资源简介

(共28张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：12.1.2 定义、定理与证明
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：含有数学推理过程示意图（如几何证明步骤图）的背景图，突出逻辑严谨性
幻灯片 2：目录
情境引入：数学中的严谨表述
定义的概念与特征
定理的概念与特征
证明的概念与步骤
典型例题讲解
课堂互动：辨析与推理
课堂总结与归纳
课后作业布置
幻灯片 3：情境引入：数学中的严谨表述
生活疑问：为什么在数学中要明确 “对顶角”“平行线” 这些概念的含义？为什么 “三角形内角和是 180°” 可以直接用于解题？
实例对比：
日常表述：“像这样的角是对顶角”（模糊不清）。
数学表述：“有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角”（精确严谨）。
引入概念：为了保证数学结论的准确性和推理的严谨性，需要对研究对象进行明确界定（定义），对经过验证的真命题进行规范（定理），并通过推理过程确认结论的正确性（证明）。
配图：日常表述与数学表述的对比图，标注严谨性差异
幻灯片 4：定义的概念与特征
概念定义：
文字语言：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义。
作用：明确研究对象的本质属性，避免歧义。
常见数学定义示例：
平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
无理数：无限不循环小数叫做无理数。
定义的特征：
确定性：定义必须明确界定对象的本质属性，不能模棱两可。
规范性：定义是公认的表述，具有统一的数学规范。
应用性：定义是后续推理和判断的依据（如根据 “平行线” 定义判断两条直线是否平行）。
示例辨析：
是定义：“含有未知数的等式叫做方程”（明确方程的本质属性）。
不是定义：“方程有很多种类型”（未界定本质属性）。
配图：数学定义示例表，标注定义中的关键属性
幻灯片 5：定理的概念与特征
概念定义：
文字语言：经过推理证实为正确的命题，叫做定理。
与真命题的关系：定理是真命题，但真命题不一定是定理（定理是经过严格推理并被广泛认可的真命题）。
常见数学定理示例：
对顶角相等。
三角形内角和定理：三角形的内角和等于 180°。
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
定理的特征：
真确性：定理一定是真命题，其结论经过严格推理验证。
权威性：定理是数学体系的重要组成部分，可作为推理依据。
应用性：定理可直接用于解决问题和推导新命题（如用 “对顶角相等” 证明角的等量关系）。
定理与公理的关系：
公理：公认的真命题（无需证明，如 “两点确定一条直线”）。
定理：由公理或其他定理推导出来的真命题（需要证明）。
配图：定理与公理的关系示意图，标注推导路径
幻灯片 6：证明的概念与步骤
概念定义：
文字语言：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明。
作用：确认命题的真实性，保证结论的严谨性。
证明的依据：
已知条件：命题中给出的已知事项。
定义：已学过的名称和术语的定义。
公理：公认的基本事实（如 “两点之间线段最短”）。
定理：已被证明为正确的命题。
证明的一般步骤：
明确命题：写出命题的题设和结论。
画出图形：根据题意画出符合条件的图形（几何命题）。
写出已知求证：用符号语言表述题设（已知）和结论（求证）。
进行推理：从已知出发，依据定义、公理、定理逐步推出结论。
得出结论：证明命题的结论成立。
示例：证明 “对顶角相等” 的步骤框架（后续例题详细展开）。
配图：证明步骤流程图，标注每一步的核心任务
幻灯片 7：典型例题讲解（一）—— 定义与定理的辨析
例题 1：下列语句中，属于定义的是（ ），属于定理的是（ ）。
① 两直线平行，同位角相等。
② 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
③ 等式两边加同一个数，结果仍是等式。
④ 无限不循环小数是无理数。
解：属于定义的是②④（界定概念本质属性）；属于定理的是①（经过推理证实的真命题）；③是公理（基本事实）。
例题 2：判断下列说法是否正确，并说明理由。
（1）所有的真命题都是定理。（错误，定理是经过推理证实并被认可的真命题，并非所有真命题都能成为定理）。
（2）定义是命题。（正确，定义对事物作出判断，符合命题的特征）。
（3）定理需要证明，公理不需要证明。（正确，公理是公认的基本事实，定理需由公理或其他定理推导）。
技巧总结：
