资源简介

(共28张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：14.2.1 用 “SAS” 判定三角形全等
副标题：探索三角形全等的判定方法
背景图：展示两个通过两边及其夹角对应相等而全等的三角形，突出 “SAS” 的关键元素。
幻灯片 2：学习目标
理解并掌握三角形全等的 “SAS” 判定定理，能准确表述定理内容。
能运用 “SAS” 判定定理判断两个三角形是否全等，并解决相关的简单几何问题。
通过动手操作、观察分析和推理验证，体会数形结合的思想，培养逻辑推理能力。
幻灯片 3：复习回顾
全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
思考问题：如果两个三角形全等，那么它们的对应边和对应角都相等。反过来，要判定两个三角形全等，是否需要所有的对应边和对应角都相等呢？有没有更简便的方法？
幻灯片 4：引入新课
情境设置：小明想制作一个与原来三角形形状和大小完全相同的三角形零件，他知道原来三角形的两条边的长度和这两条边的夹角的度数，他能仅凭这些信息制作出符合要求的零件吗？
引出主题：带着这个问题，我们来学习一种新的判定三角形全等的方法 ——“SAS” 判定定理。
幻灯片 5：动手操作
操作任务：请同学们按照以下要求画三角形：
画一个三角形△ABC，使 AB = 5cm，∠B = 60°，BC = 7cm。
操作步骤：
先画一条线段 BC = 7cm。
以点 B 为顶点，在线段 BC 的上方画∠B = 60°。
在∠B 的另一条边上截取 AB = 5cm。
连接 AC，得到△ABC。
小组活动：将自己画的三角形与小组内其他同学画的三角形进行比较，看看它们能否完全重合。
幻灯片 6：“SAS” 判定定理的得出
操作结论：通过上面的操作可以发现，按照相同的两边及其夹角的长度和度数画出的三角形能够完全重合。
定理内容：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成 “边角边” 或 “SAS”）。
几何语言表示：在△ABC 和△DEF 中，若 AB = DE，∠B = ∠E，BC = EF，则△ABC≌△DEF（SAS）。
关键词强调：“两边及其夹角”，这里的 “夹角” 是指两条边所夹的角，一定要注意是 “夹” 角，而不是其他的角。
幻灯片 7：“SAS” 判定定理的理解
图形展示：展示两个三角形，标注出两边及其夹角对应相等的部分，并用不同颜色突出显示，帮助学生直观理解定理。
易错提示：
不能将 “两边及其夹角” 误记为 “两边及其中一边的对角”，“两边及其中一边的对角” 对应相等的两个三角形不一定全等（可举例说明，如画出两个满足此条件但不全等的三角形）。
要注意对应关系，必须是两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，才能判定全等。
幻灯片 8：例题解析（一）
例题 1：如图，已知 AB = AD，AC = AE，∠BAC = ∠DAE，求证：△ABC≌△ADE。
解题思路：
要证明△ABC≌△ADE，需要找到对应的两边及其夹角相等。
已知 AB = AD，AC = AE，这是两组对应边相等。
又已知∠BAC = ∠DAE，这是两组对应边的夹角相等。
满足 “SAS” 判定定理的条件，因此可以判定两个三角形全等。
证明过程：
在△ABC 和△ADE 中，
\(\begin{cases}
AB = AD \\
∠BAC = ∠DAE \\
AC = AE
\end{cases}\)
所以△ABC≌△ADE（SAS）。
幻灯片 9：例题解析（二）
例题 2：如图，点 E、F 在 AC 上，AD = BC，∠D = ∠B，AE = CF。求证：DF = BE。
解题思路：
要证明 DF = BE，可以先证明△ADF≌△CBE，然后根据全等三角形的对应边相等得出 DF = BE。
已知 AD = BC，∠D = ∠B，需要再找到一组对应边相等。因为 AE = CF，所以 AE + EF = CF + EF，即 AF = CE。
此时，在△ADF 和△CBE 中，AD = BC，∠D = ∠B，AF = CE，满足 “SAS” 判定定理，所以△ADF≌△CBE。
因此，DF = BE（全等三角形的对应边相等）。
证明过程：
因为 AE = CF，所以 AE + EF = CF + EF，即 AF = CE。
在△ADF 和△CBE 中，
\(\begin{cases}
AD = BC \\
∠D = ∠B \\
AF = CE
\end{cases}\)
所以△ADF≌△CBE（SAS）。
所以 DF = BE（全等三角形的对应边相等）。
幻灯片 10：课堂练习
如图，AB = AC，AD = AE，∠BAD = ∠CAE，求证：△ABD≌△ACE。
已知：如图，点 C 是 AB 的中点，CD = CE，∠ACD = ∠BCE。求证：AD = BE。
如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 平分∠BAC，求证：△ABD≌△ACD。
练习要求：学生独立完成，教师巡视指导，之后选取典型错误进行讲解，强调解题的规范性和思路的正确性。
幻灯片 11：课堂小结
知识总结：
三角形全等的 “SAS” 判定定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
运用 “SAS” 判定定理时要注意对应关系和 “夹角” 的条件。
方法总结：在证明两个三角形全等时，先观察图形，找出已知的相等边和角，再根据判定定理寻找缺少的条件，最后进行证明。
思想提炼：通过本节课的学习，进一步体会了从具体操作到抽象定理的数学探究过程，以及数形结合的思想在几何证明中的应用。
幻灯片 12：课后作业
基础作业：课本第 XX 页习题 14.2 第 1、3、5 题。
拓展作业：如图，已知 AB∥CD，AB = CD，求证：△ABD≌△CDB。
探究作业：除了 “SAS”，你还能猜想其他判定三角形全等的方法吗？试着通过动手操作进行验证。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
14.2.1用“SAS”判定三角形全等
第十四章 全等三角形
掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，经历探索“SAS”的过程.
