资源简介

(共51张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：14.2.5 用 “HL” 判定直角三角形全等
副标题：直角三角形全等的特殊判定方法
背景图：展示两个斜边和一条直角边对应相等的直角三角形，突出直角符号和对应边，体现 “HL” 的关键元素。
幻灯片 2：学习目标
理解并掌握直角三角形全等的 “HL” 判定定理，能准确表述定理内容。
能运用 “HL” 判定定理判断两个直角三角形是否全等，并解决相关的几何证明问题。
通过对比、探究和应用，体会直角三角形全等判定的特殊性，进一步培养逻辑推理能力。
幻灯片 3：复习回顾
一般三角形全等的判定方法：
“SAS”：两边和它们的夹角对应相等。
“ASA”：两角和它们的夹边对应相等。
“AAS”：两角和其中一角的对边对应相等。
“SSS”：三边对应相等。
直角三角形的定义：有一个角是直角（90°）的三角形叫做直角三角形，夹直角的两边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边。
思考问题：对于两个直角三角形，除了可以用一般三角形的全等判定方法外，是否存在更简便的特殊判定方法呢？
幻灯片 4：引入新课
情境设置：如图，有两个直角三角形△ABC 和△DEF，∠C = ∠F = 90°，AB = DE，AC = DF。这两个直角三角形全等吗？如果只知道 AB = DE，BC = EF，它们全等吗？如果仅知道斜边 AB = DE 和一条直角边 AC = DF，它们又是否全等呢？
引出主题：带着这些问题，我们来学习直角三角形全等的特殊判定方法 ——“HL”。
幻灯片 5：动手操作 —— 探究 “HL”
操作任务：请同学们按要求画直角三角形：
画 Rt△ABC，使∠C = 90°，AC = 3cm，AB = 5cm。
操作步骤：
画∠C = 90°。
在射线 CD 上截取 AC = 3cm。
以点 A 为圆心，5cm 为半径画弧，交射线 CE 于点 B。
连接 AB，得到 Rt△ABC。
小组活动：将自己画的直角三角形与小组内其他同学画的直角三角形进行叠放，观察是否能够完全重合。
操作结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形能够完全重合。
幻灯片 6：“HL” 判定定理
定理内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成 “斜边、直角边” 或 “HL”）。
几何语言表示：在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，若∠C = ∠F = 90°，AB = DE，AC = DF，则 Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。
图形展示：标注出两个直角三角形中斜边和对应直角边相等的部分，用直角符号突出直角，明确对应关系。
关键词强调：“斜边”“直角边”“对应相等”，强调该定理仅适用于直角三角形。
幻灯片 7：“HL” 与一般三角形判定方法的区别与联系
区别：
“HL” 是直角三角形特有的全等判定方法，仅适用于直角三角形。
一般三角形的全等判定方法（如 “SAS”“ASA” 等）需要三个元素对应相等，而 “HL” 只需斜边和一条直角边两个元素对应相等。
联系：
直角三角形是特殊的三角形，一般三角形的全等判定方法也适用于直角三角形，如两个直角三角形若满足 “SAS”“ASA”“AAS”“SSS” 中的任意一种，也能判定全等。
“HL” 可以看作是直角三角形全等判定的一种简化方法，其本质仍可通过勾股定理转化为 “SSS”（因为直角三角形中斜边的平方等于两条直角边的平方和，已知斜边和一条直角边相等，可推出另一条直角边也相等）。
易错提示：“HL” 中的 “H” 指斜边，“L” 指直角边，不要与一般三角形的判定方法混淆，且不能用于非直角三角形的全等判定。
幻灯片 8：例题解析（一）——“HL” 的基本应用
例题 1：如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC = BD，求证：Rt△ABC≌Rt△BAD。
解题思路：
要证明 Rt△ABC≌Rt△BAD，需确认它们是直角三角形且满足 “HL” 条件。
已知 AC⊥BC，BD⊥AD，所以∠C = ∠D = 90°，即△ABC 和△BAD 都是直角三角形。
已知 AC = BD，且 AB 是两个直角三角形的公共斜边，即 AB = BA。
满足 “HL” 判定定理的条件，因此可以判定两个直角三角形全等。
证明过程：
因为 AC⊥BC，BD⊥AD，所以∠C = ∠D = 90°。
在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
\(\begin{cases}
AC = BD \\
AB = BA
\end{cases}\)
所以 Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）。
幻灯片 9：例题解析（二）——“HL” 与其他判定方法的综合应用
例题 2：如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 是高，求证：BD = CD，∠BAD = ∠CAD。
