资源简介

(共33张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：13.1.1 直角三角形三边关系
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：以直角三角形为主体，突出三条边，标注直角符号，背景可融入古代勾股定理相关元素
幻灯片 2：目录
情境引入：直角三角形的特殊地位
复习回顾：直角三角形的定义与相关概念
探究活动：直角三角形三边的数量关系
勾股定理的内容与表示
勾股定理的证明方法（选讲）
典型例题讲解（定理应用）
课堂互动：计算与辨析
课堂总结与知识拓展
课后作业布置
幻灯片 3：情境引入：直角三角形的特殊地位
生活实例：展示生活中常见的直角三角形，如梯子靠在墙上形成的三角形、墙角的三角形区域、直角三角尺等。
问题引导：
这些直角三角形的三条边之间是否存在某种特殊的数量关系？
若已知直角三角形的两条边，能否求出第三条边的长度？
历史背景：简单介绍古代数学家对直角三角形三边关系的研究（如中国古代的 “勾股弦定理”），激发学习兴趣。
引入课题：今天我们将深入探究直角三角形三条边之间的数量关系 —— 勾股定理。
配图：生活中直角三角形实例图；古代勾股定理相关典籍或图形示意图
幻灯片 4：复习回顾：直角三角形的定义与相关概念
定义回顾：
文字语言：有一个角是直角（90°）的三角形叫做直角三角形。
图形表示：如图，在△ABC 中，∠C=90°，则△ABC 是直角三角形，记作 Rt△ABC。
边的名称：
直角边：组成直角的两条边，记作 “直角边 a”“直角边 b”（通常 a、b 为两条直角边）。
斜边：直角所对的边，记作 “斜边 c”，斜边是直角三角形中最长的边。
符号标注：在图形中规范标注直角符号（∠C 处标注 “┐”），明确 a、b、c 对应的边（如 BC=a，AC=b，AB=c）。
基础提问：直角三角形的内角和是多少？两个锐角之间有什么关系？（内角和 180°，两锐角互余）
配图：直角三角形各部分名称标注图，清晰区分直角边和斜边
幻灯片 5：探究活动：直角三角形三边的数量关系
活动 1：测量与计算：
要求学生画出三个不同的直角三角形（如两直角边分别为 3cm 和 4cm、5cm 和 12cm、6cm 和 8cm）。
测量每个直角三角形三条边的长度，记录数据（精确到 0.1cm）。
计算每条直角边的平方和（a +b ）与斜边的平方（c ），对比两者的数值关系。
数据记录表：
直角三角形
直角边 a（cm）
直角边 b（cm）
斜边 c（cm）
a +b
c
a +b 与 c 的关系
1
3
4
5
25
25
相等
2
5
12
13
169
169
相等
3
6
8
10
100
100
相等
活动 2：拼图验证：
提供若干个全等的直角三角形和正方形纸片，让学生用 4 个直角三角形拼成一个大正方形（中间留小正方形空隙）。
引导学生通过面积关系推导 a +b 与 c 的关系（大正方形面积 = 4 个直角三角形面积 + 小正方形面积）。
猜想归纳：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
配图：测量活动示意图；拼图验证的步骤分解图，标注面积关系
幻灯片 6：勾股定理的内容与表示
定理内容：
文字语言：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
古代表述：勾股定理（勾三、股四、弦五），其中 “勾” 指较短直角边，“股” 指较长直角边，“弦” 指斜边。
符号语言：
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c，则 a +b =c 。
公式变形：
已知两直角边求斜边：c=√(a +b )。
已知斜边和一条直角边求另一条直角边：a=√(c -b )，b=√(c -a )。
注意事项：
勾股定理仅适用于直角三角形。
应用时需明确哪条边是斜边（最长边），避免边的对应关系混淆。
计算时注意单位统一，结果可保留根号或根据要求取近似值。
配图：勾股定理的标准图形与符号对应图；公式变形的推导过程示意图
幻灯片 7：勾股定理的证明方法（选讲）
方法 1：赵爽弦图法：
图形构造：以直角三角形的斜边为边作大正方形，内部用 4 个全等的直角三角形拼成小正方形。
面积推导：
大正方形面积 = c 。
大正方形面积也等于 4 个直角三角形面积 + 小正方形面积 = 4×(1/2ab)+(b-a) =2ab+b -2ab+a =a +b 。
∴a +b =c 。
方法 2：总统证法（伽菲尔德证法）：
图形构造：用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼成直角梯形。
面积推导：
梯形面积 =(a+b)(a+b)/2=(a+b) /2。
梯形面积也等于三个三角形面积之和 = 1/2ab+1/2ab+1/2c =ab+1/2c 。
∴(a+b) /2=ab+1/2c ，化简得 a +b =c 。
证明意义：通过不同证明方法体会数形结合思想，加深对定理的理解。
配图：赵爽弦图的分解与面积标注；总统证法的图形构造与面积计算标注
幻灯片 8：典型例题讲解（一）—— 已知两边求第三边
例题 1：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 a=5，b=12，求 c 的长度。
解：∵在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=5，b=12，
∴由勾股定理得 a +b =c ，
∴c =5 +12 =25+144=169，
∴c=√169=13（c>0，舍去负值）。
例题 2：在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，求 AC 的长度。
