资源简介

(共24张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：11.4.1 单项式除以单项式
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：含有单项式除法算式（如\(6x^3y^2 · 2xy\)）的背景图，突出系数和字母因式的除法特征
幻灯片 2：目录
情境引入：单项式除法的实际背景
复习回顾：相关知识回顾
单项式除以单项式法则的推导
单项式除以单项式法则的表述
典型例题讲解
课堂互动：计算与辨析
课堂总结与归纳
课后作业布置
幻灯片 3：情境引入：单项式除法的实际背景
实际问题 1：一个长方形的面积为\(12a^3b^2\)，其中一边长为\(3ab\)，求另一边长。
分析：长方形另一边长 = 面积 ÷ 已知边长，即\(12a^3b^2 · 3ab\)。
思考：如何计算这个由单项式相除组成的式子？
实际问题 2：一个正方体的体积为\(8x^6y^3\)，求它的棱长。（涉及\(8x^6y^3\)的立方根计算，可转化为单项式除法\(8x^6y^3 · (2x^2y) · (2x^2y)\)）
引入概念：像\(12a^3b^2 · 3ab\)、\(8x^6y^3 · 2x^2y\)这样，由单项式之间进行除法运算，就是单项式除以单项式。
配图：长方形边长计算示意图、正方体棱长计算示意图，标注对应的单项式除法式子
幻灯片 4：复习回顾：相关知识回顾
同底数幂除法法则：
文字语言：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
符号表示：\(a^m · a^n = a^{m - n}\)（\(a 0\)，\(m\)、\(n\)为正整数，\(m > n\)）。
示例：\(x^5 · x^2 = x^3\)；\(y^4 · y = y^3\)。
单项式与单项式相乘法则：
文字语言：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
示例：\(3x^2 2xy = 6x^3y\)；\((-2a^2b) 4ab^3 = -8a^3b^4\)。
引入新问题：当单项式与单项式相除时，如何结合同底数幂除法法则进行计算？
配图：同底数幂除法法则示例图，单项式乘法法则示例图
幻灯片 5：单项式除以单项式法则的推导
实例分析：
计算\(12a^3b^2 · 3ab\)：
分解因式：系数、同底数幂分别组合，即\((12 · 3) (a^3 · a) (b^2 · b)\)。
应用同底数幂除法法则：\(4 a^{3 - 1} b^{2 - 1} = 4a^2b\)。
计算\(-8x^6y^3 · 2x^2y\)：
组合系数和同底数幂：\((-8 · 2) (x^6 · x^2) (y^3 · y)\)。
计算结果：\(-4 x^{4} y^{2} = -4x^4y^2\)。
计算\(6m^4n^2 · (-3m^2)\)：
处理单独字母：\((6 · (-3)) (m^4 · m^2) n^2\)（\(n^2\)在被除式中单独存在）。
计算结果：\(-2 m^{2} n^2 = -2m^2n^2\)。
规律总结：
单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
配图：单项式除法的分解与组合过程示意图，标注每一步的依据
幻灯片 6：单项式除以单项式法则的表述
文字语言：单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
符号语言：若\(m\)、\(n\)、\(p\)、\(q\)为正整数且\(m > p\)，\(n > q\)，则\((a x^m y^n) · (b x^p y^q) = (a · b) x^{m - p} y^{n - q}\)（\(a\)、\(b\)为系数，\(b 0\)）。
运算步骤：
系数相除：确定商的系数（注意符号，同号得正，异号得负）。
