单项式与单项式相乘法则的表述
典型例题讲解
课堂互动：计算与辨析
课堂总结与归纳
课后作业布置
幻灯片 3：情境引入：单项式乘法的实际背景
实际问题 1：一个长方体的长、宽、高分别为\(2a\)、\(3b\)、\(4c\)，求这个长方体的体积。
分析：长方体体积 = 长 × 宽 × 高，即\(2a \times 3b \times 4c\)。
思考：如何计算这个由单项式相乘组成的式子？
实际问题 2：一个正方形的边长为\(5x^2y\)，求它的面积。（涉及\(5x^2y \times 5x^2y\)的计算）
引入概念：像\(2a \times 3b\)、\(5x^2y \times 5x^2y\)这样，由单项式之间进行乘法运算，就是单项式与单项式相乘。
配图：长方体体积计算示意图、正方形面积计算示意图，标注对应的单项式乘法式子
幻灯片 4：复习回顾：相关幂运算法则
同底数幂乘法法则：
文字语言：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
符号表示：\(a^m \times a^n = a^{m + n}\)（\(m\)、\(n\)为正整数）。
示例：\(x^3 \times x^5 = x^8\)；\(y^2 \times y = y^3\)。
积的乘方法则：
文字语言：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
符号表示：\((ab)^n = a^n \times b^n\)（\(n\)为正整数）。
示例：\((2x)^3 = 8x^3\)；\((-3xy^2)^2 = 9x^2y^4\)。
引入新问题：当单项式与单项式相乘时，如何结合幂运算法则进行计算？
配图：两种法则对比表，示例计算过程标注
幻灯片 5：单项式与单项式相乘法则的推导
实例分析：
计算\(2a \times 3b\)：
根据乘法交换律和结合律：\(2a \times 3b = (2 \times 3) \times (a \times b) = 6ab\)。
计算\(3x^2y \times 2xy^3\)：
分解因式：系数、同底数幂分别组合，即\((3 \times 2) \times (x^2 \times x) \times (y \times y^3)\)。
应用同底数幂乘法法则：\(6 \times x^{2 + 1} \times y^{1 + 3} = 6x^3y^4\)。
计算\((-5a^2b^3) \times (-4b^2c)\)：
组合系数和同底数幂：\((-5) \times (-4) \times a^2 \times (b^3 \times b^2) \times c\)。
计算结果：\(20 \times a^2 \times b^{5} \times c = 20a^2b^5c\)。
规律总结：
单项式与单项式相乘，先把它们的系数相乘，再把同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
配图：单项式乘法的分解与组合过程示意图，标注每一步的依据
幻灯片 6：单项式与单项式相乘法则的表述
文字语言：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
符号语言：若\(m\)、\(n\)为正整数，则\((a x^m y^n) \times (b x^p y^q) = (a \times b) \times x^{m + p} \times y^{n + q}\)（\(a\)、\(b\)为系数）。
运算步骤：
系数相乘：确定积的系数（注意符号，同号得正，异号得负）。
同底数幂相乘：运用同底数幂乘法法则，底数不变，指数相加。
单独字母处理：只在一个单项式中出现的字母，连同指数直接写入积中。
示例：\((-2x^2) \times 3x = (-2 \times 3) \times (x^2 \times x) = -6x^3\)；\(4a^2b \times 5ab^2c = (4 \times 5) \times (a^2 \times a) \times (b \times b^2) \times c = 20a^3b^3c\)。
配图：法则文字与符号表述对比图，运算步骤流程图
幻灯片 7：典型例题讲解（一）—— 基础乘法运算
例题 1：计算下列各题。
（1）\(3x^2 \times 5x^3\) 解：原式 = \((3 \times 5) \times (x^2 \times x^3) = 15x^{2 + 3} = 15x^5\)。
（2）\((-4a^2b) \times (-2ab^3)\) 解：原式 = [(-4)×(-2)]×(a^2×a)×(b×b^3) = 8×a^3×b^4 = 8a^3b^4)。
（3）\(2x^3y^2 \times (-3x^2y) \times xy\) 解：多个单项式相乘，依次组合系数和同底数幂，原式 = [2×(-3)]×(x^3×x^2×x)×(y^2×y×y) = -6x^{6} y^{4})。
（4）\((-5m^2n)^2 \times (-2mn^3)\) 解：先算积的乘方，再算乘法，原式 = 25m^4n^2×(-2mn^3) = -50m^5n^5)。
注意事项：
系数相乘时需注意符号，负负得正，正负得负。
同底数幂相乘时指数相加，不要与幂的乘方的指数相乘混淆。
单独字母的指数要完整保留，不可遗漏。
