资源简介

(共26张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：11.3.1 两数和乘以这两数的差
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：含有公式\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)的背景图，搭配面积差示意图突出公式的几何意义
幻灯片 2：目录
情境引入：平方差公式的实际背景
复习回顾：多项式与多项式相乘法则
平方差公式的推导
平方差公式的表述与特征
典型例题讲解
课堂互动：计算与辨析
课堂总结与归纳
课后作业布置
幻灯片 3：情境引入：平方差公式的实际背景
实际问题 1：一个边长为\(a\)的正方形，在一角剪去一个边长为\(b\)的小正方形（\(a > b\)），求剩余部分的面积。
方法一：面积差 = 大正方形面积 - 小正方形面积 = \(a^2 - b^2\)。
方法二：分割拼接为矩形，长 = \(a + b\)，宽 = \(a - b\)，面积 = \((a + b)(a - b)\)。
结论：\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)。
实际问题 2：计算\((100 + 1)(100 - 1)\)，你能快速得出结果吗？（引出简便计算的需求）
引入概念：像\((a + b)(a - b)\)这样，两数和与这两数差的乘积，可以用特殊公式简化计算，这就是平方差公式。
配图：正方形剪拼面积示意图（标注大正方形、小正方形和矩形的边长与面积）
幻灯片 4：复习回顾：多项式与多项式相乘法则
法则内容：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
符号表示：\((m + n)(p + q) = mp + mq + np + nq\)。
示例应用：
\((x + 2)(x + 3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6\)。
\((2a - b)(3a + c) = 6a^2 + 2ac - 3ab - bc\)。
引入新问题：当两个多项式是 “两数和” 与 “这两数差” 的形式时，它们的乘积是否有规律可循？
配图：多项式乘法分步展开示例图，标注各项相乘过程
幻灯片 5：平方差公式的推导
实例分析：
计算\((a + b)(a - b)\)：
应用多项式乘法法则：\(a a + a (-b) + b a + b (-b)\)。
化简计算：\(a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2\)（中间两项互为相反数，合并后消去）。
计算\((x + 3)(x - 3)\)：
多项式乘法展开：\(x x + x (-3) + 3 x + 3 (-3) = x^2 - 3x + 3x - 9\)。
合并同类项：\(x^2 - 9\)。
计算\((2m + n)(2m - n)\)：
分步展开：\(2m 2m + 2m (-n) + n 2m + n (-n) = 4m^2 - 2mn + 2mn - n^2\)。
结果化简：\(4m^2 - n^2\)。
规律总结：
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，即\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)。
配图：公式推导过程示意图，标注中间项消去的过程
幻灯片 6：平方差公式的表述与特征
文字语言：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差。
符号语言：\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)。
公式特征：
左边：两个二项式相乘，这两个二项式中，有一项完全相同（\(a\)），另一项互为相反数（\(b\)与\(-b\)）。
右边：相同项的平方减去相反项的平方（\(a^2 - b^2\)）。
几何意义：表示边长为\(a\)的正方形面积与边长为\(b\)的正方形面积的差，可转化为长\((a + b)\)、宽\((a - b)\)的矩形面积。
示例辨析：
符合公式特征：\((x + 2)(x - 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4\)；\((3a + 5b)(3a - 5b) = (3a)^2 - (5b)^2 = 9a^2 - 25b^2\)。
不符合公式特征：\((x + 2)(x + 3)\)（无相反项）；\((2a + b)(-2a - b)\)（无相同项，两项均相反）。
