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幻灯片 1：15.1.1 轴对称及其性质
标题：15.1.1 轴对称及其性质
引入语：生活中，蝴蝶的翅膀、建筑的外观常展现出一种规整之美，这背后的数学原理便是轴对称。从今天起，我们一同探索轴对称的奥秘。
背景图：呈现一张蝴蝶翅膀展开的高清图片，翅膀沿着身体中轴线完美对称，直观体现轴对称的视觉效果，引发学生对轴对称现象的兴趣。
幻灯片 2：轴对称图形的定义
定义阐述：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴 。
举例说明：展示圆的图形，说明圆沿着任意一条经过圆心的直线折叠，直线两旁的部分都能完全重合，所以圆是轴对称图形，且经过圆心的直线都是它的对称轴；展示正方形，正方形沿两条对边中点连线以及两条对角线所在直线折叠都能重合，这四条直线都是它的对称轴。
强调要点：
轴对称图形是一个整体图形，被对称轴分成的两部分能互相重合，对称点在同一图形上。
对称轴是一条直线，不是射线或线段。
一个轴对称图形的对称轴数量不定，可能有 1 条（如等腰三角形）、多条（如长方形有 2 条），甚至无数条（如圆） 。
幻灯片 3：常见轴对称图形及其对称轴（一）
角：展示角的图形，说明角平分线所在的直线就是角的对称轴，只有 1 条对称轴。因为沿着角平分线折叠，角的两边能够完全重合 。
等腰三角形：呈现等腰三角形，其底边上的高（或底边上的中线或顶角的平分线）所在的直线是对称轴，有 1 条对称轴。这是由于等腰三角形沿着这条线折叠，两部分能完全重合 。
等边三角形：展示等边三角形，它的各边上的高（或各边上的中线或各内角平分线）所在的直线均为对称轴，共 3 条对称轴。因为等边三角形沿这三条线折叠，都能使直线两旁的部分完全重合 。
幻灯片 4：常见轴对称图形及其对称轴（二）
等腰梯形：展示等腰梯形，过上、下底中点的直线是其对称轴，只有 1 条。沿此直线折叠，等腰梯形的两部分可重合 。
长方形：呈现长方形，对边中点的连线所在的直线是对称轴，共 2 条。将长方形沿着这两条直线折叠，直线两旁部分能完全重合 。
正方形：展示正方形，其对角线所在的直线以及过对边中点的直线都是对称轴，总计 4 条。正方形沿这四条直线折叠，都能满足直线两旁部分互相重合 。
正多边形：特别提醒正 n 边形都是轴对称图形，有 n 条对称轴。例如正五边形有 5 条对称轴，正六边形有 6 条对称轴等 。
幻灯片 5：判断轴对称图形的方法
方法讲解：根据图形特征，尝试寻找一条直线，若沿着这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么该图形就是轴对称图形；若找不到这样的直线，则不是轴对称图形 。
例题分析：给出一组图形（如平行四边形、正三角形、不规则四边形等），以正三角形为例，引导学生通过折叠的想象，发现正三角形能沿着三条高所在直线折叠重合，所以是轴对称图形；而平行四边形无论沿哪条直线折叠，直线两旁部分都无法完全重合，不是轴对称图形 。
幻灯片 6：成轴对称的定义
定义阐述：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点 。
图示展示：展示两个全等的三角形，通过动画演示将其中一个三角形沿着某条直线折叠后与另一个三角形重合的过程，明确对称轴、对应点等概念 。
条件强调：成轴对称需要满足三个条件，一是有两个图形，二是存在一条直线，三是一个图形沿着这条直线折叠后能与另一个图形重合 。
幻灯片 7：成轴对称与轴对称图形的区别与联系
区别：
对象不同：成轴对称涉及两个图形的位置关系，而轴对称图形是针对一个具有特殊形状的图形 。
对称点位置不同：成轴对称时，对称点分别在两个图形上；轴对称图形的对称点在同一个图形上 。
对称轴位置不同：两个图形成轴对称，对称轴可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点）；轴对称图形的对称轴一定经过这个图形的内部 。
对称轴数量不同：成轴对称一般只有一条对称轴，轴对称图形可能有一条或多条对称轴 。
联系：
定义中都有一条直线，都需沿着这条直线折叠 。
把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条对称轴对称 。
幻灯片 8：轴对称的性质
性质一：成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分。展示成轴对称的两个三角形，连接对应顶点（对称点），通过测量和几何推理，证明对称轴垂直平分连接对称点的线段 。
性质二：无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线。以一个轴对称图形（如等腰三角形）为例，任选一对对称点，画出它们的连线，验证等腰三角形的对称轴（底边上的高所在直线）垂直平分这条连线 。
