资源简介

(共24张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：11.2.2 单项式与多项式相乘
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：含有单项式与多项式乘法算式（如\(2x(3x^2 + y - 1)\)）的背景图，突出单项式与多项式的特征
幻灯片 2：目录
情境引入：单项式与多项式乘法的实际背景
复习回顾：相关知识回顾
单项式与多项式相乘法则的推导
单项式与多项式相乘法则的表述
典型例题讲解
课堂互动：计算与辨析
课堂总结与归纳
课后作业布置
幻灯片 3：情境引入：单项式与多项式乘法的实际背景
实际问题 1：一个长方形的长为\(a + b + c\)，宽为\(m\)，求这个长方形的面积。
分析：长方形面积 = 长 × 宽，即\(m(a + b + c)\)。
思考：如何计算这个由单项式与多项式相乘组成的式子？
实际问题 2：一个三角形的底边长为\(2x\)，高为\(3x + y\)，求这个三角形的面积。（涉及\(\frac{1}{2} 2x (3x + y)\)的计算，简化后为\(x(3x + y)\)）
引入概念：像\(m(a + b + c)\)、\(x(3x + y)\)这样，由单项式与多项式之间进行乘法运算，就是单项式与多项式相乘。
配图：长方形面积计算示意图、三角形面积计算示意图，标注对应的单项式与多项式乘法式子
幻灯片 4：复习回顾：相关知识回顾
单项式与单项式相乘法则：
文字语言：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
示例：\(3x^2 2xy = 6x^3y\)；\((-2a^2b) 4ab^3 = -8a^3b^4\)。
乘法分配律：
文字语言：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
符号表示：\(m(a + b) = ma + mb\)。
示例：\(2 (3 + 4) = 2 3 + 2 4 = 6 + 8 = 14\)。
引入新问题：当单项式与多项式相乘时，如何结合乘法分配律和单项式乘法法则进行计算？
配图：单项式乘法法则示例图，乘法分配律示例图
幻灯片 5：单项式与多项式相乘法则的推导
实例分析：
计算\(m(a + b + c)\)：
根据乘法分配律：\(m(a + b + c) = ma + mb + mc\)。
说明：用单项式\(m\)分别乘多项式\(a + b + c\)的每一项，再把所得的积相加。
计算\(2x(3x^2 + y - 1)\)：
应用乘法分配律：\(2x 3x^2 + 2x y + 2x (-1)\)。
应用单项式乘法法则：\(6x^3 + 2xy - 2x\)。
计算\(-3a^2(2a - b + 4c)\)：
分配律展开：\(-3a^2 2a + (-3a^2) (-b) + (-3a^2) 4c\)。
单项式乘法计算：\(-6a^3 + 3a^2b - 12a^2c\)。
规律总结：
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
配图：单项式与多项式乘法的分配律展开过程示意图，标注每一步的依据
幻灯片 6：单项式与多项式相乘法则的表述
文字语言：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
符号语言：若\(m\)、\(n\)、\(p\)为正整数，则\(a(b + c + d) = ab + ac + ad\)（\(a\)为单项式，\(b + c + d\)为多项式）。
运算步骤：
分配乘法：用单项式分别乘多项式的每一项（注意每一项的符号）。
单项式相乘：对每一组单项式与单项式相乘，应用单项式乘法法则计算。
合并结果：把所得的积相加（无需合并同类项，除非有同类项）。
示例：\(3x(2x - y) = 3x 2x + 3x (-y) = 6x^2 - 3xy\)；\(-2a(a^2 + 2a - 3) = -2a a^2 + (-2a) 2a + (-2a) (-3) = -2a^3 - 4a^2 + 6a\)。
配图：法则文字与符号表述对比图，运算步骤流程图
