资源简介

(共30张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：12.4.2 线段垂直平分线
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：展示线段垂直平分线的动态演示图作为背景，突出垂直和平分的动作
幻灯片 2：目录
情境引入：生活中的垂直平分线
线段垂直平分线的定义与表示
线段垂直平分线的性质探究
线段垂直平分线的判定方法
性质与判定的综合应用（典型例题）
尺规作图：作线段的垂直平分线
课堂互动：实践操作与问题解决
课堂总结与知识梳理
课后作业布置
幻灯片 3：情境引入：生活中的垂直平分线
图片展示：展示一些生活中具有线段垂直平分线特征的图片，如桥梁的拉索与桥面、风筝的骨架等。
问题引导：
观察这些图片，你能发现哪些线段之间存在特殊的垂直且平分的关系？
在这些实际例子中，线段垂直平分线起到了什么作用？
引入课题：线段垂直平分线在生活和数学中都有着广泛的应用，今天我们就来深入学习线段垂直平分线的相关知识。
配图：生活中线段垂直平分线实例的高清图片，标注出关键的线段和垂直平分关系
幻灯片 4：线段垂直平分线的定义与表示
定义讲解：
文字语言：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称 “中垂线”。
图形语言：如图，若直线 MN 经过线段 AB 的中点 O，且 MN⊥AB，则直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线。
符号语言：∵点 O 是 AB 中点，MN⊥AB，∴MN 是 AB 的垂直平分线。
相关概念：强调线段垂直平分线是一条直线，它与线段有且只有一个交点，即线段的中点。
举例说明：给出一些线段，让学生判断哪些直线是它们的垂直平分线。
配图：线段垂直平分线的标准定义图，用不同颜色标注线段、中点和垂直平分线
幻灯片 5：线段垂直平分线的性质探究
探究活动：
让学生在纸上画一条线段 AB，作出 AB 的垂直平分线 MN，在 MN 上任意取一点 P，连接 PA、PB。
测量 PA 和 PB 的长度，你发现了什么？
再在 MN 上取几个不同的点，重复上述操作，观察测量结果。
猜想归纳：引导学生猜想线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
证明猜想：
已知：如图，直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 在 MN 上。
求证：PA = PB。
证明过程：
∵MN 是 AB 的垂直平分线，
∴OA = OB，∠POA = ∠POB = 90°。
在△POA 和△POB 中，
OA = OB（已证），
∠POA = ∠POB（已证），
OP = OP（公共边），
∴△POA≌△POB（SAS）。
∴PA = PB（全等三角形对应边相等）。
性质总结：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
符号语言：∵点 P 在线段 AB 的垂直平分线 MN 上，∴PA = PB。
配图：探究活动的操作步骤图；性质证明的图形与推理过程标注
幻灯片 6：线段垂直平分线性质的应用
例题 1：如图，在△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，交 AB 于点 E。已知 BC = 6，△BCD 的周长为 15，求 AB 的长。
分析：
因为 DE 是 AB 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得 AD = BD。
已知△BCD 的周长为 15，即 BD + CD + BC = 15，将 BD 替换为 AD，可得 AD + CD + BC = 15，而 AD + CD = AC。
又因为 AB = AC，BC = 6，所以可求出 AB 的长。
解答过程：
∵DE 是 AB 的垂直平分线，
∴AD = BD（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）。
∵△BCD 的周长为 15，即 BD + CD + BC = 15，
∴AD + CD + BC = 15（等量代换）。
又∵AD + CD = AC，
∴AC + BC = 15。
已知 BC = 6，
∴AC = 15 - 6 = 9。
∵AB = AC，
∴AB = 9。
例题 2：如图，在直线 l 上求一点 P，使 PA = PB。
分析：根据线段垂直平分线的性质，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以点 P 应在线段 AB 的垂直平分线上，而点 P 又在直线 l 上，因此直线 l 与线段 AB 垂直平分线的交点即为所求的点 P。
解答过程：
作线段 AB 的垂直平分线，交直线 l 于点 P。
点 P 即为所求（理由：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）。
技巧总结：在应用线段垂直平分线的性质时，要善于发现或构造垂直平分线，将问题转化为线段相等的问题进行求解。
配图：例题 1 的图形分析与解答步骤；例题 2 的作图过程与分析
幻灯片 7：线段垂直平分线的判定方法
思考问题：反过来，如果一个点到一条线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上吗？
探究活动：
已知：如图，PA = PB。
求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。
证明思路：
过点 P 作直线 MN⊥AB，垂足为 O。
