资源简介

(共29张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：11.5 因式分解
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：含有整式乘法与因式分解对比算式（如\(a(b + c) = ab + ac\)与\(ab + ac = a(b + c)\)）的背景图，突出互逆关系
幻灯片 2：目录
情境引入：因式分解的实际背景
复习回顾：整式乘法的相关知识
因式分解的概念与意义
提公因式法因式分解
典型例题讲解
课堂互动：分解与辨析
课堂总结与归纳
课后作业布置
幻灯片 3：情境引入：因式分解的实际背景
实际问题 1：一个长方形的面积为\(ab + ac\)，已知它的一条边长为\(a\)，如何用含有\(a\)、\(b\)、\(c\)的式子表示另一条边长？
分析：长方形面积 = 长 × 宽，因此另一条边长 = 面积 ÷ 边长 = \((ab + ac) · a = b + c\)，即\(ab + ac = a(b + c)\)。
思考：这种把多项式化为几个整式乘积的形式有什么意义？
实际问题 2：计算\(37 99 + 37\)，如何快速得出结果？（可转化为\(37 (99 + 1) = 37 100 = 3700\)）
引入概念：像\(ab + ac = a(b + c)\)这样，把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做分解因式。
配图：长方形面积分解示意图，标注多项式与整式乘积的对应关系
幻灯片 4：复习回顾：整式乘法的相关知识
单项式与多项式相乘：
法则：\(a(b + c + d) = ab + ac + ad\)。
示例：\(2x(3x + y) = 6x^2 + 2xy\)。
多项式与多项式相乘：
法则：\((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\)。
示例：\((x + 2)(x + 3) = x^2 + 5x + 6\)。
乘法公式：
平方差公式：\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)。
完全平方公式：\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)，\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)。
引入新问题：整式乘法是把几个整式的积化为多项式，那么反过来，如何把多项式化为几个整式的积？
配图：整式乘法运算过程示意图，标注 “积→和” 的转化
幻灯片 5：因式分解的概念与意义
概念定义：
文字语言：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解（或分解因式）。
符号表示：若\(p\)、\(q\)为整式，则多项式\(m = pq\)的变形过程即为因式分解。
与整式乘法的关系：
互逆关系：整式乘法是 “积化和差”，因式分解是 “和差化积”。
示例：\(a(b + c) \underset{\text{ è§ }}{\stackrel{\text{ }}{\rightleftharpoons}} ab + ac\)；\((x + 2)(x - 2) \underset{\text{ è§ }}{\stackrel{\text{ }}{\rightleftharpoons}} x^2 - 4\)。
意义与作用：
简化运算：如简便计算、约分、通分等。
解决问题：在代数式求值、解方程、几何图形计算等领域有广泛应用。
判断标准：
结果必须是整式的积的形式。
分解要彻底（直到不能再分解为止）。
配图：整式乘法与因式分解的互逆关系对比图，标注转化方向
幻灯片 6：提公因式法因式分解（一）—— 公因式的确定
公因式的定义：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
公因式的确定方法：
系数：取各项系数的最大公约数（若系数为负，通常取正数作为公因式的系数）。
字母：取各项中都含有的相同字母。
指数：取相同字母的最低次幂。
示例：
多项式\(8a^3b^2 - 12ab^3c\)的公因式：
系数：8 和 12 的最大公约数是 4。
字母：都含有的字母是\(a\)、\(b\)。
指数：\(a\)的最低次幂是 1，\(b\)的最低次幂是 2。
因此，公因式是\(4ab^2\)。
多项式\(-6x^2y - 9xy^2 + 3xy\)的公因式：\(-3xy\)（或\(3xy\)，通常取负号使首项系数为正）。
配图：公因式确定步骤示意图，标注系数、字母、指数的选取过程
幻灯片 7：提公因式法因式分解（二）—— 分解方法
提公因式法定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式化为公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
分解步骤：
确定公因式：按系数、字母、指数的方法找出各项公因式。
提取公因式：把公因式写在括号外面，多项式各项除以公因式的商写在括号里面。
