资源简介

(共26张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：13.2.1 三角形的边
副标题：探究边的关系，解密图形特性
背景图：选用不同类型的三角形实物图，如等腰三角形的屋顶、等边三角形的交通警示牌、普通三角形的支架等，突出三角形边的多样性。
幻灯片 2：目录
三角形边的概念与表示
三角形三边关系定理
三角形按边的分类
三边关系的实际应用
幻灯片 3：三角形边的概念与表示
图片：展示一个标注完整的△ABC，用红色线段突出三条边，分别标记为 AB、BC、AC，或用小写字母 a、b、c 对应顶点 A、B、C 所对的边。
文字阐述：组成三角形的三条线段叫做三角形的边。在△ABC 中，顶点 A 与顶点 B 之间的线段叫做边 AB，顶点 B 与顶点 C 之间的线段叫做边 BC，顶点 A 与顶点 C 之间的线段叫做边 AC。通常也用与顶点相对应的小写字母表示边，顶点 A 所对的边 BC 记作 a，顶点 B 所对的边 AC 记作 b，顶点 C 所对的边 AB 记作 c。
幻灯片 4：边的表示方法对比
图片：左侧用顶点字母组合表示边（AB、BC、AC），右侧用小写字母表示边（a、b、c），并标注对应关系（a=BC，b=AC，c=AB）。
文字：三角形边的表示有两种常见方法：①用边的两个端点字母表示，如边 AB、边 BC 等，这种方法能直观体现边的位置；②用与对边顶点相对应的小写字母表示，如边 a 对应顶点 A 的对边，这种方法在后续学习三角形性质和计算时更便捷。
幻灯片 5：三角形三边关系定理 —— 基本关系
图片：展示一个△ABC，用不同颜色标注三条边的长度，通过动画演示将较短的两条边拼接，直观显示其长度之和大于第三条边。
文字阐述：三角形任意两边之和大于第三边。在△ABC 中，任意两边之和大于第三边，即 a + b > c、a + c > b、b + c > a。这是三角形三条边能构成三角形的基本前提，也是判断三条线段能否组成三角形的重要依据。
幻灯片 6：三边关系定理的推导与理解
图片：用线段拼接的动态示意图推导定理，假设三条线段中存在两条边之和等于或小于第三条边，会出现无法首尾相接形成三角形的情况，与能构成三角形的情况形成对比。
文字：如果三条线段中存在两条线段之和等于第三条线段，拼接后三条线段会在同一直线上，无法形成封闭图形；如果两条线段之和小于第三条线段，则无法首尾相接。只有当任意两条线段之和大于第三条线段时，才能组成三角形。
幻灯片 7：三角形三边关系定理 —— 变式应用
图片：在△ABC 中标注边的长度，通过计算说明任意两边之差小于第三边，如 a - b b）。
文字：由三角形两边之和大于第三边可以推出：三角形任意两边之差小于第三边。在△ABC 中，即 a - b < c、b - c < a、a - c < b（假设各不等式中左边的边更长）。这一变式在解决边长取值范围问题时经常用到。
幻灯片 8：判断三条线段能否组成三角形
图片：展示几组线段长度（如 3cm、4cm、5cm；2cm、2cm、5cm；3cm、3cm、3cm），通过计算判断能否组成三角形，并标注判断过程。
文字：判断三条线段能否组成三角形，只需验证较短的两条线段之和是否大于最长的线段。若较短两边之和大于最长边，则能组成三角形；反之，则不能。例如：3cm、4cm、5cm 中，3 + 4 > 5，能组成三角形；2cm、2cm、5cm 中，2 + 2 < 5，不能组成三角形。
幻灯片 9：三角形按边的分类 —— 不等边三角形
图片：展示一个三条边长度都不相等的三角形，标注各边长度（如 3cm、4cm、6cm），并注明 “不等边三角形”。
文字：三条边都不相等的三角形叫做不等边三角形。不等边三角形的三条边长度两两不同，三个角的度数也不相等，是三角形中最常见的类型之一。
幻灯片 10：三角形按边的分类 —— 等腰三角形
图片：展示等腰三角形，标注两条相等的边为腰，另一条边为底边，如腰长为 5cm，底边长为 6cm，并标注顶角和底角。