在 Rt△PAO 和 Rt△PBO 中，
PA = PB（已知），
PO = PO（公共边），
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）。
∴AO = BO（全等三角形对应边相等）。
即直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线，所以点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。
判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
符号语言：∵PA = PB，∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。
判定方法总结：
利用定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线。
利用判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
配图：判定定理证明的图形与推理过程；判定方法对比表格
幻灯片 8：线段垂直平分线判定的应用
例题 3：如图，AB = AC，DB = DC，E 是 AD 上一点。求证：BE = CE。
分析：
由 AB = AC，DB = DC，根据线段垂直平分线的判定定理，可知点 A、D 都在线段 BC 的垂直平分线上。
因为两点确定一条直线，所以直线 AD 是线段 BC 的垂直平分线。
又因为点 E 在 AD 上，再根据线段垂直平分线的性质，可得 BE = CE。
解答过程：
∵AB = AC，
∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
∵DB = DC，
∴点 D 在线段 BC 的垂直平分线上。
∴直线 AD 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）。
∵点 E 在 AD 上，
∴BE = CE（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）。
例题 4：如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E、F，且 BE = CF。求证：AD 是△ABC 的角平分线。
分析：
连接 AD，由 D 是 BC 中点可得 BD = CD，又已知 BE = CF，DE⊥AB，DF⊥AC，根据 “HL” 可证 Rt△BDE≌Rt△CDF，从而得到 DE = DF。
再根据到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可证 AD 是△ABC 的角平分线。
解答过程：
连接 AD。
∵D 是 BC 的中点，
∴BD = CD。
在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，
BD = CD（已证），
BE = CF（已知），
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）。
∴DE = DF（全等三角形对应边相等）。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD 是△ABC 的角平分线（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）。
技巧总结：在证明线段垂直平分线或利用线段垂直平分线的判定解决问题时，要注意寻找线段相等的条件，通过证明点到线段两端点距离相等来确定垂直平分线。
配图：例题 3 的图形分析与解答步骤；例题 4 的图形与推理过程标注
幻灯片 9：性质与判定的综合应用（典型例题）
例题 5：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 120°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，交 AB 于点 E。求证：BD = 1/2DC。
分析：
连接 AD，因为 DE 是 AB 的垂直平分线，根据性质可得 AD = BD，所以∠B = ∠BAD。
已知 AB = AC，∠BAC = 120°，可求出∠B = ∠C = 30°，进而得到∠DAC = 90°。
在 Rt△ADC 中，根据 30° 角所对的直角边等于斜边的一半，可证 BD = 1/2DC。
解答过程：
连接 AD。
∵DE 是 AB 的垂直平分线，
∴AD = BD（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）。
∴∠B = ∠BAD。
∵AB = AC，∠BAC = 120°，
∴∠B = ∠C = 1/2(180° - 120°) = 30°。
∴∠BAD = 30°，
∴∠DAC = ∠BAC - ∠BAD = 120° - 30° = 90°。
在 Rt△ADC 中，∠C = 30°，
∴AD = 1/2DC（在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）。
又∵AD = BD，
∴BD = 1/2DC。
例题 6：如图，已知△ABC 的边 AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 D、E，且∠BAC + ∠DAE = 150°，求∠BAC 的度数。
分析：
设∠B = x，∠C = y，根据线段垂直平分线的性质，可得 DA = DB，EA = EC，从而得到∠BAD = x，∠EAC = y。
再根据三角形内角和定理以及已知条件∠BAC + ∠DAE = 150°，列出方程求解。