配图：例题 1 的计算步骤分解，标注每一步的运算依据
幻灯片 8：典型例题讲解（二）—— 含乘方的混合运算
例题 2：计算下列各题（含积的乘方）。
（1）\((2x^2y)^3 \times (-3xy^2)\) 解：先算积的乘方：\(8x^6y^3 \times (-3xy^2)\)，再算乘法：\([8 (-3)] (x^6 x) (y^3 y^2) = -24x^7y^5\)。
（2）\((-a^2b)^2 \times (-a b^2)^3\) 解：分步计算乘方：\(a^4b^2 \times (-a^3b^6)\)，再算乘法：\(-a^{4 + 3}b^{2 + 6} = -a^7b^8\)。
例题 3：化简求值：已知\(x = 2\)，\(y = -1\)，求\((3x^2y) \times (-2xy^3)\)的值。
解题步骤：
先化简式子：\((3 (-2)) (x^2 x) (y y^3) = -6x^3y^4\)。
代入\(x = 2\)，\(y = -1\)：\(-6 2^3 (-1)^4 = -6 8 1 = -48\)。
说明：含乘方的混合运算需先算乘方，再算乘法；化简求值需先化简式子，再代入数值计算。
配图：例题 2 的乘方与乘法分步计算图，例题 3 的化简与代入过程
幻灯片 9：典型例题讲解（三）—— 实际应用与规律探索
例题 4：实际应用：一个长方体的长为\(2a\)，宽为\(3b\)，高为\(4ab\)，求这个长方体的体积。
解题步骤：
体积 = 长 × 宽 × 高 = \(2a 3b 4ab\)。
计算过程：\((2 3 4) (a a) (b b) = 24a^2b^2\)。
因此，长方体的体积为\(24a^2b^2\)。
例题 5：规律探索：观察下列单项式：\(2x\)，\(-4x^2\)，\(8x^3\)，\(-16x^4\)，…，计算前 3 个单项式的积。
解题步骤：
前 3 个单项式为\(2x\)，\(-4x^2\)，\(8x^3\)。
积 = \(2x (-4x^2) 8x^3 = (2 (-4) 8) (x x^2 x^3) = -64x^6\)。
配图：例题 4 的长方体示意图及体积计算标注，例题 5 的单项式规律分析图
幻灯片 10：课堂互动：计算与辨析
活动一：基础计算：
练习 1：计算\(5a^3 \times 2a^2\)；\((-3xy) \times 4x^2y\)；\(2m^2n \times (-3mn^2) \times m\)。
练习 2：计算\((-2x^2y)^2 \times 3xy^2\)；\((3a^2b)^3 \times (-2ab^3)^2\)。
活动二：辨析纠错：
指出错误并改正：
（1）\(3x^2 \times 2x^3 = 6x^6\)（错误，指数应相加，应为\(6x^5\)）。
（2）\((-2a^2) \times (-3a^3) = -6a^5\)（错误，系数符号错误，应为\(6a^5\)）。
（3）\(2x^2y \times 3xy^2 = 6x^2y^2\)（错误，\(x\)的指数计算错误，应为\(6x^3y^3\)）。
活动三：能力提升：
练习 3：已知\(2x^3y^2 \times (-3x^my^3) = -6x^7y^n\)，求\(m\)、\(n\)的值。
练习 4：计算\((-a)^2 \times a^3 \times (-2ab)^3\)。
配图：练习题展示图，附带答题区和纠错提示
幻灯片 11：课堂总结与归纳
知识要点回顾：
单项式与单项式相乘的定义：单项式之间的乘法运算。
运算法则：系数相乘，同底数幂相乘，单独字母连同指数保留。
运算步骤：先处理系数符号和乘法，再处理同底数幂的指数相加，最后保留单独字母。
混合运算：含乘方的需先算乘方，再算乘法；化简求值需先化简再代入。
方法总结：进行单项式乘法时，可按 “系数→同底数幂→单独字母” 的顺序分步计算，确保每一步都遵循幂运算法则；注意符号处理和指数运算的准确性。
易错提醒：
系数相乘时符号错误（忽略负负得正）。
同底数幂相乘时指数相加与相乘混淆。
遗漏单独字母或其指数。
含乘方的混合运算未先算乘方。
幻灯片 12：课后作业布置
基础作业：课本 [具体页码] 习题 [具体题号]，完成单项式与单项式相乘的基本计算题。
提升作业：
计算：\((-3x^2y)^2 \times (-2xy^3) \times x\)；\(2a^3b \times (-3ab^2) \times (-\frac{1}{2}a^2b^3)\)。
已知一个单项式与\(3x^2y\)的积为\(-12x^6y^3\)，求这个单项式。
拓展作业：
一个正方体的棱长为\(2a^2b\)，求它的表面积和体积（表面积 = 6× 棱长 ）。
探索规律：若\(x^m = 3\)，\(y^n = 2\)，求\((x^2y)^m \times (xy^2)^n\)的值。
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
11.2.1单项式与单项式相乘
第11章 整式的乘除
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1．掌握单项式与单项式相乘的运算法则；
2．熟练运用单项式与单项式相乘的运算法则，并且可以对有关的计算进行化简求值；
温故知新
1.幂的运算性质有哪几条？
同底数幂的乘法法则：am·an=am+n ( m，n都是正整数).