文字：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。在等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边；两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。等腰三角形的两个底角相等。
幻灯片 11：三角形按边的分类 —— 等边三角形
图片：展示等边三角形，标注三条边长度都相等（如 4cm、4cm、4cm），注明 “等边三角形（正三角形）”。
文字：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三条边都相等，三个角也都相等，每个角都是 60°。等边三角形具有等腰三角形的所有性质。
幻灯片 12：三角形按边分类的关系
图片：用集合图展示三角形按边分类的关系，三角形包含不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形包含等边三角形。
文字：三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形两大类，等边三角形是等腰三角形的特殊情况（三条边都相等的等腰三角形）。这种分类体现了从一般到特殊的逻辑关系。
幻灯片 13：三边关系的实际应用 —— 求边长取值范围
图片：展示问题情境：一个三角形的两边长分别为 3cm 和 5cm，求第三边长的取值范围，旁边标注解题步骤。
文字：已知三角形两边长，求第三边长的取值范围，可根据 “两边之差 < 第三边 < 两边之和” 计算。例如：两边长为 3cm 和 5cm，第三边 x 的取值范围是 5 - 3 < x < 5 + 3，即 2cm < x < 8cm。
幻灯片 14：三边关系的实际应用 —— 等腰三角形边长计算
图片：展示问题：一个等腰三角形的周长为 15cm，其中一条边长为 3cm，求另外两条边的长度，标注分类讨论过程。
文字：解决等腰三角形边长问题需分类讨论。若 3cm 为腰长，则底边长为 15 - 3 - 3 = 9cm，但 3 + 3 <9，不能组成三角形；若 3cm 为底边长，则腰长为（15 - 3）÷ 2 = 6cm，6 + 3> 6，能组成三角形，因此另外两条边为 6cm、6cm。
幻灯片 15：课堂小结
文字总结：本节课学习了三角形边的概念与表示方法，重点掌握了三角形三边关系定理（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），了解了三角形按边分为不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形），并学会了运用三边关系解决实际问题。
核心观点：三角形的边不仅是构成三角形的基本要素，其长度关系还决定了三角形的存在性和类型，掌握三边关系是学好三角形的重要基础。
幻灯片 16：互动练习
活动设计：开展 “边长验证小实验”，让学生用不同长度的小棒（如 2cm、3cm、4cm、5cm）尝试拼三角形，记录能拼成三角形的组合，并验证三边关系定理。
计算题：设置练习题，如 “已知三角形两边长为 4cm 和 7cm，求第三边的取值范围”“一个等腰三角形的两边长为 5cm 和 8cm，求周长” 等，巩固所学知识。
幻灯片 17：结束页
寄语：愿每一位同学都能深入理解三角形边的奥秘，熟练运用三边关系解决问题，在几何的世界中不断探索和进步！
拓展任务：回家后用三根不同长度的吸管尝试拼三角形，记录能拼成和不能拼成的情况，并结合本节课知识解释原因。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
13.2.1 三角形的边
第十三章 三角形
理解三角形的三边关系，能证明三角形的任意两边的和大于第三边；
会利用这个不等关系判断已知的三条线段能否组成三角形，及已知三角形的两边求第三边的取值范围.
了解三角形的稳定性.
情境导入
节日的晚上，房间内亮起了彩灯. 如图，装有黄色彩灯的电线与装有白色彩灯的电线哪根长呢？说明你的理由.
装有黄色彩灯的电线长.
依据：两点之间线段最短.
知识点1 三角形的三边关系
任意画一个△ABC，从点 B 出发，沿三角形的边到点 C，有几条线路可以选择？
探 究
① BA → AC
② BC
线路②更短：两点之间线段最短.