同底数幂相除：运用同底数幂除法法则，底数不变，指数相减。
单独字母处理：只在被除式中出现的字母，连同指数直接写入商中。
示例：\(15x^4 · 3x^2 = (15 · 3) x^{4 - 2} = 5x^2\)；\(-24a^3b^2 · 4ab = (-24 · 4) (a^3 · a) (b^2 · b) = -6a^2b\)。
配图：法则文字与符号表述对比图，运算步骤流程图
幻灯片 7：典型例题讲解（一）—— 基础除法运算
例题 1：计算下列各题。
（1）\(28x^4y^2 · 7x^3y\) 解：原式 = \((28 · 7) (x^4 · x^3) (y^2 · y) = 4 x^{1} y^{1} = 4xy\)。
（2）\(-5a^5b^3c · 15a^4b\) 解：原式 = [(-5)÷15]×(a^5÷a^4)×(b^3÷b)×c = -\frac {1}{3}×a×b^2×c = -\frac {1}{3} ab^2c)。
（3）\((-2x^2y)^3 · (-4xy^2)\) 解：先算积的乘方：\(-8x^6y^3 · (-4xy^2)\)，再算除法：[(-8)÷(-4)]×(x^6÷x)×(y^3÷y^2) = 2x^5y)。
（4）\(6m^3n^2 · 2mn 5m^2\) 解：从左到右依次运算，原式 = 3m^2n × 5m^2 = 15m^4n)。
注意事项：
系数相除时需注意符号，负负得正，正负得负，结果化为最简分数。
同底数幂相除时指数相减，不要与幂的乘方的指数相乘混淆。
只在被除式中存在的字母要完整保留，不可遗漏。
含乘方的混合运算需先算乘方，再算除法。
配图：例题 1 的计算步骤分解，标注每一步的运算依据
幻灯片 8：典型例题讲解（二）—— 含乘方的混合运算
例题 2：计算下列各题（含积的乘方）。
（1）\((3x^2y)^2 · (-2xy^2)\) 解：先算积的乘方：\(9x^4y^2 · (-2xy^2)\)，再算除法：[9÷(-2)]×(x^4÷x)×(y^2÷y^2) = -\frac {9}{2} x^3)。
（2）\(12a^5b^6c^4 · (-3a^2b^3c) · 2a^3b^3c^2\) 解：分步计算除法，原式 = (-4a^3b^3c^3) ÷ 2a^3b^3c^2 = -2c)。
例题 3：化简求值：已知\(x = 2\)，求\((4x^3y^2) · (2x^2y) (-3x)\)的值（\(y 0\)）。
解题步骤：
先化简式子：\(2xy (-3x) = -6x^2y\)。
代入\(x = 2\)（\(y\)在化简后仍存在，但题目未给\(y\)值，推测题目可能为\((4x^3) · (2x^2) (-3x)\)，修正后化简：\(2x (-3x) = -6x^2\)，代入得\(-6 2^2 = -24\)）。
说明：含乘方的混合运算需先算乘方，再按从左到右顺序算除法和乘法；化简求值需先化简式子，再代入数值计算，注意题目中字母的取值是否完整。
配图：例题 2 的乘方与除法分步计算图，例题 3 的化简与代入过程
幻灯片 9：典型例题讲解（三）—— 实际应用与规律探索
例题 4：实际应用：一个长方体的体积为\(18a^3b^5\)，高为\(3ab^2\)，底面积为\(2a^2b\)，求这个长方体的宽。（长方体体积 = 底面积 × 高 × 宽？修正：长方体体积 = 长 × 宽 × 高，底面积 = 长 × 宽，因此宽 = 底面积 ÷ 长，或宽 = 体积 ÷ (长 × 高)，此处假设底面积 = 长 × 宽，则宽 = 底面积 ÷ 长，若长未知，用体积和高计算：宽 = 体积 ÷ (长 × 高) = 体积 ÷ 底面积 ÷ 高？更合理：体积 = 底面积 × 高 → 高 = 体积 ÷ 底面积，本题应为已知体积和高，求底面积，再求宽，假设长为\(a\)，则宽 = 底面积 ÷ 长 = (体积 ÷ 高) ÷ 长，此处调整题目为：体积\(18a^3b^5\)，高\(3ab^2\)，长\(2a^2b\)，求宽。）
