资源简介

(共25张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：11.3.2 两数和（差）的平方
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：含有公式\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)和\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)的背景图，搭配大正方形面积分割示意图突出公式几何意义
幻灯片 2：目录
情境引入：完全平方公式的实际背景
复习回顾：多项式乘法与平方差公式
两数和的平方公式推导
两数差的平方公式推导
完全平方公式的表述与特征
典型例题讲解
课堂互动：计算与辨析
课堂总结与归纳
课后作业布置
幻灯片 3：情境引入：完全平方公式的实际背景
实际问题 1：一个边长为\((a + b)\)的正方形，用两种方法表示它的面积。
方法一：整体面积 = 边长 × 边长 = \((a + b)^2\)。
方法二：分割面积 = 边长为\(a\)的正方形面积 + 边长为\(b\)的正方形面积 + 2 个长\(a\)宽\(b\)的矩形面积 = \(a^2 + 2ab + b^2\)。
结论：\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)。
实际问题 2：计算\((x - 3)^2\)，你能通过多项式乘法得出结果吗？是否有简便规律？
引入概念：像\((a + b)^2\)、\((a - b)^2\)这样，两数和或差的平方运算，可以用特殊公式简化计算，这就是完全平方公式。
配图：边长为\((a + b)\)的正方形分割示意图（标注各部分边长与面积）
幻灯片 4：复习回顾：相关知识回顾
多项式与多项式相乘法则：
文字语言：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
示例：\((m + n)(p + q) = mp + mq + np + nq\)。
平方差公式：
符号表示：\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)。
特征：两项和与差的积，结果为平方差。
引入新问题：当两个相同的多项式（两数和或差）相乘时，它们的乘积有什么规律？
配图：多项式乘法展开示例图，平方差公式特征对比图
幻灯片 5：两数和的平方公式推导
实例分析：
计算\((a + b)^2\)：
转化为多项式乘法：\((a + b)(a + b)\)。
应用法则展开：\(a a + a b + b a + b b\)。
合并同类项：\(a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\)。
计算\((x + 2)^2\)：
多项式乘法展开：\(x x + x 2 + 2 x + 2 2 = x^2 + 2x + 2x + 4\)。
合并结果：\(x^2 + 4x + 4\)。
计算\((3m + n)^2\)：
分步展开：\(3m 3m + 3m n + n 3m + n n = 9m^2 + 3mn + 3mn + n^2\)。
化简结果：\(9m^2 + 6mn + n^2\)。
规律总结：
两数和的平方，等于这两数的平方和加上这两数积的 2 倍，即\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)。
配图：公式推导过程示意图，标注同类项合并过程
幻灯片 6：两数差的平方公式推导
实例分析：
计算\((a - b)^2\)：
转化为多项式乘法：\((a - b)(a - b)\)。
应用法则展开：\(a a + a (-b) + (-b) a + (-b) (-b)\)。
合并同类项：\(a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2\)。
计算\((x - 3)^2\)：
多项式乘法展开：\(x x + x (-3) + (-3) x + (-3) (-3) = x^2 - 3x - 3x + 9\)。
合并结果：\(x^2 - 6x + 9\)。
计算\((2a - b)^2\)：
分步展开：\(2a 2a + 2a (-b) + (-b) 2a + (-b) (-b) = 4a^2 - 2ab - 2ab + b^2\)。
化简结果：\(4a^2 - 4ab + b^2\)。
规律总结：
两数差的平方，等于这两数的平方和减去这两数积的 2 倍，即\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)。
几何意义：边长为\(a\)的正方形面积减去长\(a\)宽\(b\)的矩形面积的 2 倍，加上边长为\(b\)的正方形面积（补全空缺部分）。
配图：公式推导过程示意图，几何意义补全示意图
幻灯片 7：完全平方公式的表述与特征
文字语言：
两数和的平方：两数和的平方，等于这两数的平方和加上这两数积的 2 倍。
两数差的平方：两数差的平方，等于这两数的平方和减去这两数积的 2 倍。
符号语言：
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)。
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)。
公式特征：
左边：两数和（或差）的平方，是两个相同的二项式相乘。
右边：三项式，由 “首项平方、尾项平方、两倍首尾积” 组成（和平方加两倍积，差平方减两倍积）。
符号规律：和平方全为正，差平方中间项为负，首尾项均为正。
示例辨析：
正确应用：\((m + 2n)^2 = m^2 + 4mn + 4n^2\)；\((3x - 4y)^2 = 9x^2 - 24xy + 16y^2\)。
常见错误：\((a + b)^2 = a^2 + b^2\)（漏中间项）；\((a - b)^2 = a^2 - b^2\)（混淆平方差公式）。
配图：公式特征对比图（左边形式、右边项组成），错误示例对比图
幻灯片 8：典型例题讲解（一）—— 直接应用公式
例题 1：运用完全平方公式计算下列各题。
（1）\((x + 5)^2\) 解：原式 = \(x^2 + 2 x 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25\)。
（2）\((3a - 2b)^2\) 解：原式 = \((3a)^2 - 2 3a 2b + (2b)^2 = 9a^2 - 12ab + 4b^2\)。
