资源简介

(共42张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：14.3.2 角的平分线的判定
副标题：探索角平分线的判定方法
背景图：展示一个角，以及角内部到角两边距离相等的点，突出判定定理的关键元素。
幻灯片 2：学习目标
理解角的平分线的判定定理的内容，能准确表述定理。
掌握角的平分线的判定定理的证明方法，并能运用该定理解决几何问题。
区分角的平分线的性质与判定，体会它们之间的联系与区别，培养逻辑推理能力。
幻灯片 3：复习回顾
角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言表示：∵OC 平分∠AOB，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD = PE。
思考问题：反过来，如果一个点到角的两边的距离相等，那么这个点是否在这个角的平分线上呢？这就是我们本节课要探究的角的平分线的判定问题。
幻灯片 4：探究角的平分线的判定
操作任务：如图，点 P 是∠AOB 内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E，且 PD = PE。连接 OP，测量∠AOP 和∠BOP 的度数，你发现了什么？
实验现象：经过测量，∠AOP = ∠BOP，即 OP 是∠AOB 的平分线。
小组讨论：改变点 P 的位置，使 PD = PE（PD⊥OA，PE⊥OB），重复上述操作，OP 仍然是∠AOB 的平分线吗？由此可以得出什么结论？
初步结论：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
幻灯片 5：角的平分线的判定定理
定理内容：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
几何语言表示：如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E，且 PD = PE，∴点 P 在∠AOB 的平分线上（或 OP 平分∠AOB）。
定理证明：
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E，PD = PE。
求证：点 P 在∠AOB 的平分线上。
证明：连接 OP。∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO = ∠PEO = 90°。
在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，
\(\begin{cases}
PD = PE \\
OP = OP
\end{cases}\)
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）。∴∠AOP = ∠BOP。∴点 P 在∠AOB 的平分线上。
图形强调：标注出点到角两边的距离及相等关系，明确定理的条件和结论。
幻灯片 6：角的平分线的判定定理的理解
条件分析：定理成立需要三个条件，一是点在角的内部，二是该点到角的两边的距离（即垂直距离），三是这两个距离相等。
结论意义：表明在角的内部，满足到角两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，为判断一个点是否在角的平分线上提供了依据。
易错提示：
必须强调 “在角的内部” 这个条件，若点在角的外部，即使到角两边的距离相等，也不在这个角的平分线上。
距离必须是点到角两边的垂直距离，非垂直距离相等不能判定点在角的平分线上。
幻灯片 7：角的平分线的性质与判定的区别与联系
区别：
性质：已知点在角的平分线上，得出该点到角的两边的距离相等（由位置到数量）。
判定：已知点到角的两边的距离相等（且在角的内部），得出该点在角的平分线上（由数量到位置）。
联系：
两者都与角的平分线和点到角两边的距离有关。
性质和判定互为逆命题。
表格对比：
名称
条件
结论
作用
性质
点在角的平分线上
点到角的两边的距离相等
证明线段相等
判定
点到角的两边的距离相等（且在角的内部）
点在角的平分线上
证明点在角的平分线上
幻灯片 8：例题解析（一）—— 判定的直接应用
例题 1：如图，BE = CF，BE⊥AC 于点 E，CF⊥AB 于点 F，求证：AD 平分∠BAC。
解题思路：
要证明 AD 平分∠BAC，只需证明点 D 到∠BAC 两边的距离相等，即 DF = DE。
已知 BE⊥AC，CF⊥AB，所以∠BFD = ∠CED = 90°。
在△BFD 和△CED 中，∠BFD = ∠CED，∠BDF = ∠CDE（对顶角相等），BE = CF（已知 BE = CF，即 BF + FE = CE + FE，可得 BF = CE），所以△BFD≌△CED（AAS），因此 DF = DE。
又因为 DF⊥AB，DE⊥AC，根据角的平分线的判定定理，可得 AD 平分∠BAC。
证明过程：
∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD = ∠CED = 90°。
在△BFD 和△CED 中，
\(\begin{cases}
∠BFD = ∠CED \\
∠BDF = ∠CDE \\
BF = CE（由BE = CF推导得出）
\end{cases}\)
∴△BFD≌△CED（AAS）。∴DF = DE。
∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴AD 平分∠BAC（角的平分线的判定定理）。
幻灯片 9：例题解析（二）—— 判定的综合应用