检查结果：确保括号内的多项式不再有公因式，且分解前后相等（可用整式乘法验证）。
示例：
分解\(8a^3b^2 - 12ab^3c\)：
公因式为\(4ab^2\)，原式 = \(4ab^2(2a^2 - 3bc)\)。
分解\(-6x^2y - 9xy^2 + 3xy\)：
公因式为\(-3xy\)，原式 = \(-3xy(2x + 3y - 1)\)。
分解\(3x(x - 2) - 2(x - 2)\)：
公因式为\((x - 2)\)，原式 = \((x - 2)(3x - 2)\)。
注意事项：
公因式要提尽，不能遗漏任何一项。
当多项式的首项系数为负时，通常提取负的公因式，使括号内首项系数为正。
提取公因式后，括号内的项数与原多项式的项数相同。
配图：提公因式法分解步骤示意图，标注每一步的操作要点
幻灯片 8：典型例题讲解（一）—— 提公因式法
例题 1：用提公因式法分解下列因式。
（1）\(15x^3y^2 + 5x^2y - 20x^2y^3\) 解：公因式为\(5x^2y\)，原式 = \(5x^2y(3xy + 1 - 4y^2)\)。
（2）\(-4a^3b^2 + 6a^2b - 2ab\) 解：公因式为\(-2ab\)，原式 = \(-2ab(2a^2b - 3a + 1)\)。
（3）\(3a(x - y) - 6b(y - x)\) 解：先变形\(y - x = -(x - y)\)，公因式为\(3(x - y)\)，原式 = \(3(x - y)(a + 2b)\)。
（4）\(x(m - n) + y(n - m) - 3(m - n)\) 解：变形\(n - m = -(m - n)\)，公因式为\((m - n)\)，原式 = \((m - n)(x - y - 3)\)。
关键技巧：
当多项式的项含有互为相反数的因式时（如\(x - y\)与\(y - x\)），先通过符号变形转化为相同因式。
提取公因式后，括号内的常数项 “1” 或 “-1” 不能遗漏（如例题 1（2）中的 “+1”）。
配图：例题 1 的公因式标注与分解步骤分解
幻灯片 9：典型例题讲解（二）—— 公式法因式分解
例题 2：运用乘法公式分解下列因式（平方差公式）。
（1）\(x^2 - 16\) 解：符合\(a^2 - b^2\)形式，\(a = x\)，\(b = 4\)，原式 = \((x + 4)(x - 4)\)。
（2）\(4a^2 - 9b^2\) 解：\(a = 2a\)，\(b = 3b\)，原式 = \((2a + 3b)(2a - 3b)\)。
（3）\((x + y)^2 - (x - y)^2\) 解：\(a = x + y\)，\(b = x - y\)，原式 = \([(x + y) + (x - y)][(x + y) - (x - y)] = (2x)(2y) = 4xy\)。
例题 3：运用乘法公式分解下列因式（完全平方公式）。
（1）\(x^2 + 8x + 16\) 解：符合\(a^2 + 2ab + b^2\)形式，\(a = x\)，\(b = 4\)，原式 = \((x + 4)^2\)。
（2）\(4a^2 - 12ab + 9b^2\) 解：\(a = 2a\)，\(b = 3b\)，原式 = \((2a - 3b)^2\)。
（3）\(3x^2 + 6xy + 3y^2\) 解：先提公因式\(3\)，再用公式，原式 = \(3(x^2 + 2xy + y^2) = 3(x + y)^2\)。
公式特征回顾：
平方差公式：\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)（两项式，符号相反，都是平方形式）。
完全平方公式：\(a^2 ± 2ab + b^2 = (a ± b)^2\)（三项式，首尾平方，中间是两倍积）。
配图：例题 2、3 的公式应用标注，平方差与完全平方公式特征对比图
幻灯片 10：典型例题讲解（三）—— 综合应用与实际问题
例题 4：综合运用多种方法分解因式。
（1）\(x^3 - 4x\) 解：先提公因式，再用平方差公式，原式 = \(x(x^2 - 4) = x(x + 2)(x - 2)\)。
（2）\(a^4 - 2a^2b^2 + b^4\) 解：先看作完全平方公式，再用平方差公式，原式 = \((a^2 - b^2)^2 = [(a + b)(a - b)]^2 = (a + b)^2(a - b)^2\)。
例题 5：实际应用：已知一个长方形的周长为\(20\)，长比宽大\(2\)，求这个长方形的面积。
解题步骤：
设宽为\(x\)，则长为\(x + 2\)，周长 = \(2(x + x + 2) = 20\)，解得\(x = 4\)，长 = \(6\)。
面积 = \(4 6 = 24\)。
用因式分解验证：面积也可表示为\(x(x + 2)\)，代入\(x = 4\)得\(4 6 = 24\)；或由长 + 宽 = \(10\)，长 - 宽 = \(2\)，面积 = \(\frac{(é + )^2 - (é - )^2}{4} = \frac{10^2 - 2^2}{4} = \frac{96}{4} = 24\)。
说明：复杂多项式分解需先提公因式，再用公式法；因式分解在实际问题中可简化计算过程。