（3）\((-m + n)^2\) 解：转化为\((n - m)^2\)或直接应用和平方，原式 = \(n^2 - 2mn + m^2 = m^2 - 2mn + n^2\)。
（4）\((-2x - y)^2\) 解：转化为\((2x + y)^2\)（平方后符号不变），原式 = \(4x^2 + 4xy + y^2\)。
注意事项：
准确识别 “首项\(a\)” 和 “尾项\(b\)”，确保平方时系数和指数都参与运算。
差平方的中间项为负，不要遗漏符号；和平方的中间项为正。
对于负号较多的式子，可先转化为和平方形式（如\((-a - b)^2 = (a + b)^2\)）。
配图：例题 1 中首项和尾项的标注，计算步骤分解
幻灯片 9：典型例题讲解（二）—— 公式的灵活应用
例题 2：计算下列各题（底数为多项式或需变形）。
（1）\((x + y + z)^2\) 解：把\((x + y)\)看作整体，原式 = \([(x + y) + z]^2 = (x + y)^2 + 2(x + y)z + z^2 = x^2 + 2xy + y^2 + 2xz + 2yz + z^2\)。
（2）\(102^2\) 解：转化为和平方形式，原式 = \((100 + 2)^2 = 100^2 + 2 100 2 + 2^2 = 10000 + 400 + 4 = 10404\)。
（3）\((a + b)^2 - (a - b)^2\) 解：分别展开再相减，原式 = \(a^2 + 2ab + b^2 - (a^2 - 2ab + b^2) = 4ab\)。
例题 3：化简求值：已知\(x + y = 5\)，\(xy = 3\)，求\(x^2 + y^2\)和\((x - y)^2\)的值。
解题步骤：
由完全平方公式变形：\(x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 5^2 - 2 3 = 25 - 6 = 19\)。
\((x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = 19 - 2 3 = 13\)。
说明：多项式的平方可通过整体代换分步应用公式；接近整十整百数的平方可转化为和（差）平方简便计算；利用公式变形可快速求代数式的值。
配图：例题 2 中整体代换的标注，例题 3 的公式变形推导过程
幻灯片 10：典型例题讲解（三）—— 实际应用与规律拓展
例题 4：实际应用：一个正方形的边长增加\(3\)厘米后，面积增加了\(39\)平方厘米，求原正方形的边长。
解题步骤：
设原边长为\(x\)厘米，新边长为\((x + 3)\)厘米。
面积差：\((x + 3)^2 - x^2 = 39\)，展开得\(x^2 + 6x + 9 - x^2 = 6x + 9 = 39\)。
解得\(6x = 30\)，\(x = 5\)，因此原正方形边长为\(5\)厘米。
例题 5：规律拓展：比较完全平方公式与平方差公式的区别，总结\((a + b)^2\)、\((a - b)^2\)、\((a + b)(a - b)\)的关系。
关系推导：
\((a + b)^2 + (a - b)^2 = 2a^2 + 2b^2\)（平方和的 2 倍）。
\((a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab\)（积的 4 倍）。
\((a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab\)（和平方与差平方的转化）。
配图：例题 4 的正方形边长变化示意图，例题 5 的公式关系推导图
幻灯片 11：课堂互动：计算与辨析
活动一：基础计算：
练习 1：计算\((x - 6)^2\)；\((2m + 3n)^2\)；\((-a - 2b)^2\)。
练习 2：计算\((a + b - c)^2\)；\(99^2\)。
活动二：辨析纠错：
指出错误并改正：
（1）\((x + 2)^2 = x^2 + 4\)（错误，漏中间项，应为\(x^2 + 4x + 4\)）。
（2）\((3a - b)^2 = 9a^2 - 3ab + b^2\)（错误，中间项系数错误，应为\(9a^2 - 6ab + b^2\)）。
（3）\((a - b)^2 = a^2 - b^2\)（错误，混淆公式，应为\(a^2 - 2ab + b^2\)）。
活动三：能力提升：
练习 3：已知\((a + b)^2 = 10\)，\((a - b)^2 = 6\)，求\(ab\)和\(a^2 + b^2\)的值。
练习 4：已知\(x^2 + y^2 = 25\)，\(xy = 12\)，求\(x + y\)和\(x - y\)的值。
配图：练习题展示图，附带答题区和纠错提示（用不同颜色标注错误位置）
幻灯片 12：课堂总结与归纳
知识要点回顾：
完全平方公式包括两数和的平方\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)和两数差的平方\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)。
公式特征：右边为三项式，由首项平方、尾项平方、两倍首尾积组成，和平方中间项为正，差平方中间项为负。
灵活应用：整体代换求多项式平方，转化整十整百数简便计算，公式变形求代数式的值。
与平方差公式的区别：完全平方公式结果是三项式，平方差公式结果是二项式；完全平方公式是相同二项式相乘，平方差公式是和与差相乘。
方法总结：应用完全平方公式时，先确定首项和尾项，按 “首平方、尾平方、两倍首尾放中央（和为正，差为负）” 的口诀记忆；复杂式子通过整体代换分步计算；注意公式变形的灵活运用。
易错提醒：
漏写中间项（如\((a + b)^2\)只算\(a^2 + b^2\)）。
中间项系数错误（未乘 2 或系数平方错误）。
差平方的中间项符号错误（写成正号）。
混淆完全平方公式与平方差公式的形式和结果。
幻灯片 13：课后作业布置
基础作业：课本 [具体页码] 习题 [具体题号]，完成完全平方公式的基本计算题。
提升作业：
计算：\((2x + 3y)^2 - (2x - 3y)^2\)；\((a - 2b + c)^2\)。
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
11.3.2两数和（差）的平方
第11章 整式的乘除
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释并能够灵活应用.