能通过说明三角形全等，来说明线段或角相等.
1. 什么叫全等三角形？
能够完全重合的两个三角形.
2. 全等三角形有什么性质？
△ABC≌△A'B'C'
AB = A'B'，AC = A'C'，BC = B'C'.
①全等三角形的对应边相等.
②全等三角形的对应角相等.
∠A =∠A'，∠B =∠B'，∠C =∠C'.
A
B
C
A'
B'
C'
提出问题
一定要满足三条边分别相等，三个角也分别相等，才能保证两个三角形全等吗？
若不是，则需要满足几个条件呢？
AB = A'B'，AC = A'C'，BC = B'C'.
∠A =∠A'，∠B =∠B'，∠C =∠C'.
A
B
C
A'
B'
C'
我们按照条件由少到多的顺序进行研究：
① 先任意画出一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使△ABC 与 △A'B'C' 满足一个条件（一边或一角分别相等）. 你画出的△A'B'C' 与△ABC 一定全等吗？
探究1
一条边相等：
一个角相等：
② 满足两个条件（两边、一边一角或两角分别相等）时，△A'B'C' 与△ABC 一定全等吗？
探究1
①两个角相等：
②两条边相等：
③一个角和一条边相等：
4
6
4
4
6
只满足一个或两个条件时， 不能保证两个三角形一定全等.
两边一角
两角一边
三边
三角
三个条件　　
当满足三个条件时，△ABC 与△A'B'C' 全等吗？分哪几种情况？
探究新知
①两边及夹角
②两边和其中一边的对角
如图，直观上，如果∠A，AB，AC 的大小确定了，△ABC 的形状、大小也就确定了. 也就是说，在△A'B'C' 与△ABC 中，如果∠A' =∠A，A'B' = AB，A'C' = AC，那么△A'B'C'≌△ABC.
这个判断正确吗？
探究2
知识点 用“SAS”判定三角形全等
C
A
B
C'
A'
B'
如图，由∠A' =∠ A 可知：
① 使点 A 与点 A' 重合并使射线 A'B' 与射线 AB 重合，射线 A'C' 与射线 AC 重合.
② 由 A'B' = AB， A'C' = AC，点 B'，C' 分别与点 B，C 重合.
C
A
B
C'
A'
B'
(A')
(B')
(C')
C
A
B
△A'B'C' 的三个顶点与△ABC 的三个顶点分别重合.
△A'B'C' 与△ABC 能够完全重合.
△A'B'C'≌△ABC
(A')
(B')
(C')
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）
在△ABC 与 △ A′B′C′ 中，
∴△ABC ≌△A′B′C′ （SAS）
AB = A′B′
∠A =∠A′
AC = A′C′
几何语言：
A
B
C
A'
B'
C'
基本事实：
针对训练
分别找出各图中的全等三角形，并说明理由.
解：(1) △ABC≌△EFD (SAS)；
(2) △ABC≌△CDA (SAS) .
例 1 如图，AC = AD，AB 平分∠CAD，求证∠C =∠D.
教材P33 例题
A
B
C
D
①先找隐含条件：
②再找现有条件：
③最后找准备条件：
公共边AB
AC = AD
可以证明 △ABC≌△ABD.
∠CAB =∠DAB
AB 平分∠CAD
证明：∵AB 平分∠CAD，∴∠CAB =∠DAB .
在△ABC 和△ABD中，
教材P33 例题
A
B
C
D
∴△ABC ≌△ABD （SAS）
AC = AD
∠CAB =∠DAB
AB = AB
∴∠CAB =∠DAB.
思 考
如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等，那么这两个三角形全等吗？
A
B
C
C′
A
B
C
A
B
C′
发现：顶点 C 可能存在两个位置.
【结论】两个三角形不一定全等.
随堂演练
教材P34练习 第1题
4. 如图，有一池塘，要测池塘两端 A，B 的距离，可先在平地上取一个点 C，从点 C 不经过池塘可以直接到达点 A 和点 B. 连接 AC
并延长到点 D，使 CD = CA，
连接 BC 并延长到点 E，使
CE = CB，连接 DE，那么量出 DE 的长就是 A，B 的距离. 为什么？
AC = DC，
∠ACB =∠DCE，
BC = EC ，
证明：在△ABC 和△DEC 中，
∴ △ABC ≌△DEC（SAS）
∴ AB = DE
（全等三角形的对应边相等）
教材P34练习 第2题
5. 如图，点 E，F 在 BC 上，BE = CF，AB = DC，∠B =∠C. 求证∠A =∠D.
证明：∵BE = CF ，
∴BE + EF = CF + EF，即 BF = CE，
在△ABF和△DCE中，
AB = DC，
∠B =∠C，
BF = CE，
∴△ABF≌△DCE（SAS）.
∴∠A =∠D（全等三角形对应角相等）.
知识点1 用“ ”判定三角形全等
1.下列与如图所示的三角形全等的是( )
D
A.①② B.②③ C.①③ D.只有①
2.如图，点在的平分线上，若能用“”判定 ，
则需添加的一个条件是__________.
3.如图，，，.求证： .
证明： ，
，
即 .
在与 中，
.
知识点2 三角形全等“ ”判定与性质的综合
4.如图，，， ，则 的度数为( )
A
（第4题）
A. B. C. D.
5.［教材P练习T变式］如图，点，，， 在一条直线上，
，，，，则 ___.
6
（第5题）
6.［2025常州调研］如图，是边上一点， 交
于点，，，求证： .
证明：在和 中，
，
， .
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）
三角形全等的判定方法“边角边”
①已知两边，找“夹角”；
②已知一角和该角的一边，找这角的另一边.
注意
课后作业
从课后习题中选取；
完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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