资源简介

(共24张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：11.4.2 多项式除以单项式
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：含有多项式除以单项式算式（如\((6x^3 + 4x^2) · 2x\)）的背景图，突出多项式各项与单项式的除法关系
幻灯片 2：目录
情境引入：多项式除以单项式的实际背景
复习回顾：相关知识回顾
多项式除以单项式法则的推导
多项式除以单项式法则的表述
典型例题讲解
课堂互动：计算与辨析
课堂总结与归纳
课后作业布置
幻灯片 3：情境引入：多项式除以单项式的实际背景
实际问题 1：一个长方形的面积为\((6x^3 + 4x^2)\)，其中一边长为\(2x\)，求另一边长。
分析：长方形另一边长 = 面积 ÷ 已知边长，即\((6x^3 + 4x^2) · 2x\)。
思考：如何计算这个由多项式除以单项式组成的式子？
实际问题 2：一个三角形的面积为\((9a^2b - 6ab^2)\)，高为\(3ab\)，求它的底边长。（三角形面积 = \(\frac{1}{2} é \)，因此底 = \(2 é § ·é = 2 (9a^2b - 6ab^2) ·3ab\)）
引入概念：像\((6x^3 + 4x^2) · 2x\)、\((9a^2b - 6ab^2) · 3ab\)这样，由多项式除以单项式的运算，就是多项式除以单项式。
配图：长方形边长计算示意图、三角形底边长计算示意图，标注对应的多项式除以单项式式子
幻灯片 4：复习回顾：相关知识回顾
单项式除以单项式法则：
文字语言：单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
示例：\(12a^3b^2 · 3ab = 4a^2b\)；\(-8x^6y^3 · 2x^2y = -4x^4y^2\)。
乘法分配律的逆应用：
符号表示：\((a + b) · c = a · c + b · c\)（\(c 0\)）。
示例：\((6 + 4) · 2 = 6 · 2 + 4 · 2 = 3 + 2 = 5\)。
引入新问题：当多项式除以单项式时，如何结合单项式除法法则和分配律进行计算？
配图：单项式除法法则示例图，乘法分配律逆应用示例图
幻灯片 5：多项式除以单项式法则的推导
实例分析：
计算\((6x^3 + 4x^2) · 2x\)：
根据分配律逆应用：\(6x^3 · 2x + 4x^2 · 2x\)。
应用单项式除法法则：\(3x^2 + 2x\)。
计算\((9a^2b - 6ab^2) · 3ab\)：
分配律展开：\(9a^2b · 3ab + (-6ab^2) · 3ab\)。
单项式除法计算：\(3a - 2b\)。
计算\((8m^3n^2 - 4m^2n + 2mn) · (-2mn)\)：
逐项分配：\(8m^3n^2 · (-2mn) + (-4m^2n) · (-2mn) + 2mn · (-2mn)\)。
计算结果：\(-4m^2n + 2m - 1\)。
规律总结：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。
配图：多项式除法的分配律展开过程示意图，标注每一步的依据
幻灯片 6：多项式除以单项式法则的表述
文字语言：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。
符号语言：若\(a\)、\(b\)、\(c\)为单项式，且\(c 0\)，则\((a + b - c) · m = a · m + b · m - c · m\)。
运算步骤：
分配除法：把多项式的每一项分别除以单项式（注意每一项的符号）。
单项式相除：对每一组单项式除以单项式，应用单项式除法法则计算。
合并结果：把所得的商相加（无需合并同类项，除非有同类项）。
示例：\((6x^2 - 4x) · 2x = 6x^2 · 2x + (-4x) · 2x = 3x - 2\)；\((a^3b^2 - 2a^2b + ab) · ab = a^3b^2 · ab + (-2a^2b) · ab + ab · ab = a^2b - 2a + 1\)。
