资源简介

(共22张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：13.3.1.2 三角形的两个锐角互余
副标题：直角三角形的特殊角度关系
背景图：展示一个清晰标注直角和两个锐角的直角三角形，用不同颜色突出两个锐角，背景有几何线条和互余符号，凸显主题。
幻灯片 2：目录
互余的概念回顾
直角三角形两锐角互余的推导
两锐角互余的应用场景
易错点辨析与巩固
幻灯片 3：互余的概念回顾
图片：展示两个角∠1 和∠2，标注∠1=30°，∠2=60°，并用弧线连接两个角，标注 “∠1 + ∠2 = 90°”，旁边配有 “互余” 的文字说明。
文字阐述：如果两个角的和等于 90°（直角），那么这两个角互为余角，简称互余。例如∠1=30°，∠2=60°，因为 30°+60°=90°，所以∠1 和∠2 互余，也可以说∠1 是∠2 的余角，∠2 是∠1 的余角。
幻灯片 4：直角三角形的特征引入
图片：展示一个标准的直角三角形△ABC，标注∠C=90°（用直角符号表示），∠A 和∠B 为另外两个角，旁边标注 “直角三角形：有一个角是直角的三角形”。
文字：直角三角形是特殊的三角形，它有一个角是直角（90°），另外两个角是锐角（小于 90°）。在直角三角形中，直角通常用符号 “Rt∠” 表示，直角三角形可记作 “Rt△ABC”，其中直角所对的边称为斜边，另外两条边称为直角边。
幻灯片 5：直角三角形两锐角互余的推导 —— 基于内角和定理
图片：在 Rt△ABC 中，标注∠C=90°，∠A 和∠B 为锐角，用公式推导∠A + ∠B = 180° - ∠C = 180° - 90° = 90°，每一步推导都有箭头指示。
文字：根据三角形内角和定理，三角形三个内角和为 180°。在 Rt△ABC 中，∠C=90°，因此∠A + ∠B + ∠C = 180°，代入∠C 的度数可得∠A + ∠B = 180° - 90° = 90°。由此得出结论：直角三角形的两个锐角互余。
幻灯片 6：结论的文字与符号表达
图片：左侧用文字完整表述结论，右侧在 Rt△ABC 中标注符号表达式 “∵△ABC 是直角三角形，∠C=90°∴∠A + ∠B = 90°”。
文字：结论：直角三角形的两个锐角互余。
符号表达：在 Rt△ABC 中，∵∠C=90°，∴∠A + ∠B = 90°（或∠A 与∠B 互余）。这一结论是三角形内角和定理在直角三角形中的特殊应用，是直角三角形的重要性质。
幻灯片 7：推导过程的直观验证 —— 剪拼法
图片：分步展示剪拼过程，①剪出 Rt△ABC，标注∠C=90°，∠A 和∠B；②剪下∠A 和∠B；③将∠A 和∠B 的顶点与直角顶点重合拼接，形成一个直角，标注 “∠A + ∠B = 90°”。
文字：通过剪拼法可直观验证结论：将直角三角形的两个锐角剪下，拼在一起后正好形成一个直角（90°），这与通过内角和定理推导的结果一致，进一步证明了直角三角形两锐角互余的正确性。
幻灯片 8：应用场景一 —— 已知一锐角求另一锐角
图片：展示例题：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=35°，求∠B 的度数，标注解题过程（∠B=90° - 35°=55°）。
文字：在直角三角形中，已知一个锐角的度数，可直接利用两锐角互余求出另一个锐角的度数：另一个锐角的度数 = 90° - 已知锐角度数。这种应用直接便捷，无需再用三角形内角和定理从头计算。
幻灯片 9：应用场景二 —— 与角平分线结合计算角度
图片：展示 Rt△ABC，∠C=90°，∠A=40°，BD 是∠B 的角平分线，求∠DBC 的度数，标注角平分线性质和计算步骤。
文字：解题步骤：①由互余得∠B=90° - 40°=50°；②因为 BD 平分∠B，所以∠DBC=∠B÷2=50°÷2=25°。此类问题需结合角平分线性质，先利用互余求出相关角的度数，再进行细分计算。
幻灯片 10：应用场景三 —— 判断三角形是否为直角三角形
图片：展示一个三角形，已知∠A=50°，∠B=40°，通过计算∠A + ∠B=90°，标注 “该三角形是直角三角形”。
文字：如果一个三角形的两个角互余（和为 90°），那么这个三角形是直角三角形（第三个角为 90°）。这是两锐角互余结论的逆应用，可用于判断三角形是否为直角三角形。
幻灯片 11：易错点辨析 —— 互余与互补的区别
图片：左侧展示互余的两个角（和为 90°），右侧展示互补的两个角（和为 180°），用对比表格列出区别。
文字：| 名称 | 角度和 | 适用场景 | 符号关联 |
|------|--------|----------|----------|
| 互余 | 90° | 直角三角形两锐角 | 与直角相关 |
| 互补 | 180° | 平角中的角、三角形外角与内角等 | 与平角相关 |
易错提示：不要混淆互余（和为 90°）与互补（和为 180°）的概念，在直角三角形中一定是两锐角互余，而非互补。
幻灯片 12：易错点辨析 —— 非直角三角形无此性质
图片：左侧是直角三角形标注两锐角互余，右侧是锐角三角形标注两个锐角和大于 90°，形成对比。
文字：重要提醒：“两个锐角互余” 是直角三角形特有的性质，仅适用于直角三角形。在锐角三角形中，任意两个锐角的和大于 90°；在钝角三角形中，两个锐角的和小于 90°，都不满足互余关系。
幻灯片 13：课堂小结
文字总结：本节课学习了直角三角形的重要性质 —— 两个锐角互余，通过三角形内角和定理推导出该结论（直角三角形两锐角和为 90°），掌握了其在已知一锐角求另一锐角、与角平分线结合计算、判断直角三角形等场景的应用，明确了互余与互补的区别及该性质的适用范围。
核心观点：直角三角形两锐角互余是内角和定理的特殊化结论，简化了直角三角形的角度计算，是解决直角三角形角度问题的重要工具。
幻灯片 14：互动练习
活动设计：开展 “快速抢答” 活动，给出不同直角三角形角度计算问题，如 “在 Rt△中，一个锐角为 60°，另一个锐角是多少度”“已知直角三角形两锐角之比为 2:3，求两锐角的度数” 等，巩固应用。
解答题：设置综合题，如 “在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A 的度数比∠B 大 20°，求∠A 和∠B 的度数”，要求写出完整解题过程。
幻灯片 15：结束页
寄语：愿每一位同学都能熟练掌握直角三角形两锐角互余的性质，灵活运用它解决角度计算问题，在几何学习中不断发现规律、提升能力！
拓展任务：回家后观察生活中的直角三角形物体（如墙角、书桌角等），测量其中一个锐角的度数，利用互余性质计算另一个锐角的度数，验证结论的正确性。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
13.3.1.2三角形的两个锐角互余
第十三章 三角形
理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余.
