资源简介

(共48张PPT)
幻灯片 1：封面
章节名称：第 11 章 整式的乘除章末复习
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：以整式乘除的公式符号、运算流程示意图为背景，突出章节核心运算主题
幻灯片 2：目录
复习目标：明确本章复习要点
知识梳理：核心概念与公式回顾
易错点解析：常见错误与规避方法
典型例题：各类题型解题示范
综合练习：巩固提升训练
课堂小结：知识体系与方法归纳
课后作业：针对性复习任务
幻灯片 3：复习目标
知识目标：
掌握整式（单项式、多项式）的相关概念及分类。
熟练运用同底数幂的乘法、除法、乘方运算法则。
掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的法则。
理解并运用乘法公式（平方差公式、完全平方公式）。
掌握整式的除法法则（单项式除以单项式、多项式除以单项式）。
能力目标：
能准确进行整式的乘除运算及混合运算。
能运用乘法公式进行简便计算和化简求值。
提高运算的准确性和灵活性，培养代数推理能力。
情感目标：
体会整式乘除在代数学习中的基础作用，感受数学运算的逻辑性。
通过练习积累解题经验，增强学好数学的信心。
幻灯片 4：知识梳理：核心概念与运算法则（一）
整式的概念：
单项式：由数与字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式，如\(3x\)、\(-5\)、\(a\)。
多项式：几个单项式的和叫做多项式，如\(2x + 3y\)、\(x^2 - 2x + 1\)。
整式：单项式和多项式统称为整式。
同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，如\(3x^2y\)与\(-5x^2y\)。
幂的运算：
同底数幂相乘：\(a^m\cdot a^n=a^{m + n}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数）。
同底数幂相除：\(a^m\div a^n=a^{m - n}\)（\(a\neq0\)，\(m\)、\(n\)都是正整数，且\(m>n\)）。
幂的乘方：\((a^m)^n=a^{mn}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数）。
积的乘方：\((ab)^n=a^n b^n\)（\(n\)是正整数）。
零指数幂：\(a^0=1\)（\(a\neq0\)）。
负整数指数幂：\(a^{-p}=\frac{1}{a^p}\)（\(a\neq0\)，\(p\)是正整数）。
配图：整式分类示意图；幂的运算法则推导示例图
幻灯片 5：知识梳理：核心运算法则（二）
整式乘法：
单项式乘单项式：系数相乘，同底数幂分别相乘，其余字母连同指数不变作为积的因式，如\(3x^2y\cdot 2xy^3=6x^3y^4\)。
单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即\(m(a + b + c)=ma + mb + mc\)。
多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即\((a + b)(c + d)=ac + ad + bc + bd\)。
乘法公式：
平方差公式：\((a + b)(a - b)=a^2 - b^2\)。
完全平方公式：\((a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2\)；\((a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2\)。
整式除法：
单项式除以单项式：系数相除，同底数幂分别相除，其余字母连同指数不变作为商的因式，如\(6x^3y^4\div 3x^2y=2xy^3\)。
多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，即\((ma + mb + mc)\div m=a + b + c\)。
配图：整式乘法、除法法则的步骤分解图；乘法公式的几何意义示意图（如面积法验证）
幻灯片 6：易错点解析：常见错误与规避方法
易错点 1：幂的运算法则混淆
错误示例：\(a^3\cdot a^2=a^6\)；\((a^3)^2=a^5\)。
解析：同底数幂相乘应相加指数，\(a^3\cdot a^2=a^{3 + 2}=a^5\)；幂的乘方应相乘指数，\((a^3)^2=a^{3\times2}=a^6\)。
规避方法：牢记幂的运算核心区别，“相乘加指数，乘方乘指数”。
易错点 2：乘法公式应用错误
错误示例：\((a + b)^2=a^2 + b^2\)；\((a - b)^2=a^2 - b^2\)。
解析：完全平方公式需加（减）两倍乘积项，\((a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2\)；\((a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2\)。
规避方法：熟记公式结构，展开时先写平方项，再补中间交叉项。