配图：法则文字与符号表述对比图，运算步骤流程图
幻灯片 7：典型例题讲解（一）—— 基础除法运算
例题 1：计算下列各题。
（1）\((12x^3 - 8x^2 + 4x) · 4x\) 解：原式 = \(12x^3 · 4x + (-8x^2) · 4x + 4x · 4x = 3x^2 - 2x + 1\)。
（2）\((-9a^3b^2 + 6a^2b^3 - 3ab) · (-3ab)\) 解：原式 = \((-9a^3b^2) · (-3ab) + 6a^2b^3 · (-3ab) + (-3ab) · (-3ab) = 3a^2b - 2ab^2 + 1\)。
（3）\((x^4y^2 - x^3y + x^2y^3) · (-x^2y)\) 解：原式 = \(x^4y^2 · (-x^2y) + (-x^3y) · (-x^2y) + x^2y^3 · (-x^2y) = -x^2y + x - y^2\)。
（4）\([(2x + y)^2 - y(y + 4x)] · 2x\) 解：先化简括号内式子：\(4x^2 + 4xy + y^2 - y^2 - 4xy = 4x^2\)，再算除法：\(4x^2 · 2x = 2x\)。
注意事项：
多项式的每一项都要除以单项式，不能漏除任何一项（包括常数项）。
注意符号处理，多项式各项与单项式相除时，同号得正，异号得负。
结果中若有同类项，要合并同类项化简；常数项除以单项式时要计算完整。
配图：例题 1 的计算步骤分解，标注每一步的运算依据
幻灯片 8：典型例题讲解（二）—— 含乘方的混合运算
例题 2：计算下列各题（含积的乘方）。
（1）\((4x^2y)^2 - 8x^3y^2) · (-2x^2y)\) 解：先算积的乘方：\((16x^4y^2 - 8x^3y^2) · (-2x^2y)\)，再分步除法：\(16x^4y^2 · (-2x^2y) + (-8x^3y^2) · (-2x^2y) = -8x^2y + 4xy\)。
（2）\((3a^3b)^3 · (a^2b)^2 (6a^2b) · (9ab^2)\) 解：先算乘方：\(27a^9b^3 · a^4b^2 6a^2b · 9ab^2\)，再从左到右算除法乘法：\(27a^5b 6a^2b · 9ab^2 = 162a^7b^2 · 9ab^2 = 18a^6\)。
例题 3：化简求值：已知\(x = -2\)，求\((x^2 - 4x + 4) · (x - 2) - (x^2 + 2x) · x\)的值。
解题步骤：
先化简式子：\([(x - 2)^2 · (x - 2)] - (x + 2) = (x - 2) - x - 2 = -4\)。
代入\(x = -2\)，结果仍为\(-4\)（化简后与\(x\)无关）。
说明：含乘方的混合运算需先算乘方，再算乘除，最后算加减；化简求值需先化简式子（可能化简后不含字母），再代入数值计算。
配图：例题 2 的乘方与除法分步计算图，例题 3 的化简与代入过程
幻灯片 9：典型例题讲解（三）—— 实际应用与规律探索
例题 4：实际应用：一个梯形的面积为\((6a^2b + 9ab^2)\)，上底为\(2ab\)，下底为\(4ab\)，求这个梯形的高。（梯形面积公式：\(\frac{1}{2} ( + ) é \)）
解题步骤：
设高为\(h\)，则面积 = \(\frac{1}{2} (2ab + 4ab) h = 3ab h\)。
因此\(h = (6a^2b + 9ab^2) · 3ab = 6a^2b · 3ab + 9ab^2 · 3ab = 2a + 3b\)。
因此，梯形的高为\(2a + 3b\)。
例题 5：规律探索：观察下列多项式除法的结果，总结多项式的项数与商的项数的关系。
\((6x^2 + 4x) · 2x = 3x + 2\)（多项式 2 项，商 2 项）。
\((8a^3 - 4a^2 + 2a) · 2a = 4a^2 - 2a + 1\)（多项式 3 项，商 3 项）。
规律：多项式除以单项式，商的项数与原多项式的项数相同（无同类项合并时）。
应用：若\((ax^3 + bx^2 + cx) · x = 2x^2 - 3x + 4\)，则\(a = 2\)，\(b = -3\)，\(c = 4\)。