解：∵∠B=90°，∴斜边为 AC（AB 和 BC 为直角边），
由勾股定理得 AB +BC =AC ，
∴AC =3 +4 =9+16=25，
∴AC=5。
例题 3：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，c=25，a=7，求 b 的长度。
解：∵由勾股定理得 a +b =c ，
∴b =c -a =25 -7 =625-49=576，
∴b=√576=24（b>0）。
技巧总结：
先确定直角三角形的直角顶点，明确斜边和直角边。
代入勾股定理公式时注意边的对应关系，避免符号错误。
计算平方和或平方差时仔细核对数值，确保结果正确。
配图：例题 1、2、3 的图形标注，明确直角边和斜边的对应关系
幻灯片 9：典型例题讲解（二）—— 实际应用
例题 4：如图，一架梯子 AB 长 25 米，斜靠在竖直的墙 AC 上，这时梯子底部 B 到墙的距离 BC 为 7 米，求梯子顶端 A 到地面的高度 AC。
解：∵梯子 AB、墙 AC、地面 BC 构成 Rt△ABC，∠C=90°，
AB=25 米（斜边），BC=7 米（直角边），
由勾股定理得 AC +BC =AB ，
∴AC =AB -BC =25 -7 =625-49=576，
∴AC=24 米。
答：梯子顶端 A 到地面的高度 AC 为 24 米。
例题 5：一个直角三角形的斜边长为 10cm，一条直角边比另一条直角边长 2cm，求两条直角边的长度。
解：设较短的直角边为 x cm，则较长的直角边为 (x+2) cm，
由勾股定理得 x +(x+2) =10 ，
展开得 x +x +4x+4=100，
整理得 2x +4x-96=0，即 x +2x-48=0，
解得 x =6，x =-8（边长不能为负，舍去），
∴x+2=8 cm。
答：两条直角边的长度分别为 6cm 和 8cm。
技巧总结：
实际问题中先抽象出直角三角形模型，明确已知边和所求边。
涉及方程求解时，设未知数后根据勾股定理列方程，注意边长的非负性。
配图：例题 4 的梯子靠墙示意图；例题 5 的直角三角形边长关系标注
幻灯片 10：课堂互动：计算与辨析
活动一：基础计算：
练习 1：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=9，b=12，求 c；若 c=30，a=18，求 b。
（答案：c=15；b=24）
活动二：概念辨析：
练习 2：下列说法正确的是（ ）。
A. 任意三角形的三边都满足 a +b =c ；B. 直角三角形的两边长为 3 和 4，第三边长一定是 5；
C. 若直角三角形的两边长为 6 和 8，则第三边长为 10；D. 勾股定理适用于所有直角三角形。
（答案：D，提示：B、C 需考虑 3、4 或 6、8 是否为直角边）
活动三：实际应用：
练习 3：如图，学校有一块长方形草坪，长 30 米，宽 20 米，现要从草坪一角到对角修一条小路，求小路的长度（结果保留根号）。
（提示：小路为长方形对角线，构成直角三角形，长和宽为直角边，答案：10√13 米）
配图：练习题的图形标注，练习 2 的错误选项分析提示
幻灯片 11：课堂总结与知识拓展
知识要点回顾：
勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（a +b =c ）。
核心应用：已知两边求第三边（直接计算或列方程）。
注意事项：仅适用于直角三角形，明确斜边与直角边的对应关系。
知识拓展：
勾股数：满足 a +b =c 的三个正整数叫做勾股数（如 3,4,5；5,12,13；6,8,10 等）。
勾股定理的逆定理：若三角形三边满足 a +b =c ，则该三角形是直角三角形（后续将学习）。
实际应用领域：建筑测量、导航定位、几何证明等。
思想方法：
数形结合思想：通过图形面积关系推导数量关系。
转化思想：将实际问题转化为直角三角形模型求解。
配图：常见勾股数列表；勾股定理在建筑中的应用示意图
幻灯片 12：课后作业布置
基础作业：课本 [具体页码] 习题 [具体题号]，完成勾股定理的基础计算题。
提升作业：
一个直角三角形的周长为 30cm，斜边长为 13cm，求这个三角形的面积。
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，CD⊥AB 于 D，AC=6，BC=8，求 CD 的长度。
拓展作业：
查阅资料，了解勾股定理的其他证明方法（至少两种），并尝试用图形说明。
设计一个利用勾股定理解决的实际问题，画出示意图并解答。
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
13.1.1直角三角形三边关系
第13章 勾股定理
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1、掌握勾股定理及其简单应用，理解定理的一般探究方法；
2、通过利用方格纸计算面积的方法探索勾股定理，经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展数形结合的数学思想；
你知道2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM-2002)吗？在这次大会上，到处可以看到一个简洁优美、远看像旋转的纸风车的图案，它就是大会的会标.
会标采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图.
　
1955年希腊发行的一枚纪念邮票.
这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体──毕达哥拉斯学派.
邮票上的图案是根据一个著名的数学定理设计的.