解题思路：
已知 AD 是高，所以∠ADB = ∠ADC = 90°，即△ABD 和△ACD 都是直角三角形。
要证明 BD = CD 和∠BAD = ∠CAD，可先证明 Rt△ABD≌Rt△ACD。
已知 AB = AC，AD 是两个直角三角形的公共直角边，即 AD = AD。
由 “HL” 判定定理可得 Rt△ABD≌Rt△ACD，再根据全等三角形的对应边相等和对应角相等得出结论。
证明过程：
因为 AD 是高，所以∠ADB = ∠ADC = 90°。
在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，
\(\begin{cases}
AB = AC \\
AD = AD
\end{cases}\)
所以 Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）。
所以 BD = CD（全等三角形的对应边相等），∠BAD = ∠CAD（全等三角形的对应角相等）。
幻灯片 10：课堂练习
如图，∠C = ∠D = 90°，AB = AE，BC = ED，求证：∠B = ∠E。
已知：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，∠C = ∠F = 90°，AF = DC，AB = DE，求证：Rt△ABC≌Rt△DEF。
如图，在△ABC 中，∠ABC = 90°，AB = BC，D 是 AC 上一点，分别过 A、C 作 BD 的垂线，垂足为 E、F，求证：AE = BF。
练习要求：学生独立思考，选择合适的判定方法（包括 “HL” 和一般三角形全等判定方法）进行证明，教师巡视指导，之后讲解解题思路和易错点。
幻灯片 11：直角三角形全等判定方法总结
适用方法：
一般三角形全等的判定方法：“SAS”“ASA”“AAS”“SSS” 均适用于直角三角形。
直角三角形特有的判定方法：“HL”（斜边和一条直角边对应相等）。
选择技巧：
当已知两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等时，优先使用 “HL”。
当已知直角边、锐角等条件时，可选用 “SAS”“ASA”“AAS” 等方法。
注意事项：使用 “HL” 时，必须先明确两个三角形是直角三角形，即要指出直角的存在。
幻灯片 12：课堂小结
知识总结：
“HL” 判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
直角三角形全等的判定方法包括一般方法和特殊方法 “HL”。
方法总结：在证明直角三角形全等时，根据题目条件灵活选择判定方法，若有斜边和直角边对应相等的条件，可直接使用 “HL”，使证明过程更简便。
思想提炼：通过探究直角三角形全等的特殊判定方法，体会特殊与一般的辩证关系，培养从特殊情况出发思考问题的能力。
幻灯片 13：课后作业
基础作业：课本第 XX 页习题 14.2 第 13、14、15 题。
拓展作业：如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = BC，D 是 AB 的中点，E、F 分别在 AC、BC 上，且 AE = CF，求证：DE = DF。
探究作业：思考 “SSA” 在什么情况下能判定两个三角形全等，结合直角三角形的 “HL” 定理进行分析说明。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
14.2.5用“HL”判定直角三角形全等
第十四章 全等三角形
探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理，培养学生的观察、归纳能力，发展学生的几何直观感知能力与推理能力.
能运用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等.
判定方法 简称 图示
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
三边分别相等
两边和它们的
夹角分别相等
两角和它们的
夹边分别相等
两角分别相等且其中
一组等角的对边相等
SSS
SAS
AAS
ASA
对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？
A
B
C
A'
B'
C'
知识点 用“HL”判定直角三角形全等
①一条直角边和一锐角分别相等
②斜边和一锐角分别相等
ASA
或AAS
A
B
C
A'
B'
C'
AAS
A
B
C
A'
B'
C'
知识点 用“HL”判定直角三角形全等
③两直角边分别相等
SAS
A
B
C
A'
B'
C'
如果满足斜边和一条直角边分别相等呢？能证明全等吗？
A
B
C
A'
B'
C'
C'
A'
B'
C
A
B
如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∠C =∠C′ = 90°，A′B′ = AB，B′C′ = BC. 这两个三角形全等吗？
探究5
如图，由 ∠C =∠C′ = 90°可知：
①点 C 与点 C' 重合，射线 C'A' 与射线 CA 重合，那么射线 C'B' 与射线 CB 重合.