幂的乘方法则：(am)n=amn ( m，n都是正整数).
积的乘方法则：(ab)n=anbn ( m，n都是正整数).
同底数幂的除法法则：am ÷an=am-n(a ≠0,m,n都是正整数，且m>n).
知识点一 单项式与单项式相乘
计算：
（1）(2×103)×(5×104)
=2×5×103×104
=10×103×104
=101+3+4
=108
（2）2x3·5x2
=2×5·(x3·x2)
=10x5
想一想： （1）怎样计算（3 ×103）×（5 ×104）？计算过程中用到了哪些运算律及运算性质？
（2）如果将上式中的数字改为字母，比如ac5 ·bc2,怎样计算这个式子？
（2） ac5 ·bc2=（a ·b) ·(c5·c2) (乘法交换律、结合律）
=abc5+2 (同底数幂的乘法）
=abc7.
（1）利用乘法交换律和结合律有：
(3×103)×(5×104)=(2×5)×(103×104)=10×107.
这种书写规范吗？
不规范，应为1×108.
单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式.
知识要点
单项式与单项式的乘法法则
（1）系数相乘；
（2）相同字母的幂相乘；
（3）其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.
注意：
典例精析
【例1】计算3a2b·(-2ab2)3的结果是（　　）
A．-18a5b5 B．-18a6b7 C．-24a5b7 D．24a6b7
【详解】解：原式=3a2b·(-8a3b6)=-24a5b7．
故选：C．
练一练
1．若5am+2b2与3an+1bn的积是15a8b4，则nm= .
【详解】解：∵5am+2b2×3an+1bn=15am+n+3b2+n=15a8b4，
∴，
解方程组得：，
nm=23=8，
故答案为8．
2．计算：
(1)2x3y2·(-2xy2z)2； (2)(-2x2)3+x2·x4-(-3x3)2．
【详解】（1）解：原式=2x3y2·4x2y4z2=8x5y6z2；
(2）解：原式=-8x6+x6-9x6=-16x6
知识点二 单项式与单项式相乘的几何意义
你能分别说出a·a、和a·ab的几何意
义吗？
a·a可以看作是边长为a的正方形的面积，a·ab又怎么理解呢？
a·ab可以看作是高为a，底面长和宽分别为a、b的长方体的体积！
你能分别说出a·b、3a·2a和3a·5ab的几何意义吗？
3a·2a可以看作是长为3a，宽为2a的长方形的面积.
3a·5ab可以看作是高为3a，底面长和宽分别为5a、b的长方体的体积！
典例精析
【例2】纳米是一种长度单位，1米=109纳米，试计算长为5米，宽为4米，高为3米的长方体体积是多少立方纳米？
5米=5×109纳米
4米=4×109纳米
3米=3×109纳米
V=5×109×4×109×3×109
=60×1027
=6×1028（立方纳米）
答：长方体体积是6×1028立方纳米.
1．计算a3b·(ab)2的结果是（ ）
A．a5b2 B．a4b3 C．a3b3 D．a5b3
【详解】解：a3b·(ab)2=a3b·a2b2=a5b3，
故选：D．
1. 计算 的结果是( )
A. B. C. D.
2. 计算 的结果用科
学记数法表示正确的是( )
A. 180 000 000 B.
C. D.
3. 已知长方形的长为，宽为 ，则它的面积为( )
A. B. C. D.
√
√
√
返回
4. 如图，甲、乙、丙三人合作完成一道计
算题目，规则是：每人只能看到前一个人给的式子，并进行
一步计算，再将结果传递给下一人.自己负责的一步出现错误
的是( )
A. 只有甲 B. 乙和丙
C. 甲和丙 D. 甲、乙、丙
√
返回
5. 光的速度约为 ，以太阳系以外距
离地球最近的一颗恒星（比邻星）发出的光，需要4年的时
间才能到达地球.若一年以 计算，则这颗恒星到地球
的距离是__________ .
返回
6. 计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） .
原式 .
（1）在计算时，应先进行符号运算，积的系数等
于各因式系数的积；（2）注意按顺序运算；（3）不要丢掉
只在一个单项式里含有的字母因式；（4）此性质对于多个
单项式相乘仍然成立.
返回
7.（1）先化简，再求值： ，
其中， ；
【解】原式 .
当， 时，原式
.
（2）已知有理数，， 满足
，求
的值.
因为 ，
所以，, ,
解得,， .
所以 .
返回
8. 若，则 的算
术平方根是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【点拨】 ，
，，解得， ，
， 的算术平方根为2.
√
单项式与单项式相乘
单项式×单项式
实质上是转化为同底数幂的运算
注意
（1）不要出现漏乘现象
（2）有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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