例题 2：如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E、F，且 DE = DF。求证：AB = AC。
解题思路：
已知 DE⊥AB，DF⊥AC，DE = DF，根据角的平分线的判定定理可得 AD 平分∠BAC。
要证明 AB = AC，可证明△ABD≌△ACD 或证明∠B = ∠C。
因为 D 是 BC 的中点，所以 BD = CD。又 AD 是公共边，在△ABD 和△ACD 中，虽然有 BD = CD，AD = AD，但仅这些条件不能直接判定全等。可先证明∠B = ∠C，在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，BD = CD，DE = DF，所以 Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），可得∠B = ∠C，因此 AB = AC。
证明过程：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE = DF，∴AD 平分∠BAC（角的平分线的判定定理），即∠BAD = ∠CAD。
在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，
\(\begin{cases}
BD = CD \\
DE = DF
\end{cases}\)
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）。∴∠B = ∠C。∴AB = AC（等角对等边）。
幻灯片 10：课堂练习
如图，在四边形 ABCD 中，∠B = ∠C = 90°，M 是 BC 的中点，DM 平分∠ADC，求证：AM 平分∠DAB。
已知：如图，在△ABC 中，∠A = 90°，BD 平分∠ABC，AD = 2cm，BC = 5cm，求△BDC 的面积。
如图，点 P 是∠AOB 内的一点，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为 A、B，且 PA = PB。求证：OP 是∠AOB 的平分线。
练习要求：学生独立思考完成，运用角的平分线的判定定理和全等三角形的知识解决问题，教师巡视指导，之后讲解解题思路。
幻灯片 11：角的平分线的判定的实际应用
问题情境：如图，要在 S 区建一个垃圾处理厂，使它到公路 AB 和铁路 BC 的距离相等，并且离公路 AB 与铁路 BC 的交叉点 B 处 500 米，试确定垃圾处理厂的位置 P。
解题思路：
垃圾处理厂 P 到公路 AB 和铁路 BC 的距离相等，根据角的平分线的判定定理，点 P 应在∠ABC 的平分线上。
又因为点 P 离交叉点 B 处 500 米，所以在∠ABC 的平分线上截取 BP = 500 米，点 P 即为所求。
作图步骤：
作∠ABC 的平分线 BD。
在 BD 上截取 BP = 500 米（按一定比例画图），则点 P 就是垃圾处理厂的位置。
幻灯片 12：课堂小结
知识总结：
角的平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
判定定理与性质定理互为逆命题，分别从不同角度描述了角平分线与点到角两边距离的关系。
方法总结：在证明点在角的平分线上时，可通过证明该点到角的两边的距离相等来实现；在解决实际问题时，可利用判定定理确定点的位置。
思想提炼：通过探究角的平分线的判定定理，体会数学知识的逆向思维，进一步理解性质与判定之间的辩证关系，培养严谨的逻辑推理能力。
幻灯片 13：课后作业
基础作业：课本第 XX 页习题 14.3 第 4、5、6 题。
拓展作业：如图，在△ABC 中，∠B = 60°，∠C = 40°，AD、CE 分别是∠BAC、∠ACB 的平分线，AD、CE 相交于点 F，求证：FE = FD。
实践作业：运用角的平分线的判定定理，设计一个确定学校操场一个角的平分线的方案，并说明理由。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
14.3.2角的平分线的判定
第十四章 全等三角形
探索并证明角的平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，感受互逆的数学思想，发展学生的推理能力和解题能力.
情境导入
如图，要在 S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉处 500 m. 这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置)？
即求：∠AOB 内是否存在一点到 OA、OB 的距离相等，且距离 O 点 500 m.
转化
A
O
B
0
200m
探究新知
交换“角的平分线上的点到角两边的距离相等” 这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？
知识点1 角的平分线的判定
C
A
B
O
D
E
P
猜想：到角两边距离相等的点一定在角的平分线上
已知：
角的内部的一个点到这个角两边的距离相等.
求证：
验证
这个点在这个角的平分线上.
知识点1 角的平分线的判定
如图，P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE.
求证：点 P 在∠AOB 的平分线上.
可以通过添加辅助线，构造三角形来证明.
A
B
O
D
E
P
C
证明：如图，经过点 P 作射线 OC.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO =∠PEO = 90°.