配图：例题 4 的梯形示意图及高的计算标注，例题 5 的项数关系分析图
幻灯片 10：课堂互动：计算与辨析
活动一：基础计算：
练习 1：计算\((8x^3 - 12x^2 + 4x) · 4x\)；\((-5a^4b^2 + 10a^3b - 15a^2b^3) · (-5a^2b)\)。
练习 2：计算\((x^3y^3 - x^2y^2 + xy) · xy\)；\([(a + b)^2 - (a - b)^2] · 4ab\)。
活动二：辨析纠错：
指出错误并改正：
（1）\((4x^2 + 2x) · 2x = 2x + 2x\)（错误，第二项计算错误，应为\(2x + 1\)）。
（2）\((9a^3 - 6a^2) · 3a = 3a^2 - 6a^2\)（错误，第二项系数错误，应为\(3a^2 - 2a\)）。
（3）\((6x^2y - 3xy^2) · 3xy = 2x - y\)（正确）。
活动三：能力提升：
练习 3：已知\((ax^2 + bx + c) · x = 2x - 3 + 4\)，求\(a\)、\(b\)、\(c\)的值。
练习 4：计算\((2x^2)^3 - 6x^3(x^3 + 2x^2 + x) · 3x^2\)。
配图：练习题展示图，附带答题区和纠错提示（用不同颜色标注错误位置）
幻灯片 11：课堂总结与归纳
知识要点回顾：
多项式除以单项式的定义：多项式除以单项式的运算。
运算法则：把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加（基于分配律逆应用）。
运算步骤：先分配除法，再单项式相除，最后合并结果（合并同类项）。
混合运算：含乘方的需先算乘方，再算乘除，最后算加减；化简求值需先化简再代入。
方法总结：进行多项式除以单项式时，可按 “逐项相除→单项式除法→合并结果” 的顺序分步计算，确保每一项都参与运算且符号正确；注意结果要化简（合并同类项），常数项的除法要计算完整。
易错提醒：
漏除多项式中的某一项（尤其是常数项或符号项）。
多项式各项与单项式相除时符号错误。
单项式除法中指数相减错误或系数计算错误。
结果中未合并同类项或常数项计算遗漏。
幻灯片 12：课后作业布置
基础作业：课本 [具体页码] 习题 [具体题号]，完成多项式除以单项式的基本计算题。
提升作业：
计算：\((-2x^2y)^3 + 8x^6y^3) · (-2x^2y)^2\)；\((a^3b - 2a^2b^2 + ab^3) · ab - (a - b)^2\)。
已知一个多项式除以\(2x\)的商为\(3x^2 - 2x + 1\)，余式为\(-2\)，求这个多项式。
拓展作业：
一个长方形的周长为\((8x + 6y)\)，一边长为\((2x + y)\)，求这个长方形的面积。
探索规律：若多项式\(A = ax^3 + bx^2 + cx + d\)，除以单项式\(mx\)（\(m 0\)），商的形式是什么？写出商的各项系数与\(A\)的系数的关系。
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
11.4.2多项式除以单项式
第11章 整式的乘除
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.理解和掌握多项式除以单项式的运算法则；
2.会进行简单的多项式除以单项式的运算.
　
温故知新
计算下列各式，说说你是怎么想的？
（1）(am+bm)÷m；
（2）(a2+ab)÷a.
（1）(am+bm)÷m
（2）(a2+ab)÷a
=am÷m+bm÷m
=a+b
=a2÷a +ab÷a
=a+b
知识点一 多项式除以单项式
试
一
试
计算：
（1）(ax+bx)÷x；
解 （1）
·x
(a+b)x=ax+bx
所以 (ax+bx)÷x=a+b
试
一
试
（2）(ma+mb+mc)÷m.
·m
(a+b+c)m=ma+mb+mc
所以 (ma+mb+mc)÷m=a+b+c
知识要点
多项式除以单项式的法则
多项式除以单项式，先用这个多项式的 除以这个 ，再把所得的商 .
单项式
每一项
相加
关键：
应用法则是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.