幻灯片 7：典型例题讲解（一）—— 基础乘法运算
例题 1：计算下列各题。
（1）\(2a(3a + 5b)\) 解：原式 = \(2a 3a + 2a 5b = 6a^2 + 10ab\)。
（2）\(-4x(2x^2 - 3x + 1)\) 解：原式 = \(-4x 2x^2 + (-4x) (-3x) + (-4x) 1 = -8x^3 + 12x^2 - 4x\)。
（3）\(x^2y(xy - 2x^3 + y^2)\) 解：原式 = \(x^2y xy + x^2y (-2x^3) + x^2y y^2 = x^3y^2 - 2x^5y + x^2y^3\)。
（4）\(-\frac{1}{2}m(2m^2n - 4mn^2) + 3m^2n\) 解：先算乘法再算加法，原式 = \(-m^3n + 2m^2n^2 + 3m^2n\)。
注意事项：
单项式要与多项式的每一项都相乘，不能漏乘任何一项（包括常数项）。
注意符号处理，单项式与多项式各项相乘时，同号得正，异号得负。
结果中若有同类项，要合并同类项化简。
配图：例题 1 的计算步骤分解，标注每一步的运算依据
幻灯片 8：典型例题讲解（二）—— 含乘方的混合运算
例题 2：计算下列各题（含积的乘方）。
（1）\((2x)^2(3x^2 - x + 5)\) 解：先算积的乘方：\(4x^2(3x^2 - x + 5)\)，再算乘法：\(4x^2 3x^2 + 4x^2 (-x) + 4x^2 5 = 12x^4 - 4x^3 + 20x^2\)。
（2）\(-3a(a^2b)^2 + 2a^2(a b^2 - 1)\) 解：分步计算乘方和乘法，原式 = \(-3a a^4b^2 + 2a^2 a b^2 + 2a^2 (-1) = -3a^5b^2 + 2a^3b^2 - 2a^2\)。
例题 3：化简求值：已知\(x = -1\)，求\(3x(x^2 - 2x + 1) - 2x^2(x - 3)\)的值。
解题步骤：
先化简式子：\(3x^3 - 6x^2 + 3x - 2x^3 + 6x^2 = (3x^3 - 2x^3) + (-6x^2 + 6x^2) + 3x = x^3 + 3x\)。
代入\(x = -1\)：\((-1)^3 + 3 (-1) = -1 - 3 = -4\)。
说明：含乘方的混合运算需先算乘方，再算乘法，最后算加减；化简求值需先化简式子，再代入数值计算。
配图：例题 2 的乘方与乘法分步计算图，例题 3 的化简与代入过程
幻灯片 9：典型例题讲解（三）—— 实际应用与规律探索
例题 4：实际应用：一个梯形的上底长为\(2a\)，下底长为\(3a + b\)，高为\(h\)，求这个梯形的面积。（梯形面积公式：\(\frac{1}{2} ( + ) é \)）
解题步骤：
面积 = \(\frac{1}{2} (2a + 3a + b) h = \frac{1}{2} (5a + b) h\)。
应用单项式与多项式乘法法则：\(\frac{1}{2}h 5a + \frac{1}{2}h b = \frac{5}{2}ah + \frac{1}{2}bh\)。
因此，梯形的面积为\(\frac{5}{2}ah + \frac{1}{2}bh\)。
例题 5：规律探索：观察下列多项式：\(2x - 3\)，\(4x^2 - 5x + 6\)，…，计算单项式\(3x\)与这两个多项式的积，并找出积的项数与原多项式项数的关系。
解题步骤：
\(3x (2x - 3) = 6x^2 - 9x\)（积有 2 项，与原多项式项数相同）。
\(3x (4x^2 - 5x + 6) = 12x^3 - 15x^2 + 18x\)（积有 3 项，与原多项式项数相同）。
结论：单项式与多项式相乘，积的项数与原多项式的项数相同。
配图：例题 4 的梯形示意图及面积计算标注，例题 5 的多项式乘法规律分析图
幻灯片 10：课堂互动：计算与辨析
活动一：基础计算：
练习 1：计算\(5a(2a + 3b)\)；\(-2x(3x^2 - 4x + 2)\)；\(a^2(ab - a^2b^2 + b)\)。
练习 2：计算\((-3x)^2(2x - y)\)；\(2a(a^2 + 3a) - 3a^2(a - 1)\)。
活动二：辨析纠错：
指出错误并改正：