配图：例题 4 的分步分解过程图，例题 5 的长方形尺寸关系示意图
幻灯片 11：课堂互动：分解与辨析
活动一：基础分解：
练习 1：用提公因式法分解\(12x^2y - 8xy^2\)；\(-5a^2 + 15a\)；\(2x(x + y) - 3(x + y)\)。
练习 2：用公式法分解\(9x^2 - 1\)；\(x^2 - 6x + 9\)；\(25a^2 + 20ab + 4b^2\)。
活动二：辨析纠错：
指出错误并改正：
（1）\(x^2 + 2x + 1 = x(x + 2) + 1\)（错误，未化为积的形式，应为\((x + 1)^2\)）。
（2）\(a^2 - 4 = (a - 2)^2\)（错误，误用完全平方公式，应为\((a + 2)(a - 2)\)）。
（3）\(3x^2 + 6x = 3x(x + 6x)\)（错误，提取公因式后括号内计算错误，应为\(3x(x + 2)\)）。
活动三：能力提升：
练习 3：分解因式\(x^3y - xy^3\)；\((x^2 + 4)^2 - 16x^2\)。
练习 4：已知\(a + b = 5\)，\(ab = 3\)，求\(a^2b + ab^2\)的值（提示：先因式分解）。
配图：练习题展示图，附带答题区和纠错提示（用不同颜色标注错误位置）
幻灯片 12：课堂总结与归纳
知识要点回顾：
因式分解的定义：把多项式化为几个整式的积的形式，与整式乘法互逆。
提公因式法：确定公因式（系数、字母、指数），提取公因式并检查结果。
公式法：
平方差公式：\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)（适用于两项式）。
完全平方公式：\(a^2 ± 2ab + b^2 = (a ± b)^2\)（适用于三项式）。
综合应用：先提公因式，再用公式法，分解要彻底。
方法总结：因式分解的一般步骤为 “一提（公因式）、二套（公式）、三查（彻底）”；对于不同形式的多项式，选择合适的分解方法，确保结果是整式的积且无法再分解。
易错提醒：
结果不是整式的积的形式（如仍含和差形式）。
公因式提取不彻底或遗漏项（尤其是常数项 “1”）。
公式应用错误（混淆平方差与完全平方公式的特征）。
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
12.1.1命题
第12章 全等三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1、理解命题及命题的条件、结论的概念，会区分一个命题的条件和结论，并能把一个命题改写成“如果……，那么……”的形式；
2.、能判断一个命题的真假，会用反例说明假命题.
问题：
说一说，下面哪些句子具有判断功能？
（1）两点之间，线段最短;
（2）画直线 AB;
（3）对顶角相等吗？
（4）同位角相等，两直线平行．
√
√
我们已经学过一些图形的特性，试判断下列句子是否正确？它们有什么共同点？
（1）三角形的内角和等于180°
（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等;
（3）两直线平行，同旁内角相等;
（4）直角都相等;
（5）经过一点确定一条直线.
依据所学知识可以判断（1）（2）（4）是正确的，（3）（5）是错误的，
这几个句子的特点是可以判断一件事情的正确或错误，这样的句子就是命题.
问题导入
知识点一 命题
探究新知
说一说，我们已经学习了哪些图形的特性？
（1）三角形的内角和等于 180°；
（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
（3）两直线平行，同位角相等；
（4）直角都相等.
它们都是判断某一件事情的语句。
像这样表示判断的语句叫做命题.
命题的两层含义:
1. 命题必须是一个完整的句子，通常是一个陈述句，
包括肯定句和否定句；
2. 命题必须是对某件事情作出肯定或否定的判断．
判断下列语句是不是命题？
（1）你饭吃了吗？
（2）请画出两条互相平行的直线。
（3）如果两个角的和是 90 ，那么这两个角互余。
×
×
√
命题的构成:
1. 命题是由条件和结论两部分组成的，条件是已知事项，
结论是由已知事项推出的事项．
2. 命题通常可写成“如果……，那么……”的形式．用
“如果”开始的部分就是条件，用“那么”开始的部
分就是结论．
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
条件
结论
命题改写的原则
如果命题不是“如果……，那么……”的形式，可将其进行改写，改写的原则是不改变命题的原意，必要时可添加一些“修饰”成分使句子完整、语言通顺．
改写：直角都相等.
如果两个角都是直角，那么这两个角相等.
典例精析
例1 指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式：
⑴同位角相等，两直线平行；
⑵三个角都相等的三角形是等边三角形.
条件是：
结论是：
改写成：
条件是：
结论是：
改写成：
同位角相等
两直线平行
　　如果一个三角形的三边相等，那么这个三角形是等边三角形.
这个三角形是等边三角形
一个三角形的三个角相等
　　如果同位角相等，那么两直线平行.