观察这枚邮票上的图案，数数图案中各正方形中小方格的个数，你有什么猜想？
知识点一 直角三角形三边的关系
（图中每一格代表一平方厘米）
（1）正方形P的面积是 平方厘米；
（2）正方形Q的面积是 平方厘米；
（3）正方形R的面积是 平方厘米.
1
2
1
SP+SQ=SR
R
Q
P
A
C
B
AC2+BC2=AB2
等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
Sp=AC2 SQ=BC2 SR=AB2
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
观察正方形瓷砖铺成的地面.
这说明在等腰直角三角形ABC中,两直角边的平方和等于斜边的平方
那么,在一般的直角三角形中,两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢
想一想
填一填.
观察右边两幅图：完成下表（每个小正方形的面积为单位1）.
A的面积 B的面积 C的面积
左图
右图
4
？
怎样计算正方形C的面积呢？
9
16
9
直角三角形三边关系的证明方法：
方法一：割
方法二：补
方法三：拼
分割为四个直角三角形和一个小正方形.
补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.
将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.
分析表中数据，你能发现图中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4 9 13
右图 16 9 25
结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
SA+SB=SC
猜想:两直角边a、b与斜边 c 之间的关系？
A
B
C
a
c
b
a2+b2=c2
由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有
a2+b2=c2，
a
b
c
这种关系我们称为勾股定理.
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
概念总结
思考：怎样证明勾股定理？
左图是弦图的示意图，它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形.
大正方形的面积=c2.
四个全等的直角三角形和小正方形的面积之和= .
即a2+b2=c2.
做
一
做
用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形.与上面的方法类似，根据这一图形，也能证明勾股定理.请你试一试，写出完整的证明过程.
证明：大正方形的面积=(a+b)2.
四个个全等的直角三角形和小正方形的面积之和= .
由题可知(a+b)2=2ab+c2，
化简可得a2+b2=c2.
我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理.
典例精析
【例1】求出下列直角三角形中未知边的长度.
解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2=AC2+BC2
x2 =100
x2=62+82
∵x>0，
y2+52=132
y2=132-52
y2=144
∴ y=12.
(2)在Rt△ABC中，由勾股定理得:
AC2+BC2=AB2
∵y>0，
A
6
8
x
C
B
5
y
13
C
A
B
∴ x=10.
(1)
(2)
练一练
（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则AB=________；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=20，则BC=________；
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，它的两边是6和8，则它的第三边长是________.
13
15
10或
2.若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是(　　)
A．b2＝c2－a2 B．a2＝c2－b2
C．b2＝a2－c2 D．c2＝a2＋b2
C
3.如图，以Rt△ABC的三条边为直径的半圆的面积分别为S1、S2、S3，已知S1=9，S3=25，求S2.
解:由图形可得
S1=π()2=，
S2=π()2=，
S3=π()2=，
AB2+AC2=BC2，∴S1+S2=(AC2+AB2)=BC2=S3 .
∴S2=S3-S1=25-9=16.
勾股图中的面积关系:
以直角三角形的三边为基础，分别向外作半圆、正方形、等边三角形，如图，它们都形成了简单的勾股图. 对于这些勾股图，它们都具有相同的结论，即S3=S1+S2. 与直角三角形三边相连的图形还可以换成正五边形、正六边形等，结论同样成立.
1.求下列图中未知数x、y、z的值.
x=15
y=5
z=7
81
16
x
y
144
169
z
625
576
2. 如图，一个高3 米，宽4 米的大门，需在相对角的顶点间加一个加固木条，则木条的长为 ( )
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
C
3
4
C
B
A
3.如图，正方形中的数据表示它的面积，则第三个正方形的面积为(　 )
A.69 B.18 C.19 D.20
C
25
44
A
B
C
1. 下列说法中正确的是( )
C
A. 已知,,是三角形的三边长，则
B. 在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方
C. 在中， ，,,是,, 的对边，所
以
D. 在中， ,,,是,, 的对边，所
以
返回
（第2题）
2. 象棋是中
国的传统棋种，如图所示的象棋棋盘
中，各个小正方形的边长均为1.“马”
从图中的位置出发，按照“马走日”的
规则，走一步之后的落点与“帅”的最
大距离是( )
A
A. 5 B. C. D.
3. 若在直角三角形中，有两边长分别是3和4，
则第三边长为_______.
5或
返回
（第4题）
4.如图，点，分别在， 上，
，垂足为， .若
，，则点到直线 的距离
为___.
5.如图，在中，于点,点为 上一点，连
结,,的延长线交于点,已知 ，
.
（1）试说明： .
【解】, , 易得
为等腰直角三角形,
. .又
, ,
, ,
.又
, ,
, , .
（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定
理的验证.已知：如图，在 中，
,,, ，试
说明： .
, ,
，，, .
返回
6. 如图，在
中， ，分别以各边为直径
作半圆，图中阴影部分在数学史上称为
“希波克拉底月牙”，当，
时，阴影部分的面积为( )
C
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
勾股定理
定理
验证
1.求边长、面积，证明线段之间的平方关系
2.勾股定理的实际应用
应用
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
用拼图法验证勾股定理
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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