在 Rt△OPD 和 Rt△OPE 中，
OP = OP，
PD = PE，
∴ △OPD ≌ △OPE（HL）
∴∠AOC =∠BOC
A
B
O
D
E
P
C
∴点 P 在∠AOB 的平分线上.
如图，∵P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE，∴点 P 在∠AOB 的平分线上，即 OP 平分∠AOB.
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
角的平分线的判定定理
几何语言：
A
B
O
D
E
P
C
位置关系
数量关系
归纳总结
所有到角两边距离相等的点组成这个角的平分线
1
角的平分线的性质及判定的关系
点在角的平分线上
角的内部，点到角两边距离相等
性质
判定
2
角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合.
针对训练
1. 导入问题：在 S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路交叉处 500 m. 这个集贸市场应建于何处？
0
200m
答：集贸市场应建在 S 区内，公路和铁路夹角的平分线上，具体位置如图中点 P 所示.
P
针对训练
2. 如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为 B，E，AB = CE，AB，CE 相交于点 F，连接 DF. 求证：FD 平分∠BFE.
教材P51练习 第1题
C
A
B
D
E
F
教材P51练习 第1题
C
A
B
D
E
F
证明：∵AB⊥CD，CE⊥AD，∴∠ABD =∠CED = 90°.
在△ABD 和△CED 中，
∠ADB =∠CDE，
∠ABD =∠CED，
AB = CE，
∴△ABD ≌△CED（AAS）
∴BD = ED.
又 AB⊥CD，CE⊥AD，
∴FD 平分∠BFE.
例 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证：
点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等；
△ABC 的三条角平分线交于一点.
C
A
B
M
N
P
点 P 到边 AB，BC 的距离相等，点 P 到边AC，BC 的距离相等
要证△ABC 的三条角平分线交于一点，只要证点 P 也在∠A 的平分线上．
C
A
B
M
N
P
教材P51 例题
证明：(1) 过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为 D，E，F.
∵BM 是△ABC 的角平分线，
点 P 在 BM 上，
∴PD = PE.
同理 PE = PF.
∴ PD = PE = PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等 .
E
F
D
C
A
B
M
N
P
教材P51 例题
(2) 由 (1) 得，点 P 到边 AB，CA 的距离相等，
∴点 P 在∠A 的平分线上 .
∴△ABC 的三条角平分线交于一点 .
E
F
D
知识点2 三角形三条角平分线的关系
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边的距离相等.
三角形内部到三边距离相等的点是
三条角平分线的交点.
拓展探究
到三角形三边所在直线距离相等的点一共有几个？
4个
P1
P4
P2
P3
三角形三个内角的平分线的交点 P1；
三角形一个内角与另外两个角的外角的平分线的交点 P2，P3，P4.
教材P51练习 第2题
如图，已知△ABC ，BF 是△ABC的外角∠CBD 的平分线，CG 是△ABC 的外角∠BCE 的平分线，BF，CG 相交于点 P. 求证：
点 P 到三边 AB，BC，CA 所在直线的距离相等；
点 P 在∠A 的平分线上.
C
A
B
D
E
F
G
P
针对训练
教材P51练习 第2题
C
A
B
D
E
F
G
P
J
I
H
证明：(1) 如图，过点 P 分别作 PJ，PI，PH 垂直于三边 AB，BC，AC 所在的直线，垂足分别为 J，I，H.
∵BF 是∠CBD 的平分线，点 P 在 BF 上，∴PI = PJ.
同理，PH = PI，
∴PJ = PI = PH，
即点 P 到三边 AB，BC，CA 所在直线的距离相等.
针对训练
教材P51练习 第2题
C
A
B
D
E
F
G
P
J
I
H
(2) 由(1)知 PH⊥AE，PJ⊥AD，且 PH = PJ，
∴点 P 在∠A 的平分线上.
提炼归纳
角平分线的性质 角平分线的判定
图示
已知条件
结论
OP 平分∠AOB
PD⊥OA于点 D
PE⊥OB于点 E
PD = PE
PD⊥OA 于点D
PE⊥OB 于点E
PD = PE
OP 平分∠AOB
知识点1 角的平分线的判定
1.如图，于点，于点，，当 ___时，
点在 的平分线上.
2
（第1题）
返回
（第2题）
2.［2025广州越秀区月考］如图，于点 ，
于点，若，且 ，则
的度数是( )
C
A. B. C. D.
3.将两个完全相同的直角三角板按如图所示的方式放置，
使得顶点重合， ，若
，则 的度数是( )
B
A. B. C. D.
返回
4.［教材习题 变式］［2025武汉月考］如图，已
知，，垂足分别为，，，
相交于点，连接.若，求证： 平分
.