性质三：成轴对称的两个图形的对应线段、对应角相等。通过对比成轴对称的两个全等三角形，直观展示对应边相等、对应角相等的性质 。
性质四：轴对称图形被对称轴分成的两部分全等，并且这两部分关于对称轴成轴对称；成轴对称的两个图形也全等。通过图形的分割与重合演示，加深对该性质的理解 。
幻灯片 9：轴对称性质的应用（一）—— 确定对称点
例题讲解：已知点 A (3,5)，求它关于直线 x = 1 的对称点 A' 的坐标。
分析思路：设对称点 A' 的坐标为 (x,y)，因为对称轴 x = 1 是线段 AA' 的垂直平分线，根据垂直平分线性质，A 与 A' 的纵坐标相等，即 y = 5；A 与 A' 的横坐标到直线 x = 1 的距离相等，已知点 A 横坐标为 3，到直线 x = 1 的距离为 3 - 1 = 2，所以 A' 的横坐标为 1 - 2 = -1，即 A'(-1,5) 。
总结方法：点 (x,y) 关于直线 x = m 对称的点的坐标关系是，两对称点横坐标之和等于 2m，即所求点的横坐标 x = 2m - x，纵坐标不变；关于直线 y = n 对称的点的坐标关系是，两对称点纵坐标之和等于 2n，即所求点的纵坐标 y = 2n - y，横坐标不变 。
幻灯片 10：轴对称性质的应用（二）—— 解决几何问题
例题讲解：在△ABC 中，AB = AC，∠A = 40°，AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，求∠DBC 的度数。
分析思路：因为 AB = AC，∠A = 40°，根据等腰三角形两底角相等，可得∠ABC = ∠ACB = (180° - 40°)÷2 = 70°；又因为 DE 是 AB 的垂直平分线，根据垂直平分线性质，AD = BD，所以∠ABD = ∠A = 40°；那么∠DBC = ∠ABC - ∠ABD = 70° - 40° = 30° 。
总结方法：在解决此类几何问题时，要善于利用轴对称性质（如垂直平分线性质），结合三角形内角和定理、等腰三角形性质等，逐步推导所求角度或线段长度 。
幻灯片 11：课堂小结
知识回顾：回顾轴对称图形的定义、常见轴对称图形及其对称轴数量与位置；成轴对称的定义、成轴对称与轴对称图形的区别和联系；轴对称的性质以及这些性质在确定对称点和解决几何问题中的应用 。
方法归纳：判断轴对称图形的方法，利用轴对称性质解决问题时，如何通过分析已知条件，找到关键的对称关系，运用性质进行推理计算 。
重点强调：理解轴对称图形和成轴对称的本质区别与联系，熟练掌握并运用轴对称的性质，尤其是对称轴垂直平分对称点连线这一关键性质 。
幻灯片 12：课后作业
基础作业：判断一些常见图形（如正八边形、菱形、筝形等）是否为轴对称图形，若是，画出它们的对称轴并标注对称轴数量。
提升作业：已知点 A (2, -3) 关于直线 y = -1 的对称点为 A'，求 A' 的坐标；在△ABC 中，∠C = 90°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，若∠CAD = 20°，求∠B 的度数 。
拓展作业：设计一个轴对称图案，要求至少包含两种不同的几何图形，标注出对称轴，并说明设计思路 。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
15.1.1 轴对称及其性质
第十五章 轴对称
刺绣
欣赏下面的图片，并说说你发现了什么？
四合院
徽派建筑
岭南建筑
江南民居
对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品中，都可以找到对称的例子.
探究新知
各自拿出一张纸对折，随意剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再展开、铺平，仔细观察剪出的整个图案.
探究新知
观 察
图中是 3 种美丽的窗花，它们都是通过把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸得到的. 观察这些窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？
都是对称的.
把这几个图案再沿折痕折叠回去，折痕两旁的部分是否完全重合？
能够完全重合.
对称轴要用虚线
折叠后重合的点是对应点，叫作对称点
这时，也说这个图形关于这条直线对称.
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形
这条直线就是它的对称轴
针对训练
如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴.
一个图形可能有不止一条对称轴
教材P64练习 第1题
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
针对训练
判断下面图形是不是轴对称图形，并找出它们的对称轴.