掌握有两个角互余的三角形是直角三角形的判定方法.
这是我们常用的一副直角三角尺，量一量自己手上的这两把三角尺，其两锐角的度数之和分别是多少？
A
B
C
对任意直角三角形，这个结论还成立吗？
都是90°
探究新知
知识点1 直角三角形的性质
如图，在直角三角形 ABC 中，∠C = 90°，∠A 与∠B 有什么关系？
∠A +∠B +∠C = 180°，
即 ∠A +∠B + 90° = 180°，
所以 ∠A +∠B = 90°.
由三角形的内角和定理，得
直角三角形的两个锐角互余.
A
B
C
也就是说
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC .
直角三角形的表示方法
A
B
C
文字语言 几何语言
直角三角形的两个锐角互余 如图，在Rt△ABC中，
∵∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 90°
教材P14例题 第3题
例 3 如图，∠C =∠D = 90°，AD，BC 相交于点 E，比较∠CAE 与∠DBE 的大小.
A
C
D
E
B
教材P14例题 第3题
A
C
D
E
B
解：在Rt△AEC 中，∠CAE = 90° –∠AEC .
∵∠AEC =∠BED ，∴∠CAE =∠DBE.
在Rt△BDE 中，∠DBE = 90° –∠BED .
教材P14练习 第1题
如图，在△ABC，中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为 D. ∠ACD 与∠B 有什么关系？为什么？
针对训练
A
C
D
B
解：∠ACD =∠B. 理由：
∵ ∠ACB = 90°，CD⊥AB，
∴ ∠ACD + ∠BCD = 90°，
∠B + ∠BCD = 90°，
∴∠ACD =∠B.
知识点2 直角三角形的判定
思 考
有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
C
A
B
你有什么猜想？
如何证明你的猜想？
即△ABC 是直角三角形.
A
B
C
猜想：有两个角互余的三角形是直角三角形.
已知：____________________________
求证：____________________________
△ABC中，∠A +∠B = 90°.
∠C＝90°.
∠A +∠B +∠C = 180°.
又∵ ∠A +∠B = 90°，
∴∠C = 180° – 90° = 90°.
证明：由三角形的内角和等于180°，得
文字语言 几何语言
有两个角互余的三角形是直角三角形 如图，在△ABC中，
∵∠A +∠B = 90°，
∴△ABC是直角三角形
A
C
B
针对训练
1. 如图，在△ABC 中，∠C = 25°，直线 a // b，点 A 在直线 a 上，若∠1 = 75°，∠2 = 40°，则△ABC 按角分类属于_____三角形.
直角
1
A
C
B
a
b
2
40°
65°
90°
教材P14练习 第2题
2. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且∠1 ＝∠2，△ADE 是直角三角形吗？为什么？
针对训练
1
2
A
B
C
D
E
∵∠C = 90°，∴∠A +∠2 = 90°.
∴∠ADE = 90°.
∵∠1 = ∠2，∴∠A +∠1 = 90°.
解：是直角三角形. 理由：
∴△ADE 是直角三角形.
知识点1 直角三角形的两个锐角互余
1.［2025厦门调研］在一个直角三角形中，有一个锐角等于 ，则另
一个锐角的度数是( )
D
A. B. C. D.
2.［2025哈尔滨月考］在中， ，，则 的
度数为( )
B
A. B. C. D.
3.［教材P练习T变式］如图，在中， ，
于点.若 ，则 的度数为_____.
知识点2 有两个角互余的三角形是直角三角形
4.已知 ， ，则 为( )
C
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上都有可能
5.［教材P练习T变式］如图， ，垂
足为，.求证： 是直角三角形.
证明：， ，
.
， ，
， 是直角三角形.
（第6题）
6.［2025青岛一模］如图，直线， 的
顶点在直线上， ，若 ，
，则 ( )
C
A. B. C. D.
文字语言 几何语言
直角三角形的两个锐角互余 如图，在Rt△ABC中，
∵∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 90°
有两个角互余的三角形是直角三角形 如图，在△ABC中，
∵∠A +∠B = 90°，
∴△ABC是直角三角形
A
C
B
课后作业
从课后习题中选取；
完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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