配图：公式特征对比图（左边项的关系、右边结果形式），几何意义示意图
幻灯片 7：典型例题讲解（一）—— 直接应用公式
例题 1：运用平方差公式计算下列各题。
（1）\((x + 5)(x - 5)\) 解：原式 = \(x^2 - 5^2 = x^2 - 25\)。
（2）\((3a - 2b)(3a + 2b)\) 解：原式 = \((3a)^2 - (2b)^2 = 9a^2 - 4b^2\)。
（3）\((-m + n)(-m - n)\) 解：相同项为\(-m\)，相反项为\(n\)与\(-n\)，原式 = \((-m)^2 - n^2 = m^2 - n^2\)。
（4）\((2x + y)(y - 2x)\) 解：调整顺序为\((y + 2x)(y - 2x)\)，原式 = \(y^2 - (2x)^2 = y^2 - 4x^2\)。
注意事项：
准确识别相同项和相反项，避免符号错误（如\((-m + n)(-m - n)\)中相同项是\(-m\)）。
公式中的\(a\)和\(b\)可以是具体的数、单项式或多项式。
结果中相同项和相反项的平方要计算正确（系数和指数都需平方）。
配图：例题 1 中相同项和相反项的标注，计算步骤分解
幻灯片 8：典型例题讲解（二）—— 公式的灵活应用
例题 2：计算下列各题（底数为多项式或需变形）。
（1）\((x + y + z)(x + y - z)\) 解：把\((x + y)\)看作整体，原式 = \([(x + y) + z][(x + y) - z] = (x + y)^2 - z^2 = x^2 + 2xy + y^2 - z^2\)。
（2）\(102 98\) 解：转化为两数和与差的形式，原式 = \((100 + 2)(100 - 2) = 100^2 - 2^2 = 10000 - 4 = 9996\)。
（3）\((a - 1)(a + 1)(a^2 + 1)\) 解：连续应用平方差公式，原式 = \((a^2 - 1)(a^2 + 1) = (a^2)^2 - 1^2 = a^4 - 1\)。
例题 3：化简求值：已知\(a = 3\)，\(b = 1\)，求\((2a + b)(2a - b) - 4a(a - b)\)的值。
解题步骤：
先化简式子：\(4a^2 - b^2 - 4a^2 + 4ab = -b^2 + 4ab\)。
代入\(a = 3\)，\(b = 1\)：\(-1^2 + 4 3 1 = -1 + 12 = 11\)。
说明：对于多项式形式的底数，可通过整体代换应用公式；对于接近整十、整百的数的乘法，可转化为公式形式简便计算；连续乘法可多次应用公式。
配图：例题 2 中整体代换的标注，例题 3 的化简与代入过程
幻灯片 9：典型例题讲解（三）—— 实际应用与规律拓展
例题 4：实际应用：一个长方形的周长为\(40\)厘米，长比宽多\(2\)厘米，求这个长方形的面积。
解题步骤：
设宽为\(x\)厘米，则长为\((x + 2)\)厘米，周长 = \(2(x + x + 2) = 40\)，解得\(x = 9\)，长 = \(11\)厘米。
面积 = 长 × 宽 = \(11 9\)，应用公式：\((10 + 1)(10 - 1) = 10^2 - 1^2 = 100 - 1 = 99\)平方厘米。
因此，长方形的面积为\(99\)平方厘米。
例题 5：规律拓展：计算\((a - b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)\)，并总结规律。
解题步骤：
连续应用平方差公式：\((a^2 - b^2)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4) = (a^4 - b^4)(a^4 + b^4) = a^8 - b^8\)。
规律：每多乘一个\((a^{2^n} + b^{2^n})\)，结果的指数翻倍，即\((a - b)(a + b)(a^2 + b^2) (a^{2^n} + b^{2^n}) = a^{2^{n + 1}} - b^{2^{n + 1}}\)。
配图：例题 4 的长方形边长关系示意图，例题 5 的公式连续应用过程图
幻灯片 10：课堂互动：计算与辨析
活动一：基础计算：
练习 1：计算\((x - 4)(x + 4)\)；\((5m + 3n)(5m - 3n)\)；\((-2x - y)(-2x + y)\)。
练习 2：计算\((a + b - c)(a + b + c)\)；\(99 101\)。
活动二：辨析纠错：
指出错误并改正：
（1）\((x + 2)(x - 2) = x^2 - 2\)（错误，相反项平方错误，应为\(x^2 - 4\)）。
（2）\((2a + 3b)(2a - 3b) = 2a^2 - 3b^2\)（错误，相同项平方错误，应为\(4a^2 - 9b^2\)）。