区分定义：看语句是否在界定概念的本质属性（“叫做” 是常见标志）。
区分定理：看是否是经过推理证实的真命题（常与数学规律相关）。
配图：例题 1 的分类标注，例题 2 的判断依据分析
幻灯片 8：典型例题讲解（二）—— 证明的步骤与书写
例题 3：证明命题 “对顶角相等”。
步骤 1：明确命题：
题设：两个角是对顶角。
结论：这两个角相等。
步骤 2：画出图形：如图，直线 AB、CD 相交于点 O，∠1 和∠2 是对顶角。
步骤 3：写出已知求证：
已知：直线 AB、CD 相交于点 O，∠1 和∠2 是对顶角。
求证：∠1 = ∠2。
步骤 4：进行推理：
证明：∵ 直线 AB、CD 相交于点 O（已知），
∴ ∠1 + ∠3 = 180°，∠2 + ∠3 = 180°（平角的定义）。
∴ ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠3（等量代换）。
∴ ∠1 = ∠2（等式性质：等式两边减同一个数，结果仍相等）。
例题 4：证明命题 “同角的补角相等”。
已知：∠1 和∠2 互为补角，∠1 和∠3 互为补角。
求证：∠2 = ∠3。
证明：∵ ∠1 和∠2 互为补角（已知），∴ ∠1 + ∠2 = 180°（补角的定义）。
∵ ∠1 和∠3 互为补角（已知），∴ ∠1 + ∠3 = 180°（补角的定义）。
∴ ∠1 + ∠2 = ∠1 + ∠3（等量代换），∴ ∠2 = ∠3（等式性质）。
书写规范：
每一步推理都要有依据，依据需写在括号内。
几何证明需结合图形，用符号语言清晰表述。
配图：例题 3 的图形标注，推理步骤的依据说明
幻灯片 9：典型例题讲解（三）—— 证明的综合应用
例题 5：证明命题 “如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”（平行公理的推论）。
已知：直线 a∥c，直线 b∥c。
求证：a∥b。
证明：假设 a 不平行于 b，则 a 与 b 相交于一点 P（反证法思路，初步接触）。
∵ a∥c，b∥c（已知），
∴ 过点 P 有两条直线 a、b 都与 c 平行（已知条件转化）。
这与 “过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”（平行公理）相矛盾。
∴ 假设不成立，即 a∥b。
例题 6：如图，已知∠1 = ∠2，求证：∠3 = ∠4。
证明：∵ ∠1 = ∠2（已知），
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）。
∴ ∠3 = ∠4（两直线平行，内错角相等）。
说明：证明时可综合运用定义、公理、定理，几何证明需结合图形的位置关系选择合适依据；反证法是证明的特殊方法（初步了解）。
配图：例题 5 的反证法思路图，例题 6 的图形与推理标注
幻灯片 10：课堂互动：辨析与推理
活动一：定义与定理辨析：
练习 1：下列语句中，属于定义的是（ ）。
A. 两直线平行，内错角相等；B. 三角形中任意两边之和大于第三边；C. 能够完全重合的两个图形叫做全等形；D. 两点之间线段最短。
练习 2：下列说法正确的是（ ）。
A. 公理是定理的一种；B. 定义不是命题；C. 定理需要证明；D. 假命题也可能是定理。
活动二：证明步骤补全：
练习 3：补全证明过程：已知∠AOB = ∠COD，求证∠AOC = ∠BOD。
证明：∵ ∠AOB = ∠COD（ ），
∴ ∠AOB - ∠COB = ∠COD - ∠COB（ ），
即∠AOC = ∠BOD。
活动三：简单证明书写：
练习 4：证明命题 “等角的余角相等”（写出已知、求证和证明过程）。
配图：练习题展示图，附带答题区和提示（如证明依据填写框）
幻灯片 11：课堂总结与归纳
知识要点回顾：
定义：对名称和术语的明确界定，是判断的依据。
定理：经过推理证实的真命题，可作为证明依据（公理是特殊的真命题，无需证明）。
证明：确认命题正确性的推理过程，依据包括已知、定义、公理、定理。
证明步骤：明确命题→画出图形→写出已知求证→推理证明→得出结论。
方法总结：
区分定义与定理：定义侧重 “界定概念”，定理侧重 “规律陈述”。
证明的核心：每一步推理都要有合理依据，逻辑清晰严谨。
几何证明：结合图形，用符号语言规范表述已知、求证和推理过程。
易错提醒：
混淆定义、公理与定理的概念（如误把公理当作定理）。
证明时缺乏依据或依据错误（如随意使用未证实的结论）。
几何证明中图形标注不清或符号语言表述混乱。
幻灯片 12：课后作业布置
基础作业：课本 [具体页码] 习题 [具体题号]，完成定义、定理的辨析及简单证明题。
提升作业：
分别写出 3 个数学定义和 3 个数学定理，并说明它们的作用。
证明命题 “垂直于同一条直线的两条直线平行”（画出图形，写出已知、求证和证明过程）。