练一练
1. 把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式:
（1）全等三角形的对应角相等;
（2）有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形.
解: （1）如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等．
（2）如果一个等腰三角形有一个角等于 60°，那么它是等边三角形．
知识点二 真命题与假命题
（1）三角形的内角和等于180°
（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等;
（3）两直线平行，同旁内角相等;
（4）直角都相等;
（5）经过一点确定一条直线.
根据前面的学习，我们可以判断（1）（2）（4）是正确的，也就是说，如果条件成立，那么结论一定成立.像这样的命题，称为真命题.
其中（3）（5）是错误的，也就是说，当条件成立时，不能保证结论总是正确，或者说结论不成立，像这样的命题，称为假命题.
真假命题的判断:
（1）要判断一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证．
（2）要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子就可以了.
在数学中，这种方法称为“举反例”.
典例精析
【例2】 哪些是真命题，哪些是假命题？
（1）一个角的补角大于这个角；
（2）相等的两个角是对顶角；
（3）两点可以确定一条直线；
（4）若A=B，则2A=2B；
（5）锐角和钝角互为补角；
（6）两点之间线段最短；
（假命题）
（假命题）
（真命题）
（真命题）
（假命题）
（真命题）
1.要判断一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证；
2.要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，比如（1）中若∠A=120°，那么它的补角是60°，从而它的补角比∠A小，所以（1）是假命题.在数学中，这种方法称为“举反例”.
练一练
判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例加以说明:
（1）两个锐角的和等于直角;
（2）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.
解: （1）假命题，例: 50°和20°是两锐角，
但50°＋20°＝70°≠ 90°．
（2）假命题，例:如图，直线 AB、CD 被 EF
所截，但 AB 不平行于 CD ，此时，∠EMB≠∠END ．
1. 试用举反例的方法说明下列命题是假命题．
（1）如果 a＋b ≥ 0，那么 ab＞0；
（2）两个锐角的和是锐角．
解: （1）取 a＝2，b＝－1，
则 a＋b＝2＋(－1)＝1＞0，
但是 ab＝2×(－1)＝－2＜0，
所以此命题是假命题．
（2）取两个锐角的度数分别为30°,60°,
则30°＋60°＝90°是直角，而不是锐角,
所以此命题是假命题．
2.把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出它们的条件和结论：
（1）全等三角形的对应边相等；
（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
解：(1)改写成：如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等；
条件：两个三角形全等；
结论：这两个三角形的对应边相等；
（2）改写成：如果在同一平面内，有两条直线分别垂直于第三条直线，那么这两条直线互相平行；
条件：在同一平面内，有两条直线分别垂直于第三条直线；
结论：这两条直线互相平行.
3.指出下列命题中的真命题和假命题：
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）多边形的内角和等于180°；
（3）三角形的外角和等于360°；
（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行.
（真命题）
（假命题）
（真命题）
（真命题）
1. 下列语句不是命题的是( )
C
A. 两点之间，线段最短
B. 不平行的两条直线有一个交点
C. 与 的和等于0吗？
D. 两个锐角的和一定是直角
①命题必须是一个完整的句子，而且必须做出肯定
或否定的判断.疑问句、感叹句、作图过程的叙述都不是命题；
②命题常见的关键词有“是”“不是”“相等”“不相等”“如果 ，
那么……”.
返回
2. 能说明“锐角与锐角的和是锐角”是假命题的是( )
C
A. B. C. D.
3. 把命题“同角的余角相等”改写成“如果 ，
那么……”的形式：____________________________________
__________.
如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
返回
4. 判断下列各命题是真命
题还是假命题，若是假命题，请举一个反
例加以说明.
（1）若,则 ；
【解】假命题.举反例不唯一，例如：当 时，满足
，但 .
（2）锐角小于它的余角；
假命题.举反例不唯一，例如： 角的余角为 ，但
.
（3）平行于同一条直线的两条直线平行；
真命题.
（4）相等的角是对顶角；
假命题.举反例不唯一，例如：如图，长方形
中， ，但与 不
是对顶角.
（5）如图，如果，，那么 .、
真命题.
返回
5. 交换下列命题的题设和结论，得到的新命题是假命题的是
( )
A
A. 所有的直角都是相等的
B. 相等的角是对顶角
C. 两直线平行，内错角相等
D. 若，则
1、命题：判断一件事情的语句叫命题。
2、判断一个命题是真命题，可以从公理或定理出发，用逻辑推理的方法证明（公理和定理都是真命题）；
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立就可以了，这种方法称为举反例。
（1）命题的结构：命题由题设和结论两部分构成，常可写成“如果…，那么…”的形式。
（2）命题的分类：正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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