哪条线路较短？理由是什么？
三角形的两边之和大于第三边.
这说明三角形的边之间有什么关系？
C
A
B
你能证明这个结论吗？
知识点1 三角形的三边关系
C
A
B
证明：对于任意一个△ABC，
如果把其中任意两个顶点看成定点，
(例如B，C)
由“两点之间，线段最短”，可得
AB + AC > BC.
同理有
AC + BC > AB，
AB + BC > AC.
这样，我们就证明了，三角形的两边之和大于第三边.
知识点1 三角形的三边关系
C
A
B
AB + AC > BC.
进一步，由不等式②③，移项可得
AC + BC > AB，
AB + BC > AC.
这就是说，三角形的两边之差小于第三边.
②
BC > AB – AC，
BC > AC – AB.
③
已知三角形的三边长分别为 3，8，x，则 x 的取值范围是______________.
三角形的任意两边之和大于第三边
5 ＜ x ＜ 11
三角形的任意两边之差小于第三边
x < 8 + 3
x > 8 – 3
x < 11
x > 5
针对训练
思 考
对于三条线段，当它们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形？
现有 12 条已知长度的线段：
试一试
任意选择三条线段作三角形，使它的三条边长分别为你所选择的三条线段的长.
2 cm
3 cm
4 cm
5 cm
6 cm
在作三角形的过程中，可能会发现下列几种情况：
①
②
③
因此，并不是任意三条线段都可以组成一个三角形.
一般地，
如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形.
如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，那么这三条线段不能组成三角形.
知识点2 三角形的稳定性
在日常生活中，三角形的形状随处可见，并且工程建筑中经常采用三角形的结构，如图中的屋顶钢架结构等，其中的道理是什么？
如图，将三根木条用钉子定成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
探 究
发现：三角形木架的形状不会改变.
发现：四边形的形状会改变.
将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗
发现：它的形状不会改变.
在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗
三角形是具有稳定性的图形.
针对训练
判断下列图形中哪些具有稳定性.
具有稳定性
不具有稳定性
具有稳定性
具有稳定性
不具有稳定性
不具有稳定性
三角形的稳定性有着广泛的应用.
起重机
钢架桥
随堂演练
教材P7练习 第1题
1. 下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
（1）3，4，8；
（2）5，6，11；
（3）5，6，10.
×
×
√
因为 3 + 4 < 8
因为 5 + 6 = 11
因为 5 + 6 > 10，10 – 5 > 6
随堂演练
教材P7练习 第2题
2. 一根 4 dm 长的木条和两根 1 dm 长的木条，能否组成一个等腰三角形？两根 4 dm 长的木条和一根 1 dm 长的木条呢？
解：一根 4 dm 长的木条和两根 1 dm 长的木条不能组成一个等腰三角形，因为 1 dm + 1 dm < 4 dm；
两根 4 dm 长的木条和一根 1 dm 长的木条能组成一个等腰三角形，因为 1 dm + 4 dm > 4 dm，4 dm – 1 dm > 4 dm.
知识点1 三角形的三边关系
1.［教材P练习T 变式］下列每组数分别表示3根小木棒的长度
（单位： ），其中首尾顺次相接能围成一个三角形的是( )
D
A.5，7，12 B.7，7，15 C.6，9，16 D.6，8，12
2.［2024淮安中考］用一根小木棒与两根长度分别为， 的小木
棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是( )
B
A. B. C. D.
3.［2025唐山路南区期末］使用, 两根直铁丝做成一个三角形框架，尺
寸如图所示，若需要将其中一根铁丝折成两段，则可以把铁丝分为两段
的是( )
B
A.只有 B.只有 C.,都可以 D., 都不可以
4.［2025天津宁河区质检］如图，为估计池塘岸边， 两点的距离，小
明在池塘的一侧选取一点，测得，，则， 间
最大的整数的距离是____ .
17
5.等腰三角形的两边长是3和7，则第三边长是___.
7
三角形的三边关系
三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
应用
三角形的稳定性
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