解题步骤：
宽 = 体积 ÷ 长 ÷ 高 = \(18a^3b^5 · 2a^2b · 3ab^2\)。
计算过程：\(9ab^4 · 3ab^2 = 3b^2\)。
因此，长方体的宽为\(3b^2\)。
例题 5：规律探索：观察下列单项式除法的结果，总结规律。
\(6x^4 · 2x^2 = 3x^2\)；\(-12a^5b^3 · 4a^2b = -3a^3b^2\)。
规律：系数商 = 被除式系数 ÷ 除式系数，字母指数 = 被除式字母指数 - 除式字母指数。
应用：已知\(15x^m · 3x^2 = 5x^3\)，则\(m - 2 = 3\)，\(m = 5\)。
配图：例题 4 的长方体示意图及尺寸计算标注，例题 5 的规律分析图
幻灯片 10：课堂互动：计算与辨析
活动一：基础计算：
练习 1：计算\(16a^3 · 4a\)；\(-25x^2y^3 · 5xy\)；\(18m^4n^3 · (-6m^2n)\)。
练习 2：计算\((-2x^2y)^3 · 4x^3y^2\)；\(24a^5b^2 · 3a^2b 2ab\)。
活动二：辨析纠错：
指出错误并改正：
（1）\(8x^6 · 2x^2 = 4x^3\)（错误，指数应相减\(6 - 2 = 4\)，应为\(4x^4\)）。
（2）\(-12a^3b · 3ab = -4a^3\)（错误，\(a\)的指数计算错误，应为\(-4a^2\)）。
（3）\(6x^2y · 2x = 3xy\)（正确）。
活动三：能力提升：
练习 3：已知\(8x^6y^4 · 2x^my^n = 4x^2y^2\)，求\(m\)、\(n\)的值。
练习 4：计算\((3x^2)^3 · (-x)^2 + 4x^3 · (-2x)\)。
配图：练习题展示图，附带答题区和纠错提示
幻灯片 11：课堂总结与归纳
知识要点回顾：
单项式除以单项式的定义：单项式之间的除法运算。
运算法则：系数相除，同底数幂相除，单独字母连同指数保留。
运算步骤：先处理系数符号和除法，再处理同底数幂的指数相减，最后保留单独字母。
混合运算：含乘方的需先算乘方，再按从左到右顺序算除法和乘法；化简求值需先化简再代入。
方法总结：进行单项式除法时，可按 “系数→同底数幂→单独字母” 的顺序分步计算，确保每一步都遵循幂运算法则；注意符号处理和指数运算的准确性，系数结果化为最简分数。
易错提醒：
系数相除时符号错误（忽略负负得正）。
同底数幂相除时指数相减与幂的乘方混淆。
遗漏只在被除式中存在的字母或其指数。
含乘方的混合运算未先算乘方，或运算顺序错误。
幻灯片 12：课后作业布置
基础作业：课本 [具体页码] 习题 [具体题号]，完成单项式除以单项式的基本计算题。
提升作业：
计算：\((-4x^3y)^2 · (-2xy^2)\)；\(36a^4b^3c · (-12a^2b) · 3ab\)。
已知一个单项式与\(3x^2y\)的积为\(12x^5y^3\)，求这个单项式。
拓展作业：
一个正方体的体积为\(27x^6y^3\)，求它的表面积（正方体表面积 = 6× 棱长 ）。
探索规律：若\(x^m = 8\)，\(x^n = 2\)，求\((x^3)^m · (x^2)^n\)的值。
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
11.4.1单项式除以单项式
第11章 整式的乘除
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.理解和掌握单项式除以单项式的运算法则，运用运算法则熟练、准确地进行计算；
2.通过总结法则，培养概括能力；训练综合解题能力和计算能力.
温故知新
1.用字母表示幂的运算性质：
2.计算：
(1) a20÷a10； (2) a2n÷an；
(3) ( c)4 ÷( c)2；
(4) (a2)3 ·(-a3 )÷a3； (5) (x4)6 ÷(x6)2 ·(-x4 )2.