② 由B'C' = BC ，可知点 B' 与点 B 重合.
C'
A'
B'
C
A
B
(C')
(B')
接下来讨论射线 CA 上除点 C，A 外的点与点 B 的连线和边 AB 的大小关系.
C
A
B
(C')
(B')
① 设点 M 在直角边 AC (不包括端点)上，连接 BM，则∠BMA ＞∠C，∠BMA是钝角．
② 若过点 M 且垂直于 BM 的直线与线段 AB 相交于点 M′，则有 AB ＞ BM′ ＞ BM．
M
外角的性质
M'
垂线段最短
③ 设点 N 在线段 CA 的延长线上，连接 BN，同理可得 BN ＞ AB．
④ 因此，在射线 CA 上，与点 B 的连线长度等于 AB 的点只有一个.
⑤再由点 A′ 在射线 CA 上，
A′B′ = AB，可知点 A′与点 A 重合．
C
A
B
(C')
(B')
M
M'
N
在点 A 下方时，长度 < AB；在点 A 上方时，长度 > AB.
(A')
C
A
B
(C')
(B')
a. 设点 N 在线段 CA 的延长线上，连接 BN，则∠BNA ＜∠BAC，∠BNA是锐角．
b. 若过点 A 且垂直于 AB 的直线与线段 BN 相交于点 N′，则有 AB ＜ BN′ ＜ BN．
N
N'
外角的性质
垂线段最短
△A'B'C' 的三个顶点与△ABC 的三个顶点分别重合.
△A'B'C' 与△ABC 能够完全重合.
△A'B'C'≌△ABC
C
A
B
(C')
(B')
(A')
在今后的学习中，我们将用勾股定理证明这个判定方法.
斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）
如图，在Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ （HL）
A′B′ = AB，BC = B′C′，
几何语言：
C
A
B
C'
A'
B'
如图，在Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ （HL）
A′B′ = AB，BC = B′C′，
几何语言：
C
A
B
C'
A'
B'
注意
①“H”代表斜边，“L”代表直角边.
顺序不要混淆
②“HL”是判定直角三角形全等的特有方法，两个“△”前要加“Rt”.
例 6 如图， AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C，D，AC = BD. 求证 BC = AD.
教材P42 例题
AC⊥BC，BD⊥AD，公共边AB ，AC = BD
Rt△ABD≌Rt△BAC.
C
D
B
A
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C =∠D = 90°.
教材P42 例题
∴Rt△ACD ≌Rt△ABE （HL）
AB = BA，
AC = BD，
∴ BC = AD .
C
D
B
A
在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中，
归纳：两个直角三角形全等的判定思路
已知 可选方法 寻找对应相等的条件
一锐角（A）
斜边（H/S）
ASA
直角与已知锐角的夹边
AAS
已知锐角(或直角)的对边
HL
一直角边
一锐角
AAS
已知 可选方法 寻找对应相等的条件
一 直角边（L/S）
HL
斜边
ASA
已知边相邻的锐角
AAS
已知边所对的锐角
SAS
另一直角边
3. 如图，C 是路段 AB 的中点，两人从 C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达 D，E 两地，且 DA⊥AB，EB⊥AB. D，E 到路段 AB 的距离相等吗？为什么？
A
B
C
D
E
教材P43练习 第1题
随堂演练
教材P43练习 第1题
解：D，E 到路段 AB 的距离相等. 理由：
∵C是路段 AB 的中点，∴AC = BC.
又两人同时同速度出发，
并同时到达D，E 两地，∴CD = CE.
又 DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠A =∠B = 90°.
在Rt△ACD 和 Rt△BCE 中，
A
B
C
D
E
AC = BC，
CD = CE，
∴Rt△ACD ≌ Rt△BCE(HL).
∴DA = EB.
即 D，E 到路段 AB 的距离相等.
随堂演练
教材P43练习 第2题
4. 如图，AB = CD，AE ⊥ BC，DF ⊥ BC，垂足分别为 E，F，CE = BF. 求证 AE = DF.