（1）\(2x(3x^2 + 4) = 6x^3 + 4\)（错误，漏乘常数项，应为\(6x^3 + 8x\)）。
（2）\(-3a(2a - b) = -6a^2 - 3ab\)（错误，符号错误，应为\(-6a^2 + 3ab\)）。
（3）\(x^2(xy + x^2) = x^3y + x^2\)（错误，同底数幂乘法错误，应为\(x^3y + x^4\)）。
活动三：能力提升：
练习 3：已知\(A = 2x\)，\(B = x^2 - 3x + 1\)，求\(3A B\)的结果。
练习 4：若\(x(x - 2) - 2(x^2 - 3) = -x^2 + mx + n\)，求\(m\)、\(n\)的值。
配图：练习题展示图，附带答题区和纠错提示
幻灯片 11：课堂总结与归纳
知识要点回顾：
单项式与多项式相乘的定义：单项式与多项式之间的乘法运算。
运算法则：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加（基于乘法分配律）。
运算步骤：先分配乘法，再单项式相乘，最后合并结果（合并同类项）。
混合运算：含乘方的需先算乘方，再算乘法，最后算加减；化简求值需先化简再代入。
方法总结：进行单项式与多项式乘法时，可按 “分配→单项式相乘→合并” 的顺序分步计算，确保每一项都相乘且符号正确；注意结果要化简（合并同类项）。
易错提醒：
漏乘多项式中的某一项（尤其是常数项）。
单项式与多项式各项相乘时符号错误。
同底数幂相乘时指数计算错误。
结果中未合并同类项。
幻灯片 12：课后作业布置
基础作业：课本 [具体页码] 习题 [具体题号]，完成单项式与多项式相乘的基本计算题。
提升作业：
计算：\((-2x^2y)^2(3xy - x^2y + 1)\)；\(3a(a^2 - 2a + 1) - 2(a^3 - 3a^2 + 2a)\)。
已知一个多项式与单项式\(-2x\)的积为\(-6x^3 + 4x^2 - 2x\)，求这个多项式。
拓展作业：
一个长方形的长为\(x + 2\)，宽为\(3x\)，若长增加\(2\)，宽不变，求新长方形的面积比原长方形的面积增加了多少。
探索规律：计算\(x(x^n + x^{n - 1} + + x + 1)\)（\(n\)为正整数），并用含\(x\)和\(n\)的式子表示结果。
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
11.2.2单项式与多项式相乘
第11章 整式的乘除
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1．理解并掌握单项式与多项式的乘法法则，并学会利用该法则对式子进行化简求值；
2．结合几何图形的面积，深入理解整式乘法的意义；
温故知新
2.完成下列各题.
（1）2x2·(-4xy)=（ ）；（2）(-2x2)·(-3xy)=（ ）；
（3）(-ab)·(ab2)=( ).
-8x3y
6x3y
-a2b3
1.单项式乘法法则：
单项式乘单项式：把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数不变，作为积的因式.
遇到积的乘方 先做乘方，再做单项式相乘.
注意：系数相乘不要漏掉负号.
温故知新
3. 5×(7-2+3)=5×____+5×____+5×____，依据是什么？将题中数转换成字母a、b、c、d，则a·（b+c+d）=___________.
4.你能将算出的结果用长方形的面积验证吗？
7
(-2)
3
a
b
c
d
ab
ac
ad
ab+ac+ad
知识点一 单项式与多项式相乘
如图，试求出三块草坪的的总面积是多少？
如果把它看成三个小长方形，那么它们的面积可分别表示为_____、_____、_____.
p
p
a
b
p
c
pa
pc
pb
观察三幅图片，我们发现三个长方形有一条边是一样的，那我们是否可以将它们连到一起呢？
p
p
a
b
p
c
c
b
a
p
pa+pb+pc
p(a+b+c)
p (a + b+ c)
pb
+
pc
pa
+
根据乘法的分配律
知识要点
单项式乘以多项式的法则
单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加.