易错点 3：整式乘除中符号处理不当
错误示例：\((-x)^2\cdot (-x^3)=-x^5\)；\((a - b)(b - a)=a^2 - b^2\)。
解析：\((-x)^2\cdot (-x^3)=x^2\cdot (-x^3)=-x^5\)（此例计算正确，可换错误示例：\((-x)^2=-x^2\)，正确应为\(x^2\)）；\((a - b)(b - a)=-(a - b)^2=-a^2 + 2ab - b^2\)。
规避方法：先确定符号规则，负数的偶次幂为正，奇次幂为负；多项式相乘前先观察项的符号关系。
易错点 4：忽略同类项概念盲目合并
错误示例：\(3x^2 + 2x^3=5x^5\)。
解析：\(x^2\)与\(x^3\)不是同类项，不能合并。
规避方法：合并同类项前先判断是否满足 “字母相同且指数相同”。
配图：错误示例与正确步骤的对比图，标注错误原因
幻灯片 7：典型例题：幂的运算与整式乘除
例题 1：计算下列各式
（1）\(x^3\cdot x^5 + (x^2)^4 - 2x^8\)
（2）\((-2a^2b)^3\div (-ab)^2\)
解析：
（1）原式\(=x^{3 + 5}+x^{2\times4}-2x^8=x^8 + x^8 - 2x^8=0\)。
（2）原式\(=-8a^6b^3\div a^2b^2=-8a^{6 - 2}b^{3 - 2}=-8a^4b\)。
例题 2：计算
（1）\(3x(2x^2 - 4x + 5)\)
（2）\((2x - 3)(x + 4)\)
解析：
（1）原式\(=3x\cdot 2x^2+3x\cdot (-4x)+3x\cdot 5=6x^3 - 12x^2 + 15x\)。
（2）原式\(=2x\cdot x + 2x\cdot 4+(-3)\cdot x+(-3)\cdot 4=2x^2 + 8x - 3x - 12=2x^2 + 5x - 12\)。
例题 3：计算\((2x^3y^2 - 6x^2y + 3xy)\div 3xy\)
解析：原式\(=2x^3y^2\div 3xy-6x^2y\div 3xy + 3xy\div 3xy=\frac{2}{3}x^2y - 2x + 1\)。
配图：例题运算步骤分解图，标注每一步的法则依据
幻灯片 8：典型例题：乘法公式的应用
例题 4：运用乘法公式计算
（1）\((3a + 2b)(3a - 2b)\)
（2）\((-x - 2y)^2\)
（3）\((x + 2y - 1)(x - 2y + 1)\)
解析：
（1）原式\(=(3a)^2-(2b)^2=9a^2 - 4b^2\)（平方差公式）。
（2）原式\(=[-(x + 2y)]^2=(x + 2y)^2=x^2 + 4xy + 4y^2\)（完全平方公式，先处理符号）。
（3）原式\(=[x + (2y - 1)][x-(2y - 1)]=x^2-(2y - 1)^2=x^2-(4y^2 - 4y + 1)=x^2 - 4y^2 + 4y - 1\)（平方差公式与完全平方公式结合）。
例题 5：化简求值：\((2x + y)^2-(2x - y)(2x + y)\)，其中\(x=\frac{1}{2}\)，\(y=-2\)。
解析：
原式\(=4x^2 + 4xy + y^2-(4x^2 - y^2)=4x^2 + 4xy + y^2 - 4x^2 + y^2=4xy + 2y^2\)。
当\(x=\frac{1}{2}\)，\(y=-2\)时，原式\(=4\times\frac{1}{2}\times(-2)+2\times(-2)^2=-4 + 8=4\)。
配图：公式应用标注图；化简求值步骤流程图
幻灯片 9：典型例题：综合运算与实际应用
例题 6：已知\(a^m=2\)，\(a^n=3\)，求下列各式的值
（1）\(a^{m + n}\) （2）\(a^{3m - 2n}\)
解析：
（1）\(a^{m + n}=a^m\cdot a^n=2\times3=6\)。
（2）\(a^{3m - 2n}=a^{3m}\div a^{2n}=(a^m)^3\div(a^n)^2=2^3\div3^2=8\div9=\frac{8}{9}\)。
例题 7：一个长方形的长为\((2x + 3)cm\)，宽为\((x - 1)cm\)，若将其长和宽分别增加\(2cm\)和\(1cm\)，求新长方形的面积比原长方形的面积增加了多少？
解析：
原面积：\((2x + 3)(x - 1)=2x^2 - 2x + 3x - 3=2x^2 + x - 3\)。
新长：\(2x + 3 + 2=2x + 5\)，新宽：\(x - 1 + 1=x\)，新面积：\((2x + 5)x=2x^2 + 5x\)。
增加的面积：\((2x^2 + 5x)-(2x^2 + x - 3)=2x^2 + 5x - 2x^2 - x + 3=4x + 3\)。
答：面积增加了\((4x + 3)cm^2\)。
配图：例题 6 幂的关系转化图；例题 7 长方形面积变化示意图
幻灯片 10：综合练习
练习 1：填空题
（1）计算：\(a^2\cdot a^3=\)；\((-2xy^2)^3=\)。
（2）若\(x + y=5\)，\(xy=3\)，则\(x^2 + y^2=\)______（提示：利用完全平方公式变形）。