= a10
= an
= c2
= a9 ÷a3
= a6
=x24÷x12 ·x8
=x 24 —12+8
=x20
我们知道“先看见闪电，后听到雷声”，那是因为在空气中光的传播速度是3×108m/s，而声音在空气中的传播速度是3.4×102m/s.在空气中光速是声速的多少倍？
(3×108)÷(3.4×102)
(3.4×102)×___________=3×108
想一想
8.8×105
知识点一 单项式除以单项式
试
一
试
计算：
12a5c2÷3a2
×3a2=12a5c2
把12a5c2和3a2分别看成是一个整体，相当于(12a5c2)÷(3a2)
(4a3c2)
12a5c2÷3a2=4a3c2
怎样计算出来的呢？
单项式相除, 把系数、同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
知识要点
单项式除以单项式的法则
理解
商式＝系数 同底的幂 被除式里单独有的幂
底数不变，
指数相减.
保留在商里
作为因式.
被除式的系数
除式的系数
例1
计算：
（1）24a3b2÷3ab2
（2）-21a2b3c÷3ab
（3）(6xy2)2÷3xy
解
（1）24a3b2÷3ab2
24
3
a3
b2
b2
a
÷
=(24÷3)
(a3÷a)
(b2÷b2)
=8a3-1·1
=8a2
（2）-21a2b3c÷3ab
（3）(6xy2)2÷3xy
=(-21÷3)(a2÷a)(b3÷b)c
=-7a2-1b3-1·c
=-7ab2c
=36x2y4÷3xy
=(36÷3)(x2÷x)(y4÷y)
=12x2-1y4-1
=12xy3
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
练一练
1.计算：（1）6a3÷2a2；
（2）24a2b3÷3ab；
（3）-21a2b3c÷3ab.
解：（1） 6a3÷2a2
＝（6÷2）（a3÷a2）
=3a；
（2） 24a2b3÷3ab
=(24÷3)a2-1b3-1
=8ab2；
（3）-21a2b3c÷3ab
=(-21÷3)a2-1b3-1c
= -7ab2c.
例2 若a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝4x2y2，求a、m、n的值．
解：∵a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝4x2y2，
∴ax3my12÷9x4y2n＝4x2y2，
∴a÷9＝4，3m－4＝2，12－2n＝2，
解得a＝36，m＝2，n＝5.
方法总结：熟练掌握积的乘方的计算法则
以及整式的除法运算是解题关键．
1、计算：
（1）(3xy2)2· ÷
（2）
2、先化简再求值：
[(xy+2)(xy-2)-2x2y2+4]÷(-xy)
其中x=10，y= .
解 [(xy+2)(xy-2)-2x2y2+4]÷(-xy)
=(x2y2-4-2x2y2+4)÷(-xy)
=-x2y2÷(-xy)
=xy
当x=10，y= 时，
1. 下列计算错误的是( )
A.
B.
C.
D.
2. 已知 ★ ，则“★”所表示的式子是( )
A. B. C. D.
√
√
返回
3. ［2025济南市中区模拟］一个三角形的面积是 ，
它的一边长是 ，那么这条边上的高为( )
A. B. C. D.
4.月球距离地球约为 千米，一架飞机速度为
千米/时，若坐飞机飞行这么远的距离需__________
小时.
√
返回
5.已知 恰好能写成一个二项式的平方，则
的值是_____.
【点拨】由于 恰好能写成一个二项式的平方，
即.故 .原式
.代入得原式 .
返回
6.计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式 .
返回
7. 若，则 的值为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
√
返回
8.如图①,将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，
制成如图②的无盖纸盒，若纸盒的容积为 ，则图②中纸
盒底部长方形的周长为________.
返回
9.已知 ，且
正整数，满足，则 的值为___.
10.先化简，再求值：
，其中 ，
.
【解】
.
当，时，原式 .
返回
单项式除以单项式
运算法则
1.系数相除；
2.同底数的幂相除；
3.只在被除式里的因式照搬
作为商的一个因式
注意
1.不要遗漏只在被除式中有
而除式中没有的字母及字
母的指数；
2.系数相除时，应连同它前
面的符号一起进行运算.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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