典例精析
例1
计算：
（1）(9x4-15x2+6x)÷3x
（2）(28a3b2c+a2b3-14a2b2)÷(-7a2b)
（1）(9x4-15x2+6x)÷3x
9x4
3x
=9x4÷3x
-15x2
-15x2÷3x
+6x
+6x÷3x
=(9÷3)x4-1-(15÷3)x2-1+(6÷3)x1-1
=3x3-5x+2
（2）(28a3b2c+a2b3-14a2b2)÷(-7a2b)
28a3b2c
-7a2b
=28a3b2c÷(-7a2b)
+a2b3
+a2b3÷(-7a2b)
-14a2b2
-14a2b2÷(-7a2b)
=-4a3-2b2-1c+( a2-2b3-1)-(-2a2-2b2-1)
=-4abc b2+2b
补充例题
计算：
(6xn+2+3xn+1-3xn-1)÷3xn-1
解：(6xn+2+3xn+1-3xn-1)÷3xn-1
=6xn+2÷3xn-1+3xn+1÷3xn-1-3xn-1÷3xn-1
=2xn+2-n+1+xn+1-n+1-1
=2x3+x2-1
思路归纳
如果除式中字母的指数是多项式，计算时要把它看作一个整体，且要添括号.
补充例题
化简：
[4(xy-1)2+(xy+2)(xy-2)]÷ xy
解：[4(xy-1)2+(xy+2)(xy-2)]÷ xy
=(4x2y2-8xy+4+x2y2-4)÷ xy
=(5x2y2-8xy)÷ xy
=20xy-32
思维点拨 进行整式的混合运算，应按照运算顺序进行化简.
1．计算（5m2+15m3n-20m4)÷(-5m2)的结果正确的是（ ）
A．4m2-3mn-1 B．1-3mn+4m2 C．-1-3m+4m2 D．4m2-3mn
【详解】解：（5m2+15m3n-20m4)÷(-5m2)
=4m2-3mn-1
故选：A．
2．长方形的面积为4a2-8ab+4a，若它的一边长为4a，则这个长方形的周长为（ ）
A．a-2b+1 B．10a-4b+2 C．5a-2b+1 D．8a-6b+2
【详解】解：∵长方形的面积为4a2-8ab+4a，若它的一边长为4a，
∴长方形的另一边的长为：(4a2-8ab+4a)÷4a=a-2b+1，
∴长方形的周长为：2×(4a+a-2b+1)=2×(5a-2b+1)=10a-4b+2，
故选：B．
3．计算(6ab-5a)÷a的结果是 ．
【详解】解：∵(6ab-5a)÷a=6b-5，
故答案为：6b-5．
1. 下列式子中计算错误的是( )
A.
B.
C.
D.
√
返回
2. ［2025衡阳月考］若长方形的面积是 ，一
边长为 ，则与该边相邻的一边长为( )
A. B.
C. D.
√
返回
3. 若与的积为，则 为( )
A. B.
C. D.
√
返回
4. 小力在计算 时，错把括号内的减号
写成了加号，那么正确结果与错误结果的乘积是( )
A. B.
C. D. 无法计算
√
【点拨】正确结果为
，
错误结果为
， .
返回
5. 某同学在化简
时，解答过程如下，请认真
阅读并完成相应任务.
解：
第一步
第二步
第三步
.第四步
以上解题过程中，第一步用到的乘法公式是______________
__________，第____步开始出现错误的，这一步错误的原因
是________________，正确结果为_______.
二
去括号没有变号
返回
6.计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2）
.
原式 .
返回
7. 小明在爬一小山时，第一阶段的平均速度为
，所用时间为；第二阶段的平均速度为，所用时间为 .
下山时，小明的平均速度保持为 .已知小明上山的路程和下
山的路程是相同的，那么小明下山用时( )
A. B. C. D.
【点拨】由题意得总路程为 小明上山的路程和
下山的路程是相同的，且下山时平均速度为, 小明下山用
时 .
√
返回
8. ［2025达州模拟］观察下列各式：
，
，
，
，
根据上述规律计算 的值为( )
A. B. C. D.
√
多项式除以单项式
运算法则
用这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
注意
1.计算时，多项式的各项要包括它们前面的符号，要注意符号的变化；
2.当被除式的项与除式的项相同时，商是1，不能把“1”漏掉.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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