（3）已知\(2x - 3y=1\)，则\(10 - 4x + 6y=\)______。
答案：（1）\(a^5\)，\(-8x^3y^6\)；（2）\(19\)（由\((x + y)^2 - 2xy=25 - 6=19\)）；（3）\(8\)（由\(10 - 2(2x - 3y)=10 - 2=8\)）
练习 2：选择题
（1）下列计算正确的是（ ）
A. \(x + x^2=x^3\) B. \(x^6\div x^2=x^3\) C. \((x^3)^2=x^6\) D. \((x + y)^2=x^2 + y^2\)
（2）若\((x + a)(x + b)=x^2 - 5x + 6\)，则\(a\)、\(b\)的值可能是（ ）
A. \(a=2\)，\(b=3\) B. \(a=-2\)，\(b=-3\) C. \(a=1\)，\(b=6\) D. \(a=-1\)，\(b=-6\)
答案：（1）C；（2）B
练习 3：解答题
（1）计算：\((x - 2y)^2-(x + y)(x - y)\)
（2）先化简，再求值：\((a + 2b)(a - 2b)+(a + 2b)^2-4ab\)，其中\(a=1\)，\(b=\frac{1}{10}\)。
答案：（1）原式\(=x^2 - 4xy + 4y^2-(x^2 - y^2)=x^2 - 4xy + 4y^2 - x^2 + y^2=-4xy + 5y^2\)；（2）原式\(=a^2 - 4b^2 + a^2 + 4ab + 4b^2 - 4ab=2a^2\)，代入得\(2\times1^2=2\)。
配图：练习题的答题区域示意图，关键步骤提示
幻灯片 11：课堂小结：知识体系与方法归纳
知识体系：
整式乘除以幂的运算为基础，包括单项式、多项式的乘除运算。
乘法公式是多项式乘法的特殊形式，可简化运算（平方差公式适用于两数和与差的积，完全平方公式适用于两数和或差的平方）。
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
章末复习
第11章 整式的乘除
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
考点1 幂的运算
1. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
2. 已知，， ，则，， 的大小关
系是( )
A. B. C. D.
3.如果，那么 的值为____.
16
√
√
返回
考点2 整式的乘法
4. ［2025重庆沙坪坝区月考］要使 的展
开式中不含的项，则 的值是( )
A. B. 0 C. 2 D. 3
√
返回
5. 若为整数，则代数式 的值一定可以
( )
A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被9整除
【点拨】，为整数， 该代数式的
值一定可以被3整除.
√
返回
6.现有一长方形地块，长比宽多20米.若将长增加10米，宽缩
短5米，所得长方形地块与原长方形地块的面积相等，则原
长方形地块的长为____米.
50
【点拨】设原长方形地块的长为米，则宽为 米，则
变化后的长为米，宽为 米，由题意得，
，解得 .故原长方形地块
的长为50米.
返回
7. 某种植基地有大、小两块长方形试验田，大
长方形试验田每排种植 棵樱桃树苗，种植了
排，小长方形试验田每排种植 棵樱桃树苗，
种植了排，其中 .
（1）大长方形试验田比小长方形试验田多种植多少棵樱桃树苗？
【解】由题意得， 棵，即大长方形试验田比小长方
形试验田多种植 棵樱桃树苗.
（2）当， 时，两块试验田一共种植多少棵樱桃树苗？
棵，
当， 时，
（棵），
即两块试验田一共种植268棵樱桃树苗.
返回
考点3 整式的除法
8. 已知，那么， 的取值依次为
( )
A. 2，3 B. 4，3 C. 1，3 D. 4，1
√
返回
9. 有两块总面积相等的场地，
左边场地为正方形，由四部分
构成，各部分的面积数据如图
A. B. 1 C. D.
所示.右边场地为长方形，长为 ，则宽为( )
√
返回
10.火星的体积约为 立方米，地球的体积约为
立方米，地球体积约是火星体积的____倍
（保留一位小数）.
6.6
返回
11.先化简，再求值： ，
其中， .
【解】原式
.
当， 时，原式
.
返回
考点4 乘法公式
12. 的计算结果为( )
A. B.
C. D.
13. 已知 ，那么代数
式 的值是( )
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
√
√
返回
14.乘法公式的探究及应用.
（1）如图①，可以求出阴影
部分的面积是________
（写成两数平方差的形式）；
（2）如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方
形，它的宽是______，长是______，面积是______________；
（写成多项式乘法的形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式
_______________________；（用式子表达）
（4）运用你所得到的公式，
计算下列各题：
① ；
【解】原式 .