拓展作业：
查阅资料，了解 “勾股定理” 的证明方法（至少一种），并尝试用自己的语言描述证明思路。
思考：如何用反证法证明 “三角形中至少有一个角不大于 60°”？
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
12.1.2定义、定理与证明
第12章 全等三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1、理解基本事实、定理等概念；
2、理解证明的概念，并会对真命题进行证明；
温故知新
问题：我们学过的哪些命题是真命题﹖
1.两点确定一条直线;
2.两点之间，线段最短;
3.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
4.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
问题1：什么是命题？命题的结构是什么？
定义：判断一件事情的语句.
构成：每个命题都是由题设、结论两部分组成.
命题常写成“如果……那么……”的形式.
问题2：命题如何分类？如何证明一个命题是假命题？
真命题和假命题
举反例
知识点一 基本事实与定理
探究新知
（1）两点确定一条直线；
（2）两点之间，线段最短；
（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（4）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
（5）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
回忆一下，我们学过哪些真命题？
这些都是公认的真命题，我们把它视为基本事实.
基本事实：
公认的真命题视为基本事实.
它们是用来判断其他命题真假的原始依据，即出发点．
定理：
数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．
基本事实、定理、命题的关系：
命题
真命题
假命题
基本事实（正确性由实践总结）
定理（正确性通过推理证实）
基本事实与定理的联系与区别：
定理与基本事实都是真命题，都是我们解决问题的依据，
它们的区别是:基本事实是公认的真命题，不需要推理论证；
定理是由基本事实直接或间接推理论证得到的.
1. 下列命题中属于基本事实的是（ ）
A. 内错角相等，两直线平行　　　
B. 三角形的外角和等于 360°
C. 两点确定一条直线
D. 直角三角形两锐角互余
试
一
试
C
根据基本事实的概念即可判断；
2. 下列命题是定理的是（ ）
A. 两点之间，线段最短
B. 两直线平行，内错角相等
C. 两点确定一条直线
D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B
思考
（1）一位同学在钻研数学题时发现:
于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论:从质数 2 开始，排在前面的任意多个质数的乘积加 1 一定也是质数. 他的结论正确吗？
2 + 1 =3，
2×3 + 1 = 7，
2×3×5 + 1 = 31，
2×3×5×7 + 1 = 211
计算一下2×3×5×7×11+1与2×3×5×7×11×13+1，你发现了什么？
（2）如图所示，一位同学在画图时发现: 三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.于是他得出结论:任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.他的结论正确吗？
（3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论: n 边形的内角和等于 ( n -2) ×180°. 这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？
实际上，这是一个正确的结论.
上面几个例子说明: 通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，通过这种方式得到的结论，还需进一步加以证实.
根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明．
证明：
证明必须做到“言必有据”，每步推理都要有依据，它们可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、已经学过的定理，以及等式的性质、等量代换等．
证明的依据：
已知: 如图，在△ABC中，∠C = 90°.