A
B
C
D
E
F
教材P43练习 第1题
证明: ∵CE = BF，
∴CE – EF = BF – EF，即 CF = BE.
又 AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠DFC =∠AEB = 90°.
在 Rt△DFC 和 Rt△AEB 中，
DC = AB，
CF = BE，
∴Rt△DFC ≌ Rt△AEB(HL).
∴AE = DF.
A
B
C
D
E
F
1.如图，M 是 AB 的中点，∠AMC =∠BMD，MC = MD. 求证：AC = BD.
【教材P43习题14.2 第1题】
复习巩固
证明：∵M 是 AB 的中点，
∴AM = BM.
AM = BM，
∠AMC =∠BMD，
MC = MD，
在△ACM 和△BDM 中，
∴ △ACM ≌△BDM（SAS）
∴ AC = BD .
2. 如图，AB = AC，AD = AE，求证∠B =∠C.
【教材P43习题14.2 第2题】
证明：在△ABE 和△ACD 中，
AB = AC，
∠A =∠A，
AE = AD，
∴△ABE≌△ACD (SAS).
∴∠B =∠C.
3. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）. 在图中，要测量工件内槽宽 AB，只需要测量哪些量？为什么？
【教材P43习题14.2 第3题】
解：要测量工件的槽宽，只需要测量两根钢条的另两个端点 A'与 B' 之间的距离即可. 理由：
如图，连接A'B'.
∵O 是两根钢条的中点，
∴OA = OA'，OB = OB'.
在△AOB 和△A'OB' 中，
OA = OA'，
∠AOB =∠A'OB'，
OB = OB'，
∴△AOB≌△A'OB'（SAS）.
∴工件内槽宽 AB = A'B'.
4. 如图，∠1 =∠2，∠3 =∠4. 求证 AC = AD.
【教材P44习题14.2 第4题】
证明：∵∠3 =∠4，∴∠ABD =∠ABC.
在△ABD 和△ABC中，
∠1 =∠2，
AB = AB，
∠ABD =∠ABC，
∴△ABD≌△ABC（ASA）. ∴AC = AD.
5. 如图，∠1 =∠2，∠B =∠D. 求证 AB = CD.
【教材P44习题14.2 第5题】
证明：在△ABC 和△CDA 中，
∠1 =∠2，
∠B =∠D，
AC = CA，
∴△ABC≌△CDA（AAS）. ∴AB = CD.
6. 如图，从 C 地看 A，B 两地的视角∠C 是锐角，C 地与 A，B 两地的距离相等. A 地到路段 BC 的距离 AD 与 B 地到路段 AC 的距离 BE 相等吗？为什么？
【教材P44习题14.2 第6题】
解：AD = BE. 理由：
∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC =∠BEC = 90°.
又 C 地与 A，B 两地的距离相等，∴AC = BC.
在△ACD 和△BCE 中，
∠ADC =∠BEC，
∠C = ∠C，
AC = BC，
∴△ACD≌△BCE（AAS）.∴AD = BE.
7. 如图，AB = AD，AC = AE，BC = DE. 求证∠BAC = ∠DAE.
【教材P44习题14.2 第7题】
证明：在△ABC 和△ADE 中，
AB = AD，
AC = AE，
BC = DE，
∴△ABC≌△ADE（SSS）. ∴∠BAC =∠DAE.
8. 如图，在一个平分角的仪器中，AB = AD，BC = DC. 将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是这个角的平分线 . 你能说明它的道理吗？
【教材P44习题14.2 第8题】
解：在△ABC 和△ADC 中，
AB = AD，
BC = DC，
AC = AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS）.
∴∠BAC =∠DAC.
∴AE 就是这个角的平分线.
9. 如图，点 C 在∠AOB 的边 OB 上 . 利用直尺和圆规过点 C 作射线 OA 的平行线 CD.
【教材P44习题14.2 第9题】
解：如图所示.
10. 如图，已知△ABC. 利用直尺的圆规作△ABD，使∠BAD = ∠BAC，AD = AC（点D与点C在 AB的不同侧）.
【教材P44习题14.2 第10题】
解：如图所示.
11. 如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 是高 .