② .
原式
.
返回
考点5 因式分解
15. 下列因式分解最后结果正确的是( )
A.
B.
C.
D.
√
返回
16. ［2025淄博期中］已知， ，则整式
的值为( )
A. B. C. D. 3
【点拨】，， .
.
√
返回
17. 已知，， 是三个连续的正整数，
，，那么 _______.
1 156
【点拨】 ，
，，是三个连续正整数，， ，
，， .
返回
18. 分解因式：
（1） ；
【解】
.
（2） .
.
返回
思想1 分类讨论思想
19.若，则 _______.
3或
【点拨】， ，
， ，
，或.当时， ；当
时，，即或 .
返回
20.若，均为正整数，且，则 的值是
______.
4或5
【点拨】 ，
，即， 均为正整数，
或 或5.
返回
思想2 数形结合思想
21.著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数
形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直
观，形少数时难入微”.如图是由四个长为
，宽为 的长方形拼摆而成的正方形，其
中 .根据图形写出一个正确的等
式，可以表示为_________________________.
返回
思想3 整体思想
22.［2025南阳期末］已知 ，求代数式
的值.
【解】，， ，
， 原式 .
返回
［时间：60分钟 分值：100分］
一、选择题（每题4分，共32分）
1. ［2024深圳］下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
2. 已知，，则 的值为( )
A. 2 B. C. 0 D.
√
√
返回
3. 某智能芯片研发公司需要对一种新型芯片的电路布线设计
进行优化.已知芯片电路的一种原始布线规律可以表示为
.现在需要将其按照一定的规则进行重新布局，
相当于将其除以 ，则新的电路布线规律可以表示为( )
A. B.
C. D.
4. 若，则不等式 的解集是
( )
A. B. C. D.
√
√
返回
5. 神舟十九号载人飞船成
功发射，激发了中小学生对航天事业的热爱.
李华在手工课上制作了一个火箭模型，如图
是其中一重要零件及各边的长度，则图中零
件的面积为( )
A. B. C. D.
√
返回
6. 我们定义：一个整式能表示成
，是整式 的形式，则称这个整式为“完全式”.例如：
因为，是整式 ，所
以为“完全式”.若
，是整式，为常数为“完全式”，则 的值为( )
A. 23 B. 24 C. 25 D. 26
√
【点拨】
，是整式，为常数为“完全式”， ，解得
.
返回
7. 若，其中，， 均为正整数，则
的最大值与最小值的差是( )
A. 1 768 B. 455 C. 252 D. 760
【点拨】， 此时 取得最小值
为， 取
得最大值为 ，
的最大值与最小值的差是760.
√
返回
8. 如图，正方形和长方形 的
面积相等，且四边形 也是正方形，
欧几里得在《几何原本》中利用该图得
到了：设 ，
A. 6 B. 8 C. 10 D. 20
.若 ，则图中阴影部分的周长是( )
√
【点拨】 四边形，四边形
为正方形， ，
， .
， ，
， ，
正方形和长方形 的面积相等，
，整理得 ，
， ，
， 阴影部分的周长为
.
返回
二、填空题（每题3分，共12分）
9.［2025南京鼓楼区模拟］若 ，则代数式
的值为___.
10.若的积中不含 的二次项和一次项，
则 的值为____.
3
12
返回
11. 设， 是实数，定义关于“*”的一种运算如
下：，则下列结论： ，
则或；②不存在实数， ，满足
；； ，
则 .其中正确的是________.
①③④
【点拨】，或 .
故①正确； ，
，
，
， 存在实数，，满足 .故②错
误;
，,.故③正确;， .
.故④正确.
返回
12. 计算结果的个
位数字是___.
6
【点拨】原式
，，，，， ，
个位数字按照2，4，8，6依次循环.， 其
个位数字为6.
返回
三、解答题（共56分）
13.（8分）因式分解：
（1） ；
【解】
.
（2） .
.
返回
14.（10分）
（1）计算： .
【解】
.
（2）先化简，再求值：
，其中
.
原式
，
，， ，
， ，
原式 .
返回
15.（12分） 某公司门前一块长为 ，
宽为 的长方形空地要铺地砖，如图所示，空白的
甲、乙两个正方形区域是建筑物，不需要铺地砖.两个正方形
区域的边长均为 .
（1）求铺设地砖的面积是多少平方米.
【解】铺设地砖的面积为 .
（2）当， 时，需要铺地砖的面积是多少？
当， 时，
.
答：当，时，需要铺地砖的面积是 .
返回
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选做作业：完成练习册本课时的习题.
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