求证: ∠A +∠B = 90°.
直角三角形的两个锐角互余.
证明: ∠A ＋∠B +∠C = 180°
(三角形的内角和等于180°)，
又∵ ∠C = 90°(已知)，
∴ ∠A + ∠B = 180°-∠C = 90°
(等式的性质).
证明的一般步骤是：
①审清题意，找出命题中的条件和结论;
②根据题意画出图形，图形要正确且具有一般性，不能画特殊图形;
③用数学语言写出“已知”“求证”;
④找出证明思路;
⑤写出证明过程，每一步都要有理有据;
⑥检查表达过程是否正确、完整．
求证: 平行线的内错角的平分线互相平行．
解:已知:如图，AB ∥CD ，EF 交 AB 于点 E，交 CD 于点 F，EM 平分∠BEF，FN 平分∠EFC．
求证: EM ∥FN ．
证明:∵AB∥CD (已知)，
∴∠BEF＝∠CFE (两直线平行，内错角相等)．
∵EM 平分∠BEF，FN 平分∠EFC (已知)，
∴∠2＝ ∠BEF，∠1＝ ∠CFE(角平分线的定义)．
∴∠1＝∠2(等量代换)．
∴EM ∥FN (内错角相等，两直线平行)．
分析：要证明OE⊥OF，只要证明
∠EOF＝ 90°，即∠1＋∠2＝ 90°即可．
1.证明：邻补角的平分线互相垂直．
已知：如图，∠AOB＋∠BOC＝180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC．
求证：OE⊥OF．
证明：∵OE平分∠AOB， ∴∠1＝ ∠AOB.
∵OF平分 ∠BOC， ∴∠2＝ ∠BOC.
∴∠1＋∠2＝ （∠AOB＋∠BOC）
＝ ∠AOC ＝ ×180°＝90°.
∴OE⊥OF（垂直定义）．
2、已知：b∥c， a⊥b ．
求证：a⊥c．
证明： ∵ a ⊥b（已知），
∴ ∠1=90°（垂直的定义）.
又 b ∥ c（已知），
∴ ∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）.
∴ a ⊥ c（垂直的定义）.
a
b
c
1
2
3.在下面的括号内，填上推理的依据.
如图，AB ∥ CD,CB ∥ DE .
求证∠ B+ ∠D=180°.
证明：
∵ AB ∥ CD,
∴ ∠B= ∠C( ).
∵ CB ∥ DE,
∴ ∠ C+ ∠ D=180°( ).
∴ ∠ B+ ∠ D=180°( ).
等量代换
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
1. 下列属于定义的是( )
D
A. 两点确定一条直线
B. 两直线平行，同位角相等
C. 等角的补角相等
D. 线段是直线上的两点和它们之间的部分
2. 有下列描述：①过点作直线 ；②两直线平行，同
旁内角互补；③垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是
定理的有( )
B
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
返回
3.试说明“若 ， ，
，则 ”是真命题.以下是排乱的推理过程：
①因为（已知）；②因为 ,
（已知）；③所以 ，
（等式的性质）；④所以
（等量代换）；⑤所以 （等量代换）.正确的
顺序是____________.
②③①⑤④
返回
4. 下面是投影屏上出示的抢答题，
需要回答横线上符号代表的内容，则回答正确的是( )
已知：如图， .
求证： .
___________________________
证明：延长交于点 ，
则 .
又 ，
，
（ 相等，两直线平行）.
A. 代表 B. 代表同位角
C. 代表 D. 代表
续表
√
. .
. .
. .
. .
返回
5.
（1）如图， ，数学课上，老师请
同学们根据图形的特征添加一个关于角的
条件，使 ，可以添加的条
件是________________________________；
（答案不唯一）
（2）如图，请你从; 平分
; 中任选出两个作为条
件，另一个作为结论，组成一个真命题.
条件：____________________，结论：
____.（填序号）
（答案不唯一）①③
②
定理与证明
基本事实
定理的概念
证明：
步骤：(1)根据题意作出图形.
(2)写出已知和求证.
(3)写出证明的过程
概念
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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