（3）\((-a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)（错误，无相同项，应为\(-(a - b)^2 = -a^2 + 2ab - b^2\)）。
活动三：能力提升：
练习 3：已知\((x - y)(x + y) = 12\)，\(x + y = 6\)，求\(x\)和\(y\)的值。
练习 4：计算\((2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1) + 1\)（提示：乘以\((2 - 1)\)构造平方差公式）。
配图：练习题展示图，附带答题区和纠错提示（用不同颜色标注错误位置）
幻灯片 11：课堂总结与归纳
知识要点回顾：
平方差公式的定义：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差（\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)）。
公式特征：左边是 “相同项 + 相反项” 与 “相同项 - 相反项” 的乘积，右边是相同项平方减相反项平方。
应用条件：两个二项式相乘，必须具备 “一项相同、一项相反” 的特征。
灵活应用：整体代换（多项式作为\(a\)或\(b\)）、简便计算（转化整十整百数）、连续应用公式。
方法总结：应用平方差公式时，先识别相同项和相反项，再套用公式计算；对于不符合特征的式子，不可强行应用公式，需用一般多项式乘法法则；复杂式子可通过变形或整体代换转化为公式形式。
易错提醒：
错误识别相同项和相反项，导致符号错误。
平方时遗漏系数或指数（如\((3a)^2\)写成\(3a^2\)）。
对不满足 “一项相同、一项相反” 的式子错误应用公式。
整体代换时忘记给多项式加括号再平方。
幻灯片 12：课后作业布置
基础作业：课本 [具体页码] 习题 [具体题号]，完成平方差公式的基本计算题。
提升作业：
计算：\((3x - 2)(3x + 2) - (x + 1)(x - 1)\)；\((a + b)(a - b) + (2a + b)(2a - b)\)。
已知\(a + b = 5\)，\(a - b = 3\)，求\(a^2 - b^2\)和\(a^2 + b^2\)的值。
拓展作业：
一个大正方形的边长比小正方形的边长长\(3\)厘米，且面积之差为\(39\)平方厘米，求两个正方形的边长。
探索规律：计算\((1 - \frac{1}{2^2})(1 - \frac{1}{3^2})(1 - \frac{1}{4^2}) (1 - \frac{1}{n^2})\)（提示：应用平方差公式分解）。
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
11.3.1两数和乘以这两数的差
第11章 整式的乘除
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1、理解两数和乘以这两数差的几何意义.
2、理解并掌握两数和乘以这两数差的公式结构，并能正确运算.
　
温故知新
多项式与多项式是如何相乘的？
（x ＋ 3)( x＋5）
=x2＋5x＋3x＋15
=x2＋8x＋15.
(a+b)(m+n)
=am
+an
+bm
+bn
将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形，剪下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形，你能表示剪拼前后的图形的面积关系吗？
(a+b)(a b) = a2 b2
？
知识点一 两数和乘以这两数的差
做
一
做
用多项式乘法法则计算：(a+b)(a-b).
( a + b ) ( a – b )
=a·a
+a·b
-a·b
-b·b
=a2-b2
①(x ＋ 1)( x－1)；
②(m ＋ 2)( m－2)；
③(2m＋ 1)(2m－1)；
④(5y ＋ z)(5y－z).
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
②（m＋ 2)( m－2）=m2－22
③（2x＋ 1)( 2x－1)=4m2 － 12
④（5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2
①（x ＋1)( x－1）=x2 － 1，
想一想：这些计算结果有什么特点？
x2 － 12
m2－22
(2m)2 － 12
(5y)2 － z2
(a+b)(a-b)=a2-b2
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式.