（1）依据是乘法分配律；
（2）积的项数与多项式的项数相同.
注意
m
b
p
a
p
c
单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加.
① 不能漏乘：即单项式要乘遍多项式的
每一项；
② 去括号时注意符号的确定.
典例精析
【例1】化简5a·(2a2-ab)，结果正确的是（　　）
A．-10a3-5ab B．10a3-5a2b C．10a2-5a2b D．-10a3+5a2b
【详解】解：5a·(2a2-ab)=10a3-5a2b，
故选：B．
【点睛】此题考查了单项式乘以多项式的知识，牢记法则是解答本题的关键，属于基础题，比较简单．
练一练
1．某班墙上的“学习园地”是一个长方形，它的长为3a，宽为2a+b，则这个长方形“学习园地”的面积为 ．
【详解】解：根据题意得：这个长方形“学习园地”的面积为
3a(2a+b)=6a2+3ab
故答案为：6a2+3ab
2．先化简，再求值：x2(x+3)-x(x2+2x-1)，其中x2+x=2．
【详解】解：x2(x+3)-x(x2+2x-1)
=x3+3x2-x3-2x2+x
=x2+x，
∵x2+x=2，
∴原式=2．
1．下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2=a4 B．(a2)3=a5
C．-b(b+2a)=-b2-2ab D．(-a2b)3=a5b3
【详解】解：A、a2+a2=2a2，选项错误，不符合题意；
B、(a2)3=a6，选项错误，不符合题意；
C、-b(b+2a)=-b2-2ab，选项正确，符合题意；
D、(-a2b)3=-a6b3，选项错误，不符合题意；
故选C．
2．某校利用课后服务开展了主题为“浸润书香，放飞悦读”的读书活动．现需购买甲，乙两种图书共300本供学生阅读，其中甲种图书的单价为a元/本，乙种图书的单价为2a元/本，若购买甲种图书本，则该校购买甲乙两种图书总费用为（　　）
A．(300a+ax)元 B．(300a-ax)元
C．(600a+ax)元 D．(600a-ax)元
【详解】解：∵甲，乙两种图书共300本，甲种图书有x本，
∴乙种图书有(300-x)本，
甲种图书的单价为a元/本，乙种图书的单价为2a元/本，
∴该校购买甲乙两种图书总费用为
ax+2a(300-x)=ax+600a-2ax=600a-ax.
故选：D．
3．已知m2-m-1=0，则m3-m2-m+2025的值是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【详解】解：∵m2-m-1=0，
∴m2=m+1，
∴m3-m2-m+2025
=m(m+1)-m2-m+2025
=m2+m-m2-m+2025
=2025．
故选C．
1. 化简： ( )
A. B.
C. D.
2. 下列计算正确的是( )
A.
B.
C.
D.
√
√
返回
3. ［2025天津西青区期末］一个长方体的长，宽，高分别是
，， ，则这个长方体的体积是( )
A. B. C. D.
4. ［2025南阳月考］已知 ，则代数式
的值为( )
A. 3 B. C. D. 8
5.已知，则 的值为___.
9
√
√
返回
6.今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式.放学后，小华
回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然
发现一道题： .
“”的地方被钢笔水弄污了，你认为“ ”里应填:______.
返回
7. 计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式
.
（3） .
原式 .
返回
8.李老师给学生出了一道题：当， 时，求
的值.题目出
完后，小聪说：“老师给的条件， 是多余
的.”小明说：“不给这两个条件，就不能求出结果，所以不是
多余的.”你认为他们谁说得有道理？为什么？
【解】小聪说得有道理.
因为
，
所以此题的结果与， 的值无关.故小聪说得有道理.
返回
单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
注意：单项式与多项式相乘,在没有合并同类项前，其积仍是多项式，项数与原多项式的项数相同.积的每一项的符号由原多项式各项符号和单项式的符号来决定.
注意运用去括号法则，不要漏乘项．
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