2.理解完全平方公式的结构特征，灵活应用完全平方公式.
温故知新
1.问：平方差公式是怎样的？
(a+b)(a b)=a2 b2
2.利用平方差公式计算：
（1）(2x+7b)(2x–7b)；
（2）(－m+3n)(m+3n).
3.你能快速的计算201×199吗？
4x2－49b2
9n2－m2
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.
a
a
b
b
直接求：总面积=（a+b)(a+b)
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2
你发现了什么？
（a+b)2=a2+2ab+b2
知识点一 两数和（差）的平方
做
一
做
用多项式乘法法则计算：(a+b)2.
(a+b)2=( a + b ) ( a + b )
=a2
+ab
+ab
+b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1） （p+1)2=(p+1)(p+1)= .
p2+2p+1
（2） （m+2)2=(m+2)(m+2)= .
m2+4m+4
（3） （p-1)2=(p-1)(p-1)= .
p2-2p+1
（4） （m-2)2=(m-2)(m-2)= .
m2-4m+4
根据上面的规律，你能直接下面式子的写出答案吗？
（a+b)2= .
a2+2ab+b2
利用这个公式，可以直接计算两数和的平方.
(a+b)2=a2+2ab+b2
这就是说，两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍.
这个公式叫做两数和的平方公式.
a
2
b
2
ab
ab
a
b
a+b
a+b
a
b
a
2
ab
ab
b
2
(a+b)
2
=
a
2
+
2ab
+
b
2
(a+b)2
a2 + 2ab + b2
=
试一试
观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算：
计算：
例1
（1）(3x+2y)2
（2）(4a+ )2
解
=(3x)2+2·3x·2y+(2y)2
=9x2+12xy+4y2
=(4a)2+2·4a· +( )2
=16a2+4ab+
把3x和2y分别看成a和b
试一试
推导两数差的平方公式（a-b）2
注意到a-b=a+(-b),也可以利用两数和的平方公式来计算
这样就得到了两数差的平方公式：
（a-b)2= .
a2-2ab+b2
两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍.
观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算：
a
b
a
b
a2
ab
ab
b2
=
-
+
(a-b)2
a2
2ab
=
-
+
b2
解: (2x－3)2=
=4x2
例2、计算(2x－3)2；
( a－ b )2 =a2 － 2ab + b2
(2x)2
－2 (2x) 3
+32
－12x
+9；
已知x+y=4，xy=2，
求（1）x2+y2；（2）3x2-xy+3y2；（3）x-y
补充例题
(1)x2+y2=(x+y)2-2xy=42-2×2=16-4=12
(2)3x2-xy+3y2=3(x+y)2-7xy=3×42-7×4=3×16-28=20
解
(3)(x-y)2＝(x+y)2-4xy
=42-4×2=8
所以 x-y= =
1.下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当
怎样改正？
（1）(x+y)2=x2 +y2
(2)(x －y)2 =x2 －y2
(3) (－x +y)2 =x2+2xy +y2
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2
×
×
×
×
x2+2xy +y2
x2－2xy +y2
x2 －2xy +y2
4x2+4xy +y2
(1) (6a+5b)2； =36a2+60ab+25b2；
(2) (4x－3y)2 ；
=16x2－24xy+9y2；
(3) (2m－1)2 ；
=4m2－4m+1；
(4)(－2m－1)2 .
=4m2+4m+1.
2.运用完全平方公式计算:
1. 如果 是一个完全平方式，则
的值是( )
C
A. 3 B. 9 C. 6或 D.
两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了
一个完全平方式.注意积的2倍的符号，避免漏解.
返回
（第2题）
2. 如图，由图形的面积关系能够直观说明
的代数恒等式是( )
C
A.
B.
C.
D.
3.若，则代数式 为______.
返回
4. 已知，，则
____.
29
【点拨】， ，
.
返回
5. 小明在做作业时，不慎把墨水滴在纸
上，将一个三项式前后两项污染得看不清楚了，中间项是 ，
请在横线上填入恰当的式子，使等式成立：_____ ____
（_______________________） .（写出一种即可）
（答案不唯一）
返回
（第6题）
6. 10月1日，太原
五一广场举行庄严的升国旗仪式.
如图是一块长为 ，宽
为 的长方形地块，在其
中心是一个边长为 的正
方形升旗台，则图中阴影部分的
面积为_____________. （用含, 的代数式表示）
返回
7.计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） ；
原式 .
（4） .
原式 .
返回
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍.
这就是说，两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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