利用这个公式，可以直接计算两数和乘以这两数的差.
公式变形:
1.（a – b ) ( a + b) = a2 - b2
2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
=
－
(a+b)(a－b)
a2
b2
几 何 解 释
b2
a
a
b
b
(a-b)(a+b)
a2
观察图形，再用等式表示图中图形面积的运算：
典例精析
计算：
（1）(a+3)(a-3)
（2）(2a+3b)(2a-3b)
（3）(1+2c)(1-2c)
=a2-9
=4a2-9b2
=1-4c2
例1
=a2-32
=(2a)2-(3b)2
=12-(2c)2
（4）(-2x-y)(2x-y)
=-(2x+y)(2x-y)
=-(4x2-y2)
=-4x2+y2
-(2x+y)
或
（4）(-2x-y)(2x-y)
=(-y-2x)(-y+2x)
=(-y) 2-(2x)2
=y2 -4x2
(-y-2x)
计算：1998×2002.
1998×2002
=(2000-2)×(2000+2)
=4000000-4
=3999996
例2
=20002-22
写成两数和乘以这两数差的形式，可使计算简便.
1998
=(2000-2)
(2000+2)
2002
计算：
(x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1).
(x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1)
=(x2-1)(x2+1)(x4+1)(x8+1)
=(x4-1)(x4+1)(x8+1)
=(x8-1)(x8+1)
=x16-1
解
补充例题
先化简，再求值：
(y+3x)(3x-y)-(3y+x)(3y-x).其中x=-2，y=3.
(y+3x)(3x-y)-(3y+x)(3y-x)
=[(3x)2-y2]-[(3y)2-x2]
=9x2-y2-9y2+x2
=10x2-10y2
当x=-2，y=3时，
原式=10×(-2)2-10×32=40-90=-50.
补充例题
1．下列能用平方差公式计算的式子是( )
A．(a-b)(a-b) B．(-a+b)(a-b)
C．(-a-b)(-a+b) D．(-a-b)(a+b)
【详解】解：A.(a-b)(a-b)，a,b符号相同，不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；
B.(-a+b)(a-b)，a,b符号相反，不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；
C.(-a-b)(-a+b)，a符号相同，b符号相反，能用平方差公式进行计算，故此选项符合题意；
D.(-a-b)(a+b)，a,b符号相反，不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意.
故选：C．
2．如图，大正方形与小正方形的面积差为72，则阴影部分的面积为 （ ）

A．22 B．24 C．30 D．36
【详解】解：设大正方形边长为x，小正方形边长为y，
则AE=x-y，x2-y2=72，
阴影部分的面积是：
=(x-y)x·x+(x-y)·y
=(x-y)(x+y)
=(x2-y2)
=×72
=36．
故选：D．

1. ［2025深圳龙华区期中］下列多项式相乘，不能运用平方
差公式计算的是( )
C
A. B.
C. D.
2. 下列多项式中，与相乘的结果为 的是
( )
D
A. B. C. D.
返回
3. 若，则 等于( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
B
返回
4. 已知，，则与 的大小关
系是( )
A
A. B. C. D. 不能确定
【点拨】 ，
，
.
返回
5.三个连续偶数，若中间一个是 ，则它们的积为________.
6. 已知 ，则式子
的值为____.
【点拨】 ，
， 原式 .
返回
7. 霍州鼓楼位于山西霍州市城内中心，明万历
十一年（1583年）建，又称文昌阁.其结构外表是明二假三层，
它的间架结构复杂新颖、巧妙结合，采用了我国古建筑中的
一种凹凸结合的连接方式——榫卯 结构，精密谨
严天衣无缝，行家里手惊佩它工艺精湛超群绝伦.如图①是一
个榫卯结构的零部件，图②是其截面图，整体是一个长为
，宽为 的长方形，中间凿掉一个边长
为的正方形，且该零件的高为 .则这个零部件的体积
为____________ .
返回
(a+b)(a-b)=a2-b2
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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