解答过程：
设∠B = x，∠C = y。
∵DM 是 AB 的垂直平分线，
∴DA = DB（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）。
∴∠BAD = ∠B = x。
∵EN 是 AC 的垂直平分线，
∴EA = EC。
∴∠EAC = ∠C = y。
在△ABC 中，∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，即∠BAC + x + y = 180°，可得 x + y = 180° - ∠BAC。
又∵∠BAC + ∠DAE = 150°，且∠DAE = ∠BAC - (∠BAD + ∠EAC) = ∠BAC - (x + y)，
∴∠BAC + ∠BAC - (x + y) = 150°。
将 x + y = 180° - ∠BAC 代入上式，得∠BAC + ∠BAC - (180° - ∠BAC) = 150°。
3∠BAC - 180° = 150°。
3∠BAC = 330°。
∠BAC = 110°。
技巧总结：综合运用线段垂直平分线的性质和判定时，要注意从条件出发，通过等量代换、角度计算等方法逐步推导结论。
配图：例题 5 的图形分析与解答步骤；例题 6 的图形与方程推导过程
幻灯片 10：尺规作图：作线段的垂直平分线
作图步骤：
已知：线段 AB。
求作：线段 AB 的垂直平分线。
作法：
分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 1/2AB 的长为半径作弧，两弧相交于点 C 和点 D。
作直线 CD。
直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线。
原理讲解：
由作图可知，AC = BC，AD = BD，根据线段垂直平分线的判定定理，点 C、D 都在线段 AB 的垂直平分线上，又因为两点确定一条直线，所以直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线。
学生练习：让学生在练习本上用尺规作出给定线段的垂直平分线，教师巡视指导。
易错提醒：
作弧时半径要大于 1/2AB，否则两弧可能不相交。
连接两交点时要画成直线，不能画成线段。
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
12.4.2线段垂直平分线
第12章 全等三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1、理解和掌握线段垂直平分线的定理及其逆定理，并能利用它们来进行证明或计算.
2、知道线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.
3、了解数学和生活的紧密联系，培养用数学的能力.
温故知新
C
A
B
P
M
N
如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB. 将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB有怎样的关系？
PA与PB完全重合
如图，要在公路旁设一个公共汽车站，车站应设在什么地方，才能使A、B两村到车站距离相等？
公 路
A
B
知识点一 线段垂直平分线的性质
如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB.将线段AB沿直线MN对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程.
M
N
P
A
C
B
对折后PA、PB能够完全重合，PA=PB.
线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
下面我们来证明刚才得到的结论：
证明： ∵MN ⊥AB（已知）,
∴∠ACP=∠BCP=90°(垂直的定义).
在△ACP和△BCP中,
∴ △ACP≌△BCP(S.A.S.).
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).
AC=BC,
∠ACP=∠BCP,
PC=PC,
M
N
P
A
C
B
你能用一句话来描述刚得到的结论吗？
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
线段垂直平分线的性质定理：
知识归纳
M
N
P
A
C
B
几何语言叙述:
∵点P在线段AB的垂直平分线上（或PC⊥AB，AC=BC），
∴PA=PB.
典例精析
【例1】利用尺规，作线段AB的垂直平分线.
作法：
1.分别以点A和点B为圆心，以大于
AB一半的长为半径作弧，
已知：线段AB.
求作：AB的垂直平分线.
2.作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线．


A
B
C
D
两弧相交于点C和D；
练一练
1. 如图，AB = AC，∠A = 50°，DE垂直平分AB. 求∠DBC的大小.
解：由题意，得∠ABC= (180°－∠A)÷2=65°，
∠EBD=∠A=50°，
∴∠DBC=∠ABC－∠EBD=15°.
知识点二 线段垂直平分线的判定定理
探索
这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？
条件 结论
性质定理
逆命题
一直线是一线段的垂直平分线
该直线上的点到线段两端的距离相等
点到线段两端的距离相等
该点在线段的垂直平分线上
逆命题是否是一个真命题？
逆命题 如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上.