角
等边三角形
等腰三角形
等腰梯形
圆
正五边形
正方形
正六边形
名称 图形及其对称轴 条数 对称轴
角 1 角平分线所在的直线
等腰 三角形 1 底边上的高(底边上的中线或顶角平分线)所在的直线
等边 三角形 3 各边上的高(各边上的中线或各内角平分线)所在的直线
等腰 梯形 1 过上、下底
中点的直线
常见轴对称图形及其对称轴
名称 图形及其对称轴 条数 对称轴
圆 无数 过圆心的直线
正方形 4 ①对角线所在的直线
②过对边中点的直线
正五边形 5 过顶点与对边中点的直线
正六边形 6 ①过相对的两顶点的直线；
②过对边中点的直线
知识点2 两个图形成轴对称
观 察
下面的每对图形有什么共同特点？
每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形能与右边的图形重合.
请你标出右图中点 A，B，C 的对称点 A′，B′，C′.
A′
B′
C′
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称
这条直线叫作对称轴
折叠后重合的点是对应点，叫作对称点.
针对训练
如图所示的每幅图形中的两个图案是成轴对称的吗？如果是，指出它们的对称轴，并找出一对对称点.
A
A′
A
A′
教材P64练习 第2题
这是我们学过的哪种变换？
平移
思 考
轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区别和联系？
辨析区分
区别 联系
轴对称图形 一个图形本身的特性 对称点在 同一个图形上
两个图形成轴对称 两个图形的位置关系 对称点分别在两个图形上 轴对称图形
两个图形关于 对称轴成轴对称
对称部分看成两个图形
看成一个整体
知识点3 轴对称的性质
如图，△ABC 和△A′B′C′ 关于直线 MN 对称，点 A′，B′，C′ 分别是点 A，B，C 的对称点.
两个三角形全等吗？
△ABC 和△A′B′C′ 能重合，所以全等.
根据定义，成轴对称的两个图形全等.
A
C
B
A′
C′
B′
M
N
线段 AA′，BB′，CC′ 与直线 MN 有什么关系？
P
A
C
B
A′
C′
B′
M
N
1. 线段 AA′ ：
图中，点 A 与 A′是对称点，
设 AA′ 交 MN 于点 P，将△ABC 或△A′B′C′ 沿 MN 折叠后，点 A 与 A′ 重合 . 于是有
探 究
AP = A′P，∠MPA = ∠MPA′ = 90°.
即 直线 MN 经过 AA′ 的中点，且 MN⊥AA ′.
P
A
C
B
A′
C′
B′
M
N
2. BB′，CC′ 与 MN 也有类似的关系吗？
探 究
直线 MN 经过 BB′，CC′ 的中点，且 MN⊥BB′，MN⊥CC′.
轴对称的性质：
成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分.
轴对称图形中也有同样的性质吗？
A
B
A′
B′
l
思路：将这个五边形沿 l 分成两个图形，转化成成轴对称的两个图形，再由轴对称的性质可知：
直线 l 经过AA′，BB′ 的______，且 l ____ AA′，l ____ BB′.
中点
⊥
⊥
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线.
A
B
l
直线 l 是线段 AB 的垂直平分线
无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是其任意一对对应点所连线段的垂直平分线.
教材P65练习 第3题
如图，线段 AB 与 A′B′ 关于直线 l 对称，AA′ 交直线 l 于点 O，连接 BO，B′O.
(1) 图中相等的线段有：
_______________________________，
线段 AA′ 的垂直平分线是 ______；
(2) △OAB 和△OA′B′ 关于直线
l ________，△OAB _____△OA′B′，
∠ABO = _______，∠A′OB′ =________.
A
B
A′
B′
l
O
AB = A'B'，AO = A'O，BO = B'O
直线 l
对称
≌
∠A'B'O
∠AOB
2. 如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（ ）
A
B
C
D
C
3. 下面的图形都是轴对称图形或成轴对称的图形，请分别找出它们的对称轴。
4. 小强站在镜子前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子钟，其读数如图所示，则电子钟的实际时刻是________.
10：21
知识点1 轴对称图形
1.［2024徐州中考］古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形
的是( )
D
A. B. C. D.
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2.如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，在括号里打“√”，并
画出它的对称轴.
解：如图.
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知识点2 成轴对称
3.［教材P练习T变式］视力表中的字母“ ”有各种不同的摆放形式，
下面每种组合的两个字母“ ”不能关于某条直线成轴对称的是( )
C
A. B. C. D.
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4.下列图形中，与 成轴对称的是( )
B
A. B. C. D.
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知识点3 轴对称及成轴对称图形的性质
5.［教材P练习T变式］如图，四边形是轴对称图形，直线
是对称轴，直线____是____的垂直平分线.若，则 ___，
____ .
6
90
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轴对称
轴对称图形
两个图形成轴对称
区别与联系
性质
垂直平分线
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