证明：, ，
.
在与 中，
,是 的平分线.
返回
1.如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证 EB = FC.
【教材P52习题14.3 第1题】
复习巩固
证明：∵AD 是△ABC 的角平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE = DF.
BD = CD，
DE = DF，
在Rt△DEB 和 Rt△DFC 中，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）.
∴EB = FC.
2. 如图，在△ABC 中，AB = AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为 D，E，BD，CE 相交于点 F. 求证：FA 平分∠DFE.
【教材P52习题14.3 第2题】
证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB =∠AEC = 90°.
在△ADB 和 △AEC 中，
∠ADB =∠AEC，
∠BAD = ∠CAE，
AB = AC，
∴△ADB≌△AEC（AAS）. ∴AD = AE.
又 AB⊥CE，AC⊥BD，∴ FA 平分∠DFE.
3. 如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD 相交于点 O，OB = OC. 求证∠1 = ∠2.
【教材P52习题14.3 第3题】
证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDO =∠CEO = 90°.
在△BDO 和△CEO 中，
∠BDO =∠CEO，
∠DOB =∠EOC，
OB = OC，
∴△BDO≌△CEO（AAS）. ∴OD = OE.
∴AO 是∠BAC 的平分线. ∴∠1 =∠2.
4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，在边 AC 上求作一点 P，使点 P 到边 BC 和边 AB 的距离相等 .
【教材P52习题14.3 第4题】
解：如图所示.
5. 如图，在△ABC中，AD 是它的角平分线，P 是 AD 上一点，PE // AB，交 BC 于点 E，PF // AC，交 BC 于点 F. 求证：点 D 到 PE 和 PF 的距离相等 .
综合运用
【教材P53习题14.3 第5题】
证明：如图，过点 D 分别作 DM⊥PE，DN⊥PF，垂足分别为 M，N.
∵AD 是∠BAC 的平分线，
∴∠1 =∠2.
又 PE∥AB，PF∥AC，
∴∠3 =∠1，∠4 =∠2.
∴∠3 =∠4，即 PD 是∠EPF 的平分线.
∴DM = DN，即点 D 到 PE 和 PF 的距离相等.
6. 如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，F 是 OC 上的另一点，连接 DF，EF，求证 DF = EF.
【教材P53习题14.3 第6题】
证明：∵OC 是∠AOB 的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD = PE，∠PDO =∠PEO = 90°.
在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，
OP = OP，
PD = PE，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.
∴∠OPD =∠OPE.
∴∠DPF =∠EPF（等角的补角相等）.
PD = PE，
∠DPF =∠EPF，
PF = PF，
∴△DPF≌△EPF（SAS）.
∴DF = EF.
在 △DPF 和△EPF 中，
7. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，连接 EF，EF 与 AD 相交于点 G. AD 与 EF 垂直吗？证明你的结论 .
拓广探索
【教材P53习题14.3 第7题】
解：AD⊥EF.
证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠EAD =∠FAD.
又 DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE = DF，∠DEA =∠DFA = 90°.
在 Rt△ADE 和 Rt△ADF 中，
AD = AD，
DE = DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）.∴AE = AF.
在△AEG 和△AFG 中，
AE = AF，
∠EAG = ∠FAG，
AG = AG，
∴△AEG≌△AFG（SAS）.
∴∠AGE =∠AGF.
∵∠AGE +∠AGF = 180°，
∴∠AGE =∠AGF = 90°，∴AD⊥EF.
8. 如图，∠B =∠C = 90°，E 是 BC 的中点，DE 平分∠ADC. 求证：AE 平分∠DAB.（提示：过点 E 作 EF⊥AD，垂足为 F.）
【教材P53习题14.3 第8题】
证明：如图，过点 E 作 EF⊥AD，垂足为 F.
∵DE 平分∠ADC，EF⊥AD，∠C=90°，
∴EF = CE.
∵E 是 BC 的中点，
∴CE = BE，
∴EF = BE.
又 EF⊥AD，∠B = 90°，
∴AE 平分∠DAB.
角平分线的判定
内容
作用
结论
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
三角形的三条内角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等
判断一个点是否在角的平分线上
谢谢观看！

展开更多......

收起↑