已知： 如图，QA＝QB.
求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上．
分析：为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点Q作线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB；
也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为点C，然后证明QC垂直于线段AB．
证明：过点Q作MN⊥AB，垂足为点C，
故∠QCA=∠QCB=90°.
在Rt△QCA 和Rt△QCB中，
∵QA=QB，QC=QC，
∴Rt△QCA≌Rt△QCB（H.L.）.
∴AC=BC.
∴点Q在线段AB的垂直平分线上．
已知： 如图，QA＝QB.
求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上．
你能根据分析中后一种添加辅助线的方法，写出它的证明过程吗？
知识要点
线段垂直平分线的判定
应用格式：
∵　PA =PB，
∴　点P 在AB 的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线的判定定理与性质定理互为逆定理.
利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，做完之后，你发现了什么？
发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等．
做一做
怎样证明这个结论呢
点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可.思路可表示如下：
试试看，你会写出证明过程吗？
B
C
A
P
l
n
m
l是AB的垂直平分线
m是BC的垂直平分线
PA=PB
PB=PC
PA=PC
点P在AC的垂直平分线上
证明：连接PA，PB，PC.
∵点P在AB，AC的垂直平分线上， ∴PA=PB，PA=PC （线段垂直平分线上
的点到线段两端距离相等）.
∴PB=PC.
∴点P在BC的垂直平分线上 (到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）.
B
C
A
P
l
n
m
典例精析
【例2】如图，已知点A、B和直线l，在直线l上求作一点P，使PA = PB.
A
B
l
提示：作AB的垂直平分线与直线l的交点.
P
练一练
1. 如图，BD⊥AC，垂足为点E，AE = CE.
求证：AB＋CD＝AD ＋BC.
D
A
C
B
E
证明：∵BD AC ，AE＝EC，
∴BD是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AB＝BC，
∴AB＋CD＝AD＋BC.
2. 如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且 BD + AD = BC. 求证：点D在AC的垂直平分线上 .
A
B
C
D
证明：∵BD＋DC＝BC
而 BD＋AD＝BC，
∴ AD＝DC，
∴ 点D在AC的垂直平分线上.
3. 如图，在△ABC中，∠A =30°，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D. 求证：点D在AB的垂直平分线上.
证明：∵∠C=90°，∠A =30°
∴∠ABC=60°，
∵BD是∠ABC 的平分线，
∴∠ABD=30°，∴∠A=∠ABD=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的垂直平分线上.
1.如图，直线CD是线段PB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
P
A
B
C
D
B
由垂直平分线的性质可知，
PA=PB=5
2.如图，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长是 .
10cm
A
B
C
D
E
∵DE是AB的垂直平分线
∴AE=BE
∵△BCE的周长为18
∴AC+BC=18
∴AC=10
1. 如图是一块三角形的草坪，点，， 处
各种一棵树，现要在草坪上建一灌溉出水口，要使出水口到
三棵树的距离相等，则灌溉出水口的位置应选在( )
A. 三边的垂直平分线的交点上
B. 三条角平分线的交点上
C. 三条高所在直线的交点上
D. 三条中线的交点上
√
返回
（第2题）
2. 如图，中边 的垂直平分线分别
交,于,,连结,,
的周长为,则 的周长是( )
A. B. C. D.
√
返回
（第3题）
3. ［2025淮安期中］如图，在锐角
中， ，和 分别垂直平分边
，，则 的度数为( )
A. B. C. D.
√
4.［2025武汉江汉区期中］如图，在中，，
是上的一点，是上一点，且，若 ，
则 的长是___.
2
（第4题）
返回
（第5题）
5. 风筝又称“纸鸢”，距今已
有2000多年的历史，如图是一款风筝骨架的
简化图，已知， ，
， ，则制作这个风筝
需要的布料至少为_______ .
2 700
返回
线段的垂直平分的性质和判定
性质
到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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