求证：BD = CD，∠BAD = ∠CAD.
【教材P45习题14.2 第11题】
在 Rt△ADB 和 Rt△ADC 中，
AB = AC，
AD = AD，
∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL）.
证明：∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADB =∠ADC = 90°.
∴BD = CD，∠BAD =∠CAD.
12. 如图，AC⊥CB，DE⊥CB，垂足分别为 C，B，AB = DC. 求证∠ABD =∠ACD.
【教材P45习题14.2 第12题】
在 Rt△ACB 和 Rt△DBC 中，
AB = DC，
CB = BC，
∴Rt△ACB≌Rt△DBC（HL）.
证明：∵AC⊥CB，DB⊥CB，∴∠ACB =∠DBC = 90°.
∴∠ABC =∠DCB.
∴∠ABD =∠ACD（等角的余角相等）.
13. 如图，点 B，E，C，F 在一条直线上，
AB = DE，AC = DF，BE = CF.
求证∠A = ∠D.
综合运用
【教材P45习题14.2 第13题】
证明：∵ BE = CF，
∴BE + EC = CF + EC，即 BC = EF.
在△ABC 和△DEF 中，
AB = DE，
AC = DF，
BC = EF，
∴△ABC≌△DEF（SSS）.∴∠A =∠D.
14. 如图，AC 和 BD 相交于点 O，OA = OC，OB = OD. 求证 AB // CD.
【教材P45习题14.2 第14题】
证明：在△AOB 和 △COD 中，
OA = OC，
∠AOB =∠COD，
OB = OD，
∴△AOB≌△COD（SAS）.
∴∠A =∠C. ∴AB // DC.
15. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB = CE，AB // DE，AC // DF.
求证：AB = DE，AC = DF.
【教材P45习题14.2 第15题】
证明：∵AB // DE，AC // DF，
∴∠B =∠E，∠ACB =∠DFE.
∵FB = CE，∴FB + FC = CE + FC，即 BC = EF.
在△ABC 和△DEF 中，
∠B = ∠E，
BC = EF，
∠ACB =∠DFE，
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
∴AB = DE，AC = DF.
16. 如图，△ABC ≌ △A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC，△A′B′C′ 的对应角的平分线 . 求证 AD = A′D′.
【教材P45习题14.2 第16题】
证明：∵△ABC≌△A'B'C'，
∴ AB = A'B'，∠B =∠B'，∠BAC =∠B'A'C'.
∵AD，A'D' 分别是∠BAC，∠B'A'C' 的平分线，
∴∠BAD = ∠BAC，∠B'A'D' = ∠B'A'C'.
∴∠BAD =∠B'A'D'.
在△ ABD 和 △A'B'D' 中，
∠B = ∠B'，
AB = A'B'，
∠BAD =∠B'A'D'，
∴△ABD≌△A'B'D'（ASA）.∴AD = A'D'.
17. 如图， D 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E，DE = FE，FC // AB. AE 与 CE 有什么关系？证明你的结论.
拓广探索
【教材P46习题14.2 第17题】
解：AE = CE.
证明：∵FC // AB，∴∠A =∠ECF.
在△ADE 和 △CFE 中，
∠A =∠ECF，
∠AED =∠CEF，
DE = FE，
∴△ADE≌△CFE（AAS）.∴AE = CE.
18. 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D是 BC 的中点，点 E在 AD上 . 找出图中的全等三角形，并证明它们全等 .
【教材P46习题14.2 第18题】
解：△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE.
证明：∵AB=AC，点 D 是 BC 的中点，
∴BD = CD.
在△ABD 和 △ACD 中，
AB = AC，
AD = AD，
BD = CD，
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
∴∠ADB =∠ADC，
即∠BDE =∠CDE.
在△BDE 和△CDE 中，
BD = CD，
∠BDE =∠CDE，
DE = DE，
∴△BDE≌△CDE（SAS）.∴BE = CE.
在△ABE 和 △ACE 中，
AB = AC，
AE = AE，
BE = CE，
∴△ABE≌△ACE（SSS）.
斜边、
直角边
内容
前提条件
探索方法
斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等
在直角三角形中
依次说明三角形的三个顶点重合
用“HL”判定两个直角三角形全等
谢谢观看！

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